• 

  1 слайд

  Исследование функций и построение графиков
  Практический материал
  

• 

  2 слайд

  Исследуем функцию и построим её график.
  1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось
  2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
  Периодической функция не является.
  3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
  
  
  

• 

  3 слайд

  4). Найдём наклонные асимптоты при в виде
  . Имеем:
  
  
  
  
  Таким образом, асимптотой как при , так и при
  служит прямая .
  
  

• 

  4 слайд

  5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:
  f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oy в начале координат.
  Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.
  
  

• 

  5 слайд

  6) Найдём производную:
  
  
  
  Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0 имеет горизонтальную касательную.
  
  
  

• 

  6 слайд

  7) Найдём вторую производную:
  
  
  
  Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0, √3, являются точками перегиба.
  
  
  

• 

  7 слайд

  8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
  

• 

  8 слайд

  Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.
  1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.
  2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.
  3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.
  
  

• 

  9 слайд

  4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент k найдём по формуле : при имеем
  
  
  так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при .
  При имеем:
  
  

• 

  10 слайд

  Теперь найдём значение b по формуле .
  Имеем:
  
  
  
  Таким образом, k=0 и b=0, так что при асимптота имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
  5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и
  .
  
  
  
  
  

• 

  11 слайд

  Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)<0 при .
  6) Вычислим производную:
  
  Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество
  На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание сменяется убыванием, значит, точка   -√2 - точка локального максимума.
  
  
  
  

• 

  12 слайд

  Значение функции в этой точке равно
  
  
  В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:
  
  Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:
  
  Эскиз графика
  функции f(x)
  
  
  
  

• 

  13 слайд

  
  Становится очевидно, что область значений функции -- это
  
  7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:
  
  Решим неравенство , эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и . На этих интервалах функция выпукла.
  

• 

  14 слайд

  Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и   -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие:
  
  
  
  8). Осталось построить окончательный чертёж:
  
  
  
  
  График функции (x2 – 2x)ex .
  
  
  
  

• 

  15 слайд

  Спасибо за внимание
  

Краткое описание материала