Методическое пособие «Сборник задач по математике с профессиональной направленностью»

Министерство образования Пензенской области

Государственное бюджетное профессиональное учреждение

Пензенской области

«Каменский техникум промышленных технологий и предпринимательства»

 

 

 

 

 

 

Тарасова Т.А.

 

 

 

 

Сборник задач

по математике

с профессиональной направленностью

 

 

 

 

Методическое пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составитель: Тарасова Татьяна Александровна преподаватель математики  ГБПОУ ПО ККПТП

 

Сборник задач по математике с профессиональной направленностью, метод. пособие для проф. образования

/ Т.А.Тарасова.- изд.1-е - Каменка: Издательский центр ГБОУ СПО ККПТП, 2014.- 40с.

 

 

Сборник представляет собой пособие по методам решения текстовых задач на составление уравнений и неравенств, которые имеют профессиональную направленность.

Предназначено для студентов техникумов и колледжей по профессии 150709.02 Сварщик (электросварочные и газосварочные работы);190631.01 Автомеханик;260807.01 Повар, кондитер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©Издательский центр ГБОУ СПО ККПТП,2014

                               

 

 Оглавление

 

Введение…………………………………………………….….….....4

Основные задачи на проценты…………………………….………..5

Задачи на процентный прирост……………………………………..8

Задачи на движение………………………………………………...15

Разные задачи на составление уравнений…………………….…..16 Задачи на совместную работу и производительность…………....28

Примеры практических заданий…………………………………...32

Применение математических методов для решения

содержательных задач из различных областей науки

и практики, учет реальных ограничений…………….….………...34

Литература…………………………………………………………..40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

          Опыт преподавания математики в системе профессионального образования показывает, что основная  задача обучения – это обеспечение прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности современного общества.

Сборник представляет собой пособие по методам решения текстовых задач на составление уравнений и  систем алгебраических уравнений с профессиональной направленностью и практическим содержанием.

Задачи на составление уравнений, неравенств и систем представляют собой традиционный раздел курса математики и занимают важное место в конкурсных экзаменах. Пособие поможет научить решать задачи на составление уравнений и их систем.

Отличается полной системой  изложения материала по рассматриваемым темам, охватывая различные методы решения текстовых задач и систем алгебраических уравнений, которые рассматриваются на задачах практической и профессиональной направленности. Рассматриваются примеры как достаточно простые, так и очень сложные. Изложение материала ведется по нарастанию сложности.

Пособие предназначено для обучающихся желающих самостоятельно подготовится к выпускному экзамену, а так же вступительному экзамену в вузы по математике.

Решение задач по математике, содержание которых очень тесно связано с характером повседневной работы студентов, заставляет их обращать внимание на отдельные моменты производственного процесса (на уроках производственного обучения).

 

 

             

 

Основные задачи на проценты

 

Задача 1. Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22.Сколько процентов обучающихся присутствовало на занятиях?

Решение. Так как, а =22, b=25, то  

Ответ: r=88%

 

Задача 2. При перегоне нефти получается 30% керосина. Сколько керосина получается при перегонке 360 т нефти?

Решение. Используем формулу,  так как r =30, b = 360, то 30 =, отсюда а = 108 (т).

Ответ: а = 108 (т)

 

Задача 3.  За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего пути. Каков весь путь?

Решение. Используем формулу,  так как r = 12, a =48, то , отсюда b = 400 (км).

Ответ: b = 400 (км)

 

Задача 4. Турист прошел весь маршрут за три дня. В первый день он прошел 30% всего пути, во второй - 60% остатка, после чего ему осталось пройти на 1 км меньше, чем он прошел в первый день. Какова длина всего маршрута?

Решение. Пусть длина всего маршрута равна х (км). Тогда в первый день пути турист прошел 0,3х (км) (30% от х составляют 0,3х), и после первого дня остаток пути составил 0,7х (км) (х-0,3х=0,7х.). во второй день турист прошел 0,42 (км) (60% от 0,7 х составляют 0,6*0,7х=0,42х), и ему осталось пройти в третий день 0,28х (км) (0,7-0,42=0,28х). По условию задачи турист прошел в третий день на 1 км меньше, чем он пошел в первый день значит, 0,3х-0,28х=1

Решая уравнение, получим 0,02х = 1, откуда х = 50 (км).

Ответ: длина всего маршрута 50 (км)

 

Задача5. Цена товара повысилась на 25%. На сколько процентов надо снизить новую цену товара, чтобы получить первоначальную цену? 

Решение. Пусть а – первоначальная цена товара. После повышения цены, товар стал стоить а + 0,25а =1,25а, найдем отношения первоначальной цены товара к его новой цене и выразим это отношение в процентах:

Значит, новую цену товара надо снизить на 20% (100% - 80%=20%).

Ответ: новую цену товара надо снизить на 20%

 

Задача 6. Свежие грибы содержат по массе 90% воде, а сухие содержат 12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 2кг (т.е.10% от 22кг).

Решение. Так как сухие грибы содержат воду -12%, то 22 кг составляют 88% от массы сухих грибов, поученных из 22кг свежих грибов. Отсюда  - масса сухих грибов.

Ответ: 2,5 (кг) - масса сухих грибов.

 

Задача 7. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян?

Решение. Пусть всхожесть семян можно найти так: разделить 1800 на  r (%). Тогда один процент всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на r или 2000 на 100.

Отсюда 1800/ r = 2000/100. найдем неизвестный средний член этой пропорции.

Ответ: r = 90%

 

Задача 8. Чертеж составлен в масштабе 2:5. Чему будет равна длина болта на чертеже, если в натуре длина болта 60мм?

Решение. Пусть х (мм) – длина болта на чертеже. Так как масштаб показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине отрезка в натуре, то получим пропорцию х : 60=2 : 5. Найдем неизвестный крайний член этой пропорции:

Х=   

Ответ: 24 (мм)

 

Задача 9. Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?

Решение. Содержание меди в руде составляет  частей, или 

Ответ: 15,2 %.

 

Задача 10. Цена товара понизилась на 20%, затем еще на 15%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?

   Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого снижения цена товара равна: 100% - 40% = 60%. Второе снижение происходит от новой цены, т.е. 60. Общее снижение цены товара равно 40+9=55%

Ответ: 55%.                                             

Задача 11. Прибыль составляет 11 продажной стоимости товара. Сколько это составит процентов от себестоимости товара?

Решение. Процент прибыли берется по отношению к себестоимости (принимаемой за 100%). Обозначим прибыль за . Тогда продажная цена товара равна (100+. По условию задачи имеем или

откуда    

Ответ: 

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ

 

Задача 1. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 14700 руб. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 13260 руб. Найти цену факса.

Решение. Пусть первоначальная цена телефона составляет х руб., а факса – y руб. Из условия задачи получаем первое уравнение: 4х+3у=14700

Т.к. цену на телефон снизили, то он стал стоить 80% от первоначальной цены,  т.е.  Теперь получаем второе уравнение 4·0,8х+3у=13260 или 3,2х+3у=13260. Решая эту линейную систему уравнений, находим у=2500.

Ответ: факс стоит 2500 руб.

 

Задача 2. Оператор ЭВМ должн был выполнить работу в определенный срок, ежедневно печатая определенное количество листов. Он рассчитал, что если будет печатать ежедневно на 2 листа больше установленной нормы, то окончит работу раньше намеченного срока на 2 дня, если же будет печатать на 60% больше нормы, то закончив работу на 4 дня раньше срока, напечатает на 8 листов больше намеченной работы. Сколько листов он должен был печатать в день и в какой срок окончить работу?

Решение. Пусть ежедневная норма х листов, а срок окончания работы у дней; тогда работа содержит х·у листов.

По условию, вырабатывая в день х+2 листа, оператор затратит у-2 дня. Значит, работа содержит (х+2) (у-2) листов. Следовательно,           (х+2)(у-2)=ху.

Таким же образом получаем другое уравнение

(х+0,6х)(у-4)=ху+8.

Ответ: норма 10 листов в день; срок исполнения 12 дней.

 

Задача 3. Два цеха на заводе изготовляют одинаковые станки. По плану вместе они должны выпускать 360 станков в год. Однако, первый цех перевыполнил план на 12%, а второй – на 15%. Известно, что оба завода выпустили сверх плана 48 станков. Сколько станков изготовили первый и второй цеха?

Решение. Пусть первый цех по плану изготовляет х станков, а второй – у. Из условия задачи получаем первое уравнение х+у=360. Первый цех перевыполнил план на 12%, т.е. сверх плана изготовлено  станков, а вторым цехом - станков. Вместе они изготовили сверх плана 0,12x + 0,15y=48 станков.

 

Решая полученную систему, находим х=200, у=160. Тогда

первым цехом изготовлено 1,12·200=224 станка, а вторым – 1,15·160=184 станка.

Ответ: первый цех изготовил 224 станка, второй-184.

 

Задача 4. Рабочий день сократился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех расценках заработная плата возросла бы  на n%?

Решение. Пусть при 8-часовом рабочем дне зарплата составляет

А руб. Если ее повысить на n%, то она будет составлять

 Оценивая производительность труда в количестве денег, зарабатываемых за один час работы, находим, что раньше производительность была равна  Теперь же она должна составлять

Тогда процентный прирост производительности труда будет равен

А/8               , тогда

 =100%=

Ответ. Производительность труда нужно повысить на

Задача 5. В результате реконструкции цеха число высвободившихся рабочих заключено в пределах от 1,7 до 2,3% от общего числа рабочих цеха. Найдите минимальное число рабочих, которое могло быть занято в цехе до реконструкции.

Решение. Пусть искомое число рабочих – х, а число высвободившихся рабочих – у. Тогда из условия задачи имеем 1,7 £ £2,3.

Выражение минимально при у = 1. Отсюда х£100/7 и x³100/2,3.

Нас интересует второе неравенство. Так как требуется узнать минимальное значение х, то имеем х ³ 43,478, так как х – целое, то

х = 44.

Ответ. Искомое число – 44 рабочих.

 

Задача 6. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем веществ В составляет 20% суммы объемов веществ А и С. Найдите отношение объема веществ С к сумме объемов веществ А и В.

Решение. Из условий задачи имеем (V_А, V_{В, и} V_С- объемы соответствующих веществ)

Вычтем из первого уравнения второе.

Получим 2V_a-5V_B= V_B- V_aÞ3V_a=6V_BÞ V_a=2V_B. Из первого уравнения теперь получаем 4V_B= V_B+ V_CÞ V_C=3V_B. Следовательно, искомое соотношение

Ответ. Искомое соотношение равно1.

 

 

Задача 7. Банк начисляет ежегодно р% суммы вклада. Через сколько   лет внесенная сумма увеличится в 5 раз?

Решение. Пусть сумма вклада равна А. Тогда, используя формулу (1), получим

Где n – число необходимых лет. Сокращая равенства на А и логарифмируя, находим

Ответ. Число лет равно

 

Задача 8. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия взросла на р%, а на следующий год она взросла на 10% больше, чем предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?

Решение. Так как по условию задачи за второй год процентный прирост составил р%, а за третий (р+10)%, то в соответствии с определением процентного прироста в конце года выработка продукции предприятием составила: где А – выработка продукции за 1-ый год. По условию это составляет:

Приравнивая эти два выражения, для определения р получаем квадратное уравнение р²+210р-2859=0. Корни этого уравнения: р₁=17, р₂=227. По смыслу задачи подходит только первое значение: р₁=17.

 Ответ.  Выработка за второй год увеличилась на 17%.

 

Задача 9. В конце года вкладчику на его сбережения сбербанк начислил проценты, что составило 6 рублей. Добавив 44 рубля, вкладчик составил деньги еще на год. После истечения года вновь были начислены проценты, и теперь вклад вместе с процентами составил 257 руб. 50 коп. Какая сумма первоначально положена в сбербанк?

Решение. Пусть первоначальная сумма равна А, а годовой процент начисления равен р. Тогда имеем

С учетом процентов через год на вкладе стало

Вкладчик добавил 44 рубля, то есть имеем

Еще через год, с учетом процентов, будет

Так как окончательная сумма вклада известна, то имеем для определения А и р систему уравнений, решая которую получим А=200 руб, р=3%.

 

Ответ: первоначальная сумма вклада составляла 200 руб.

 

Задача 10. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка).

В начале года некоторого количества денег положили в первый в первый банк, а оставшуюся часть  - во второй банк. К концу года сумма стала равной 670 денежным единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально денег положили во второй банк, а оставшуюся часть – в первый банк, то по истечению одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 денежным единицам. В предположении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.

Решение. Пусть общая сумма денег первоначально была N, а годовой прирост в первом и втором банках соответственно равен р% и q%. Тогда, учитывая распределение вклада по банкам, через год общая сумма денег станет такой

 

 

Если бы первоначально все деньги положены на вклад в первый банк, то через 2 года величина вклада была бы равной

N(1+P/100)². Эту величину и требуется найти.

Система уравнений (2)-(4) является нелинейной системой относительно N,p,q.

Так как сами неизвестные по условию задачи не требуется находить, то введем новые неизвестные по правилу

х = N(1+p/100), у = N(1+q/100).

После несложных преобразований получаем новую систему уравнений, равносильную прежней

Учитывая новые обозначения, теперь требуется найти величину

Из третьего уравнения системы имеем  Следовательно, искомая величина равна

Решая первые два уравнения системы относительно х и у, находим х=660, у=720. Тогда искомая величина легко вычисляется и она равна 726.

Ответ: величина вклада по истечении двух лет – 726 денежных единиц.

 

 Задача 11. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс.руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение. Пусть (тыс.руб.)-первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит в конце второго года1,25²x,(тыс.руб.), т.е.1,25²x= 1312,5 тыс.руб., откуда x=840тыс.руб.

 

   Ответ: 840 тыс. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

 

Задача 1. Расстояние между двумя городами по реке 80 км. Пароход совершает  этот путь в два конца в 8 час. 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки 4 км/час.

Решение:  Пусть скорость парохода в стоячей воде х км/час. Имеем уравнение .

Ответ: 20 км/час.

 

 

 Задача 2. Пароход идет из Киева в Днепропетровск в течение двух суток, обратно – в течение трех суток. Определить, сколько времени будет плыть плот из Киева в Днепропетровск.

Решение:

Пусть плот проплывает расстояние а км от Киева до Днепропетровска за х суток. Тогда его скорость, равная скорости течения Днепра, есть  км\сутки. По условию скорость парохода, идущего по течению, равна км/сутки.

Следовательно, скорость парохода в стоячей воде будет км/сутки. А так как скорость движения парохода против течения составляет  км/сутки, то скорость его в стоячей воде равна км/сутки. Имеем уравнение 

.

 

Ответ: 12 суток. 

 

Задача 3. Расстояние между точками А и В равно 301 м; из А в В равномерно движется некоторое тело; достигнув точки В, оно тотчас же возвращается назад. Второе тело, выходящее из точки В по направлению в А через 11 мин., после выхода первого, движется тоже равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается  с первым телом дважды: через 10 сек. и через 45 сек. после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.

Решение:

Пусть скорость первого тела х м/сек, а второго – у м/сек. Первая встреча происходит при движении первого тела от А к В (через 10 сек. после выхода второго тела, т.е. через 10+11=21 сек. после выхода первого тела).

Получаем уравнение 21х+10у=301. Вторая встреча происходит при обратном движении первого тела (через 45 сек. после выхода второго тела, т.е. через 56 сек. после выхода  первого тела). Если С есть пункт второй встречи, то первое тело происходит расстояние АВ+ВС, а второе – расстояние ВС. Разность этих расстояний есть АВ=301 м. Имеем второе уравнение 56х-45у=301.

Ответ: скорость первого тела 11 м/сек, второго – 7 м/сек.  

 

 

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

 

Задача 1. Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежедневно на 2 листа более установленной для нее нормы, то окончит работу ранее намеченного срока на 3 дня; если же будет печатать по 4 листа сверх нормы, то окончит работу на 5 дней ранее срока. Сколько листов она должна была перепечатать и в какой срок?

Решение: Пусть норма х листов в день и срок у дней. Тогда по условию

(х+2)(у-3)=ху и (х+4)(у-5)=ху.

Ответ: 120 листов, 15 дней.

 

Задача 2. Машинистка должна была выполнить работу в определенный срок, ежедневно печатая определенное количество листов. Она рассчитала, что если будет печатать ежедневно на 2 листа больше установленной нормы, то окончит работу раньше намеченного срока на 2 дня, если же будет печатать на 60% больше нормы, то закончив работу на 4 дня раньше срока, напечатает на 8 листов больше намеченной работы. Сколько листов она должна была печатать в день и в какой срок окончить работу?

Решение:

Пусть ежедневная норма машинистки х листов, а срок окончания работы у дней; тогда работа содержит ху листов. По условию, вырабатывая в день х+2 листа, машинистка затратит у-2 дня. Значит, работа содержит (х+2) (у-2) листов. Следовательно, (х+2)(у-2)=ху.

Таким же образом получаем другое уравнение

(х+0,60 х )(у-4)=ху+8.

Ответ: норма 10 листов в день; срок исполнения 12 дней.

 

Задача 3.Каждый из двух операторов ЭВМ перепечатывал рукопись в 72 страницы. Первый оператор перепечатывает 6 страниц за тоже время, за которое второй перепечатывает 5 страниц.

Сколько страниц перепечатывает каждый в час, если первый закончил работу на 1,5 ч быстрее второго?

Решение. Пусть первый и второй оператор ЭВМ перепечатывает в час х и у страниц соответственно. Тогда на одну страницу первый тратит времени 1/х, а второй – 1/у. Из условий задачи имеем систему уравнений

  

Так как то из первого уравнения получаем

Ответ: первый оператор ЭВМ печатает в час 9,6 страниц, второй 8 страниц.

Задача 4. Запас сена таков, что можно выдавать на всех лошадей 96кг. В действительности ежедневную порцию каждой лошади смогли увеличить на 4 кг, так как две лошади были переданы соседнему хозяйству. Сколько лошадей было первоначально?

Решение. Пусть первоначально было n лошадей. Тогда на каждую приходилось бы  кг.

Порцию увеличили на 4 кг, то есть она стала  но и лошадей стало на две меньше

 n – 2. так как количество сена осталось прежним, то имеем

 

 

Корни этого уравнения: n₁=8, n₂=-6. очевидно, что подходит только n=8.

Ответ: Первоначально было 8 лошадей.

 

Задача 5. Брат и сестра собрали каждый по 40 грибов, из них-52 белых гриба. Сколько белых грибов собрал каждый, если известно, что отношение числа белых грибов к числу остальных грибов у брата в 4 раза больше, чем у сестры?

 

Решение. Пусть брат собрал белых грибов х, а сестра (40-у). Составим отношение числа белых грибов к остальным: у брата оно равно а у сестры

Используя условие задачи, имеем:

Таким образом, необходимо решить систему уравнений:

из двух корней квадратного уравнения подходит только х=32, тогда у=20.

Ответ. Брат собрал 32 белых гриба, а сестра-20.

 

Задача 6. На машиностроительном заводе разработали новый тип деталей. Из 875 кг металла делают на 3 детали нового типа больше, чем деталей старого типа делали из 900 кг. Каковы массы деталей нового и старого типов, если 2 детали нового типа по массе меньше одной детали старого типа на 0,1 т?

Решение. Пусть детали нового и старого типов делают   штук. Из условия задачи следует  Из второго условия имеем 2х+100=у. Подставляя у в первое уравнение, получаем

Корням этого уравнения являются х₁=175, х₂=

Таким образом, масса детали нового типа равна 175 кг, а старого -    450 кг.

Ответ: масса детали нового типа равна 175 кг, а старого 450 кг.

 

Задача 7. Рабочий день мастера А  и рабочий день мастера В оплачивается неодинаково, но работали оба мастера одинаковое число дней. Если б А работал на один день меньше, а В – на 5 дней меньше, то А заработал бы 72 руб., а В – 80 руб. Если бы на оборот, А работал на 5 дней меньше, а В – на один меньше, то В заработал бы на 36 руб., больше, чем А. сколько заработал каждый мастер в действительности?

Решение. В данной задаче неизвестно: х – заработок мастеров А, у – заработок мастеров В и n– количество отработанных дней. Если введем эти известные, то А зарабатывает в день х/n , а В

 – у/n. За (n-1) день работы А заработает 72 ., то есть  а за (n - 5) дней работы В получит 80 , то есть  Если бы они работали по другому графику, то из соотношения заработков составляем третье уравнение:

 

Преобразовав эти уравнения, имеем систему

Из третьего уравнения получаем (n неравно 0).

 

7n² - 194n + 475 = 0.

Уравнение имеет два корня: n₁=25, n₂ =<3.

Очевидно, что подходит только первое значение. Подставляя  n=25 в выражении для х и у, получаем х = 75 , у = 100 .

Ответ:  мастер А заработал 75 , а мастер В заработал 100 .

 

Задача 8. Рукопись в 60 листов отдана двум операторам ЭВМ. Если первый оператор начнет переписывать рукопись через 2,5 ч, после второго, то каждый из них перепишет половину рукописи. Если же оба оператора начнут работать одновременно, то через 5 ч останутся непереписанным 33 листа. За какое время может переписать рукопись каждая машинистка в отдельности?

Решение. Пусть всю рукопись первый и второй оператор могут переписать за х и у часов соответственно. Тогда за час они смогут переписать по  страниц. Половину рукописи операторы перепишут за  часов. Из условия задачи находим

 

Если они начнут работать одновременно, то за 5 часов они перепишут 60-33=27 листов. Тогда составляем еще одно уравнение

Из первого уравнения имеем х = 5+у. Подставим х во второе уравнение:

Положительный корень этого уравнения у = 20; тогда х = 25.

Ответ: первый оператор может переписать рукопись за 25 часов, а второй – за 20 часов.

 

Задача 9. Куплено несколько килограммов товара двух сортов: первого сорта на 45 руб., и второго – на 20руб. Первого сорта куплено на 1кг больше. Стоимость килограмма товара первого сорта на а  руб., выше стоимости от возможных значений а.

Решение. В растворимой задаче есть параметр. Поэтому решение будет от него зависеть. Пусть х – вес товара первого сорта. Тогда вес товара второго сорта равен х – 1. Стоимость товара первого и второго сортов будет  соответственно. Из условия задачи составляем уравнение

 

 

 

Так как х > 1, то очевидно, что а < 45. Получено уравнение равносильно следующему ах² – ( а + 25 )х + 45  = 0.

Дискриминант этого уравнения D = а² – 130 а + 625 будет положителен при а.

Но по доказанному выше а<45. Следовательно, мы можем рассматривать только значения a]. Если а = 5, то D = 0.  Квадратное уравнение имеет корни

Ответ: при а > 5 решений нет; при а = 5 одно решение х = 3 кг; х-1 = 2 кг;    при    0<а<5    -    два    решения

 

В рассмотренной задаче, кроме получения решения, необходимо проводить дополнительные исследования и выяснять пределы измене­ния параметра а и зависимость решения от этого параметра.

 

Задача 10. Три совхоза расположены не на одной прямой линии. Расстояние от первого до третьего через второй вчетверо больше прямо­го пути; расстояние от первого до второго через третий на  а  км длиннее прямого пути; расстояние от второго до третьего через первый равно 85 км. В каком интервале находятся все значения а, для которых было бы возможным указанное расположение совхозов? Вычислить расстоя­ние между ними при а = 5.

Решение. Обозначим прямые пути между ними через г₁, г₂ и г₃. Из условий зада­чи составляем систему из 3 уравнений:

 

r₃+r₂ =r₁+a = 85.

 

Эта линейная система трех алгебраических   уравнений   легко   решается. Формальное решение системы имеет вид;

при а = 5 имеем: г₁ = 60 км; г₂ = 40 км; г₂ = 25 км.

Казалось бы, нужно проверить только условие r₁ > 0 => а < 425. Однако это ложный путь. В условии задачи сказано, что три совхоза расположены не на одной пря­мой, то есть они находятся в вершинах треугольника.

   Но тогда должны выполняться неравенства:

г₁ + г₂ > г₃, г₃ + г₂ > г₁, г₁ + г₃ > г₂.

Первые два условия следуют из первого и второго уравнений системы. Третье условие требует проверки:

 

Ответ: при а = 5 имеем: г₁ = 60 км; г₂ = 40 км; г₂ = 25 км;

пара­метра а должен быть меньше 68.

 

Задача 11. Из двух орудий одно произвело 36 выстрелов, когда начало действовать другое. Второе орудие делает 7 выстрелов, когда первое делает 8. Количество пороха, употребляемое первым и вторым орудиями на каждый выстрел, относится как 3:4. Через сколько выстре­лов второе орудие израсходует столько пороха, сколько первое?

Решение. Пусть оба орудия вместе затратят на один выстрел m единиц веса пороха. Так как порох по орудиям распределяется как 3:4,то всего имеем 7 частей. Тогда первое орудие тратит 3/7m, а второе -

4/7 m . Пусть второе орудие сделало 36 + 8/7 n  выстрелов. По условию n таково, что оба орудия затратят одинаковое количество пороха. Имеем:

Ответ: второе орудие сделало 189 выстрелов.

 

Задача 12. Денежная премия была распределена между тремя изо­бретателями: первый получил половину всей премии без 3/22 части того,  что получили двое других вместе. Второй получил 1/4   часть всей премии и 1/56 часть денег, полученных вместе остальными двумя. Тре­тий получил 300 . Какова была премия и сколько денег получил каждый изобретатель.

Решение. Эта задача не только на умение составлять уравнения, но и на понимание процедуры выделения части целого. Так как известно, сколько получил третий изобретатель, то остается выяснить остальные три неизвестные величины: а - величину премии, х - долю первого и у - долю второго изобретателя. Тогда вся премия:

 а = х + у + 300; первый получил: а второй: Таким образом, имеем систему трех уравнений. Подставим во вто­рое и третье уравнения. Имеем, после приведения подобных:

 

Отсюда находим: х = 400, у = 250. Тогда а = 950.

Ответ: первый изобретатель получил 400 руб., второй - 250, а вся премия составила 950 руб.

 

Задача 13. Стройотряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик и плотник. Плотников в 2 раза больше, чем бетонщиков, и в n раз меньше, чем каменщиков (3 < n < 20). Сколько бойцов в отря­де владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем число бойцов, владеющих про­фессией плотника?

Решение. Эта задача характерна тем, что в ее условие входит мно­го неизвестных. Кроме того, число n не определено, и его также надо определить из условия задачи. Раньше уже указывалось, что не надо бояться вводить неизвестные: в процессе решения задачи они будут по­степенно исключаться.

Итак: пусть х - число бойцов, владеющих одной профессией; у -двумя; u - число плотников среди бойцов отряда; v - число бетонщи­ков; w - число каменщиков. Так как всего бойцов 32, то х + у = 32. Из условия задачи имеем: u = 2v, w = nu, у = u + 2. Таким образом, имеем четыре уравнения и шесть неизвестных (n - неизвестно). Пятое уравне­ние получаем из условия равенства специальностей. С одной стороны, их количество равно х + 2у, а с другой - u + v + w , то есть: x + 2y = u+v + w. Выражая из этих пяти уравнений неизвестные через: u:   и подставляя в последнее

уравнение, получаем:  

Нечетное натуральное число 2n + 1 должно быть среди делителей числа 68. Оно единственное и 2п + 1 = 17 => п = 8 (n удовлетворяет условию, наложенному на не­го). Тогда u = 4 и х = 26.

Ответ: в отряде 26 бойцов, владеющих только одной профессией.

 

Задача 14. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномер­но наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, а второй - на 5%, в то время как прирост массы первого кристалла за 3 месяца равнялся приросту массы второго кристалла за 4 месяца. Каковы были первоначальные массы этих кристаллов, если из­вестно, что после того, как каждая из них увеличилась на 20 г, отноше­ние массы первого кристалла к массе второго достигла числа 1,5?

Решение. Обозначим первоначальные массы первого и второго кристаллов через х и у соответственно. Через год, то есть через 12 ме­сяцев, массы этих кристаллов увеличились на 4% (то есть на 0,04х) и на 5% (то есть на 0,05у) соответственно. Так как скорость наращивания массы равномерная, то за один месяц кристаллы наращивают массу на   Первый нарастит массу за 3 месяца на

 а второй за четыре месяца на   По условию:

 

 

Из второго условия получаем:  Решая систему этих двух  уравнений, находим: х = 100 г, у = 60 г.

Ответ: первоначальные массы кристаллов были равны 100 г и 60 г соответственно.

 

Задача 15. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Задача Ньютона).

Эта задача не столько на составление, сколько на правильность рас­суждений и понимание задаваемых условий.

Решение. Пусть х - количество травы, съедаемое одной коровой в течение одного дня. Поскольку 70 коров поели бы всю траву за 24 дня, то х – 70 - 24 = 168О х - это количество травы, которое было в начале и количество травы, которое выросло за 24 дня. Далее, 30 коров за 60 дней съедают х - 30 – 60 = 1800х. Поскольку в обоих случаях была съеде­на вся трава, которая была в начале, и та, которая выросла (в первый раз за 24 дня, а второй - за 60 дней), то 1800х - 1680х = 120х. Это количе­ство травы выросло за 60 - 24 = 36 дней. Следовательно, за 24 дня вырастает   травы,  а  поэтому  в начале   на  лугу  было 1680х - 80х  = 1600х травы.

Если в течение 96 дней вырастает травы , то искомое число коров съедает

1600х + 320х = 1920х травы. За один день будет съедено 1920х : 96 = 20х. Так как количество травы, равное х, съедает одна корова, то в данном случае ответ — 20 коров.

Ответ:  20 коров.

Как видно из решения задачи, количество травы, равное х, можно было бы считать за единицу, то есть одну единицу массы, съедаемой коровой. Вследствие этого переменную х можно было не вводить.

Задача 16. Три сестры пошли на рынок с цыплятами. Одна при­несла для продажи 10 цыплят, другая 16, третья - 26. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену. В ре­зультате они продали цыплят с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 руб. По какой цене они продавали цыплят до и после полудня?

  Решение. В последнем вопросе задачи конкретно указано, что се­стры продавали цыплят по одной цене, но разной утром и после полуд­ня. Обозначим число цыплят, проданных каждой сестрой до полудня через х, у, z. Тогда после полудня они продали соответственно 10-х, 16 - у, 26 - z цыплят. Если стоимость одного цыпленка утром была а, то после полудня пусть стоимость была b.

 

Тогда:

 

Вычтем из третьего уравнения сначала первое, а затем второе. Получим соответственно:

Поскольку х, у, z — целые числа, то их разности также целые, а по­этому необходимо, чтобы x-z было кратно 8, a y-z делилось на 5.

Обозначим . Тогда x = z + 8k,

y = z + 5k. Так как х > z, то к — положительное целое число, а так как х < 10, то z + 8k < 10. Ясно, что это неравенство выполняется лишь при

z = k = 1. Следовательно, х=9, у = 6. Подставляя х, у, z в уравнение, легко находим: а = 3,75 ,

b = 1,25 .    

Ответ: до полудня цена была 3,75 руб., после полудня - 1,25 руб.

 

 

 

ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ

 

Задача 1. Соревнуется три бригады. Первая и третья бригада обработали древесины в два раза больше, чем вторая, а вторая и третья – в три раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании?

Решение.  Пусть х,y,z – количество древесины, обработано соответственно первой, второй и третьей бригадами.

По условию

Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем

х-y=2y-3x или 4х=3y.

Отсюда

Значит, победила вторая или третья бригада. Подставляя  в первое уравнение системы, находим

сравним  и  заключаем, что z>y.

 Ответ: победила третья бригада.

 

Задача 2. В бассейн проведены три трубы. Первые две, действуя совместно, наполняют бассейн за тоже время, за которое наполняют бассейн одна третья труба. При этом вторая  труба, действуя одна, наполняет бассейн на 5 ч быстрее первой трубы и на 4 ч медленней третьей. За какое время наполняет бассейн каждая труба отдельно?

Решение. Пусть V – объем бассейна, х  – время наполнения бассейна второй трубой. Тогда (х+5) ч – время наполнения третьей трубой, а  (х - 4) ч – третьей трубой. Производительность каждой из труб соответственно равны

По условию

Откуда, сокращая на V, получим уравнение

 х² - 8х – 20 = 0. Решая его, находим х=10(ч) (х=-2 не годится).

Ответ: 15ч, 10ч, 6ч.

 

Задача 3. Два рабочих могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если бы один первый выполнил 60% всей работы, а затем один второй – оставшуюся часть, то они затратили бы 12ч. Сколько времени нужно каждому для того, чтобы выполнить эту работу одному?

Решение. Пусть а – величина работы, х ч – время, за которое первый рабочий может выполнить эту работу, y ч – время, за которое второй рабочий может выполнить всю работу.

Тогда - производительность первого, - производительность второго рабочего.

По условию

 

 

Решим полученную систему способом подставки. Из второго уравнения системы выразим y через х:

Подставляя это выражение в первое уравнение системы, получаем

.

Или после упрощений, х²-22х+120=0, откуда х¹=12,х²=10. следовательно, y₁=12, y₂=15.

Задача допускает два ответа: 12ч и 12ч; 10ч и 15ч.

 

Задача 4. Соревнуется три бригады. Первая и третья бригада обработали древесины в два раза больше, чем вторая, а вторая и третья – в три раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании?

Решение.

Пусть х,y,z – количество древесины, обработано соответственно первой, второй и третьей бригадами.

По условию

Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем х-y=2y-3x или 4х=3y.

 

Отсюда

значит, победила вторая или третья бригада. Подставляя  в первое уравнение системы, находим

сравним  и  заключаем, что z > y. Победила третья бригада.

 

Задача 5. Две бригады сельскохозяйственного кооператива пропалывали пол 280 грядок каждая, причем первая бригада, пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая, работала на 3 дня больше. Сколько дней работала на прополке каждая бригада?

Решение. Пусть первая бригада пропалывала в день x грядок. Тогда вторая пропалывала в день x+30 грядок. Первая бригада работала  дней, а вторая –  дней. По условию

Так как по смыслу задачи

                    

                                

                                 х = 40;  x= -70,

но по смыслу задачи  Тогда первая бригада работала  дней, а вторая -4 дня.

   Ответ:7 дней; 4 дня.

 

Задача 6. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов - за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

Решение. Пусть объем котлована V м³, а производительность ка­ждого насоса - х м³ в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т.к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м³ в час объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов отка­чают  120х м³ воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V+12y. Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение

120x = V + 12y.

Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов  или  

90x = V + 6y. Из первого уравнения имеем V = 120х — 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.

Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неиз­вестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Под­ставляя в это уравнение у и V находим 20tx = 60x .

Отсюда получаем t = 3 часа.

Ответ: за 3 часа.

 

 

 

ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

 

Задача 1. В зависимости от характера и степени засоренно­сти посевов установить дозу («норму»)  расхода препа­рата гербицида на  1 га. Практическая работа требует предварительных расчетов. Допустим, что для опрыски­вания сильно засоренных посевов пшеницы установлена доза в 1,4 кг натриевой соли 2,4-Д,   или   1400 г дейст­вующего вещества, на 1 га. В паспорте указано, что пре­парат   содержит   70%   действующего   вещества.   Тогда, чтобы установить правильную дозу расходования препа­рата (d),  содержания действующего вещества.

Таким образом, препарата натриевой соли 2,4-Д при содержании в нем 70% действующего вещества нуж­но внести на 1 га 2 кг.

 

 

Задача 2. Проведено мотыжение на  площади  2,5 га  при дневной норме выработки 0,20 га при оплате

 за  норму 1.75 у.руб.

Решение:  расчет производится по формуле:

услов. руб.= выполненная работа Х расценка работы

                              норма выработки

число трудодней =

Ответ: 21,88 у.руб.

 

Задача 3. Фермер 20 мая  провел окучку на слабо засоренном участке после машинной междурядной обра­ботки. Требуется вычислить часовую производительность этого фермера   по   следующим  данным.

На что затрачено время	Текущее время (конец затраты)	Продолжи-тельность затраты в мин.
Начало наблюдения	8ч
Работа	8ч 41м	41
Отдых	8ч 43м	2
работа	9ч 17м	34
Отдых	9ч 20м	3
Работа	10ч 26м	66
Конец наблюдения	10ч 26м	-

 

 

Решение. Время наблюдения пройдено 1568 м и произведена окуч­ка 1568x0,6 = 941 м². Часовая производительность фермера :

 941 : 2,35^400 м², или 0,04 га.

Задания:    1) Составьте   формулу    решения    этой задачи.

2)  Вычислите   часовую   производительность  фермера.

От задач-расчетов можно перейти к выводу формул для расчета.

 

Задача 4. Автомойка объемом 1 заполняется двумя насосами одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч на  1 воды больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности может наполнить автомойку, если первому насосу нужно для этого 5 мин меньше, чем второму.

Решение. Пусть за 1 ч второй насос перекачивает воды. Тогда первый насос перекачивает за 1 ч. Для заполнения первому насосу нужно ч, а второму -  ч.Исходя из условий задачи, получим уравнение:

                                           

                                           

                                             

но  по смыслу задачи x т.е.

Таким образом, второй насос заполняет за  ч = 20 мин,

 а первый – за  ч = 15 мин.

Ответ: 15 мин, 20 мин.

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ НАУКИ И ПРАКТИКИ, УЧЕТ РЕАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

 

В произведенной практике может возникнуть задача на определение оптимальных соотношений между элементами фигур, например определение соотношения между радиусом и высотой цилиндра, при котором объем цилиндра будет наибольшим. Эту задачу рационально решить с применением производной. На практике задача, может быть, сформулирована так:

 

Задача 1. Требуется сделать из листового железа цилиндрический сосуд вместимостью V, закрытый сверху и снизу. Каковы должны быть его размеры, чтобы затрата материала была наименьшей? 

Решение. 

1)      S= 2πrh + 2πr.

2)      V= πrh, откуда h = V / ( πr).

 

3)      Так как S = 2 πrh + 2πr, а h = V / (2πr), то

       S= 2πr + 2πr= 2(+πr).

4)      Найдем производную по аргументу r:

 S = 2 (2πr - ).

5)      Найдем критические точки, т.е. значения r, при которых производная равна нулю: S= 0, откуда 2( 2πr - ) = 0. решая это уравнение, получим

      r =

6)            Проведем исследование функции  S на экстремум:

 

7)            а) определим знак производной «слева» от значения r =  Возьмем, например, r =  и найдем знак разности: 2πr - :

      2πr  -  =  -

  Так как > , то разность 2πr - < 0, т.е. при r <  производная S = 2( 2πr - ) отрицательна.

б) определим знак производной «справа» от значения  r = , т.е. при

      r >  Возьмем, например, r =  и найдем знак разности 2πr - .

      Имеем 2π   - =  ∙ .

     Так как , то разность 2πr - = 0, т.е. при r >

     производная   S = 2() положительная.

     Следовательно, r = , функция S = (2) имеет минимум.

8)            Найдем соотношение между радиусом и высотой цилиндра, при котором объем его будет наибольшим при наименьшей затрате материала.

9)            формуле высоты подставим значения радиуса r = ,

      .

      Найдем отношения h: к = : = 2. Получили h=2r/ Таким образом, цилиндр должен быть равносторонним т.е. его осевым сечением является квадрат.

   

Задача 2.  На расчет оптимальных режимов работы для специальностей энергетического профиля:

       Исследовать условия работы источника тока, имеющего ЭДС и внутреннее сопротивление r. Каким должно быть сопротивление R нагрузки, чтобы получить максимальную полезную мощность?

     Замечание. При решении этой задачи можно показать наглядное преимущество применения изучаемых в курсе алгебры и начала анализа способов исследования функции с помощью производной по сравнению с применяемыми в элементарной математике.
      Решение. Первый способ:  

    Р =

       1) Р' =

       2) Р' = 0, если откуда R=r.

       3) Функция принимает максимальное значение Р= при     R=r.

       Второй способ (без применения производной):

1)                          Преобразуем правую часть следующим образом:

 

                                                                                                                           

2)      Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель минимален, т.е. когда откуда R= r.

 

Как видно, второй способ решения требует применение искусственных  преобразований. Исследование же функции на экстремум по первому способу требует лишь знания формулы производной частного и необходимого условия существования экстремума, т.е. знания общего алгоритма.

 

Две задачи из курса математики, которые при изменении формулировки получают профессиональную направленность.

 

В курсе алгебры и начал анализа решается задача:

 

Задача. Сумма двух положительных чисел равна р. Каковы должны быть эти числа, чтобы их произведение было наибольшим?

Решение. Обозначим одно из слагаемых через х, тогда другое слагаемое будет р-х. обозначим произведение этих чисел через у = рх - х.

Исследуем эту функцию с помощью производной:

а) у' = р – 2х;

б) у' = 0, р – 2х = 0, откуда х = р/2.

в) у' > 0 при х < р/2; у' < 0 при х > р/2.

Следовательно, при х = р/2 функция имеет максимум. Таким образом, произведение будет наибольшим при равных слагаемых.

 

В геометрии эта задача формулируется иначе:

Какой из прямоугольников с заданным периметром 2р имеет наибольшую площадь?

Решение. Так как периметр прямоугольника 2р = 2а+2b, т.е. р = а +b, а площадь S=ab, то исследуемая функция имеет вид S=рх - х. Мы сразу получаем ответ: искомый прямоугольник представляет квадрат, сторона которого равна р/2.

 

Для рабочих энергетических профессий задача будет такого содержания:

Конденсатор имеет пластины прямоугольной формы. Периметр одной пластины равен р. При каких размерах сторон пластины емкость конденсатора будет наибольшей?

Поскольку емкость конденсатора прямо пропорциональна площади пластины, то решение этой задачи совпадает с приведенным выше.

 

В курсе математики решается задача:

Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, который имеет наибольшую площадь.

 

Задача. Решается двумя способами.

Решение. Первый способ: обозначим CD = х, тогда AD ∙ AC – CD;      

 , откуда AD = ; ;

Исследуем функцию f (x) = 4 R²x² – x4; на экстремум с помощью производной:

а) f´(x) = 8 R²x – 4 x³;

б) f´(x) = 8 R²x – 4 x³= 0, откуда x = 0 или . По условию задачи, х≠0 и x≠2R;

в) найдем знак производной в промежутках (0; ) и :

x=R; f´(R) = 8 R² – 4 R³ > 0;

x=1,5R; f´(1,5R) = 6R(-0,25)<0.

Следовательно, при x=функция принимает наибольшее значение.

Если , то AD = , т.е. искомый прямоугольник является квадратом.

Второй способ. Обозначим ∟СОD = a, CD=x, AD=у. Тогда.

где 2R sin(a/2)

;

у = 2R cos(a/2);

исследуем функции S= a на экстремум: S′=4R; S′ = 0,

а = 90. Искомый прямоугольник – квадрат.

 

Для рабочих строительных профессий задача имеет такое содержание: вырезать стойку прямоугольного сечения так, чтобы величина нагрузки, которую может выдержать стойка, была наибольшей.

Так как величина нагрузки, которую может выдержать стойка, прямо пропорциональна площади поперечного сечения, то, следовательно, сечение должно быть квадратным.

Для рабочих энергетических профессий задача формулируется так: в цилиндрическую катушку с заданным радиусом сечения. Найти размеры сторон сечение сердечника, при которых он наиболее полно заполняет внутреннюю область катушки.

Для рабочих машиностроительных специальностей эта задача формулируется следующим образом:

Определите глубины фрезерования t и  t при изготовлении из цилиндрической заготовки

диаметром D и длиной  прямоугольной планки той же длины и наибольшей площадью поперечного сечения.

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1)        Малыхин В.И. Математика в экономике. М.: Инфра-М, 2001. – 356 с.

2)        Стойлова Л.П. Математика. М.: Академия, 2007.

3)        Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высш. Шк., 2007.

4)        Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Высш. Шк., 2006.