Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Презентации / Практика: «Исследование функции с помощью производной»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Практика: «Исследование функции с помощью производной»

библиотека
материалов
Исследование функций и построение графиков Практический материал
Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен...
4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой...
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 -...
6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка,...
7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x....
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследо...
Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f)...
4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём п...
Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так чт...
Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Зна...
Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастание...
Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу график...
Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точ...
Спасибо за внимание
15 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Исследование функций и построение графиков Практический материал
Описание слайда:

Исследование функций и построение графиков Практический материал

№ слайда 2 Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен
Описание слайда:

Исследуем функцию и построим её график. 1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось 2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

№ слайда 3 4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой
Описание слайда:

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

№ слайда 4 5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 -
Описание слайда:

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат. Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

№ слайда 5 6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка,
Описание слайда:

6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.

№ слайда 6 7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x.
Описание слайда:

7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.

№ слайда 7 8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследо
Описание слайда:

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

№ слайда 8 Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f)
Описание слайда:

Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график. 1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

№ слайда 9 4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём п
Описание слайда:

4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при . При имеем:

№ слайда 10 Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так чт
Описание слайда:

Теперь найдём значение b по формуле . Имеем: Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox. 5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и .

№ слайда 11 Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex &gt;0 при всех x. Зна
Описание слайда:

Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при . 6) Вычислим производную: Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.

№ слайда 12 Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастание
Описание слайда:

Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Эскиз графика функции f(x)

№ слайда 13 Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу график
Описание слайда:

Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную: Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.

№ слайда 14 Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точ
Описание слайда:

Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие: 8). Осталось построить окончательный чертёж: График функции (x2 – 2x)ex .

№ слайда 15 Спасибо за внимание
Описание слайда:

Спасибо за внимание

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Данная презентация поможет студентам разобраться с таким материалом как исследование функции с использованием такого важного понятия как производная. В презентации разобраны два конкретных примера, где применены все пункты исследования.

Кроме основных пунктов исследования хорошо разбирается пункт нахождения асимптот данных функций, подробно рассматриваются пункты монотонности функции и нахождения экстремумов с помощью второй производной, показывается исследование на перегиб, строятся графики заданных функций.

Автор
Дата добавления 05.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров386
Номер материала 33372030508
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх