Учебное
пособие по алгебре
Для
учеников 9 класса
по
теме:
"Функции"
учителя
математики МОУСОШ №24
Товмасян
Валентины Михайловны
Содержание
1.Линейное уравнение с двумя переменными и его
график ………………………………………… 2
2.Линейная функция и её график ………………… 3
3.Линейная функция y=kx ..………………………. 4
4.Функция
y=x² и её
график ……………………… 5
5.Функция y=√x , её свойства и график ………….. 9
6.Функция y=kx², её свойства и график …………. 11
7. Функция
y=k/х , её свойства и график ………… 12
8. Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график ….. 13
9.Функции у=хn (nN), их свойства и графики ……. 14
10. Функции у=х-n (nN), их свойства и графики …. 15
11. Функция y = , её
свойства и график ……….. 16
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
аx + by
+ с = 0
a, b, c —
числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, — линейное уравнение с двумя переменными
x и y (или с
двумя неизвестными x и y).
Решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y),
которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными
ax + by + c = 0 в верное числовое равенство.
Рассмотрим
на примере.
4x+3y-12=0
Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания).
1) Положим x = 0, подставим это значение в
уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:
2) Положим y =
0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:
3) Построим на
координатной плоскости xOy две точки: (0; 4) — она найдена
на первом
шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую.
Это и есть искомый график
(рис. 34).
Линейная
функция и её график
Линейное
уравнение с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m
где k, m —
числа (коэффициенты), причем k ≠ 0.
Графиком
линейной функции y = kx + m является прямая.
Построим
график линейной функции y = 2x + 3.
y = 2x + 3 –
линейная функция, графиком является прямая.
ООФ: х
принадлежит (-∞; +∞)
Если k>0, то линейная функция y = kx+m
возрастает.
Если k<0, то линейная функция y = kx+m
убывает
Линейная
функция y=kx
Если m = 0,
то линейная функция принимает вид y = kx и её
называют прямой пропорциональностью.
Коэффициент k- это
коэффициент пропорциональности или угловой коэффициент.
Графиком
прямой пропорциональности является прямая проходящая через начало координат.
Если k = 0, то формула линейной функции
принимает вид y = m.
Графиком является прямая параллельная оси
абсцисс и проходящая через точку с координатами (0;m)
Функция y=x² и её график
Дадим
независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим
соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x2):
если х = 0, то у = О2 = 0;
если х = 1, то у = I2 = 1;
если х = 2, то у = 22 = 4;
если х = 3, то у = З2 = 9;
если х = - 1, то у = (- I2) — 1;
если х = - 2, то у = (- 2)2 = 4;
если х = - 3, то у = (- З)2 = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
-1
|
-2
|
-3
|
y
|
0
|
1
|
4
|
9
|
1
|
4
|
9
|
Построим
найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на
координатной плоскости хОу (рис. 54, а).
Эти точки расположены на некоторой линии,
начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.
График
функции y=-x² симметричен графику функции y=x² относительно оси абсцисс. Это та же
парабола с той же вершиной и стой же ось симметрии, но только ветви параболы
направлены не вверх, а вниз.
Рассмотрим на примерах:
Рассмотрим на примерах:
Рассмотрим
на примере:
Функция y=√x , её свойства и график
Для построения графика функции дадим, как
обычно, независимой переменной x несколько конкретных значений
(неотрицательных, поскольку при x < 0 выражение не имеет
смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y. Разумеется,
мы будем давать x такие значения, для которых известно точное значение
квадратного корня:
если x = 0,
|
|
то ;
|
если x = 1,
|
|
то ;
|
если x = 4,
|
|
то ;
|
если x = 6,25 ,
|
|
то ;
|
если x = 9,
|
|
то .
|
Итак, мы составили таблицу значений функции:
x
|
0
|
1
|
4
|
6,25
|
9
|
y
|
0
|
1
|
2
|
2,5
|
3
|
Построим
найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9; 3) на координатной
плоскости (рис. 78). Они располагаются на некоторой линии, начертим ее (рис.
79). Получили график функции . Обратите
внимание: график касается оси y в точке (0; 0). Заметим, что,
имея шаблон параболы , можно без
труда с его помощью построить график функции , ведь это —
ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.
Функция
y=kx², её свойства и график
Графиком
функции является парабола с вершиной в начале
координат;
ось y является осью параболы; ветви параболы
направлены вверх при k>0 и вниз при k<0.
Функция y=k/х , её свойства и график
Графиком функции (k ≠ 0) является гипербола, ветви которой расположены
в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и
четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 34). Точка (0; 0) — центр
симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Функция y =ax²+bx+c
, её свойства и график
Графиком квадратичной функции является парабола, которая получается их
параболы параллельным переносом.
-
квадратичная функция, графиком является парабола.
;
Вершина параболы (2; 3), осью параболы- прямая x = 2.
Возьмем на оси x две точки x = 0 и x = 4. Имеем ; построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (4; -5)
(рис. 66).
Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис.
67).
Функции у=хn (nN),
их свойства и графики
Функцию вида у
= хn, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с
натуральным показателем.
Составим таблицу значений для этой функции:
Х
|
0
|
1
|
1/2
|
3/2
|
Y
|
0
|
1
|
1/16
|
81/16
|
Построим
точки (0;0), (1;1), (1/2);(1/16), (2; 16), (3/2); (81/16) на координатной плоскости (рис.
75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).
Функции у=х-n
(nN),
их свойства и графики
Свойства функции у = х -2:
1. D(f)=(-∞;
+∞)
2. Четная функция;
3. Убывает на открытом луче(0;+∞), возрастает
на открытом луче(-∞;
0) ;
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 (т.е. на
открытом луче (-∞;
0)и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0;+∞);
7. E(f)=(0;
+∞)
8. Выпукла вниз и при х < 0, и при х
> 0.
Свойства функции у = х –(2n+1):
1.
D(f)=(-∞; 0)U (0;+∞)
2. Нечетная функция;
3. Убывает на открытом луче (0;+∞)и на открытом
луче (-∞; 0)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего
значений;
6. Непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7. Е(f) = (-∞; 0)U
(0;+∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз
при х > 0.
Функция y = , её свойства и
график
Построим график функции у= на луче[0;+∞)
Составим таблицу значений.
Х
|
0
|
1
|
8
|
3
3/8
|
Y
|
0
|
1
|
2
|
1,5
|
Построим
точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), (3 3/8; 1,5) на координатной плоскости (рис.
114а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 1146). Мы учитываем при
этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху.
Воспользовавшись
тем, что у = у= — нечетная функция, добавим к графику,
построенному на рис. 1146, ветвь, симметричную ему относительно начала
координат. Тогда получим весь график функции у= (рис. 115).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.