• Урок в 11 классе по теме:

  Наибольшее и наименьшее значения функции.

  Разработка учителя математики МОУ СОШ №15 г. Твери

  Мусатовой Ирины Ивановны.

  Пояснительная записка:

  Целью этого параграфа является показать применение производной к нахождению наибольших и наименьших значений функции, к решению простейших прикладных задач «на экстремум». Это второй урок по теме. Подборка заданий из материалов ЕГЭ помогает настроить каждого ученика на серьезную работу. Самостоятельная работа с самопроверкой позволяет определить уровень знаний обучающихся как ученику, так и учителю, помогает спланировать деятельность на последующих уроках.

  Цель урока:

  - отработка навыка в решении задач на применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, при исследовании функций

  - ознакомить учащихся с применением производной в решении задач прикладного характера

  Задачи:

  - обобщение, систематизация и углубление знаний по теме

  - предоставление учащимся возможности определить уровень знаний по данной теме

  - развитие логического мышления, познавательных интересов

  Методы:

  Проблемный и частично-поисковый

  Формы:

  Коллективная и индивидуальная

  Тип урока:   комбинированный

  Этапы урока:

  1)    Постановка целей и задач

  2)    Проверка домашнего задания

  3)    Устная фронтальная работа

  4)    Создание проблемной ситуации

  5)    Разрешение ситуации

  6)    Индивидуальная работа с самопроверкой

  7)    Получение домашнего задания

  8)    Подведение итогов

  Используемые ресурсы:

  1)Учебник Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа  10-11 класс

  2)http://mathege.ru/or/ege/Main - материалы открытого банка заданий по математике 2014 года.

   

  Ход урока:

  1) Цель урока: отработка навыка в решении задач на

  применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, при исследовании функций; ознакомиться с применением производной в решении задач прикладного характера.

  2) Проверка домашнего задания (слайды 2 и 3).

  Цель этапа: проверка правильности решения.

  №938(2) найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x+  на отрезке

  = (x)=0 при х=1  и  х=-1

  Интервалу (-2;-0,5) принадлежит одна стационарная точка х=-1

  Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка.

  f(-2)=-2,5   f(-1)=-2  f(-0,5)=-2,5

  Ответ: наибольшее значение функции равно -2

              наименьшее значение функции равно -2,5

  №939(2)найти наибольшее (или) наименьшее значение функции f(x)=на интервале х . Наименьшее или наибольшее значения на интервале функция принимает в точках экстремума.

  (x)=--2x==

  (x)=0  при х=-1

  При х-1 (x)0  , при -1(x)

   х=-1 точка максимума , f(-1)=-3

   Ответ: наибольшее значение функции равно -3

  3) Устная фронтальная работа (слайды 4,5,6,7).

  Цель этапа: отработка навыка в решении задач на исследование функции, подготовка к ЕГЭ.

        1)На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале (-3;10) . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

        2) На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале (-8;3) . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

      3) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8;4) . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

  

       4) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-7;5). В какой точке отрезкафункция принимает наименьшее значение?

  

  4)Создание проблемной ситуации.

  Цель этапа: побуждение учащихся к умственной активности.

  число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых равна а) 15,  б) 13

  С помощью формул Виета учащиеся находят ответы: а) 3 и 12, б) 9 и 4. Задается вопрос: а можно ли найти такую пару чисел, сумма которых окажется наименьшей? Учащиеся выдвигают гипотезу: предлагают пару чисел 6 и 6. Вопрос: как убедиться, что среди множества ответов сумма чисел 6 и 6 действительно наименьшая?

  5) Разрешение ситуации (слайды 8 и 9).

  Цель этапа: поиск решения проблемы и проверка гипотезы.

  Рассмотрим задачу: число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

  Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен . Сумма этих двух чисел равна х+. По условию задачи х.

  Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция f(x)=x+ принимает наименьшее значение на интервале х. (x)=1- ==
  (x)=0 при х=6  и  х=-6.
  На интервале х есть только одна стационарная точка х=6. 
  При переходе через точку х=6 производная меняет знак с – на +, и поэтому х=6 точка минимума.
  Следовательно, наименьшее значение на интервале х функция принимает в точке х=6. Ответ: 36=6*6

  6)Индивидуальная работа с самопроверкой.

  Цель этапа: применение полученных знаний, определение степени усвоения, самоконтроль.

  На партах раздаточный материал по вариантам. Решение записывается в тетрадях, в бланк - ответы. Перед самопроверкой бланки с ответами собираются. Бланк:

  Ф.И. ученика, класс
  вариант
  №1
  №2
  №3
  №4
  №5

   

  Вариант№1 1)На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале         (-2;9). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

          2) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале    (-7;6). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

  

         3) №940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

  Вариант №2   1)На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

         2) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-3;8). В какой точке отрезкафункция принимает наименьшее значение?

  

          3) №941 записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

  По мере выполнения задания учащиеся получают дополнительные карточки (по вариантам):

  1 вариант

  №4 найдите наибольшее значение функции

  У=ln(12x)-12x+2 на отрезке

  №5 найдите точку минимума функции

  У=

  2 вариант 

  4) найдите наименьшее значение функции        у=(х-6) на отрезке

  5) найдите точку максимума функции    у=-2х+9

   

  Для самопроверки слайды № 10,11.

  7)Получение домашнего задания (слайд №12).

  Цель этапа: закрепление изученного, творческое применение знаний в решении нестандартной задачи.

          Домашнее задание: №944(1,2), 943

   Дополнительно (для желающих): найти множество

  значений функции у= (подсказка: вначале постройте ее график)

  8)Подведение итогов урока.

  Цель этапа: выяснить, все ли цели урока достигнуты, проанализировать уровень усвоения материала по данной теме, наметить план дальнейшей работы.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Наибольшее и наименьшее
    значения функции
    Урок в 11 классе
    Подготовила учитель математики МОУ СОШ №15 г.Тверь Мусатова И.И.
    Цель урока: отработка навыка в решении задач на
    применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции
    

  • 

    2 слайд

    Проверка домашнего задания
    №938(2) найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x+ 1 𝑥 на отрезке −2;−0,5
    𝑓 x =1− 1 𝑥 2 = 𝑥 2 −1 𝑥 2 𝑓 (x)=0 при х=1 и х=-1
    Интервалу (-2;-0,5) принадлежит одна стационарная точка х=-1
    Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка.
    f(-2)=-2,5 f(-1)=-2 f(-0,5)=-2,5
    Ответ: наибольшее значение функции равно -2
    наименьшее значение функции равно -2,5
    

  • 

    3 слайд

    №939(2)найти наибольшее (или) наименьшее значение функции f(x)= 2 𝑥 − 𝑥 2 на интервале х<0
    Наименьшее или наибольшее значения на интервале функция принимает в точках экстремума.
    𝑓 (x)=- 2 𝑥 2 -2x= −2−2 𝑥 3 𝑥 2 = −2(1+ х 3 ) 𝑥 2
    𝑓 (x)=0 при х=-1
    При х<-1 𝑓 (x)>0 , при -1<х<0 𝑓 (x)<0
    х=-1 точка максимума
    f(-1)=-3
    Ответ: наибольшее значение функции равно -3
    

  • 

    4 слайд

    
    Устно: 1)На рисунке изображен график  производной функции , определенной на интервале (-3;10) . В какой точке отрезка 0;4 функция принимает наибольшее значение?
    
    
    
    
    На отрезке производная положительна.
    Значит функция возрастает.
    Наибольшее значение функция принимает
    на правом конце отрезка:
    0<4 ,𝑓(0)<𝑓(4)
    Ответ: 4
    

  • 

    5 слайд

    
    2) На рисунке изображен график  производной функции , определенной на интервале (-8;3) . В какой точке отрезка −3;2 функция принимает наибольшее значение?
    
    
    
    На отрезке производная отрицательна.
    Значит функция убывает.
    Наибольшее значение функция
    принимает на левом конце отрезка:
    -3<2, 𝑓(−3)>𝑓(2)
    Ответ: -3
    

  • 

    6 слайд

    
    3) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале(-8;4) . В какой точке отрезка −7;−3 функция принимает наименьшее значение?
    
    На отрезке производная
    положительна. Функция
    Возрастает.
    Наименьшее значение
    Функция принимает на
    Левом конце отрезка:
    -7<−3, 𝑓(−7)<𝑓(−3)
    Ответ:-7
    

  • 

    7 слайд

    
    4) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-7;5). В какой точке отрезка −6;−1 функция принимает наименьшее значение?
    
