Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок. «Решение уравнений с модулем и параметром»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок. «Решение уравнений с модулем и параметром»

библиотека
материалов
hello_html_m652ec1b1.gifhello_html_m239dc246.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m5bdc397c.gifhello_html_m652ec1b1.gifhello_html_m239dc246.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m652ec1b1.gifhello_html_m239dc246.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m49f5116c.gifhello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_m7a6167c5.gifhello_html_m6957515.gifhello_html_m7a6167c5.gifhello_html_a044b79.gifhello_html_658c29e6.gifhello_html_m5035caf3.gifhello_html_a044b79.gifhello_html_658c29e6.gifhello_html_m5035caf3.gifПирогова Татьяна Николаевна – учитель высшей категории

МАОУ СОШ № 10 г. Таганрога.

«Решение уравнений с модулем и параметром»

10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».

Цели занятия.

  1. повторить различные способы решения уравнений с модулями;

  2. провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;

  3. развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов.

План занятия.

  1. Мотивация.

  2. Актуализация знаний.

  3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.

  4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.

  5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения

| |х| - а |= в от значений а и в.

  1. Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

  2. Рефлексия.

Ход занятия.

Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце занятия мы с вами станем мудрее.

Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле.

  • Определение модуля. Модулем действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.

image1844

  • Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.

a 0 a


|–a| = |a| |a| x

  • Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,

т.е. длина отрезка [а в]

1) Если a < b 2) Если a > b

a b b a

S = b a S = a b

3) Если a = b, то S = a b = b a = 0

  • Основные свойства модуля

  1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x| ≥ 0 для любого x

  2. Модули противоположных чисел равны, т.е. |x| = |–x| для любого x

  3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е.|x|2 =x2 для любого x

4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b| = |a| · |b|

hello_html_m3913ed55.gif5. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0

6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:

| |a| – |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

| |a| – |b| | ≤ |ab| ≤ |a| + |b|

  • График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.

  • Как построить графики функций? у = |ха|, у = |х| + в, у = |ха| + в, у = ||х|а|

Пример. Решить уравнение 3

2

x

.


Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.

5

5

,

1

3

2

,

2

1

1

,

2

3

2

,

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2


х



Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.

Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.

.

1

,

5

3

2

,

3

2

3

2

2

1

x

x

x

x

x


Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.

Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.



.

5

,

1

2

1

x

x

5


-1


2


3


3





Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля hello_html_55610a69.gif и то, что обе части уравнения неотрицательные.

.

5

,

1

0

5

4

9

2

9

2

3

2

2

1

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x


Способ 5. Графическое решение уравнения 3

2

x

.

Обозначим

2

1

x

x

f

3

2

x

f

. Построим графики функций hello_html_5a219749.gif и hello_html_mcc39e5a.gif:









-2 -1 0 1 2 3


1


2


-2 -1 0 1 2 3 4 5










-2 -1 0 1 2 3


1


2


-2 -1 0 1 2 3 4 5


Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни hello_html_m34912e96.gif и 5

2

x

.






Самостоятельная работа

решите уравнения:

| х – 1| = 3

| х – 5| = 3

| х –3| = 3

| х + 3| = 3

| х + 5| = 3

(-2; 4)

(2; 8)

(0; 6)

(-6; 0)

(-8;-2)




А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:

| |х| – 1| = 3

| |х| –5| = 3

hello_html_11852162.gif| |х| – 3| = 3

| |х| + 3| = 3

| |х| + 5| = 3

(hello_html_30ac9e6f.gif)

hello_html_m2d0a6f49.gif

(hello_html_1582c5d5.gif)

(0)

(нет корней)


Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х |а |= в? От чего это зависит?

Исследовательская работа по теме

«Определение зависимости количества корней уравнения | | х |а |= в от а и в»

Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.

Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.

