Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Исследование функций и построение графиков
Практический материал
2 слайд
Исследуем функцию и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось
2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
3 слайд
4). Найдём наклонные асимптоты при в виде
. Имеем:
Таким образом, асимптотой как при , так и при
служит прямая .
4 слайд
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:
f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат.
Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.
5 слайд
6) Найдём производную:
Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.
6 слайд
7) Найдём вторую производную:
Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.
7 слайд
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
8 слайд
Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.
1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.
9 слайд
4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем
так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
При имеем:
10 слайд
Теперь найдём значение b по формуле .
Имеем:
Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и
.
11 слайд
Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при .
6) Вычислим производную:
Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка -√2 - точка локального максимума.
12 слайд
Значение функции в этой точке равно
В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:
Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:
Эскиз графика
функции f(x)
13 слайд
Становится очевидно, что область значений функции -- это
7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:
Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.
14 слайд
Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие:
8). Осталось построить окончательный чертёж:
График функции (x2 – 2x)ex .
15 слайд
Спасибо за внимание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Данная презентация поможет студентам разобраться с таким материалом как исследование функции с использованием такого важного понятия как производная. В презентации разобраны два конкретных примера, где применены все пункты исследования.
Кроме основных пунктов исследования хорошо разбирается пункт нахождения асимптот данных функций, подробно рассматриваются пункты монотонности функции и нахождения экстремумов с помощью второй производной, показывается исследование на перегиб, строятся графики заданных функций.
6 609 688 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Тетеркина-Чамина Лариса Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.