    Производная отрицательна на данномотрезке. Функция убывает.
    Наименьшее значение функция принимает на правом конце отрезка:
    -6<−1, 𝑓(−6)>𝑓(−1)
    Ответ: -1
    

  • 

    8 слайд

    Рассмотрим задачу: число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
    Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен 36 х .Сумма этих двух чисел равна х+ 36 х . По условию задачи х>0.
    Задача свелась к нахождению такого значения х , при котором функция f(x)=x+ 36 𝑥 принимает наименьшее значение на интервале х>0
    

  • 

    9 слайд

    𝑓 (x)=1- 36 𝑥 2 = 𝑥 2 −36 𝑥 2 = (𝑥−6)(𝑥+6) 𝑥 2
    𝑓 (x)=0 при х=6 и х=-6
    На интервале х>0 есть только одна стационарная точка х=6
    При переходе через точку х=6 производная меняет знак с – на + , и поэтому х=6 точка минимума.
    Следовательно, наименьшее значение на интервале х>0 функция принимает в точке х=6.
    Ответ: 36=6×6
    

  • 

    10 слайд

    Задания для самостоятельного решения
    (раздаточный материал на партах).
    Вариант№1
    1)На рисунке изображен график  производной функции , определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка 2;6 функция принимает наибольшее значение?
    
    2) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-7;6). В какой точке отрезка −1;5 функция принимает наименьшее значение?
    
    3) №940
    

  • 

    11 слайд

    Вариант №2
    1) На рисунке изображен график  производной функции , определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка −4;1 функция принимает наибольшее значение?
    
    2) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-3;8). В какой точке отрезка −2;3 функция принимает наименьшее значение?
    
    3) №941
    

  • 

    12 слайд

    Дополнительное задание (по материалам ЕГЭ)
    №4 найдите наибольшее значение функции
    У=ln(12x)-12x+2 на отрезке 1 24 ; 5 24
    №5 найдите точку минимума функции
    У= (х−12) 2 е х−3
    1
    12
    

  • 

    13 слайд

    Проверка
    Вариант №1 1) 6 , 2) 5 , 3) 50=25+25 так как
    f(x)= 𝑥 3 + (50−𝑥) 3
    𝑓 (x)=3 𝑥 2 −3 (50−𝑥) 2 =300x-7500
    𝑓 (x)=0 при х=25. При переходе через точку х=25 производная меняет знак с – на +. Поэтому х=25 точка минимума.
    Вариант №2 1) -4 , 2) -2, 3) 625=25×25 так как
    f(x)= 𝑥 2 +( 625 𝑥 ) 2 , x>0
    𝑓 (x)=2x- 2× 625 2 𝑥 3 = 2(𝑥−25)(𝑥+25)( 𝑥 2 +625) 𝑥 3
    𝑓 (x)=0 при х=25, х=-25. Интервалу х>0 принадлежит точка х=25. При переходе через точку х=25 производная меняет знак с – на +. Поэтому х=25 точка минимума.
    

  • 

    14 слайд

    Подведение итогов урока. Выставление оценок.
    
    
    Домашнее задание: №944(1,2), 963
    Дополнительно(для желающих): найти множество
    Значений функции у=
    Спасибо за урок!
    

  • 

    15 слайд

    Используемые материалы
    Учебник Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11 класс
    
    http://mathege.ru/or/ege/Main - материалы открытого банка заданий по математике 2014 года.
    

• Вариант№1 1)На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале         (-2;9). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

          2) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале    (-7;6). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

  

         3) №940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

  Ф.И. ученика, класс
  вариант
  №1
  №2
  №3
  №4
  №5

  Вариант №2   1)На рисунке изображен график  производной функции, определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

  

         2) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-3;8). В какой точке отрезкафункция принимает наименьшее значение?

  

          3) №941 записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

  Ф.И. ученика, класс
  вариант
  №1
  №2
  №3
  №4
  №5

  1 вариант

  №4 найдите наибольшее значение функции

  У=ln(12x)-12x+2 на отрезке

  №5 найдите точку минимума функции

  У=

   

   

  2 вариант 

  4) найдите наименьшее значение функции        у=(х-6) на отрезке

  5) найдите точку максимума функции    у=-2х+9

   

Краткое описание материала