Математическая конференция для 6 классов

«ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕРТРИИ»

(Математическая конференция для 6 классов)

Алгебра.

         1.Буквенные выражения.

         Алгебра есть раздел или часть большой и очень важной  науки – математики.

Разделами математики являются также и знакомая вам арифметика и геометрия. Алгебра возникла в глубокой древности. Жизнь постоянно ставила перед людьми задачи: определить площадь участка, найти объем тела или объем кучи зерна. Среди этих различных задач много было похожих, или,  как говорят, однотипных. Людям нужны были способы решения однотипных арифметических задач, и они находили их в разное время, в разных странах. Способы эти, или как говорят, методы решения постепенно упрощались и развивались. Так в течение многих сотен лет и была создана та алгебра, которую мы теперь будем изучать.

         Долгое время алгебра была частью арифметике. В арифметике были собраны постепенно накопленные правила решения различных задач, которые жизнь ставила перед людьми. Эти правила решения различных задач сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, сначала только целых, а потом и дробных. С течением времени этих четырех действий самих чисел (целых и дробных) оказалось недостаточно. Возникли новые числа и новые действия над ними, о которых мы ещё будем иметь возможность говорить.

         Постепенно между алгеброй и арифметикой пролегла грань. К арифметике отнесли все, что относится к действиям с заданными числами, а к алгебре – учение об уравнениях, изучение новых видов чисел, изучение общих свойств числовых систем. Алгебра родилась из арифметики. Но с развитием общества развивалась техника, промышленность, транспорт. Перед алгеброй становились новые задачи, создавались новые методы в науке и на основе алгебры постепенно возникли и развивались большие математические науки – анализ, векторное счисление и др.

         Арифметика тоже не прекратила своего развития; из нее, например, выросла новая важная наука – теория чисел.

         2.Алгебра и Арифметика.

         Чем отличается алгебра от арифметики? В задачах арифметики по известным или данным числам находится неизвестное число. Прежде чем дать ответ на вопрос задачи, мы получаем ряд промежуточных чисел, которые не имеют самостоятельного значения. Например, два велосипедиста движутся навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 100км., а второй за полтора часа – 18км. Через сколько часов велосипедисты встретятся?

         Чтобы ответить на вопрос задачи, мы сначала найдем скорость каждого велосипедиста, потом узнаем путь, проходимый ими в один час, и уж потом найдем ответ на вопрос задачи.

         Так решаются задачи в арифметике.

         В алгебре мы неизвестную величину обозначим буквой, и это одно из главных отличий алгебры от арифметики. Эта неизвестная и данные в условии задачи числа связываются между собой определенными соотношениями. Получается, так называемое, уравнение, из решения которого и находится неизвестное.

В данном случае:

         Если в арифметике каждая задача решается особым рассуждением, то в алгебре при помощи уравнений можно решить группу однородных задач. Кроме того, при помощи уравнений мы можем решать такие задачи, в которых не одно, а два или несколько неизвестных, связанных между собой сложными зависимостями. Задачи такого типа арифметически иногда решаются с большим  трудом. Для того чтобы научиться решать такие задачи, мы предварительно должны изучить несколько вспомогательных тем: действия с многочленами, алгебраически дроби и т.д. без значения их невозможно научиться решать трудные задачи и уравнения.

         3.Как возникла алгебра?

         Отдельные алгебраические понятия и приемы решения задач возникли несколько тысяч лет назад в древних государствах Вавилонии и Египте. Одно из них – Вавилония, по имени города Вавилона – столицы этого государства, располагалось между реками Ефратом и Тигром, там где сейчас государство Ирак. Другое, Египет – в долине реки Нил и Африке, там, где сейчас государство Египет.

         О состоянии математических знаний Вавилона и Египта мы можем судить по древним рукописям (папирусам) и глиняным плиткам с нанесенными на них надписями. Эти плитки и папирусы были найдены при раскопках на месте древних городов. Надписи на них были прочитаны учеными. Содержание надписей говорит о том, что около 4000 лет назад египтяне и вавилоняне владели некоторыми приемами решения задач, которые мы сейчас применяем в алгебре.

         В 7 веке до н.э. греческие купцы стали посещать Египет. Они увидели там много интересного, о чем рассказали у себя на родине. Вслед за купцами в Египте побывали ученые. Постепенно греки усвоили достижения египтян и вавилонян в области математики и стали развивать и продолжать их науку. Большое развитие в древней Греции получила геометрия; арифметика, решающая практические задачи, не считалась наукой. Греки научились решать многие алгебраические задачи, но их решения носили геометрический характер, т.е. арифметические и алгебраические задачи они решали геометрически.

         Вместо чисел они брали отрезки, вместо квадратов и произведений двух чисел – площади и т.д. лишь очень немногие греческие ученые употребляли и развивали чисто алгебраические методы решения задач. Одним из них был  Диофант Александрийский, живший вероятно, в 3 веке н.э. Работы Диофанта имели большое значение, и можно считать, что он был одним из тех, кто заложил основы алгебры в том виде, в каком она развивалась потом. В силу разных исторических причин в начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. В 6 веке н.э. кончается развитие греческой математики. Но к тому времени в области математики шло параллельно с развитием её других народов. Самое древнее сочинение индийцев по математике известное сейчас, написано в 4 или 5 веке н.э., называется оно «сурья – сиддханта». Автор ее неизвестен. В Индии особое развитие получили арифметика и алгебра. В течение, приблизительно, семи веков (с 5 по 12) индийцы сделали очень много открытий по математике. Одной из самых больших заслуг индийцев является создание алгебры, начало которой имелось у вавилонян. Культуру древних индийцев усвоили их соседи – арабы, узбеки, таджики, персы, азербайджане. В начале 9 века ( около 830г.) хорезмский ученый (родом из Хорезма) Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб алджебр вал-Мукабала», что означает «Метод восстановления и противопоставления». В этой книге он впервые в мировой науке отделяет алгебру от арифметики, рассматривает методы и приемы алгебры, как имеющие самостоятельное значение.

         С этого времени, т.е. с 9 века, алгебра становится самостоятельной математической наукой. Само слово «алгебра» произошло, вероятно, от слова «алджебр», что значит «восстановление». Почему именно это название употреблял ал-Хорезми, о том мы поговорим после, когда будем изучать уравнения.

         Новая наука долгое время определенного названия не имела, лишь через три века после ал-Хорезми таджикский ученый Омар-Хайям употребляет слово «алгебра», которое потом вошло в обиход в Европе.

         4.Алгебра у узбеков и таджиков.

         Книга ал-Хорезми «Хисаб алджебр вал-Мукабала» многие века была основным и самым лучшим руководством по алгебре, и во многом способствовала быстрому развитию науки. Развитие алгебры происходило в основном в Индии (до 12в.) и в Средней Азии (до 15в.) ученые наших теперешних Узбекской и Таджикской республик: ал-Бируни (10-9в.), Омар-Хайям (11в.), ал-Каши (15в.) и др., сделали много важных открытий в алгебре, значительно пополнили то, что было известно и создано ал-Хорезми. Ученый Омар-Хайям, первым дал научное определение алгебры. «Алгебра есть научный метод. Её предмет есть числа и величины, которые, будучи неизвестны, поставлено в такое соотношение с чем-нибудь известным, что их можно определить; алгебра определяет соотношения, соединяющие данные величины задачи с неизвестным. Алгебраическое решение получается не иначе, как при помощи уравнения» (цитируется по книге Шереметьевского «Очерки по истории математики», учпедгиз 1940, стр. 69)Омар-Хайям работал в обсерватории в теперешнем городе Мары Туркменской ССР.

         Дальнейшее развитие алгебры принадлежит итальянцам. В 13-16в. В Италии жили выдающиеся математики: Леонардо Пизанский, Кардано, Тарталья и др., которые сделали много ценных открытий в алгебре. К сожалению не все труды среднеазиатских ученых получили достаточно быстрое распространение в Европе.

         Некоторые работы стали известны европейским ученым через десятки, а то и сотни лет после их создания. Поэтому научной мысли запада пришлось самостоятельно открывать из того что давно уже было открыто. Алгебру до 17в. Мы условно называем риторической (словесной) алгеброй. Дело в том, что тогда не существовало единых условных знаков «+», «-» , «а²» и многих других, которыми пользуемся мы. Условные задачи, все действия и ответ записывались полностью, словами. Для удобства запоминания иногда эта запись делалась в стихах.

         Алгебра того времени была трудной для понимания и не удобной для пользования и запоминания. Понять алгебру было не просто.

         5.Алгебраическая символика.

         Читая учебник арифметики или алгебры, мы встречаем там, кроме слов, написанных по-русски, особые знаки, которые понятны только тому, кто изучал математику. К этим особым знакам мы привыкли, и пользование ими не вызывает у нас особых затруднений. Эти условные знаки и обозначения облегчают нам усвоение материала, сберегают труд и время. Так, вместо того чтобы написать: величина «А» так относится к величине «В», как величина «С» относится к величине «Д», и каждому знакомому с пропорциями ясно, о чем идет речь: мы записываем А : В=С : Д. таких условных обозначений в математике очень много. Называются они математическими символами. К ним относится знак «=», введенный английским ученым Р. Рикордом в 1557 году, знаки «:», «*» (разделить и умножить), введенные немецким математиком Лейбницем в конце 17 века, скобки ( ) и [ ], введенные в 16 веке и т.д. Эти  условные обозначения – Единые во всем мире, признаны всеми математиками.

         Математические символы не только облегчают условие математики, но и дают возможность ученым разных стран поныть друг друга.

Ведь при отсутствие общего языка передача математической мысли невозможна.

         Когда же начали зарождаться эти условные обозначения?

Потребность в сокращении записей появилась у людей очень давно, и они стремились вводить (условие) условные обозначения.

          Так, египтяне за 1500 лет до н.э. употребляли особый знак для дробей; греческий ученый Диофант (3 век н.э.) особый знак вместо «равно» (буквой j, начало слова jsos, т.е. равный). Вместо слова «отнять»  писал «ρ». Были подобные сокращения и у  индийцев, и у материков Средней Азии и Китая, и т.д. Но знаки эти были общеупотребительными. Одни ученые писали так, другие иначе. Почему? Разные тому были причины. Для многих ученых не ясна была и сама роль символов. Они так привыкли к тяжелому многословию риторической алгебры, что и не представляли себе, что её можно значительно упростить и этим облегчить свой труд. Одной из причин можно считать отсутствие книгопечатания. Книги переписывались от руки, количество экземпляров их было незначительно, при переписке условные знаки искажались, что затрудняло пользоваться ими. Большое значение имело и то обстоятельство, что в алгебре тех лет каждая задача решалась самостоятельно, отдельно. В алгебре как бы не существовало общих правил и доказательств. Рассматривались только численные примеры, поэтому в учебниках рассматривались десятки частных правил вместо одного общего. Все это делало алгебру наукой трудной, громоздкой и неудобной. В середине 15 века было изобретено книгопечатание. Книги стали не переписывались от руки, как раньше, а печатать. Ученые получили возможность более широкого обмена мнениями. Но этому обмену во многом мешало отсутствие единых обозначений, единых математических символов. В 16 веке в связи с развитием торговли и мореплавания перед наукой встали новые задачи. Новые задачи потребовали создания новых методов решения. Французский ученый Ф. Виет (1540-1603) предложил неизвестные величины в задаче обозначать одними буквами, а известные – другими. Он же ввел, что особенно важно, буквенные коэффициенты при неизвестных в уравнении. Благодаря этому он первый стал писать уравнения в общем виде, а решение записывать формулой. Это был огромный шаг вперед. Если до этого каждая задача решалась самостоятельно, отдельно, то теперь стало возможным решить одновременно несколько однотипных задач, дать решение какой-нибудь задачи в общем виде; стало возможным выражать решение в виде формулы. А это ещё больше подчеркивало необходимость единой системы условных обозначений. И система условных обозначений – математическая символика в течение 16-17 веков была постепенно создана.

         6.Дальнейшее развитие алгебры.

Введение единых математических символов и действия непосредственно над числами способствовало тому, что в течение 17-18 веков алгебры получила очень быстрое развитие. Создаются новые приемы решения задач, дается правильное теоретическое обоснование существовавшим методам, вся наука становится стройной и последовательной. К концу 17 века алгебры приняла примерно тот вид и объем, который будем изучать мы.

В формировании алгебры как науки принимали участие ученые многих стран. Большие заслуги принадлежат итальянским математикам 16 века Тарталья и Кардано и французским ученым Франсуа Виету и Ренэ Декарту (1596-1650)

Но никакая наука не может стоять на месте, тем более математика. Ведь математика – первый помощник человека в строительстве, в мореплавании, в полетах. В течение 18, 19 и 20 веков из алгебры выросли новые математические науки: алгебра многочленов, векторная алгебра и т.д. Науки эти изучаются в высшей школе.

                                      ГЕОМЕТРИЯ

1.Возникновение геометрии

Слово «геометрия» греческого происхождения: в буквальном переводе оно означает «землемерие». Возникла геометрия в Египте более 4000 лет назад. Вот что пишет о зарождении греческий историк Геродот, живший около 2500 лет назад: «Сезострис, египетский царь, произвел деление земель, отмежевав каждому египтянину участок по жребию, сообразно участкам этим с их владельцев ежегодно взимали налоги. Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров); они измеряли, на сколько уменьшился участок и сообразно этому понижал налог. Вот откуда возникла геометрия и перешла из этой страны в Грецию».(Цитировано по книге Р.В.Гангнус и Ю.О.Гурвиц, геометрия методическое пособие, изд.1936, стр.4)

Об этом же пишет и другой греческий ученый Евдем Родосский (4в до н.э.): «Геометрия была открыта египтянам и возникла при измерении земель. Это измерение было им необходимо вследствие разлива реки Нила, постоянно смывающего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное» (БСЭ, изд. 2т.10, стр.533) нельзя думать, что не будь Нила с его мощными разливами, не было бы и геометрии. Людям нужно было определять расстояние между точками, площади участков и объемы тел (употребляемых, например, при постройке жилищ.) и они создали бы геометрию не в Египте, так в Индии, не в Индии, так в Китае. Да оно так и было. Потребности жизни заставляли людей находить способы измерения площадей и объемов в разных странах в разное время.

2.Египет и Греция.

Постепенно, в течение многих веков, накапливали древние египтяне различные научные знания, в том числе и знания по геометрии. Они умели довольно точно определять площади фигур, объемы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи. По геометрии как науки у них не было. У них было множество различных правил – рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведенных в единую стройную систему. Этими рецептами владели чаще всего жрецы храмов, которые держали их в секрете.

Цари древнего Египта постоянно вели долгие, изнурительные войны, которые ослабляли экономическую мощь страны. Были периоды, когда Египет завоевывался разными другими народами, - это были периоды жестокой эксплуатации страны; наука и искусство пришла в упадок. Но к северу от Египта, в Греции, уже зародилось новое государство – греческое. Греческие купцы посещали Египет и, возвратясь, много рассказывали об этой «стране чудес». Вместе с купцами стали известны древним грекам. Но греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправляли их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой.

3.Геометрия в Греции.

1.В середине 7в. до н.э. западное побережье Малой Азии принадлежало Греции. Средняя часть этого побережья называлась Ионией. В Ионии были большие города, ведшие оживленную торговлю со многими странами. В одном из этих городов, в Милеете, жил Фалес (около 640-548г. До н.э.) которого считали родоначальником греческой математики. Торговые дела привели Фалеса в Египет, где он ознакомился с египетской наукой. Геометрия заинтересовала Фалеса больше всего. Остаток жизни он посвятил не только усвоению созданного египтянами в области геометрии, но и его разработке. Полагают, что Фалесу в области геометрии, но и его разработке. Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и некоторые другие теоремы начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказаний Фалесом (28 мая 585г. до н.э.). Трудно судить, насколько достоверен факт предсказания солнечного затмения Фалесом, но в свое время эта легенда произвела большое впечатление. Фалес считался основателем, так называемой ионийской школы, которая дала толчок к систематизации математических знаний, заимствованных у египтян и вавилонян.

2.Ионийская школа дала толчок не только к систематизации знаний, но и к самостоятельному математическому творчеству в древней Греции в 6в. до н.э. центром математического творчества становится так называемая пифагорейская школа в Южной Италии. Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, доказана теорема Пифагор и т.д.

В 5в до н.э. Гиппократ Хиоский сделал попытку изложить все знания по геометрии в одном сочинении. Это первая упоминаемая попытка создания систематического сочинения по геометрии. Сочинение Гиппократа до нас не дошло. О том, что оно существовало мы знаем из сочинение других ученых древней Греции. В дальнейшем геометрия развивалась трудами многих ученых греков. Назовем некоторых из них: Архит. Тарентский, Платон, Евдокс, Менехм.

К 300-м годам до н.э. геометрии становился самостоятельной наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, названную им «начало», написание которой относится к 325-300-м годам до н.э.

Евклид собрал почти все, что было создано до него по геометрии, и привел в единую систему. Он взял за основу некоторые положения, так называемые аксиомы, и из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии, Египте, Индии, Средней Азии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз переписывались на всех языках мира. Это одна из наиболее распространенных на земном шаре книг.

Ученые, жившие после Евклида, добавили к «Началам» несколько новых теорем кое-что изменили и уточнили, но основная масса материала, границы, определяющие его объем, и метод остались прежними.

Поэтому геометрия, которую будем изучать мы, называется евклидовой.

4.Дальнейшее развитие геометрии.

В самом конце 15в. итальянский путешественник Христофор Колумб открыл побережье Америки. Вслед за ним туда совершил несколько путешествий другой итальянец – Америго Веспуччи. Португалец Васко да Гама открыл морской путь в Индию. Вскоре корабли Магеллана впервые в истории совершили кругосветное путешествие.

Началась эпоха великих географических открытий, завоеваний новых территорий, освоения несметных богатств новых земель.

Не только отдельные группы купцов и мореплавателей, но и целые государства боролись за право эксплуатации новых земель. Потребовались более прочные и быстроходные суда, точные географические карты, совершенные способы ориентировки в открытом океане. А создание географических карт и совершенствование способов ориентировки в море невозможны без точного математического расчета. Для выполнения же этих расчетов элементарной геометрии Евклида часто не хватало. Необходимы были новые способы, новые методы в математике и, в частности, в геометрии. И такие методы были созданы.

В начале 17в. французский ученый Р.Декарт сделал открытие, которое послужило отправным толчком для создания так называемой аналитической геометрии. Вслед за тем стали развиваться еще другие новые науки: дифференциальная геометрия и проективная геометрия. Эти науки являются продолжением и развитием геометрии Евклида. При их помощи математика сумела ответить на многие вопросы, поставленные перед ней жизнью. Знание основ геометрии необходимо каждому грамотному человеку, в какой бы он не работал. Ни одна наука, связанная в какой-либо степени с техникой, не может обойтись без геометрии.

5.Геометрия на Руси.

На Руси самое древнее сочинение по арифметике, сохранившееся до нас, на Руси самое древнее сочинение по арифметике, сохранившиеся до нас, написано в 1136г. новгородским монахом Кириком. Самое древнее сочинение, сохранившееся до наших дней и содержащее геометрические сведения, написано в начале 17в. (вероятно, в 1607г.). Называется оно «устав ратных дел». В этом сочинении содержатся правила (рецепты) для решения задач на определение расстояния до предметов. Никаких теорем или доказательств верности правил не проводится.

 В других рукописях («Книга сошного письма» и др.) дают правила измерения площадей, нахождения расстояний, определения объемов тел. в этих правилах много ошибок и совсем не приводится доказательств. Распространению на Руси геометрических знаний препятствовала церковь. Попы боялись, что вместе с книгами с Запада будет проникать в Россию католическая религия, поэтому вводили жестокие меры против тех, кто занимался математикой. В одном древнерусском поучении говорится: «Богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

В течение 18в. геометрия, как и вообще математика, получила большое распространение. В России была открыта Академия наук, в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные так и переводные.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВИКТОРИНА.

1.Книга стоит рубль и ещё полкниги.

Сколько стоит книга?

2.6 рыбаков съели 6 судаков за шесть дней.

За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков?

3.Сколько нулей в конце числа, выражающего произведение

1*2*3*4*5*6*******14*15?

4.Вычислить 1)(2² )²)²)²         2)[(2³)²]²   3)(1³)³)³)³

5.Какое число делиться на все числа (без остатка)?

6.Когда частное = делимому?

7.Половина числа     оказалась =    . Как это могло случиться?

8.Угол в 1⁰ рассматривают в лупу, дающую четырехкратное увеличение.

Какой величины покажется угол?

9.Как, не отрывая карандаш от бумаги, разделить фигуру на 6 = треугольников?                                  

         10.Число увеличено на 25%. На сколько % нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?