Пирогова Татьяна Николаевна – учитель высшей категории
МАОУ СОШ № 10 г. Таганрога.
«Решение уравнений с модулем и параметром»
10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».
Цели занятия.
1. повторить различные способы решения уравнений с модулями;
2. провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;
3. развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов.
План занятия.
1. Мотивация.
2. Актуализация знаний.
3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения
| |х| - а |= в от значений а и в.
6. Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
7. Рефлексия.
Ход занятия.
Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце занятия мы с вами станем мудрее.
Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле.
· Определение модуля. Модулем действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.
· Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.
–a 0 a
 |
|–a| = |a| |a| x
· Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,
т.е. длина отрезка [а в]
1) Если a < b 2) Если a > b
a b b a
S = b – a S = a – b
3) Если a = b, то S = a – b = b – a = 0
· Основные свойства модуля
1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x| ≥ 0 для любого x
2. Модули противоположных чисел равны, т.е. |x| = |–x| для любого x
3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е.|x|2 =x2 для любого x
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b| = |a| · |b|
5. Если знаменатель дроби отличен от
нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль
знаменателя, т.е. при b ≠ 0
6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:
| |a| – |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
| |a| – |b| | ≤ |a – b| ≤ |a| + |b|
· График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
·Как построить графики функций? у = |х – а|, у = |х| + в, у = |х – а| + в, у = ||х| – а|
Пример. Решить уравнение 
.
Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.
Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.
Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.
Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.
Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.
Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Здесь используется свойство
модуля 
и то, что обе части уравнения
неотрицательные.
Способ 5. Графическое решение уравнения 
.
Обозначим 
. Построим графики функций 
и 
:
Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни 
и 
.
Самостоятельная работа
решите уравнения:
|
| х – 1| = 3 | х – 5| = 3 | х –3| = 3 | х + 3| = 3 | х + 5| = 3 |
(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2) |
|
|
|
А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:
|
| |х| – 1| = 3 | |х| –5| = 3 | |х| + 3| = 3 | |х| + 5| = 3 |
(
( (0) (нет корней) |
Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в? От чего это зависит?
Исследовательская работа по теме
«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в от а и в»
Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.
Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.
1 группа (по определению) 
2 группа (используя геометрический смысл
модуля) 
3 группа (используя графики функций)
|
|
|
|||||
|
|
1 группа |
2 группа |
3 группа |
|||
|
Нет корней |
в < 0 или в ≥ 0 в + а < 0 |
в < 0 или в ≥ 0 а + в < 0 |
в < 0 или в ≥ 0 в < – а |
|||
|
ровно один корень |
в > 0 и в + а = 0 |
в > 0 и в + а = 0 |
в > 0 и в = – а |
|||
|
ровно два корня |
в > 0 и в + а > 0 – в + а < 0 |
в > 0 и в + а > 0 –в + а < 0 |
в > 0 и в > | а |
|
|||
|
ровно три корня |
в > 0 и – в + а = 0 |
в > 0 и – в + а = 0 |
в > 0 и в = а |
|||
|
ровно четыре корня |
в > 0 и – в + а >0 |
в > 0 и – в + а >0 |
в > 0 и в < а |
|||
Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.
Конечно, необязательно эту схему запоминать. Главное в проведенном нами исследовании было – увидеть эту зависимость, используя разные методы, и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.
Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.
Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
1. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – р– 3| = 7 имеет ровно один корень.
Решение: | |х| – ( р + 3)| = 7
р+3= -7, р = -10. Или геометрически
р + 3–7 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10
 |
- 7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = – а, где в=7, а=р+3
2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – р– 6| = 11 имеет ровно два корня.
Решение: | |х| – ( р + 6)| = 11 геометрически
р + 6–11 р + 6 р + 6+11 р + 6-11<0, р < 5, р + 6+11>0, р > -17
 |
- 11 11
по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в=11, а=р+6. -17< р < 5.
3. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – 4р| = 5р–9 имеет ровно четыре корня.
Решение: по
схеме уравнение такого вида 
имеет ровно четыре корня, если
0< 5р–9 < 4р, р >
и р < 9,
т.е. 1
< р< 9.
Ответ: 1 < р< 9.
4. . Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – 2р| = 5р+2 не имеет корней. Решение: 5р+2 <0, или 5р+2 =0 и –2р>0, или 5р+2 >0 и 5р+2 <-2р.
р < –0,4, или р = –0,4, или р> – 0,4 и р <
– 
. Ответ: р < – 
5. При каких значениях параметра р уравнение | |х–4| – 3| + 2р= 0 имеет три корня. Найти эти корни.
Преобразуем уравнение к виду:
| |х–4| – 3|= – 2р.
По схеме уравнение такого вида имеет три корня,
если –2р=3>0,
т.е. р = –1,5.
||х–4|–3| = 3,
|х–4|=0, х = 4,
||х–4|=6, х = –2, х =10.
Ответ: при р= –1,5 уравнение имеет три корня: х1 = –2, х2 = 4, х3 =10.
Подведение итогов занятия. Рефлексия.
Скажите, какие бы вы выделили главные слова занятия? ( Модуль, параметр)
Что мы сегодня повторили? (Определение модуля, геометрический смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений )
Что мы сегодня делали?
|
Что делали?
- повторяли - решали - исследовали -обобщали -доказывали - строили |
Модуль параметр |
Что повторили?
-определение - геометрический смысл - свойства - графики -уравнения - разные методы |
Домашнее задание.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Занятие элективного курса «Свойства функции» для 10 классаЦели занятия.1. повторить различные способы решения уравнений с модулями;2. провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;3. развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов. План занятия.1. Мотивация.2. Актуализация знаний.3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения | |х| - а |= в от значений а и в.6. Решение уравнений с двумя модулями и параметром. 7. Рефлексия.
6 663 802 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Пирогова Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.