Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»

 

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель:

-                   Образовательная: формирование представления перпендикулярных прямых в пространстве, формирование умения представлять прямую, перпендикулярную к плоскости и решать задачи, применяя знания о перпендикулярности прямой и плоскости.

-                   Развивающая: формирование пространственного воображения, логического мышления, памяти, внимания, интереса к предмету.

-                   Воспитательная: формирование у учащихся аккуратности, ответственного отношения к обучению, культуры общения.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация, учебники.

Литература:      

1)      Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.

2)      Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.

3)      Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

 

План урока:

1.                 Организационный момент (2 мин.)

2.                 Актуализация опорных знаний (5 мин.)

3.                 Объяснение нового материала (13 мин.)

4.                 Закрепление изученного материала (20 мин.)

5.                 Домашнее задание (2 мин.)

6.                 Подведение итогов (3 мин.)

 

Ход урока:

1.                 Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к уроку, отмечает отсутствующих.

Учитель: Откройте свои тетради, запишите число и тему сегодняшнего урока.

Слайд 1

Запись на доске и в тетрадях:                                                   Число

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Слайд 2

Учитель: Цель нашего сегодняшнего урока заключается в том, чтобы вы познакомились с новым материалом и научились применять его к решению задач. Данная тема пригодится вам в дальнейшем, так как широко применяется в жизни, например, при ремонтных работах дома, чтобы подогнать уровень, например, пола и грани стены. Также задачи с применением знаний о перпендикулярности прямых и плоскостей могут встретиться вам при решении ЕГЭ по математике в следующем году.

Откройте страницу 34 в своих учебниках. Первый пункт параграфа это – «Перпендикулярность прямых в пространстве». Нам нужно выучить определение перпендикулярных прямых в пространстве и лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

2.                 Актуализация опорных знаний.

Слайд 3

Учитель: Для начала давайте вспомним с вами, как могут располагаться прямые на плоскости.

Ученик: Они могут быть параллельными и пересекающимися.

Учитель: В пространстве же прямые могут быть параллельными, могут – пересекающимися, а еще могут скрещиваться. Посмотрите на слайд! Изображенные прямые называются скрещивающимися.

Теперь давайте вспомним определение перпендикулярных прямых, которое мы изучали в курсе планиметрии и их свойство.

Слайд 4

(Просит одного ученика прочитать текст со слайда)

3.                 Объяснение нового материала.

Слайд 5

Учитель: Теперь прочитаем определение перпендикулярных прямых, которое представлено в курсе стереометрии.

(Просит одного ученика прочитать со слайда)

Ученик: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Слайд 6

Учитель: Итак, прямые в пространстве бывают параллельными, бывают пересекающимися и бывают скрещивающимися. На слайде прямые а и b – пересекающиеся, а прямые а и с – скрещивающиеся.

Слайд 7

Учитель: Теперь прочитаем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

(Просит одного ученика прочитать лемму со слайда)

Слайд 8

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Давайте выделим в этой лемме условие и заключение. Где в этой лемме условие?

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перепендикулярна к третьей…

Учитель: А где заключение?

Ученик: … то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: В учебниках эту лемму вы найдете на странице 34.

Слайд 9

Учитель: Следующий пункт в данном параграфе – «Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости». Нам необходимо выучить определение прямой, перпендикулярной к плоскости, прямую и обратную теоремы и понять их смысл.

Слайд 10

Учитель: Прочитайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.

(Просит одного ученика прочитать определение со слайда)

Ученик: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Слайд 11

Учитель: Прочитайте теорему, которую вы должны будете выучить, чтобы потом применять к решению задач.

(Просит одного ученика прочитать теорему)

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Начертите в своих тетрадях две параллельные прямые. После начертите прямую, которая перпендикулярна к одной из этих прямых. По рисунку видно, что и другая прямая будет перпендикулярна к этой прямой. У вас получится чертеж примерно такой же, как на слайде (см. слайд 11).

Учитель: Прочитайте следующую теорему.

(Просит одного ученика прочитать теорему со слайда)

Слайд 12

Ученик: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: Теоремы вам нужно будет выучить. Доказательства теорем рассмотрите дома самостоятельно.

Слайд 13

4.                 Закрепление изученного материала

Учитель: Откройте страницу 38 учебника и начинаем решать задачи. Первый номер, который мы решим – это номер 116.

Ребята, которые решают задачи вперед нас, приступайте к следующему номеру.

(Вызывает одного ученика)

Запись на доске и в тетрадях:

№116

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед;

а) ⦟BAD=90°

Доказать: DC┴B₁C₁ и АВ┴A₁D₁;

б) АВ┴DD₁

                                                                                                  Доказать: АВ┴СС₁ и DD₁┴А1В₁

Решение:

а) все грани параллелепипеда – параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Т.к. ⦟А=90° =˃ ⦟С° =˃ ABCD – прямоугольник. DC┴BC

В плоскости BB₁C₁C: B₁C₁║BC, DC┴BC =˃ DC┴B₁C₁.

В плоскости AA₁D₁D: A₁D₁║AD. Итак, AB┴AD, AD║A₁D₁ =˃ AB┴A₁D₁.

б) Т.к. AB┴DD₁ и DD₁║CC₁ =˃ AB┴CC₁.

Т.к. DD₁┴AB и AB║A₁B₁ =˃ DD₁┴A₁B₁.

 

Учитель: Решим следующий номер.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

№117

Дано:

ABCD – тетраэдр,

МϵАВ, АМ=ВМ, NϵAC,

AN=CN.

Доказать: AD┴MN

 

Доказательство:

MN║BC (как средняя линия треугольника АВС) =˃ AD┴MN (по лемме).

 

Учитель: Теперь решим номер 118.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

№118

Решение:

а┴α =˃ а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Чтобы прямая принадлежала плоскости α достаточно, чтобы 2 точки прямой принадлежали плоскости α.

⦟АОВ = 90° (т.к. ВО ϵα, а┴ВО)

⦟МОС = 90° (т.к. ОСϵα, а┴ОС)

⦟DAM ≠ 90° (т.к. DA не принадлежит α)

⦟DOA = 90° (т.к. DOϵα, α┴DO)

⦟ВМО ≠ 90° (т.к. ВМ не принадлежит α)

 

Учитель: Решим номер 119.

(Вызывает одного ученика к доске)

Запись на доске и в тетрадях:

№119

Дано:

ОА┴OBC, т.ОϵAD,

АО = OD

Доказать:

а) AB = DB

 

 

Решение:

а) Рассмотрим  ΔABD. AD┴OB (т.к. OBϵBOC и AD┴BOC) =˃ ОВ – высота треугольника ABD.

AO = OD =˃ ОВ – медиана треугольника ABD =˃ ΔABD – равнобедренный =˃ AB = BD.

 

5.                 Домашнее задание

Учитель: Откройте свои дневники и запишите домашнее задание на дом.

Запись на доске и в дневниках: №119(б), выучить определения и теоремы.

Решение домашнего задания:

 

Дано:

ОА┴OBC, т.ОϵAD,

АО = OD

Доказать: АВ = АС, если ОВ = ОС

 

 

 

 

Решение:

Рассмотрим ΔАОВ и ΔАОС: АО┴ВОС, АО┴ВО, ОСϵВОС =˃ АО┴ВО и АО┴ОС =˃ ⦟АОС = ⦟АОВ = 90°

АО – общая сторона и ОВ = ОС (по условию) =˃ ΔАОВ = ΔАОС (по 1ому признаку) =˃ АС = СВ

 

6.                 Подведение итогов

Учитель: Сегодня мы с Вами изучили новую тему «Перпендикулярность прямой и плоскости». Сформулируйте еще раз лемму, которую мы изучили сегодня с вами!

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Сформулируйте теорему об одной из двух прямых перпендикулярных к плоскости!

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Сформулируйте теорему, обратную к данной!

Ученик: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: Все определения, теоремы и лемму вам нужно будет выучить.

(В конце урока учитель выставляет оценки)