Учебное пособие по алгебре для учеников 9 класса по теме: «функции»

DOCX

Предпросмотр материала:

Учебное пособие по алгебре

Для учеников 9 класса

по теме:

"Функции"

учителя математики МОУСОШ №24

Товмасян Валентины Михайловны

Содержание

1.Линейное уравнение с двумя переменными и его

график ………………………………………… 2

2.Линейная функция и её график ………………… 3

3.Линейная функция y=kx ..………………………. 4

4.Функция y=x² и её график ……………………… 5

5.Функция y=√x , её свойства и график ………….. 9

6.Функция y=kx², её свойства и график …………. 11

7. Функция y=k/х , её свойства и график ………… 12

8. Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график ….. 13

9.Функции у=хⁿ(nN), их свойства и графики ……. 14

10. Функции у=х-ⁿ(nN), их свойства и графики …. 15

11. Функция y = $\sqrt[3]{x}$ , её свойства и график ……….. 16

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

аx + by + с = 0

a, b, c — числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, — линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y).

Решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство.

График уравнения

Рассмотрим на примере.

4x+3y-12=0

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания).
1) Положим x = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

$4 \cdot 0 + 3y - 12 = 0, \; 3y - 12 = 0, \; y = 4.$

2) Положим y = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

$4 \cdot x + 3 \cdot 0 - 12 =0, \; 4x - 12 = 0, \; x = 3.$

3) Построим на координатной плоскости xOy две точки: (0; 4) — она найдена

на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график

(рис. 34).

Линейная функция и её график

Линейное уравнение с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду

y = kx + m

где k, m — числа (коэффициенты), причем k ≠ 0.

Графиком линейной функции y = kx + m является прямая.

Построим график линейной функции y = 2x + 3.

y = 2x + 3 – линейная функция, графиком является прямая.

ООФ: х принадлежит (-∞; +∞)

х	0	1
у	3	5

Если k>0, то линейная функция y = kx+m возрастает.

Если k<0, то линейная функция y = kx+m убывает

Линейная функция y=kx

Если m = 0, то линейная функция принимает вид y = kx и её называют прямой пропорциональностью.

Коэффициент k- это коэффициент пропорциональности или угловой коэффициент.

Графиком прямой пропорциональности является прямая проходящая через начало координат.

Если k = 0, то формула линейной функции принимает вид y = m.

Графиком является прямая параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0;m)

Функция y=x² и её график

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x²):

если х = 0, то у = О² = 0;
если х = 1, то у = I² = 1;
если х = 2, то у = 2² = 4;
если х = 3, то у = З² = 9;
если х = - 1, то у = (- I²) — 1;
если х = - 2, то у = (- 2)² = 4;
если х = - 3, то у = (- З)² = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

График функции y=-x² симметричен графику функции y=x² относительно оси абсцисс. Это та же парабола с той же вершиной и стой же ось симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.

Как построить график функции y = f (x+L), если известен график функции y = f (x)

Прямоугольник: скругленные углы: чтобы построить график функции , где — заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции вдоль оси x на единиц масштаба влево;
чтобы построить график функции , где — заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции вдоль оси x на единиц масштаба вправо.

Рассмотрим на примерах:

Рисунок 39-40

Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x)

Рассмотрим на примерах:

Рисунок 43-45

Как построить график функции y = f (x+l) + m, если известен график функции y = f (x)

Рассмотрим на примере:

Рисунок 54-55

Функция y=√x , её свойства и график

Для построения графика функции $y=\sqrt{x}$ дадим, как обычно, независимой переменной x несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при x < 0 выражение $\sqrt{x}$ не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y. Разумеется, мы будем давать x такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня:

если x = 0,		то $y=\sqrt{0}=0$ ;
если x = 1,		то $y=\sqrt{1}=1$ ;
если x = 4,		то $y=\sqrt{4}=2$ ;
если x = 6,25 ,		то $y=\sqrt{6,25}=2,5$ ;
если x = 9,		то $y=\sqrt{9}=3$ .

Итак, мы составили таблицу значений функции:

x	0	1	4	6,25	9
y	0	1	2	2,5	3

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9; 3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются на некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции $y=\sqrt{x}$ . Обратите внимание: график касается оси y в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы $y=x^{2}$ , можно без труда с его помощью построить график функции $y=\sqrt{x}$ , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Рисунок 78-79

Функция y=kx², её свойства и график

Графиком функции $y=kx^{2}\; (k\neq0)$ является парабола с вершиной в начале координат;

ось y является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k<0.

