Инфоурок Математика ПрезентацииПрактика: «Исследование функции с помощью производной»

Практика: «Исследование функции с помощью производной»

Скачать материал
Скачать материал "Практика: «Исследование функции с помощью производной»"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Ландшафтный дизайнер

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Исследование функций и построение графиков Практический материал

    1 слайд

    Исследование функций и построение графиков
    Практический материал

  • Исследуем функцию                         и построим её график. 1). Поскольку...

    2 слайд

    Исследуем функцию и построим её график.
    1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось
    2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
    Периодической функция не является.
    3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.


  • 4). Найдём наклонные асимптоты при                   в виде...

    3 слайд

    4). Найдём наклонные асимптоты при в виде
    . Имеем:




    Таким образом, асимптотой как при , так и при
    служит прямая .

  • 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:      
    f(0) = 0, пр...

    4 слайд

    5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:
    f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат.
    Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

  • 6) Найдём производную:



     Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех          ; ед...

    5 слайд

    6) Найдём производную:



    Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.


  • 7) Найдём вторую производную:


 
Знаменатель этой дроби положителен при всех...

    6 слайд

    7) Найдём вторую производную:



    Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.


  • 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследо...

    7 слайд

    8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

  • Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f)...

    8 слайд

    Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.
    1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
    2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
    3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

  • 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём п...

    9 слайд

    4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем


    так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
    При имеем:

  • Теперь найдём значение b по формуле                            . 
Имеем:...

    10 слайд

    Теперь найдём значение b по формуле .
    Имеем:



    Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
    5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и
    .




  • Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex &gt;0 при всех x. Зна...

    11 слайд

    Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при .
    6) Вычислим производную:

    Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
    На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.



  • Значение функции в этой точке равно


 В точке √2 убывание сменяется возраста...

    12 слайд

    Значение функции в этой точке равно


    В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

    Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

    Эскиз графика
    функции f(x)



  • Становится очевидно, что область значений функции -- это 

7) По эскизу граф...

    13 слайд


    Становится очевидно, что область значений функции -- это

    7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:

    Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.

  • Ясно, что на интервале                                      функция будет вог...

    14 слайд

    Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие:



    8). Осталось построить окончательный чертёж:




    График функции (x2 – 2x)ex .



  • Спасибо за внимание

    15 слайд

    Спасибо за внимание

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Данная презентация поможет студентам разобраться с таким материалом как исследование функции с использованием такого важного понятия как производная. В презентации разобраны два конкретных примера, где применены все пункты исследования.

Кроме основных пунктов исследования хорошо разбирается пункт нахождения асимптот данных функций, подробно рассматриваются пункты монотонности функции и нахождения экстремумов с помощью второй производной, показывается исследование на перегиб, строятся графики заданных функций.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 688 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.03.2014 1150
    • PPTX 667.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Тетеркина-Чамина Лариса Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 10 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 57676
    • Всего материалов: 26

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 44 человека из 22 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 45 человек из 27 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 73 человека из 30 регионов

Мини-курс

Договоры и их правовое регулирование

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психоаналитический подход: изучение определенных аспектов психологии личности

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Жизненный цикл продукта и методология управления проектами

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе