Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
КОНУС
Площадь поверхности
конуса. Объем конуса.
Разработку урока подготовила учитель математики МОУ «Кадетская школа № 16» Гунина Елена Степановна
г.Саратов
2 слайд
Тип урока: лекция
Цели и задачи: ввести понятие конуса, элементов конуса, виды конических сечений прямого кругового конуса, понятие касательной плоскости к конусу, понятие усечённого конуса;
вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усечённого конуса; рассмотреть три доказательства для вычисления объёма конуса; научить учащихся решать задачи по этой теме.
Ход урока:
Как вы считаете на что похож конус?
Приведите примеры .
3 слайд
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
4 слайд
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 443) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.443).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.
5 слайд
У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444 и 445). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445).
Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.
Рис. 446 и 447
6 слайд
7 слайд
Касательной плоскостью к конусу называется
плоскость, проходящая через образующую конуса
и перпендикулярная плоскости осевого сечения,
содержащей эту образующую (рис.450).
8 слайд
9 слайд
Задача №1.
Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины.
Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.
Задача № 2.
Площадь осевого сечения конуса равна Q. Найти объём если угол между образующей и плоскостью основания равен альфа .
10 слайд
Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую (Sбок=πRL, где R—радиус основания конуса, L— длина образующей).
Если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих SB, то в результате мы получим круговой сектор SBB1который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус полученного кругового сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (рис. 75, а, б, в).
11 слайд
Площадь кругового сектора SBB1 равна π /360*a, где а —
градусная мера дуги ВВ. Длина дуги ВВS равна 2πR= πL/180*а, тогда
а = 360R/L. Следовательно, площадь кругового сектора SBB1 равна:
πRL. Площадь кругового сектора SBB1 равна площади боковой поверхности конуса.
Sбок = πRL
Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:
T = πRL + π = πR(L + R).
B, В1
S
12 слайд
Задача № 3
Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании дугу в a радиан (0 < a < 180). Высота конуса равна h, а радиус R.
Найти:
а ) площадь сечения конуса указанной плоскостью;
б ) площадь боковой поверхности конуса.
13 слайд
А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольного. Треугольник АОВ - равнобедренный (АО = ОВ =R) и ОС - высота в треугольнике АОВ (по свойству высоты OС перпендикулярна АВ)
ВС = sin( а/2)*R (sin(а/2) = BC/R)
ОС = cos(а/2)*R (cos(а/2) = OC/R)
Из РОС ( прямоугольный, т.к. РО - высота в конусе по условию)
Тогда S сечения конуса =1/2*PC*АB .Так как треугольник РАВ - равнобедренный, РС - высота, АВ = АС + СВ, АС = ВС, следовательно, S сечения конуса =PC*BС
Б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. S б = π *R*L, где L - образующая конуса. Из РОА ( прямоугольный, так как РО - высота по условию) РА = L
S б = π *R*
Ответ: а)
б) S б = π *R*
14 слайд
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.
Боковые ребра конуса являются образующими конуса.
15 слайд
Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса?
16 слайд
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
Sбок = πL(R + r).
Площадь полной поверхности усеченного конуса равна
S = πL(R + r) + π + π .
17 слайд
Пусть дан конус с объёмом V , радиусом основания R , высотой H .
1. Вычисление объёма конуса с помощью определённого интеграла:
где S(x) - площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ox (ось Ox проходит через ось конуса).
2. За величину объёма конуса принимается предел, к которому стремится объём правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон её основания.
3. Объём конуса равен объёму тела вращения.
18 слайд
Объем конуса
1-е доказательство (рис. 1).
19 слайд
2-е доказательство.
За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.
20 слайд
3-е доказательство (рис. 2).
21 слайд
Решение задач на объем конуса
Задача 4. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Задание на дом
1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найти объем тела вращения, если гипотенуза равна 2a.
2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
3. Задачи группы В11:
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса , деленный на π.
2. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса , если его образующую увеличить в 3 раза?
Задачи группы В11:
Найдите объем V конуса , образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите .
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Урок - лекция с привлечением к работе учащихся, предлагая им не только вести записи в тетради, но и самим "дать пояснения и сформулировать определение некоторых понятий.
В материал урока вошли не только вопросы теории по данной теме, но и рассмотрено несколько практических задач, учащимся предлогается рассмотреть задачи группы «В» из сборников по подготовке к ЕГЭ.
Домашнее задание сотавлено таким образом, чтобы учащиеся при его выполнении могли, при испытании затруднений, воспользоваться наглядными примерами, которые были рассмотрены во время урока.
6 656 291 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Гунина Елена Степановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.