Разработка открытого урока по теме «Физическое приложение определенного интеграла» 1 курс СПО

росжелдор

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

Тихорецкий техникум железнодорожного транспорта

(ТТЖТ - филиал РГУПС)

 

Моисеева С.А.

 

 

 

 

 

 

 

РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА
«ФИЗИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»

по дисциплине математика
для студентов 1 курса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тихорецк

 

2013

План урока

 

Тема урока: Физическое приложение определенного интеграла

Раздел: Начала математического анализа

 

Вид занятия: практическое

 

Цели урока:

Образовательные: Проверить знания и умения по теме «Вычисление определенного интеграла и площади криволинейной трапеции».

Формировать комплексное представление о практических приложениях интеграла в различных областях.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные:  содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Оборудование: комплект карточек для самостоятельной работы, компьютер,  системно – обобщающие схемы, инструменты для работы у доски.

 

1.     Организационный момент

¾            Взаимное приветствие

¾           Проверка готовности студентов к уроку (рабочее место, внешний вид)

¾           Организация внимания

¾           Сообщение целей урока

2.         Закрепление и проверка уровня усвоения материала по теме «Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Геометрический смысл интеграла»

¾            Индивидуальное задание на применение геометрического смысла интеграла

¾            Фронтальный опрос

¾            Самостоятельная работа на вычисление определенного интеграла

3.     Изучение нового материала

¾            Объяснение нового материала преподавателем

¾            Решение типового примера на вычисление пути по известному закону изменения скорости

4.     Усвоение новых знаний

¾            Решение примеров и задач под руководством преподавателя

¾            Решение кейс - задачи

5.     Проверка умений студентов применять знания в измененных, нестандартных условиях

¾            Тестовая работа с проверкой в классе.

6.     Домашнее задание

7.     Итог урока

 

 

Ход урока

 

            I.      Организационный момент.

Цель.

Сегодня мы повторим формулы нахождения первообразных, проверим ваши навыки их нахождения, рассмотрим приложение определенного интеграла к решению различных физических задач, т. е. возможность применения элементов интегрального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

 

         II.      Закрепление и проверка уровня усвоения материала.

Индивидуальные задания

Фронтальный опрос

1.     Что называется  первообразной?

2.     Повторим таблицу первообразных

3.     Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

4.     Вычислить  первообразную функций

3х2+4х		2 sin 3x
х3 – х2 + 3
2 сos 3x

5.     Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

6.     Какие из фигур, изображенных на рис. являются криволинейными трапециями?

 

 

 

7.     Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

8.     Запишите формулу Ньютона- Лейбница.

9.     Проверим работу у доски

 

Самостоятельная работа (индивидуальная работа по карточкам) (Приложение 1)

Студентам даются карточки с заданиями (всего 31 вариант) и таблица с буквами и правильными ответами. На доске записаны числа от 1 до 31. Студент, выполнивший задание, записывает на доске под номером своей карточки букву,  которая соответствует ответу его примера и получает новую карточку. За правильно решенные 2-3 задания он получает оценку. При положительном результате должно получиться предложение «Чистая совесть – самая мягкая подушка».

 

Итог. Полученная фраза не связана непосредственно с темой урока, хотя в жизни мы часто слышим похожие фразы: «Жить по совести», «В ладу со своей совестью», "Работу выполняю качественно, поэтому моя совесть чиста". Кто еще знает похожие пословицы? Кто знает притчу про эту пословицу? Необязательное задание на дом: найти притчу в интернете.

 Вы хорошо (не очень) справились с нахождением определенных интегралов (работа показала, сто часть студентов не в полной мере овладело навыками нахождения определенных интегралов). …

 

     III.      Объяснение нового материала.

Приступая к рассмотрению задач на применение интеграла, вспомним некоторые понятия, связанные с дифференциальным исчислением:

¾   Какое действие называется дифференцированием?

¾   Каков физический смысл  производной? (это скорость изменения некоторого процесса)

¾   Какие задачи решили с помощью производной?

¾   Изучая производную, мы говорили о физическом смысле производной – это скорость изменения некоторого процесса,  т.е. если некоторый процесс протекает по закону s=s(t), то производная выражает скорость протекания процесса в момент времени t. Рассматривая производную скорости по t, получим скорость изменения скорости, т.е. ускорение: .

 Путь (перемещение)

Предположим, что точка движется по прямой (по оси ОХ)

Какой путь она пройдет за время t?

Из физики известно, если V = const, то .

Если движение равноускоренное, то путь считают функцией времени S = s(t), тогда скорость в любой момент времени равна производной пути .

Скорость изменения скорости – это ускорение, , .

Обратная задача.

Если известен закон изменения скорости, то S – это первообразная для V, т.е. , а а – первообразная для V, т.е. .

 Как найти перемещение точки за промежуток времени [t₁ ; t₂]?

Если скорость точки постоянна и равна V, то перемещение вычисляется так:

S = V(t₂-t₁)

Пусть теперь это скорость меняется и задан закон этого изменения V=V(t).

Известно, что               

Перемещение за промежуток времени [t₁ ; t₂] равно:

 - закон изменения ускорения.

Тогда                                     

Полезная схема:

Пример Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=3t²+4t+1 (м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 3с.

Решение.

Так как путь, пройденный за промежуток времени выражается интегралом, то          (м)

 

      IV.      Закрепление нового материала

Решение задач (Приложение 5)

 

Задача №1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v(t) = 15+0,2t. Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.

Решение. Согласно формуле имеем (м)

 

Задача №2 Поезд движется прямолинейно со скоростью  (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.

Решение. Скорость движения равно нулю в моменты начала движения и остановки. Найдем момент остановки, для чего решим уравнение

(м)

 

Задача №3 Скорость движения тела изменяется по закону  м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Решение. (м)

Задача №4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх:  (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю; (с). Поэтому  (м).

Задача №5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью  м/с, другое – со скоростью  м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?

Решение: (м),  (м). (м)

Задача №6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями  м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

Решение: Пусть  - момент встречи. Тогда

;

.

Так как , то получаем уравнение , откуда (с)

Задача №7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t₀ = 1с электровоз имел скорость V₀ = 0,05м/с.

Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.

Решение: Скорость – это первообразная ускорению, находим формулу для вычисления скорости

Найдем С из условия

Отсюда

         V.      Обобщение материала по разделу «Начала математического анализа»

Итог. Рассмотрев зависимости между физическими величинами, можем сделать вывод, что физические задачи делятся на две категории – нахождение производной и нахождение первообразной (интеграла). Рассмотрим некоторые задачи на применение производной и интеграла используя схему (1).

 

Задача №7 (кейс задача) Электровоз движется прямолинейно изменяется по закону (м/с).

Какая скорость была у электровоза в момент времени t = 2с .

Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.

Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.

Решение.

Скорость в момент времени – это значение функции при t = 2: м/с

Ускорение тела определяется выражением

Тогда (м/с²).

(м)

 

VI.                   Первичная проверка понимания и осознания материала

Тестовая работа с проверкой в классе (Приложение 6)

      VI.      Домашнее задание.

  VII.      Итог урока. К величинам, которые вычисляются с помощью интеграла можно отнести перемещение, работу, массу, электрический заряд, давление, теплоту. К ним можно присоединить геометрические величины – длину, площадь, объем.

Надеюсь, что сегодня вы смогли ответить на вопрос «Зачем это нужно?» и «Где это применяется?»

Приложение 1

Индивидуальные задания

1		17
2		18
3		19
4		20
5		21
6		22
7		23
8		24
9		25
10		26
11		27
12		28
13		29
14		30
15		31
16

Приложение 2

Карточка вариантов ответов

А	В	Г	Д	Е	И	К	М	О
18		8	1
П	С	Т	У	Ш	Ч	Ь	Я
17	6	3	106		4	14	2

 

 

 

Приложение 3

Таблица ответов к самостоятельной работе «Разминка»

 

1	4	17	18
2		18	2
3	6	19
4	3	20	2
5	18	21	8
6	2	22
7	6	23	18
8		24	2
9		25	17
10		26
11	6	27	1
12	3	28	106
13	14	29
14	6	30
15	18	31	18
16

 

 

Приложение 6

Вариант 1

1. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение катера в момент времени  равно …

 

Варианты ответа:

А) 85

Б) 45

В) 123

Г) 42

 

2. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость катера на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения катера.

 

1.	t = 2	А)	46
2.	t = 3	Б)	136
3.	t = 4	В)	19
4.	t = 5	Г)	85
		Д)	225

 

3. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Время катера, при котором ускорение а = 45, равно ….

 

Ответ: ________________

 

4. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный катером за 4 секунды от начала движения, равен ….

 

Ответ: ________________

Вариант 2

1. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение пассажирского поезда в момент времени  равно …

 

Варианты ответа:

 

А) 92

Б) 56

В) 24

Г) 88

 

2. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость пассажирского поезда на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения пассажирского поезда.

 

1.	t = 1	А)	528
2.	t = 2	Б)	4
3.	t = 3	В)	496
4.	t = 4	Г)	204
		Д)	56

 

3. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время пассажирского поезда, при котором ускорение а = 212, равно ….

 

Ответ: ________________

 

4. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный пассажирским поездом за 3 секунды от начала движения, равен ….

 

Ответ: ________________

Вариант 3

1. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение гоночного автомобиля в момент времени  равно …

 

Варианты ответа:

А) 28

Б) 12

В) 45

Г) 46

 

2. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость гоночного автомобиля на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения гоночного автомобиля.

 

1.	t = 1	А)	490
2.	t = 2	Б)	2
3.	t = 3	В)	253
4.	t = 5	Г)	28
		Д)	102

 

3. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время гоночного автомобиля, при котором ускорение а = 46, равно ….

 

Ответ: ________________

 

4. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный гоночным автомобилем за 5 секунд от начала движения, равен ….

Ответ: ________________

Вариант 4

1. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Ускорение велосипедиста в момент времени  равно …

 

Варианты ответа:

А) 144

Б) 347

В) 146

Г) 560

 

2. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость велосипедиста на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения велосипедиста.

 

1.	t = 1	А)	11
2.	t = 2	Б)	119
3.	t = 3	В)	50
4.	t = 4	Г)	139
		Д)	218

 

3. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время велосипедиста, при котором ускорение а = 114, равно ….

 

Ответ: ________________

 

4. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный велосипедистом за 4 секунды от начала движения, равен ….

Ответ: ________________

Приложение 7

Правильные ответы

 

	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
Задание 1	Б	А	Г	А
Задание 2	1 – В	1 – Б	1 – Б	1 – А
	2 –А	2 –Д	2 –Г	2 –В
	3 – Г	3 – Г	3 – Д	3 – Б
	4 –Б	4 –В	4 –А	4 – Д
Задание 3	4	3	2	4
Задание 4	108	144	475	280

 

Приложение 5

 

Задачи на применение первообразной и интеграла

 

№1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением . Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.

№2 Поезд движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.

№3 Скорость движения тела изменяется по закону  м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

№4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

№5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью  м/с, другое – со скоростью  м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?

№6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями  м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

№7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t₀ = 1с электровоз имел скорость V₀ = 0,05м/с.

Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.

№8 Скорость электровоза, движется прямолинейно изменяется по закону (м/с).

Какая скорость была у электровоза в момент времени с.

Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.

Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.