124170
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект по геометрии для 11 класса «Конус. Площадь поверхности конуса. Объем конуса»

Конспект по геометрии для 11 класса «Конус. Площадь поверхности конуса. Объем конуса»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Разработку урока подготовила учитель математики МОУ «Кадетская школа № 16» Гу...
Тип урока: лекция Цели и задачи: ввести понятие конуса, элементов конуса, вид...
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом лю...
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга...
У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого...
Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - кр...
Касательной  плоскостью  к конусу называется  плоскость, проходящая через обр...
Задача №1. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии...
Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины дли...
Площадь   кругового   сектора  SBB1 равна  π /360*a,   где   а — градусная ме...
Задача № 3 Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании...
А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольног...
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от не...
Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса?
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна Sбок = πL(R + r). Площадь...
Пусть дан конус с объёмом V , радиусом основания R , высотой H . 1. Вычислени...
Объем конуса                      1-е доказательство (рис. 1).               ...
2-е доказательство. За величину объема конуса принимается предел, к которому...
3-е доказательство (рис. 2).                                           
Решение задач на объем конуса Задача 4. Авиационная бомба среднего калибра да...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Разработку урока подготовила учитель математики МОУ «Кадетская школа № 16» Гу
Описание слайда:

Разработку урока подготовила учитель математики МОУ «Кадетская школа № 16» Гунина Елена Степановна г.Саратов

2 слайд Тип урока: лекция Цели и задачи: ввести понятие конуса, элементов конуса, вид
Описание слайда:

Тип урока: лекция Цели и задачи: ввести понятие конуса, элементов конуса, виды конических сечений прямого кругового конуса, понятие касательной плоскости к конусу, понятие усечённого конуса;  вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усечённого конуса; рассмотреть три доказательства для вычисления объёма конуса; научить учащихся решать задачи по этой теме. Ход урока: Как вы считаете на что похож конус? Приведите примеры .

3 слайд Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом лю
Описание слайда:

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

4 слайд Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга
Описание слайда:

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 443) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.443). Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

5 слайд У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого
Описание слайда:

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444 и 445). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445). Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность  - по окружности с центром на оси конуса. Рис. 446 и 447

6 слайд Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - кр
Описание слайда:

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс ( рис.87 ). Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола ( рис.88 ). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей ( рис.89 ).В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).                                                                                                                                                                                                                                                                           Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.  

7 слайд Касательной  плоскостью  к конусу называется  плоскость, проходящая через обр
Описание слайда:

Касательной  плоскостью  к конусу называется  плоскость, проходящая через образующую  конуса  и  перпендикулярная плоскости  осевого сечения,  содержащей эту образующую (рис.450).

8 слайд
Описание слайда:

9 слайд Задача №1. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии
Описание слайда:

Задача №1. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H. Задача № 2. Площадь осевого сечения конуса равна Q.  Найти объём если угол между образующей и плоскостью основания равен альфа .

10 слайд Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины дли
Описание слайда:

Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую (Sбок=πRL, где R—радиус основания  конуса, L— длина образующей). Если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих SB, то в результате мы получим круговой сектор SBB1который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус полученного кругового сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (рис. 75, а, б, в).

11 слайд Площадь   кругового   сектора  SBB1 равна  π /360*a,   где   а — градусная ме
Описание слайда:

Площадь   кругового   сектора  SBB1 равна  π /360*a,   где   а — градусная мера дуги ВВ. Длина дуги ВВS равна 2πR= πL/180*а, тогда а = 360R/L. Следовательно, площадь кругового сектора SBB1 равна: πRL. Площадь кругового сектора SBB1 равна площади боковой поверхности конуса. Sбок = πRL Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь: T = πRL + π = πR(L + R). B, В1 S

12 слайд Задача № 3 Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании
Описание слайда:

Задача № 3 Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании дугу в a радиан (0 < a < 180). Высота конуса равна h, а радиус R. Найти: а ) площадь сечения конуса указанной плоскостью; б ) площадь боковой поверхности конуса.

13 слайд А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольног
Описание слайда:

А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольного. Треугольник АОВ - равнобедренный (АО = ОВ =R) и ОС - высота в треугольнике АОВ (по свойству высоты OС перпендикулярна АВ) ВС = sin( а/2)*R (sin(а/2) = BC/R) ОС = cos(а/2)*R (cos(а/2) = OC/R) Из РОС ( прямоугольный, т.к. РО - высота в конусе по условию)                           Тогда S сечения конуса =1/2*PC*АB .Так как треугольник РАВ - равнобедренный, РС - высота, АВ = АС + СВ, АС = ВС, следовательно, S сечения конуса =PC*BС                                       Б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. S б = π *R*L, где L - образующая конуса. Из РОА ( прямоугольный, так как РО - высота по условию) РА = L                 S б = π *R*           Ответ: а)                                       б) S б = π *R*          

14 слайд Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от не
Описание слайда:

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся  часть называется усеченным конусом.   Боковые ребра конуса являются образующими конуса.

15 слайд Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса?
Описание слайда:

Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса?

16 слайд Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна Sбок = πL(R + r). Площадь
Описание слайда:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна Sбок = πL(R + r). Площадь полной поверхности усеченного конуса равна S = πL(R + r) + π + π .

17 слайд Пусть дан конус с объёмом V , радиусом основания R , высотой H . 1. Вычислени
Описание слайда:

Пусть дан конус с объёмом V , радиусом основания R , высотой H . 1. Вычисление объёма конуса с помощью определённого интеграла: где S(x) - площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ox (ось Ox проходит через ось конуса). 2. За величину объёма конуса принимается предел, к которому стремится объём правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон её основания. 3. Объём конуса равен объёму тела вращения.

18 слайд Объем конуса                      1-е доказательство (рис. 1).               
Описание слайда:

Объем конуса                      1-е доказательство (рис. 1).                                                                                      

19 слайд 2-е доказательство. За величину объема конуса принимается предел, к которому
Описание слайда:

2-е доказательство. За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.                                                                        

20 слайд 3-е доказательство (рис. 2).                                           
Описание слайда:

3-е доказательство (рис. 2).                                           

21 слайд Решение задач на объем конуса Задача 4. Авиационная бомба среднего калибра да
Описание слайда:

Решение задач на объем конуса Задача 4. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг? Задание на дом 1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найти объем тела вращения, если гипотенуза равна 2a. 2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро? 3. Задачи группы В11: Диаметр основания  конуса  равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем   конуса , деленный на  π. 2. Во сколько раз увеличится  площадь  боковой поверхности  конуса , если его образующую увеличить в 3 раза? Задачи группы В11: Найдите  объем  V  конуса , образующая которого равна 2  и  наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите  .

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Урок - лекция с привлечением к работе учащихся, предлагая им не только вести записи в тетради, но и самим "дать пояснения и сформулировать определение некоторых понятий.

В материал урока вошли не только вопросы теории по данной теме, но и рассмотрено несколько практических задач, учащимся предлогается рассмотреть задачи группы «В» из сборников по подготовке к ЕГЭ.

Домашнее задание сотавлено таким образом, чтобы учащиеся при его выполнении могли, при испытании затруднений, воспользоваться наглядными примерами, которые были рассмотрены во время урока.

Общая информация

Номер материала: 32560022755

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.