Прямоугольник: скругленные углы: Свойства функции при при k > 0

1. Ообласть определения функции есть (-∞, +∞)
2. y = 0 при x = 0; y > 0 при x ≠ 0.
3. — непрерывная функция.
4. yнаим = 0 (достигается при x = 0); унаи6 не существует.
5. Функция возрастает при и убывает при .
6. Функция (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

Прямоугольник: скругленные углы: Свойства функции при k < 0
1. Область определения функции — (-∞;+∞)
2. y = 0 при x = 0; y < 0 при x ≠ 0.
З. — непрерывная функция.
4. yнаиб = 0 (достигается при x = 0), yнаим не существует.
5. Функция возрастает при , убывает при .
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Функция y=k/х , её свойства и график

Графиком функции $y=\frac{k}{x}$ (k ≠ 0) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Прямоугольник: скругленные углы: Свойства функции при k < 0
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = 0.
2. y > 0 при x < 0; у < 0 при x > 0.
3. Функция возрастает на промежутках и .
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках и и претерпевает разрыв при x = 0.

Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график

Графиком квадратичной функции $y=ax^{2}+bx+c$ является парабола, которая получается их параболы $y=ax^{2}$ параллельным переносом.

$y=-2x^{2}+8x-5$ - квадратичная функция, графиком является парабола.

$a=-2,\;\;b=8,\;\;x_{0}=-\frac{b}{2a}=2$ ;
$y_{0}=f(2)=-2\cdot 2^{2}+8\cdot 2-5=3$

Вершина параболы (2; 3), осью параболы- прямая x = 2.

Возьмем на оси x две точки x = 0 и x = 4. Имеем ; построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (4; -5) (рис. 66).

Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Оисунок 66-67

Функции у=хⁿ(nN), их свойства и графики

Функцию вида у = хⁿ, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с натуральным показателем.

Прямоугольник: скругленные углы: Свойства функции у = х4 :

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Четная функция
3. Убывает на луче (-∞; 0], возрастает на луче [0; +∞)
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху
5. yнаим = 0, yнаиб не существует.
6. Непрерывна
7. E(f)=[0; +∞) Составим таблицу значений для этой функции:

Х	0	1	1/2	3/2
Y	0	1	1/16	81/16

Построим точки (0;0), (1;1), (1/2);(1/16), (2; 16), (3/2); (81/16) на координатной плоскости (рис. 75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).

Прямоугольник: скругленные углы: Свойства функции у = х3:
1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Нечетная функция;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна;
7. E(f)=(-∞; +∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

Функции у=х-ⁿ(nN), их свойства и графики

Свойства функции у = х ^-2:

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Четная функция;
3. Убывает на открытом луче(0;+∞), возрастает на открытом луче(-∞; 0) ;
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 (т.е. на открытом луче (-∞; 0)и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0;+∞);
7. E(f)=(0; +∞)
8. Выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.

Свойства функции у = х ^–(2ⁿ⁺¹⁾:

1. D(f)=(-∞; 0)U (0;+∞)

2. Нечетная функция;
3. Убывает на открытом луче (0;+∞)и на открытом луче (-∞; 0)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7. Е(f) = (-∞; 0)U (0;+∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

Функция y = $\sqrt[3]{x}$ , её свойства и график

Построим график функции у= на луче[0;+∞)

Составим таблицу значений.

Х	0	1	8	3 3/8
Y	0	1	2	1,5

Построим точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), (3 3/8; 1,5) на координатной плоскости (рис. 114а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 1146). Мы учитываем при этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху.

Воспользовавшись тем, что у = у= — нечетная функция, добавим к графику, построенному на рис. 1146, ветвь, симметричную ему относительно начала координат. Тогда получим весь график функции у= (рис. 115).

Краткое описание материала

Данное методическое пособие разработано для учеников девятого класса по дисциплине «алгебра». Тема работы: функции. Работа состоит из одиннадцати глав, в каждой из которой описывается виды фукций и график. В частности описывается функция частная, линейная, квадратичная, функция задающая обратную пропорциональность, степенная функция с натуральным и целым показателем отличным от нуля. К каждой функции рассматривается конкретный пример с графиком. Также рассматривается передвижение графиков по оси Х и У.

Алгебра

9 класс

Конспекты

Учебное пособие по алгебре для учеников 9 класса по теме: «функции»

12.02.2014

2701

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Товмасян Валентина Михайловна

На сайте: 10 лет и 4 месяца
Всего просмотров: 17489
Подписчики: 0
Всего материалов: 10

17489
просмотров
10
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Товмасян Валентина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.