1 группа (по определению) hello_html_4c0687a9.gifhello_html_13dbe0ad.gif

2 группа (используя геометрический смысл модуля) hello_html_4c0687a9.gif -в +в

а-в а а+в


3 группа (используя графики функций)

hello_html_m44a9c9c9.gif, а > 0















hello_html_m44a9c9c9.gif, а < 0


















1 группа

2 группа

3 группа

Нет корней

в < 0 или в 0

в + а < 0

в < 0 или в 0

а + в < 0

в < 0 или в 0

в < – а

ровно один корень

в > 0 и в + а = 0

в > 0 и в + а = 0

в > 0 и в = – а

ровно два корня

в > 0 и в + а > 0

в + а < 0

в > 0 и в + а > 0

в + а < 0

в > 0 и в > | а |

ровно три корня

в > 0 и – в + а = 0

в > 0 и – в + а = 0

в > 0 и в = а

ровно четыре корня

в > 0 и – в + а >0

в > 0 и – в + а >0

в > 0 и в < а


Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.



Конечно, необязательно эту схему запоминать. Главное в проведенном нами исследовании было – увидеть эту зависимость, используя разные методы, и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.

Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.


Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

1. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х|р 3| = 7 имеет ровно один корень.

Решение: | |х| – ( р + 3)| = 7

р+3= -7, р = -10. Или геометрически

р + 37 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10


- 7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = – а, где в=7, а=р+3

2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х|р 6| = 11 имеет ровно два корня.

Решение: | |х| – ( р + 6)| = 11 геометрически

р + 611 р + 6 р + 6+11 р + 6-11<0, р < 5, р + 6+11>0, р > -17


- 11 11

по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в=11, а=р+6. -17< р < 5.

3. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – 4р| = 5р–9 имеет ровно четыре корня.

Решение: по схеме уравнение такого вида




имеет ровно четыре корня, если

0< 5р–9 < 4р, р >hello_html_m931adc5.gif и р < 9,

т.е. 1hello_html_36b5a9e0.gif < р< 9.

Ответ: 1hello_html_36b5a9e0.gif < р< 9.




4. . Найти значения р, при каждом из которых уравнение | |х| – 2р| = 5р+2 не имеет корней. Решение: 5р+2 <0, или 5р+2 =0 и –2р>0, или 5р+2 >0 и 5р+2 <-2р.

р < –0,4, или р = –0,4, или р> – 0,4 и р < – hello_html_m1d10b43b.gif. Ответ: р < – hello_html_m1d10b43b.gif

5. При каких значениях параметра р уравнение | |х–4| – 3| + 2р= 0 имеет три корня. Найти эти корни.


Преобразуем уравнение к виду:

| |х–4| – 3|= – 2р.

По схеме уравнение такого вида имеет три корня,

если –2р=3>0,

т.е. р = –1,5.

||х–4|–3| = 3,

|х–4|=0, х = 4,

||х–4|=6, х = –2, х =10.

http://festival.1september.ru/articles/505591/img2.gif



Ответ: при р= –1,5 уравнение имеет три корня: х1 = –2, х2 = 4, х3 =10.




Подведение итогов занятия. Рефлексия.

Скажите, какие бы вы выделили главные слова занятия? ( Модуль, параметр)

Что мы сегодня повторили? (Определение модуля, геометрический смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений )

Что мы сегодня делали?


Что делали?


- повторяли

- решали

- исследовали

-обобщали

-доказывали

- строили




Модуль

параметр

Что повторили?


-определение

- геометрический смысл

- свойства

- графики

-уравнения

- разные методы


Домашнее задание.


hello_html_m2b96123f.gif

Краткое описание документа:

Занятие элективного курса «Свойства функции» для 10 классаЦели занятия.1. повторить различные способы решения уравнений с модулями;2. провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;3. развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов. План занятия.1. Мотивация.2. Актуализация знаний.3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения | |х| - а |= в от значений а и в.6. Решение уравнений с двумя модулями и параметром. 7. Рефлексия.
Автор
Дата добавления 25.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1819
Номер материала 37421032551
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх