Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Разработка кружка по математике для 10-11 классов

Разработка кружка по математике для 10-11 классов

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:




Міністерство освіти і науки України

Луганський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти



Кафедра природничо-наукових дисциплін і методики їх викладання

Програма математичного гуртка

для учнів 10,11 класів



Творчий проект

Музикантової О. К. слухача курсів

підвищення кваліфікації

вчителів математики вчителя ЗШ№1 м. Краснодона



Краснодон

2012

Зміст

занять

Теми занять

Кількість годин

Примітки

 

 

Тема 1. Діофантові рівняння

2

Презентація №1 

Тема 2. Тригонометричні функції

11

 

1

Числове коло. Функції Y = sinX,

Y = cosX, Y = tgX, Y = ctgX, та їх графіки.

 

Презентація №2 

2

Кускові тригонометричні фунції

 

 

3

Рішення тригонометричних рівнянь


Презентація №3

4,5

Функціонально - графічний метод рішення тригонометричних рівнянь

 

 

6,7

Метод тригонометричних підстановок.

 

 

8,9

Рішення ірраціональних тригонометричних рівнянь.

 

 

10,11

Метод розкладання на множники.

 

 


Тема 3. Рішення більш складних ірраціогальни рівнянь.

7

 

1,2

Метод підстновки. Застосування властивості монотонності фунції при

 

 


Розв'язання ірраціональних рівнянь.

 

 

3,4

Графічний метод рішення ірраціональних рівнянь.

 

 

5,6,7

Рішення рівнянь та систем з параметрами.

 

Презентація №4


Тема 4. Математичні розваги.

4

Презентація №5 


Пояснювальна записка

Людство вступає в час постійних змін. Здатність сприймати зміни і творити їх – це найважливіша характеристика способу життя людини в ХХI столітті. Викладання математики має на меті досягти такого рівня розвитку, а також знань, умінь і навичок, який потрібний для їх підготовки для практичної діяльності в умовах сучасного виробництва , для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів ( фізики, інформатики, хімії, біології) і продовження освіти у вищих навчальних закладах. Загальному піднесенню математичної підготовки має допомогти правильна організація позакласної роботи. Роботу математичного гуртка необхідно організовувати відповідно до здібностей дитини,її здатності до навчання і таланту. Математичний гурток допомагає розширенню кругозору учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології. Мета цієї програми – познайомити учнів з основними прийомами і методами міркувань, які відповідають математичному стилю мислення, розкрити зміст деяких спеціальних видів задач, направлених на розвиток логічного , математичного та нестандартного мислення школярів, допомогти оволодіти навичками пошуку міркувань, які ведуть до математичного відкриття, а також розвивати позитивні риси особистості: кмітливість, зосередженість, активне сприйняття знань , наполегливість в доланні труднощів.

Якщо термін «Задача» розуміти ширше (зокрема, включити в число задач і вправи на обчислення, і вправи на доведення тверджень на інше), то можна стверджувати, що вивчення математики здійснюється в процесі розв’язування задач. І так, як в розв’язуванні кожної задачі, є зернина відкриття, то в ньому повинне мати місце здогадка, інтуїція, аргументоване міркування, яке відповідає здоровому глузду.

Для розв’язування таких задач, крім знань із відповідних розділів шкільної математики, знадобляться спостережливість, вміння порівнювати, проводити аналогії, узагальнювати і систематизувати набуті знання, робити висновки і їх обґрунтовувати.

Програма розрахована на 24 години (з листопада по травень по 4 години на місяць). До кожної з тем підібрані такі задачі, які відповідають рівню їх навченості. Задачі різної складності, які розв’язуються на заняттях, дають можливість здійснювати індивідуальний підхід в навчанні, забезпечити активну участь в пошуку розв’язування їх учнів з різним рівнем навченості.

Також треба стимулювати найбільш здібних і обдарованих учнів складати свої задачі на задану тему, що сприятиме удосконаленню їх знань і вмінь.






















Тема 1. Діофантові рівняння. Практична частина.


Розв’язування рівнянь у цілих числах є однією з найстародавніших математичних задач. Уж на початку другого століття до нашої ери вавилоняни вміли їх розв’язувати. Найбільшого розвитку ця галузь математики досягла в Стародавній Греції. Основним джерелом для нас є «Арифметика» Діофанта (III ст. до н. е.).

Діофантові рівняння користуються популярністю і сьогодні. Майже на кожній олімпіаді з математики зустрічаються рівняння такого виду. Пропонують ці рівняння і на вступних екзаменах у вищі навчальні заклади. Діофантовими рівняннями називаються алгебраїчні або система алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами з двома або більшою кількістю невідомих, для яких знаходять цілі (або раціональні розв’язки, причому число невідомих повинно бути більшим від числа рівнянь).

1.1 Розв’язати рівняння в натуральних числах.

7х + 3у = 23.

Алгоритм.

  1. Виразим одну змінну через іншу:

hello_html_m4d37023e.gif=hello_html_m472ef70b.gif

2.Виділим з дробу цілу і дробову частини:

hello_html_134aa859.gif

  1. Відібрати необхідні числа згідно з умовами

hello_html_318c7a57.gif = 2, hello_html_m4d37023e.gif = 3.

  1. Виконаємо перевірку.

7hello_html_9fdedf2.gif 2+3hello_html_9fdedf2.gif3 =23

Відповідь: (2;3).

1.2 На станцію привезли 420 тон вугілля у вагонах по 15 тон, 20 тон і 25 тон. Скільки і яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

Розв’язання :

Нехай було Х вагонів по 15 тон; У вагонів по 20 тон.

Тоді було (27-Х-У) вагонів по 25 тон.

Складаємо рівняння:

15Х + 20У + 25(27-Х-У) = 420

15Х + 20У + 675 – 25Х-25У = 420

-10Х- 5У = -255

У = 51-2Х

Так як вагонів було всього 27, отже Х = 25, У = 1, Z = 27-25-1 = 1

Відповідь: 25 вагонів по 15 тон, 1 вагон по 20 тон, 1 вагон по 25 тон.

1.3 Розв’язати рівняння в цілих коренях:

7(X + Z + YXZ) = 10 (1 + YZ)

Запишемо пропорцію зібравши зліва змінні:

hello_html_m42ae7a3f.gif= hello_html_m585bf223.gif

Далі запишемо ліву і праву частини ланцюговими дробами:

hello_html_m585bf223.gif = 1 + hello_html_2a8040cc.gif = 1 + hello_html_m33009e8d.gif

hello_html_m42ae7a3f.gif =hello_html_m6a7e941b.gif=x+hello_html_611394e5.gif;

hello_html_2159213e.gif=1+hello_html_m53b3baa7.gif

Отже, х=1,у=2,z=3.

1.4 Великий оркестр демонстрував своє мистецтво на площі. Спочатку музиканти вишикувались у квадрат, а потім перешикувались у прямокутник, причому кількість шеренг збільшилась на 5. Скільки музикантів в оркестри.

Розвязання:

Нехай було hello_html_318c7a57.gif шерег по hello_html_318c7a57.gif музикантів, тоді (hello_html_318c7a57.gif + 5) шеренг після перебудови по У музикантів.

Кількість музикантів не змінилася.

hello_html_318c7a57.gif 2 = (hello_html_318c7a57.gif + 5)У, тоді hello_html_4fdb7e2.gif

hello_html_m6cf5b925.gif

hello_html_318c7a57.gif =20

20hello_html_9fdedf2.gif 20 = 400 музикантів.

Відповідь:400





























Тема II. Тригонометричні функції. Практична частина.


    1. hello_html_m44625440.pngЯким числам відповідають точки А, F, Е, К, В, L, С, Р, Д, S, якщо відомо, що Е – середина дуги АВ, L – середина дуги ВС, дуги АF,FK, КВ – рівні.

Відповідь: hello_html_m617d9fd4.gif; hello_html_6d237202.gif; hello_html_m201e832c.gif; hello_html_91887b3.gif; hello_html_79948b9a.gif hello_html_m1b6ca8b1.gif; hello_html_m3fecd4a.gif.

hello_html_m44625440.png1.2. Яким числам відповідають точки А,N, K, M, D, L, C, F, B,якщо відомо, що К – середина дуги АД, F – середина дуги СВ, а дуги АN, NM, MD, DL – рівні.

Відповідь: hello_html_m2019397d.gif; hello_html_69ab8c.gif; hello_html_2bc09a11.gif; hello_html_1b859310.gif hello_html_47711975.gif; hello_html_m25ed9666.gif

hello_html_m5692df9.png1.3. Знайти точки, які відповідають числам 1;2;3; - 5.

Так,як hello_html_40a1515f.gif, а hello_html_5c8e4f97.gif, тому точка 1 розташовується на дузі АВ ближче к В, точки 2 та 3 – на дузі ВС, перша – ближче к В, друга – ближче к С. Щоб знайти -5, треба рухатись з А у від’ємному напрямі, тобто за годинною стрілкою. Якщо дійдемо в цьому напрямі до В (hello_html_m136fe200.gifтобто hello_html_m1bd4eddb.gif.

Тому -5 знаходиться праворуч точки В.

hello_html_56ab4942.png1.4 Для складання аналітичних записів (подвійних нерівностей) для дуг числового кола, розглянемо для приклада відкриту дугу МР, де М – середина першої чверті числового кола, а Р – середина її другої чверті. Нерівність, що являє собою аналітичну модель дуги, ми складемо у два етапи.

На першому етапі складемо ядро аналітичної записі, для заданої дуги МР отримаємо hello_html_5123cb4c.gif

На другому етапі складемо загальний запис:

hello_html_32465fe7.gif

Для дуги РМ треба врахувати, що А (О) лежить в середині дуги, а тому к початку дуги необхідно рухатись у від’ємному напрямі. Отже, ядро аналітичного запису дуги РМ має вигляд:

hello_html_87dbcb6.gif , а загальний запис буде мати вигляд

hello_html_m3f2cd1ee.gif.

Рішення цих вправ дозволяє будувати надійний фундамент для успішного засвоєння вивчає мого матеріалу.


2.1 Після повторення властивостей функцій Y = sin X, Y = cos X, Y= tg X, Y = ctg X по можливості, треба розглянути рішення так званих кускових функцій - функцій, які задані різними формулами на різних проміжках.

Збудувати графік функції

hello_html_14afc92e.pnghello_html_m5087b109.gif

2.2 Розв’язати рівняння.

hello_html_m675a3079.gif

hello_html_m119ab664.pngПобудуємо графік hello_html_m1a679366.gif. Розглянемо функцію hello_html_m381d6df7.gif. Якщо hello_html_2ab47546.gif, то hello_html_4c9132d2.gif, тоді hello_html_6ed87063.gif. Якщо hello_html_11dacbaf.gif, то hello_html_3d440413.gif, тоді hello_html_1dffcf06.gif

Отже, hello_html_6516889e.gif

hello_html_m7bdd93f2.pngГрафік цієї функції має такий вигляд.

hello_html_3a58cabd.pngА зараз зобразимо обидва графіка в одній системі координат.

Обидва графіка перетинаються у двох точках, які симетричні відносно прямій hello_html_6dd5e875.gif. Зрозуміло, що абсциса точки перетину належить інтервалу hello_html_m414d43a.gif,тоді hello_html_50f4ece2.gif, тоді hello_html_7a67798e.gif.

Відповідь: hello_html_m3661a75e.gif; hello_html_m638f9bc3.gif.


2.3 Побудувати графіки:

hello_html_34f5df01.png1) hello_html_m2eb8da73.gif

hello_html_m1a3acd6a.png2) hello_html_ab0c42c.gif

hello_html_73eb173a.png3) hello_html_m7a5c99fa.gif

2.4 Розв’язати рівняння

hello_html_4ddd05b8.gif

Розв’язання:

Нехай hello_html_m50c31f3c.gif; hello_html_m706741bc.gif.

Будуємо ескізи графіків в одній системі координат.

hello_html_57d5f5c8.png hello_html_m1c5ea40d.gif;

Відповідь: розв’язків немає.

2.5 Розв’язати рівняння.

hello_html_m168e8ff3.gif

Розв’язання:

hello_html_4781566.png hello_html_m6cfe4190.gif hello_html_m3167b3dd.gif; hello_html_mad29583.gif

Розв’язок лише один, від’ємний.

Перевіримо:

hello_html_1b411649.gif; hello_html_m3d325549.gif; hello_html_m5875182b.gif.

Корінь знаходиться в проміжку hello_html_1314c5fb.gif, але точно знайти його неможливо. Існують способи наближеного обчислення коренів рівнянь, але ми не розглядаємо їх.

2.6 Розв'язати рівняння

hello_html_6d17fb46.gif

Розв’язання. Ескізи графіків hello_html_3157ccdb.gif та hello_html_4fb2bb17.gif в одній системі координат показують, що ці функції дотикаються при hello_html_74720bd0.gif.

Але те, що ми бачимо на графіках, треба довести аналітичним методом.

Нехай hello_html_m5ae743b1.gif, hello_html_m3266751.gif.

Нехай hello_html_35a5914c.gif, тоді hello_html_46fe02b4.gif і hello_html_m4df7dc4.gif.

Кутовий коефіцієнт дотичної до двох кривих у точці (1;1) той самий, тобто hello_html_61469cee.gif; тобто, дотична спільна, інших точок перетину немає.

Відповідь: 1.

У шкільній програмі багато часу приділено рішенню тригонометричних рівнянь, але зовнішнє тестування показало, що треба учнів знайомити з нестандартними способами, які допоможуть учням успішно засвоїти матеріал та підготуватися до вступних іспитів в вузи.

Метод тригонометричних підстановок застосовують у тих випадках, коли, зокрема, область визначення змінної │x│≤ 1, тоді застосовують підстановку

х = hello_html_m1df71c12.gif; t hello_html_54a4056f.gif [- hello_html_m615e21be.gif; hello_html_m615e21be.gif], або x = hello_html_m7c49b437.gif, t hello_html_54a4056f.gif [ 0; π].

3.1. Скільки коренів на відрізку [0;1] має рівняння:

8х (2х2 – 1) (8х4 – 8х2 + 1 ) = 1

Розв’язання:

Якщо х hello_html_54a4056f.gif [ 0; 1], то існує (і тільки одне) число t із відрізка [ 0; hello_html_m615e21be.gif] таке, що х=hello_html_m7c49b437.gif. Підставимо х=hello_html_m7c49b437.gif в вихідне рівняння, одержимо рівняння 8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m7dc6e27a.gif)(8hello_html_m2fd78d37.gif - 8hello_html_m12ce0c02.gif +1)=1(*). Виконаємо в ньому тотожні перетворення:

8hello_html_m2fd78d37.gif - 8hello_html_m12ce0c02.gif +1 = 8hello_html_m12ce0c02.gif(hello_html_m12ce0c02.gif -1) + 1 =

=8hello_html_m12ce0c02.gif(- hello_html_mf3c18ce.gif) + 1 = - 8hello_html_4fff39f3.gif + 1 =

= -2hello_html_m53097d21.gif + 1 = -2hello_html_m53097d21.gif + hello_html_m53097d21.gif + hello_html_1a8c131.gif =

= hello_html_1a8c131.gif - hello_html_m53097d21.gif = hello_html_m2dd7de1b.gif.

8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m7dc6e27a.gif) = 8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m12ce0c02.gif - hello_html_mf3c18ce.gif - hello_html_m12ce0c02.gif) =

= 8hello_html_47fe0c5c.gif (hello_html_m12ce0c02.gif - hello_html_mf3c18ce.gif) = 8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif.

8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif = 1 (**).

Так як hello_html_m1df71c12.gif = 0 не задовольняє рівняння (**), помножено останнє рівняння на hello_html_m1df71c12.gif ≠ 0, одержимо

8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m1df71c12.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

4hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m7d1a3eb6.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

2hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m2f4b750.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

hello_html_4ff96a4a.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

hello_html_4ff96a4a.gif - hello_html_1d48fbbb.gif;

2sin hello_html_m4037c80e.gif cos hello_html_m49a4d121.gif = 0.

sin hello_html_m3badbe59.gif = 0; hello_html_m3badbe59.gif = πn; t = hello_html_m359bc5a1.gif; n hello_html_54a4056f.gif Z

cos hello_html_m49a4d121.gif = 0; hello_html_m49a4d121.gif = hello_html_m615e21be.gif + πk; t = hello_html_6c03d04b.gif + hello_html_m46b305b5.gif, k hello_html_54a4056f.gif Z.

Врахуємо, що t hello_html_54a4056f.gif [ 0; hello_html_m615e21be.gif], одержимо n = hello_html_m3b0dd11f.gif; hello_html_6c03d04b.gif;hello_html_m40fe6050.gif.

Відповідь: 3 кореня.


3.2.Розвязати рівняння:

hello_html_m6863a854.gif = 4hello_html_490461b6.gif

Рoзв’язання

Область визначення рівняння |x|hello_html_4db82a94.gifПідстановка

х=hello_html_1566e1f2.gif Одержимо рівняння hello_html_m60e08e2f.gif =

=4 hello_html_48e92359.gif hello_html_m7c49b437.gif.sin t│= cos 3t. Так як t hello_html_54a4056f.gif [0;π], то sin t≥0, тоді рівняння має вигляд sin t = cos3 t.

cos3t – sin t = 0;

cos3t – cos( hello_html_m615e21be.gif - t) = 0

-2 sin ( 2t - hello_html_m7b1b341f.gif )sin (t + hello_html_m7b1b341f.gif ) = 0.

sin(2t - hello_html_35d90ba8.gif ) = 0 2t - hello_html_m7b1b341f.gif = πn; t = hello_html_mf20a5fe.gif + hello_html_5744e910.gif, n hello_html_54a4056f.gif Z


sin (t + hello_html_m7b1b341f.gif ) = 0 t + hello_html_m3c10f78b.gifπk; t=-hello_html_57cbd8c4.gifZ

t=hello_html_m3d87de7.gif Z

тоді

t= hello_html_1a9d0c4c.gif+ hello_html_63bb1e36.gif

Із одержаних серій розв’язків візьмемо лише ті, де thello_html_6af1c94d.gif

t=hello_html_6d70f6ab.gif

Тоді х=hello_html_m71b3acda.gif

Можна перейти до числових значень х:


hello_html_ma6321b5.gif

hello_html_m6389738b.gif

= - hello_html_4a269bb0.gif .

Coshello_html_1a9d0c4c.gif= - coshello_html_m21da43e4.gif

Відповідь: х = cos hello_html_436a8aab.gif

х = hello_html_2f3ccf8e.gif ; х = -hello_html_m5ec1f877.gif.

4.1 Доведіть, що ас + вdhello_html_m32e688f5.gif якщо a2 +b2 =c2 +d2 =1.

Розв’язання . Покладемо: а=hello_html_2074b3f4.gif.

Тоді ac + bd =coshello_html_6fd7bfe6.gif + sinhello_html_m642dc2f7.gif

4.2.Розв’язати рівняння

hello_html_7623bf3.gif= 2х2 _

Розв’язання

Область визначення рівняння хhello_html_54a4056f.gif[-1;1].

Підстановка х=cos t;thello_html_6af1c94d.gif

hello_html_1cf76166.gif=2cos2-1+2costhello_html_3077136c.gif2t;

hello_html_m1cda1898.gif = 2hello_html_d0177b7.gif+2hello_html_m1051dbd8.gif;

hello_html_ma8cb59f.gif |hello_html_m54b40254.gif = hello_html_m206dc625.gif+ 2hello_html_7d89a1a3.gif thello_html_6af1c94d.gif

hello_html_463cb902.gif = hello_html_115e5276.gif

hello_html_53970152.gif = hello_html_m5921682c.gif + hello_html_m7d1a3eb6.gif,

hello_html_m1fd05904.gif = hello_html_22ae1914.gif

hello_html_7dd135a3.gif=hello_html_m67d900aa.gif

hello_html_7b67599c.gif = 0;

2hello_html_m24097b0e.gif + hello_html_mf20a5fe.gif )hello_html_m172b472.gif=0 ;

hello_html_29d6997c.gif ) = 0; hello_html_m3b368101.gif + hello_html_mf20a5fe.gif = hello_html_m683b575e.gif Z

t = - hello_html_m3661a75e.gif + hello_html_m59292526.gif , nhello_html_54a4056f.gif Z ;

hello_html_m2ab939a9.gif) = 0; t = hello_html_m33c94bbd.gif + hello_html_m75963fa.gif

Відберемо ті значення t, що задовольняють умові thello_html_6af1c94d.gif

Одержимо t= hello_html_m169d3650.gifТоді x = hello_html_m4732f7a0.gif.

Відповідь: x= hello_html_m1166754.gif.

4.3 Розвязати рівняння

hello_html_m2c16e0b4.gif + 7hello_html_m48253329.gif = 5.

Нехай u = hello_html_m71ecefa.gif , тоді hello_html_mdde8092.gif hello_html_m31864c7d.gif

hello_html_6c6b7e69.gif

hello_html_m4552481f.gif

12u2- 2u-2=0

6u2-u-1=0

u1=hello_html_m14c71398.gif u2=-hello_html_m3db4c05a.gif

Отже , ми маємо

hello_html_5b46fbe.gif +hello_html_c0d4536.gif

отже х = 2 arctan hello_html_m23ff0d59.gif

Або tan hello_html_571212e3.gif звідки hello_html_m22688af.gif a 2arctan hello_html_3f4d7fbc.gif hello_html_69a8db38.gif

Відповідь: 2arctan hello_html_m4893ee17.gif

-2arctanhello_html_777f084e.gif +2hello_html_m1db96469.gif, n hello_html_d52a17a.gif

5.1 Розв`яжіть рівняння.

hello_html_m9b72eac.gif

Розв’язання. Хай hello_html_4ff2b19d.gif , тоді hello_html_403a4fba.gif

Хай hello_html_m5c9449ad.gif, тоді hello_html_1a7448f3.gif;

hello_html_655e1907.gif.

Отже, hello_html_m50372b55.gif, виходить, рівняння hello_html_2abe7414.gif зводиться к системі рівнянь hello_html_m672c0ddb.gif або к системі рівнянь hello_html_61cb4c98.gif.

Розв’яжемо перше рівняння:

hello_html_3d5a9fe6.gif

hello_html_194dc33a.gif

hello_html_456b2987.gif

hello_html_m53da3a43.gif

hello_html_m30f4e49e.gif

Розв’яжемо друге рівняння:

hello_html_m5e7828be.gif

hello_html_m705e6e1f.gif hello_html_340d4b5a.gif

hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif

Серія hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif вхожа в серію hello_html_m5c68ec3a.gifотже, hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif – рішення системи, а також і рівняння.

Відповідь hello_html_3faf4758.gif hello_html_340d4b5a.gif.

5.2 Розв’яжіть рівняння.

hello_html_m41e0aa60.gif

Розв’язання

hello_html_9149031.gif

Хай hello_html_6a004d24.gif, тоді hello_html_ma6030eb.gif, та рівняння буде мати такий вигляд.

hello_html_4cef5523.gif

hello_html_m6fb7b967.gif, де hello_html_m115b0598.gif

Так як hello_html_m60d0374b.gif, а hello_html_5b03ebc.gif, то перейдемо до системи рівнянь

hello_html_m157bb6ae.gif,

Звідки знаходимо hello_html_m4cadc45.gif, тобто hello_html_m58852756.gif.

Розв’язавши цю систему, маємо відповідь: hello_html_74720bd0.gif; hello_html_72fdc3d.gif

5.3 Розв’язати рівняння

hello_html_m43263332.gif

hello_html_m4f5a2f84.gif

hello_html_6658701.gif

hello_html_7a5d1eb5.gif на hello_html_m563e42c6.gif має серію коренів hello_html_m674b42e6.gif, а цьому відрізки належать три значення: hello_html_31a74a2f.gif.

Крім цього у відповідь треба включити корені рівняння hello_html_5d91eaa8.gifтобто значення 4 и hello_html_m6784ba53.gif.


6.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m63585c20.gif

Рішенням нерівності hello_html_m541fbaa2.gif.

Рішенням рівняння hello_html_2668a294.gif hello_html_m32b9088d.gif.

Якщо hello_html_612fe2ca.gif, то hello_html_m57e9363b.gif, та даному вирізу належить тільки значення hello_html_58e1c1d2.gif.

Якщо hello_html_206e33b3.gif, то hello_html_m56524093.gif, або hello_html_7f7247bf.gif; відрізку hello_html_m3e5f0eb1.gif належить тільки hello_html_358e64d2.gif.

За останніми значеннями параметру hello_html_1d7928b3.gif корені тригонометричного рівняння лежать поза hello_html_m3e5f0eb1.gif.

6.2 Розв’язати рівняння

hello_html_30d5c43e.gif

hello_html_735139c0.gif hello_html_m3cef0b8b.gif

hello_html_3cae9206.gif

hello_html_mc49a8a0.gif, hello_html_m585011f6.gif.

Крім hello_html_m7b1b341f.gif, усі тригонометричного рівняння задовольняють цим умовам.

7.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m38c18d64.gif

Рішення.

Знизимо степінь у лівій частині 4 рази:

hello_html_m7f4751a.gif

hello_html_m887b5aa.gif

hello_html_m78ba4397.gif

hello_html_m5d4d8645.gif

hello_html_m1443b635.gif

hello_html_59efb939.gif

hello_html_m31357c06.gif

hello_html_48a963bc.gif; hello_html_258720a9.gif; hello_html_m21aa4d15.gif

Відповідь: hello_html_47028c05.gif.

7.2 Розв’язати рівняння.

hello_html_384b0c6a.gif.

Рішення.

hello_html_79930591.gif

hello_html_m31ef0e07.gif,

hello_html_m4243cc7b.gif

hello_html_m664a2ec8.gif

Отже, hello_html_696a4fdf.gif, або hello_html_m49c0219e.gif

hello_html_m21aa4d15.gif hello_html_m9399c76.gif

Відповідь: hello_html_m160c578d.gif; hello_html_6e3fb082.gif.

8.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m2dbae849.gif

Якщо hello_html_35b100d8.gif тоді

hello_html_4214994a.gif

Хай hello_html_5ad781a2.gif, а hello_html_5d72f92d.gif, тоді

hello_html_m314e9db8.gif

Отже hello_html_m7cd44d04.gif

hello_html_m7e292819.gif

hello_html_321e6361.gif hello_html_44215e37.gif

hello_html_13b858ec.gif hello_html_m72b7ad2e.gif

hello_html_5d3e8b68.gif hello_html_44371bff.gif

Відповідь: hello_html_46a3be25.gif hello_html_m4398c4f.gif; де hello_html_m19157fbf.gif.




Тема 3. Рішення більш складних ірраціональних рівнянь та нерівностей. Практична частина.


1.1 Розв’яжіть рівняння.

hello_html_m48a0f7e9.gif

Нехай hello_html_m67842fe0.gif, hello_html_625a0b77.gif, тоді

hello_html_m41fda17e.gif;

hello_html_29ac157b.gif;

hello_html_596c4a43.gif;

hello_html_m418563a3.gif, звідки

hello_html_m39539f56.gif; hello_html_m1b6d2b7.gif, так як hello_html_625a0b77.gif

hello_html_23456758.gif не є коренем рівняння.

Отже, hello_html_m28a59aa7.gif

hello_html_m4f7e8f1f.gif

hello_html_4bf3fa87.gif

hello_html_m58ca37e8.gif; hello_html_754bda72.gif.

В цьому випадку після піднесення до квадрату, не можуть з’явитися сторонні корені, так як, підкорінне рівно додатному числу.

Відповідь:hello_html_423511d6.gif; hello_html_16dfa406.gif.

1.2 Розв'язати рівняння.

hello_html_2fbaea59.gif

Розв’язання. Нехай hello_html_6e26bc15.gif, тоді hello_html_7035bafe.gif

hello_html_692f5241.gif

hello_html_m2b2e364a.gif

hello_html_a1a903f.gif

hello_html_51ed6300.gif

hello_html_m2c956217.gif hello_html_m1eb223fd.gif.

Залишається вирішити сукупність двох рівнянь:

hello_html_m19032d5.gif; hello_html_m5cb9ba41.gif.

Перше рівняння має корні hello_html_cae0016.gif друге рівняння коренів не має.

Відповідь: hello_html_7797a96.gif.


2.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_7905222d.gif

Розв’язання:

hello_html_m71f1f322.gif область визначення

hello_html_204a3c51.gif зростаюча функція, hello_html_6b1ec4e4.gif спадна. Якого виду монотонність функції hello_html_m7c0c2b97.gif нічого н можна сказати без додаткового дослідження її за допомогою похідної.

hello_html_e0d7c35.gifзростаюча функція. Перетворимо ліву частину так:

hello_html_m325713d8.gif .

Ця функція – спадна. У рівнянні функції різної монотонності, тому корінь може бути лише один. Перевіримо hello_html_5c6e2151.gif.

hello_html_m454c6e10.gif; hello_html_m44f295c0.gif. Відповідь: hello_html_5c6e2151.gif.

2.2 Розв’язати рівняння

hello_html_m3d12c233.gif.

Розв’язання:

Область визначення рівняння hello_html_m1aa4828d.gif. Функція hello_html_2379cbd4.gif і hello_html_34a3bf01.gifспадні, тоді сума двох спадних функцій також спадна функція. Функція hello_html_1d06025b.gifзростаюча, тому корінь рівняння лише один. Підбором hello_html_74720bd0.gif робимо перевірку hello_html_m79920d57.gif; hello_html_3b9d09bb.gif.

Відповідь: 1.


2.3 Розв’язати рівняння.

hello_html_m1b05d7d6.gif

Розв’язання:

Область визначення рівняння hello_html_m12816fa4.gif. Функції hello_html_41566e45.gif; hello_html_349d2895.gifзростаючи, їх сума – функція зростаюча. Функція hello_html_703a0ee3.gif спадна. Корінь рівняння може бути лише один. Підбором hello_html_74720bd0.gif, робимо перевірку.

hello_html_m6f11338.gif; hello_html_m1db860f.gif.

Відповідь: hello_html_74720bd0.gif


3.1 Розв’язати рівняння

hello_html_32897547.gif.

Розв’язання:

Графіки функцій hello_html_41566e45.gif та hello_html_7f2c51e1.gif перетинаються у двох точках (1;1) і (4;2). Отже, рівняння має два кореня: hello_html_m77d61438.gif

hello_html_m5b870f16.pngВідповідь: 1; 4.


3.2 Побудуйте кускову функцію hello_html_4dac13be.gif

hello_html_m5b155c4e.gif, та розв’яжіть рівняння якщо hello_html_mf46b5fc.gif

hello_html_34ef5ed1.pngРозв’язання:

Графіки функцій hello_html_51c9c2f0.gif, та hello_html_25fe2338.gif, якщо hello_html_m5075fcdb.gif мають спільну точку (1; 1). Отже, рівняння має один корінь: hello_html_74720bd0.gif.


4.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m6f64f5ba.gif.

Розв’язання:

hello_html_3ac9d5f5.gifhello_html_m434b5dea.gif область визначення рівняння.

Нехай hello_html_m781646a.gif; hello_html_77b0b9d9.gif.

hello_html_m4b0ebbeb.pngБудуємо ескізи графіків hello_html_24e6c04.gif та hello_html_m6b4743bb.gif.

hello_html_24e6c04.gif =hello_html_m65189392.gif

hello_html_777f6a6b.gif;

hello_html_195a9713.gif.

Графіки дотикаються при hello_html_74720bd0.gif.

Других спільних точок у графіків немає, хоч це слід обґрунтувати аналітично.

Робимо перевірку.

hello_html_74720bd0.gif; hello_html_79f73922.gif; 2 = 2.

Відповідь: hello_html_74720bd0.gif.

4.2 Розв'язати рівняння.

hello_html_m42896dc5.gif

Розвязання:

hello_html_m739888fe.gifhello_html_m1f112472.gifhello_html_m1fffa8ca.gif область визначення рівняння.

hello_html_m2714783d.gif; hello_html_m28e3732e.gif

Будуємо ескізи графіків hello_html_24e6c04.gif та hello_html_m6b4743bb.gif в одній системі координат.

hello_html_626a4175.pnghello_html_m14d7b45d.gif;


hello_html_64ca543a.gif; hello_html_m517d6fba.gif

hello_html_2cd6d0e0.gif лише при умові hello_html_9b30136.gif.

hello_html_m44f663ed.gif при hello_html_1ef2f814.gif

hello_html_m61453207.gif при hello_html_3ea37586.gif

Відповідь: розв’язків немає.


5.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m72ae98cb.gif

Розв’язання:

Маємо hello_html_m43802251.gif.

Якщо hello_html_m6deeeb4a.gif, то hello_html_3dc1d596.gif1

Якщо hello_html_5178506c.gifто hello_html_1ce2628a.gif задовольняє умові hello_html_168fd84e.gif, отже є коренем рівняння;

Якщо аhello_html_4b237fde.gif, то hello_html_318c7a57.gif1=1 не задовольняє умові

hello_html_3da405fe.gif, тобто стороннім коренем.

Відповідь: якщо hello_html_679e75d7.gif, то hello_html_318c7a57.gif1=1, hello_html_m654ad75f.gif

якщо hello_html_m3ce45250.gif, то hello_html_3a29f8e7.gif.

5.2. При яких значеннях параметрах hello_html_1e98a3ac.gif, рівняння (hello_html_5f134677.gif)(hello_html_12e47f9b.gif має один корінь?

Розвязання:

Маємо: hello_html_22194b0f.gif hello_html_25860e7d.gif. Єдиний корінь, по перше, у випадку, коли hello_html_222acd09.gif та, по-друге, коли з двох значень (hello_html_22194b0f.gif hello_html_25860e7d.gif) один є стороннім коренем, а саме hello_html_25860e7d.gif. Це можливо, коли hello_html_m27783fcd.gif не належить області визначення рівняння:

hello_html_m28f6172c.gif тобто при hello_html_35db6200.gif

Відповідь: hello_html_4cfa0713.gif або hello_html_1bbac661.gif

6.1. Розв’язати рівняння.

hello_html_23cb3f7.gif

Нехай: hello_html_m711ddd23.gif=hello_html_7db85660.gif Маємо:

hello_html_7eff17d5.gif;

hello_html_1236919c.gif0

hello_html_m2a08a50d.gif=hello_html_m769dea49.gif;

hello_html_50c0ad76.gif;

hello_html_m6d60d175.gif;

Тоді hello_html_749f8d21.gif; hello_html_6c5f62f8.gif

hello_html_m47c1ab3b.gif hello_html_m6ae906c7.gif

Відповідь: hello_html_546b20d.gif: hello_html_6c5f62f8.gif

6.2. Розв’язати рівняння

hello_html_32be8530.gif

Розвязання:

hello_html_17fbc738.gif

Область визначення рівняння. Піднесемо обидві частини рівняння в області визначення до квадрата

hello_html_m5938ecc9.gif

Це рівняння квадратне відносно числа 7.

