Учебное пособие по алгебре

Для учеников 9 класса

по теме:

"Функции"

учителя математики МОУСОШ №24

Товмасян Валентины Михайловны

 

 

 

 

 

 

 

                                          

                                       

                                Содержание

 

1.Линейное уравнение с двумя переменными и его

   график  …………………………………………      2

2.Линейная функция и её график  …………………      3

3.Линейная функция y=kx ..……………………….      4

4.Функция y=x² и её график  ………………………     5

5.Функция y=√x , её свойства и график   …………..       9

6.Функция y=kx², её свойства и график  ………….      11

7. Функция y=k/х , её свойства и график  …………     12

8. Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график  …..     13

9.Функции у=хⁿ  (nN), их свойства и графики …….   14

10. Функции у=х-ⁿ  (nN), их свойства и графики ….   15

11. Функция y = , её свойства и график  ………..    16

 

 

 

 

 

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

аx + by + с = 0

a, b, c — числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0, — линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y). 

Решением уравнения ax +by + c = 0 называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство.

                                  

 

 

 

 

 

Рассмотрим на примере.

4x+3y-12=0

Решение. Будем действовать по алгоритму (с учетом замечания). 
1) Положим x = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим:

2) Положим y = 0, подставим это значение в уравнение 4x + 3y - 12 = 0, получим: 

3) Построим на координатной плоскости xOy две точки: (0; 4) — она найдена

     на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге. 
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график

    (рис. 34). 

 

 

 

 

 

 

 

              

               Линейная функция и её график 

 

Линейное уравнение с двумя переменными x и y всегда можно преобразовать к виду 

y = kx + m

где k, m — числа (коэффициенты), причем k ≠ 0.

 

 Графиком линейной функции y = kx + m является прямая.

 

 

Построим график линейной функции y = 2x + 3.

 

y = 2x + 3 – линейная функция, графиком является прямая.

 

ООФ: х принадлежит (-∞; +∞)

 

 

х	0	1
у	3	5

Если k>0, то линейная функция y = kx+m возрастает.

Если k<0, то линейная функция y = kx+m убывает

 

                       Линейная функция y=kx 

 

Если m = 0, то линейная функция принимает вид y = kx и её называют прямой пропорциональностью.

Коэффициент k- это коэффициент пропорциональности или угловой коэффициент.

Графиком прямой пропорциональности является прямая проходящая через начало координат.

 

 

 

Если k = 0, то формула линейной функции принимает вид y = m.

Графиком является прямая параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0;m)

 

 

 

 

 

                    

                     Функция y=x² и её график 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x²): 

 

если х = 0, то у = О² = 0; 
если х = 1, то у = I² = 1; 
если х = 2, то у = 2² = 4; 
если х = 3, то у = З² = 9; 
если х = - 1, то у = (- I²) — 1; 
если х = - 2, то у = (- 2)² = 4; 
если х = - 3, то у = (- З)² = 9; 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

 

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

 

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а). 
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

 

 

График функции y=-x² симметричен графику функции y=x² относительно оси абсцисс. Это та же парабола с той же вершиной и стой же ось симметрии, но только ветви параболы направлены не вверх, а вниз.

 

 

Как построить график функции y = f (x+L), если известен график функции y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим на примерах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как построить график функции y = f (x) + m, если известен график функции y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим на примерах:

 

 

 

Как построить график функции y = f (x+l) + m, если известен график функции y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим на примере:

 

 

 

 

 

 

 

                           Функция y=√x , её свойства и график

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения графика функции    дадим, как обычно, независимой переменной x несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при x < 0 выражение   не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y. Разумеется, мы будем давать x такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня:

если x = 0,		то   ;
если x = 1,		то   ;
если x = 4,		то   ;
если x = 6,25 ,		то   ;
если x = 9,		то   .

 

Итак, мы составили таблицу значений функции: 

 

 

x	0	1	4	6,25	9
y	0	1	2	2,5	3

 

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9; 3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются на некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции  . Обратите внимание: график касается оси y в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы   , можно без труда с его помощью построить график функции  , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Функция y=kx², её свойства и график 

 

Графиком функции    является парабола с вершиной в начале координат;

ось y является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k<0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 Функция y=k/х , её свойства и график 

 

 

Графиком функции    (k ≠ 0) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Функция y =ax²+bx+c , её свойства и график 

 

Графиком квадратичной функции    является парабола, которая получается их параболы    параллельным переносом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   - квадратичная функция, графиком является парабола.

 ;
 

 

Вершина параболы (2; 3), осью параболы-  прямая x = 2.

Возьмем на оси x две точки x = 0 и x = 4. Имеем  ; построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (4; -5) (рис. 66).

Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

       Функции у=хⁿ  (nN), их свойства и графики

 

Функцию вида у = хⁿ, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с натуральным показателем.

 

 

                                                                                                                  Составим таблицу значений для этой функции:

Х	0	1	1/2	3/2
Y	0	1	1/16	81/16

 

 

 

 

 Построим точки (0;0), (1;1), (1/2);(1/16), (2; 16), (3/2); (81/16)  на координатной плоскости (рис. 75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).

                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

      Функции у=х-ⁿ  (nN), их свойства и графики

 

 

Свойства функции у = х ^-2:

1. D(f)=(-∞; +∞)
2. Четная функция;
3. Убывает на открытом луче(0;+∞), возрастает на открытом луче(-∞; 0) ;
4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 (т.е. на открытом луче (-∞; 0)и при х > 0 (т.е. на открытом луче (0;+∞);
7. E(f)=(0; +∞)
8. Выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.

 

Свойства функции у = х ^–(2n+1):

 

1. D(f)=(-∞; 0)U (0;+∞)

2. Нечетная функция;
3. Убывает на открытом луче (0;+∞)и на открытом луче (-∞; 0)
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Непрерывна при х < 0 и при х > 0;
7. Е(f) = (-∞; 0)U (0;+∞)
8. Выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

 

              Функция y = , её свойства и график 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим график функции у= на луче[0;+∞)

 Составим таблицу значений.

 

Х	0	1	8	3  3/8
Y	0	1	2	1,5

 

Построим точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), (3 3/8; 1,5) на координатной плоскости (рис. 114а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 1146). Мы учитываем при этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху.

Воспользовавшись тем, что у = у= — нечетная функция, добавим к графику, построенному на рис. 1146, ветвь, симметричную ему относительно начала координат. Тогда получим весь график функции у=  (рис. 115).