734720
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрактика: «Исследование функции с помощью производной»

Практика: «Исследование функции с помощью производной»

библиотека
материалов
Исследование функций и построение графиков Практический материал
Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен...
4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой...
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 -...
6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка,...
7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x....
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследо...
Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f)...
4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём п...
Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так чт...
Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Зна...
Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастание...
Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу график...
Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точ...
Спасибо за внимание
Enjoybook

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Исследование функций и построение графиков Практический материал
Описание слайда:

Исследование функций и построение графиков Практический материал

2 слайд Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен
Описание слайда:

Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось 2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

3 слайд 4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой
Описание слайда:

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

4 слайд 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 -
Описание слайда:

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат. Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

5 слайд 6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка,
Описание слайда:

6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.

6 слайд 7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x.
Описание слайда:

7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.

7 слайд 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследо
Описание слайда:

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

8 слайд Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f)
Описание слайда:

Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

9 слайд 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём п
Описание слайда:

4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при . При имеем:

10 слайд Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так чт
Описание слайда:

Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox. 5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и .

11 слайд Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex &gt;0 при всех x. Зна
Описание слайда:

Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при . 6) Вычислим производную: Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.

12 слайд Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастание
Описание слайда:

Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Эскиз графика функции f(x)

13 слайд Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу график
Описание слайда:

Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную: Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.

14 слайд Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точ
Описание слайда:

Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие: 8). Осталось построить окончательный чертёж: График функции (x2 – 2x)ex .

15 слайд Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Enjoybook
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

"Описание материала:

Данная презентация поможет студентам разобраться с таким материалом как исследование функции с использованием такого важного понятия как производная. В презентации разобраны два конкретных примера, где применены все пункты исследования.

Кроме основных пунктов исследования хорошо разбирается пункт нахождения асимптот данных функций, подробно рассматриваются пункты монотонности функции и нахождения экстремумов с помощью второй производной, показывается исследование на перегиб, строятся графики заданных функций.

Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Enjoybook
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.