Нехай hello_html_2a60be36.gif

Тоді hello_html_e4e936a.gif

hello_html_437698d9.gif

hello_html_48a00239.gif

hello_html_68b088a9.gif

hello_html_m7c4f6.gif.

hello_html_m222355bf.gif; hello_html_m35bffac8.gif;

hello_html_5c6e2151.gif не задовольняє області визначення рівняння.

Відповідь: hello_html_676caa71.gif; hello_html_6e473ac7.gif


7.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m64d1e1c9.gif+hello_html_3cd49a05.gif=hello_html_3aafed97.gif

При аhello_html_m61ff14b7.gif ліва частина рівняння не визначена, а при аhello_html_12eb4585.gif0 визначена.

  1. При аhello_html_m61ff14b7.gif немає коренів.

  2. аhello_html_12eb4585.gif0 після зведення у квадрат

2hello_html_5c2559fd.gif=1-2х-2а

Знову зведемо у квадрат та спростимо:

2+4(а-1)х+4а2-4а+1=0

hello_html_544eaf51.gif=4(1-а)2-4(4а2-4а+1)=4(2а-3а2)

Якщо Д=0 а1=0 а2=hello_html_5d842de7.gif

Дhello_html_m61ff14b7.gif аhello_html_mf380f4d.gif

Якщо аhello_html_mf380f4d.gif, то рівняння немає коренів.

Якщо 0hello_html_5a36950d.gif корені рівні

hello_html_318c7a57.gif1,2=hello_html_7724104.gif

Перевірка.

Відповідь: якщо hello_html_4cfa0713.gif; hello_html_75db1398.gif, то коренів немає; якщо hello_html_m6c633a48.gif, то hello_html_2559d7ff.gif



Тема IV. Математичне тестування





























Література

  1. Бевз В.Г. Історія математики. - Харків:Видавнича група «Основа», 2006.- 176 с.-

(Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 2 (38)).

2. Бевз Г. П. Методи навчання математики. – Харків:Видавнича група « Основа», 2003. – 96 с. – (Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 4).

3. Винниченко Е., Горошко Ю. Розв’язування задач із параметрами за допомогою « GRAN – 1» // Математика в школі. - 2006. - №4. – С. 25-28.

4. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М.: Просвещение, 1990. – 352 с.

5. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров: АСА, 1994. – 272 с.

6. Губа Л. А. Нетрадиційні уроки математики . – Харків : Видавнича група « Основа», 2005. – 96 с.

7. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения. – М.: Народное образование, 2001. – 128 с.

8. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. – 2004.- № 2.- С. 2 – 5.

9. Евсюк С. Л. Математика . Решение задач повышенной сложности .- Минск: Мисанта, 2003. - 224 с.

10. Епишева О. Б.,Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. – М.: Просвещение, 1990.- 127 с.

11. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 – 11 классов/ Ивлев Б. М., Абрамов А, М,, Дудницын Ю. П. и др.. – М.: Просвещение, 195. – 48 с.

12. Звавич Л. И., Рязановский А. Р., Поташник А. М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10 – 11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики :Выпуск 1. – М.: Новая школа, 1996. – 38 с.

13. Інтерактивні технології на уроках математики / Упорядн. І.С. Маркова. – Вид. група «Основа»,2007. – 128 с. – ( Б-ка журналу «Математика в школах України»; Вип. 3(5) (15 шт. по 7,5 грн.).

14. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник/ автори – укладачі: О.Пометун, Л. Пироженко. – К.: А,П,Н,,2002. – 136 с.

15. Концепція математичної освіти 12 – річної школи. // Математика в школі. - №2. – С. 12 – 17.

16. Кушнір І. Шедеври шкільній математики. – К.: Астарта, 1995. – 575 с.

17.Марко М. Е. Дидактичні ігри на уроках математики. – Ужгород: Авторський навчально-виховний комплекс, 2003. – 141 с.

18. Математика після уроків. Тиждень математики / Упоряд. І. С. Маркова. – Харків: Видавнича група «Основа» , 2005. – 176 с. – (Серія « Бібліотека журналу « Математика в школах України»;вип.. 3 ( 27)).

19. Осинська В. М. Нестандартні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь ( на допомогу учням 9 – 11 класів). – Луганськ: Знання, 2006. – 104 с.

20. Шмаков С. А.Игры учащихся – феномен культуры. – М.: Новая школа, 1994. – 240 с.

21. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математики. – М.: Просвещение, 1995. – 222 с.

41


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Для решения таких задач , кроме знаний из соответствующих разделов школьной математики , понадобятся наблюдательность , умение сравнивать , проводить аналогии , обобщать и систематизировать полученные знания , делать выводы и их обосновывать .
Программа рассчитана на 24 часа (с ноября по май по 4 часа в месяц). К каждой из тем подобраны такие задачи , которые соответствуют уровню их обученности . Задачи различной сложности , которые решаются на занятиях , дают возможность осуществлять индивидуальный подход в обучении , обеспечить активное участие в поиске решения их учеников с разным уровнем обученности .
Также надо стимулировать наиболее способных и одаренных учащихся составлять свои задачи на тему , что будет способствовать совершенствованию их знаний и умений
Автор
Дата добавления 23.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров803
Номер материала 36322032300
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх