Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Учебное пособие по алгебре для учеников 9 класса по теме: «функции»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Учебное пособие по алгебре для учеников 9 класса по теме: «функции»

библиотека
материалов

hello_html_m746b2.gif






Учебное пособие по алгебре

Для учеников 9 класса

по теме:

"Функции"

учителя математики МОУСОШ №24

Товмасян Валентины Михайловны















Содержание



1.Линейное уравнение с двумя переменными и его

график ………………………………………… 2

2.Линейная функция и её график ………………… 3

3.Линейная функция y=kx ..………………………. 4

4.Функция y=x² и её график ……………………… 5

5.Функция y=√x , её свойства и график ………….. 9

6.Функция y=k, её свойства и график …………. 11

7. Функция y=k , её свойства и график ………… 12

8. Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график ….. 13

9.Функции у=хn (nhttp://festival.1september.ru/articles/514527/Image6358.gifN), их свойства и графики ……. 14

10. Функции у=х-n (nhttp://festival.1september.ru/articles/514527/Image6358.gifN), их свойства и графики …. 15

11. Функция y = \sqrt[3]{x}, её свойства и график ……….. 16











Линейное уравнение с двумя переменными и его график

аx + by + с = 0

a, b, c — числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, — линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y). 

Решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство.

Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0

  1. Придать переменной x конкретное значение х = x1; найти из уравнения ax1 + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y1.

  2. Придать переменной x другое значение x = x2 найти из уравнения ax2 + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y2.

  3. Построить на координатной плоскости xOy две точки (x1; y1) и (x2; y2).

  4. Провести через эти две точки прямую — она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.













График уравнения

Рассмотрим на примере.

4x+3y-12=0

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания). 
1) Положим x = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

4 \cdot 0 + 3y - 12 = 0, \; 3y - 12 = 0, \; y = 4.

2) Положим y = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим: 

4 \cdot x + 3 \cdot 0 - 12 =0, \; 4x - 12 = 0, \; x = 3.

3) Построим на координатной плоскости xOy две точки: (0; 4) — она найдена

на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге. 
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график

(рис. 34). 









Линейная функция и её график


Линейное уравнение с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду 

y = kx + m

где k, m — числа (коэффициенты), причем k ≠ 0.


 Графиком линейной функции y = kx + m является прямая.



Построим график линейной функции y = 2x + 3.


y = 2x + 3 – линейная функция, графиком является прямая.


ООФ: х принадлежит (-∞; +∞)



х

0

1

у

3

5

Рисунок 36

Если k>0, то линейная функция y = kx+m возрастает.

Если k<0, то линейная функция y = kx+m убывает

hello_html_m14ffd1d5.jpg


Линейная функция y=kx


Если m = 0, то линейная функция принимает вид y = kx и её называют прямой пропорциональностью.

Коэффициент k- это коэффициент пропорциональности или угловой коэффициент.

Графиком прямой пропорциональности является прямая проходящая через начало координат.





Если k = 0, то формула линейной функции принимает вид y = m.

Графиком является прямая параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0;m)







Функция y=x² и её график


1. Область определения D(f)=(-∞; +∞)

2. Множество значений E(f)=[0; +∞)

3. f(x) убывает на (-∞; 0]

f(x) возрастает на [0; +∞)

4. Функция четная

5. y=0 при x=0

y>0 при x≠0















Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x2): 


если х = 0, то у = О2 = 0; 
если х = 1, то у = I2 = 1; 
если х = 2, то у = 22 = 4; 
если х = 3, то у = З2 = 9; 
если х = - 1, то у = (- I2) — 1; 
если х = - 2, то у = (- 2)2 = 4; 
если х = - 3, то у = (- З)2 = 9; 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:


x

0

1

2

3

-1

-2

-3

y

0

1

4

9

1

4

9


Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а). 
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.


09-06-61.jpg


График функции y=-x² симметричен графику функции y=x² относительно оси абсцисс. Это та же парабола с той же вершиной и стой же ось симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.



Как построить график функции y = f (x+L), если известен график функции y = f (x)




чтобы построить график функции  y=f(x+l) , где l — заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции  y=f(x)  вдоль оси x на l единиц масштаба влево; 
чтобы построить график функции  y=f(x-l) , где l — заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции  y=f(x)  вдоль оси x на l единиц масштаба вправо. 















Рассмотрим на примерах:


Рисунок 39-40




















Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x)



чтобы построить график функции y=f(x)+m , где m — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вверх; 
чтобы построить график функции y=f(x)-m , где m — заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вниз. 














Рассмотрим на примерах:


Рисунок 43-45



Как построить график функции y = f (x+l) + m, если известен график функции y = f (x)



Алгоритм 1 

    1. Построить график функции y=f(x) .

    2. Осуществить параллельный перенос графика  y=f(x) вдоль оси x на |l| единиц масштаба влево, если l>0 , и вправо, если l < 0

    3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на  |m|  единиц масштаба вверх, если m > 0, и вниз, если m < 0.

Алгоритм 2

    1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые  x=-l ,  y=m , т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку  (-l;m) .

    2. К новой системе координат привязать график функции y=f(x) .





























Рассмотрим на примере:



Рисунок 54-55






Функция y=√x , её свойства и график



Свойства функции  y=\sqrt{x}

  1. Область определения функции — луч [0, +∞).

  2. y = 0 при x = 0; y > 0 при x > 0.

  3. Функция возрастает на луче [0, + ∞).

  4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

  5. yнаим = 0 (достигается при x = 0), yнаиб не существует.

  6. Функция непрерывна на луче [0, +∞).





















Для построения графика функции  y=\sqrt{x}  дадим, как обычно, независимой переменной x несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при x < 0 выражение  \sqrt{x} не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y. Разумеется, мы будем давать x такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня:

если x = 0,

 

то  y=\sqrt{0}=0 ;

если x = 1,

 

то  y=\sqrt{1}=1 ;

если x = 4,

 

то  y=\sqrt{4}=2 ;

если x = 6,25 ,

 

то  y=\sqrt{6,25}=2,5 ;

если x = 9,

 

то  y=\sqrt{9}=3 .


Итак, мы составили таблицу значений функции: 



x

0

1

4

6,25

9

y

0

1

2

2,5

3


Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9; 3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются на некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции y=\sqrt{x} . Обратите внимание: график касается оси y в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы  y=x^{2} , можно без труда с его помощью построить график функции y=\sqrt{x} , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.







Рисунок 78-79



































Функция y=k, её свойства и график


Графиком функции  y=kx^{2}\; (k\neq0)  является парабола с вершиной в начале координат;

ось y является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k<0. 





Свойства функции  при  y=kx^{2} при k > 0


1. Ообласть определения функции есть (-∞, +∞)

2.  y = 0 при x = 0; y > 0 при x ≠ 0.
3.  y=kx^{2}  непрерывная функция.
4. yнаим = 0 (достигается при x = 0); унаи6 не существует.
5.  Функция  y=kx^{2}  возрастает при  x\geqslant 0  и убывает при  x\leqslant 0 . 

6. Функция  y=kx^{2} (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху. 

C:\Users\123\Desktop\pic_12-13.jpg





Свойства функции  y=kx^{2} при k < 0

1. Область определения функции — (-∞;+∞)
2. y = 0 при x = 0; y < 0 при x ≠ 0. 
З. y=kx^{2} — непрерывная функция. 
4. yнаиб = 0 (достигается при x = 0), yнаим не существует. 
5. Функция возрастает при x\leqslant 0 , убывает при x\geqslant 0 .
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу. 

C:\Users\123\Desktop\pic_14.jpg













Функция y=k/х , её свойства и график



Графиком функции  y=\frac{k}{x}  (k ≠ 0) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы. 




Свойства функции y=\frac{k}{x} при k > 0 

  1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = 0.

  2. y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0.

  3. Функция убывает на промежутках (-\infty ,0) и (0,+\infty ).

  4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

  5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

  6. Функция непрерывна на промежутках (-\infty ,0) и (0,+\infty ) и претерпевает разрыв при x = 0.





C:\Users\123\Desktop\pic_32-33.jpg







Свойства функции y=\frac{k}{x} при k < 0

  1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = 0.

  2. y > 0 при x < 0; у < 0 при x > 0.

  3. Функция возрастает на промежутках (-\infty ,0) и (0,+\infty ).

  4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

  5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

  6. Функция непрерывна на промежутках (-\infty ,0) и (0,+\infty ) и претерпевает разрыв при x = 0.



C:\Users\123\Desktop\pic_34.jpg






Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график


Графиком квадратичной функции  y=ax^{2}+bx+c  является парабола, которая получается их параболы  y=ax^{2}  параллельным переносом.


Алгоритм построения параболы y=ax^{2}+bx+c

  1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

  2. Отметить на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку x = 0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

  3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).


























 y=-2x^{2}+8x-5  - квадратичная функция, графиком является парабола.

a=-2,\;\;b=8,\;\;x_{0}=-\frac{b}{2a}=2 ;
y_{0}=f(2)=-2\cdot 2^{2}+8\cdot 2-5=3 


Вершина параболы (2; 3), осью параболы- прямая x = 2.

Возьмем на оси x две точки x = 0 и x = 4. Имеем  f(0)=f(4)=-5; построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (4; -5) (рис. 66).

Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Оисунок 66-67

Функции у=хn (nhttp://festival.1september.ru/articles/514527/Image6358.gifN), их свойства и графики


Функцию вида у = хn, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с натуральным показателем.



Свойства функции у = х4 :


1. D(f)=(-∞; +∞)

2. Четная функция

3. Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху

5. yнаим = 0, yнаиб  не существует. 

6. Непрерывна

7. E(f)=[0; +∞)



Составим таблицу значений для этой функции:

Х

0

1

1/2

3/2

Y

0

1

1/16

81/16





Построим точки (0;0), (1;1), (1/2);(1/16), (2; 16), (3/2); (81/16)  на координатной плоскости (рис. 75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).



Al9125.jpg




Свойства функции у = х3:

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Нечетная функция;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна;
7. E(f)=(-∞; +∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

Al91214.jpg


Функции у=х-n (nhttp://festival.1september.ru/articles/514527/Image6358.gifN), их свойства и графики



Свойства функции у = х -2:


1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Четная функция;
3. Убывает на открытом луче(0;+∞), возрастает на открытом луче(-∞; 0) ;
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 (т.е. на открытом луче (-∞; 0)и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0;+∞);
7. E(f)=(0; +∞)
8. Выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.


C:\Users\123\Desktop\Al91310.jpg



Свойства функции у = х –(2n+1):


1. D(f)=(-∞; 0)U (0;+∞)

2. Нечетная функция;
3. Убывает на открытом луче (0;+∞)и на открытом луче (-∞; 0)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7. Е(f) = (-∞; 0)U (0;+∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.


C:\Users\123\Desktop\Al9133.jpg

Функция y = \sqrt[3]{x}, её свойства и график

Свойства функции y= hello_html_m56f84953.gif


1. D(f)=(-∞; +∞)

2. Нечетная функция;
3. Возрастает на всей числовой прямой
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна на всей числовой прямой
7. Е(f) = (-∞; +∞)
8. Выпукла вверх [0;+∞), выпукла вниз (-∞; 0]


















Построим график функции у= hello_html_m56f84953.gifна луче[0;+∞)

Составим таблицу значений.


Х

0

1

8

3 3/8

Y

0

1

2

1,5


Построим точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), (3 3/8; 1,5) на координатной плоскости (рис. 114а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 1146). Мы учитываем при этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху.

Воспользовавшись тем, что у = у= hello_html_m56f84953.gif— нечетная функция, добавим к графику, построенному на рис. 1146, ветвь, симметричную ему относительно начала координат. Тогда получим весь график функции у= hello_html_m56f84953.gif (рис. 115).



C:\Users\123\Desktop\131.jpg

Краткое описание документа:

Данное методическое пособие разработано для учеников девятого класса по дисциплине «алгебра». Тема работы: функции. Работа состоит из одиннадцати глав, в каждой из которой описывается виды фукций и график. В частности описывается функция частная, линейная, квадратичная, функция задающая обратную пропорциональность, степенная функция с натуральным и целым показателем отличным от нуля. К каждой функции рассматривается конкретный пример с графиком. Также рассматривается передвижение графиков по оси Х и У.
Автор
Дата добавления 12.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров642
Номер материала 30504021203
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх