Программа подготовки к ЕГЭ по математике

DOCX

Предпросмотр материала:

Пояснительная записка

ЕГЭ по математике совмещает два экзамена – выпускной школьный и вступительный в ВУЗ. В связи с этим материал, усвоение которого проверяется при сдаче ЕГЭ, значительно шире материала, проверяемого при сдаче выпускного экзамена. Наряду с вопросами содержания школьного курса алгебры и начал анализа 10-11 классов проверяется усвоение ряда вопросов курсов алгебры 7-9 классов и геометрии 7-11 классов, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах. Таким образом, для подготовки к сдаче ЕГЭ необходимо повторить не только материал курса алгебры и начал анализа, но и некоторых разделов курса математики основной и средней школы: проценты, пропорции, прогрессии, материал курса планиметрии 7-9 классов и курса стереометрии 10-11 классов.

Данный курс предназначен для учащихся 11 класса и рассчитан на 36 часов. Разработка программы данного курса отвечает как требованиям стандарта математического образования, так и требованиям контрольно-измерительных материалов ЕГЭ. Программа составлена на принципе системного подхода к изучению математики. Она включает полностью содержание курса математики общеобразовательной школы, ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу, расширяющих и углубляющих его по основным идейным линиям, а также включены самостоятельные разделы. Такой подход определяет следующие тенденции:

1. Создание в совокупности с основными разделами курса для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся.

2. Восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию расширенного изучения необходимую целостность.

Программа предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты, обеспечивает прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, достаточных для изучения сложных дисциплин и продолжения образования в высших учебных заведениях.

Цели курса:

- практическая помощь учащимся в подготовке к Единому государственному экзамену по математике через повторение, систематизацию, расширение и углубление знаний;

- создание условий для дифференциации и индивидуализации обучения, выбора учащимися разных категорий индивидуальных образовательных траекторий в соответствии с их способностями, склонностями и потребностями;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса:

- подготовить к успешной сдаче ЕГЭ по математике;

- активизировать познавательную деятельность учащихся;

- расширить знания и умения в решении различных математических задач, подробно рассмотрев возможные или более приемлемые методы их решения;

- формировать общие умения и навыки по решению задач: анализ содержания, поиск способа решения, составление и осуществление плана, проверка и анализ решения, исследование;

- привить учащимся основы экономической грамотности;

- повышать информационную и коммуникативную компетентность учащихся;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Особенное внимание курс подготовки к ЕГЭ по математике в 2014г. уделяет способности учащихся самостоятельно:

- без помощи калькулятора выполнять действия над числами и числовыми выражениями; производить операции над векторами, преобразовывать буквенные выражения, переводить одни единицы измерений в другие;

- сравнивать числа и находить их приближенные значения ( без калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;

- решать уравнения, неравенства, системы и исследовать их решения;

- исследовать математические функции; строить графики функций, заданные уравнениями и неравенствами, на координатной плоскости;

- изображать геометрические фигуры на чертеже: делать дополнительные построения: строить сечения: исследовать взаимное расположение фигур: применять признаки равенства, подобия и взаимного расположения фигур;

- пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессий;

- пользоваться свойствами равенства, подобия и взаимного расположения геометрических фигур, их точек, линий и частей;

- пользоваться формулами и соотношениями, содержащими степени, корни, модули, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади и объема;

- составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи;

- излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.

Структура курса

Данный курс рассчитан на 3 уровня.

1 уровень: Повторение, систематизация материала, устранение пробелов за курс алгебры основной школы (5-9 класс) с целью выравнивания базовых знаний основы для работы на последующих уровнях подготовки.

1. Учащимся предлагаются тренировочные материалы по темам за курс алгебры основной школы для самостоятельного решения дома в течении заданного срока (две- три недели). Проводится ряд индивидуальных консультаций. При необходимости на некоторых консультациях задания решаются на доске.

2. Проводится зачет по заданиям 1 уровня. Задания для зачета берутся из открытого банка заданий единого государственного экзамена.

2 уровень: Систематизация материала по алгебре и началам анализа 10-11 класса. Системное решение заданий, относящихся к первой и второй части экзамена последовательно, от простого к сложному.

1. Учащимся, успешно сдавшим зачет, предлагаются задания второго уровня (тоже на две-три недели). Задания для зачета берутся из открытого банка заданий единого государственного экзамена.Учащиеся, не сдавшие зачет, продолжают получать консультации по курсу алгебры основной школы, остальные по курсу алгебры и началам анализа.

2. На втором зачете каждый учащийся сдает тот материал, который ему необходим.

3 уровень: Повторение и систематизация материала. Разбор наиболее сложных тем курса, преимущественно на примерах заданий ЕГЭ прошлых лет.

1. Учащимся, претендующим на более глубокое знание математики, выдаются задания части С, и следует еще один зачет. Задания для зачета берутся из открытого банка заданий единого государственного экзамена, из книг по подготовке к ЕГЭ.

Учебно-тематическое планирование

Тема 1: Задачи на вычисление, моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

Тема 2: Задания на чтение графика функции (диаграммы), моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

Тема 3: Задачи на оптимальное решение, связанная с анализом практической деятельности и моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

Тема 4: Задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка представляющее собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти на координатной плоскости или клетчатой бумаге.

Тема 5: Задачи по теории вероятностей или статистике.

Тема 6: Рациональное, показательное, логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное уравнения.

Тема 7: Планиметрическая задача, в том числе по готовому чертежу.

Тема 8: Задачи на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции, либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции.

Тема 9: Задачи на вычисление элементов, площадей поверхностей или объёмов многогранников или тел вращения.

Тема 10: Задачи на вычисление значения числового или буквенного выражения.

Тема 11: Текстовые задания на анализ практической ситуации, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, экономические, физические, химические и др. процессы).

Тема 12: Текстовая задача (на движение, работу и т.п.), сводящаяся к составлению и решению уравнения.

Тема 13: Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.

Тема 14: Уравнение или система уравнений с отбором корней.

Тема 15: Задание на вычисление отрезков, площадей, углов, связанных с многогранниками и телами вращения.

Тема 16: Неравенство или система неравенств, содержащих степени, дроби, корни, логарифмы (в том числе с переменным основанием).

Тема 17: Задача на вычисление длин, площадей, углов, связанных с плоскими фигурами.

Тема 18: Задача с параметром, требующая уверенного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем.

Содержание программы

Тема 1: Задачи на вычисление, моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

В1, В2: Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: анализ реальных числовых данных; осуществление практических расчетов по формулам; использование оценки и прикидки при практических расчетах.

Комментарий: для решения задачи уметь выполнять арифметические действия с целыми числами и дробями, делать прикидку и оценку, знать что один процент - это одна сотая часть числа.

Тема 2: Задания на чтение графика функции (диаграммы), моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

В3: Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: описание с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков; извлечение информации представленной в таблицах, на диаграммах, графиках.

Комментарий: простейшее задание на считывание информации в виде диаграммы или графика, возможно требующее незначительных вычислений.

Тема 3: Задачи на оптимальное решение, связанная с анализом практической деятельности и моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

В4: Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: описание с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков; решение прикладных задач, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшее и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Комментарий: чтобы решить задачу достаточно вычислить стоимость товара с транспортировкой для каждой указанных в условии фирм (поставщиков, провайдеров и т.д.) и в ответе указать наименьшую из них. Требуется аккуратность при записи ответа, поскольку числа могут оказаться довольно большими, и неправильная запись одной разрядной единицы приведет к неправильному ответу. Ни в коем случае не следует записывать ответ просто выбрав поставщика с наименьшей ценой: нужно обязательно найти стоимость товара для каждого поставщика с учетом всех условий задачи.

Тема 4: Задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка представляющее собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти на координатной плоскости или клетчатой бумаге.

В5: Планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин углов, площадей)

Комментарий: площадь фигуры может быть вычислена по известной формуле Например, для треугольника или параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те, длины которых выражаются целым числом делений сетки, либо те, которые параллельны осям координат. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.

Тема 5: Задачи по теории вероятностей или статистике.

В6: Задание на построение и исследование простейших математических моделей: моделирование реальных ситуаций с использованием статистических и вероятностных методов, решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием известных формул; вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчёта числа исходов.

Комментарий: Для решения задачи достаточно уметь находить отношение числа благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу всех равновозможных исходов.

Тема 6: Рациональное, показательное, логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное уравнения.

В7: Задание на решение несложного уравнения или неравенства.

Комментарий: Уравнение сводится в одно действие к линейному или квадратному (в последнем случае в зависимости от условия в ответе нужно указать только один из корней - меньший или больший).

Тема 7: Планиметрическая задача, в том числе по готовому чертежу.

В8: Планиметрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); моделирование реальных ситуаций на языке геометрии, исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; практическая задача, связанная с нахождением геометрических величин.

Комментарий: Для решения задачи достаточно знать основные формулы и теоремы планиметрии.

В9: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций.

Комментарий: Для решения задачи достаточно знать, что в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная положительна. В каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна. В каждой точке экстремума непрерывной функции производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции). Обратно, если дан график производной функции, то на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает. На тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает. Общие точки графика производной и оси абсцисс (т.е. точки, в которых производная равна нулю) либо являются точками максимума, если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз (т.е. производная меняет знак с плюса на минус: возрастание функции сменяется убыванием), либо являются точками минимума, если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т.е. производная меняет знак с минуса на плюс: убывание функции сменяется возрастанием), либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её: в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции не меняется).

Тема 9: Задачи на вычисление элементов, площадей поверхностей или объёмов многогранников или тел вращения.

В10, В 13: Стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов).

Комментарий: Для решения задачи достаточно знать свойства правильных пирамид и призм, формулы площадей поверхности и объёмов пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара.

Тема 10: Задачи на вычисление значения числового или буквенного выражения.

В11: Задание на выполнение вычислений и преобразований.

Комментарий: Для решения задачи достаточно уметь выполнять действия с числами, знать определение и простейшие свойства

В12: Задание на использование приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни: описание с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков; извлечение информации, представленной в таблицах, на диаграммах, графиках; решение прикладных задач, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Комментарий: По условию задачи требуется составить уравнение или неравенство, сводимое к линейному или квадратному, решением которого и является искомая величина.

Тема 12: Текстовая задача (на движение, работу и т.п.), сводящаяся к составлению и решению уравнения.

В14: Построение и исследование простейших математических моделей: моделирование реальной ситуации на языке алгебры, составление уравнения или неравенства по условию задачи; исследование построенной модели с использованием аппарата алгебры.

Комментарий: В качестве неизвестной, как правило, лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение является рациональным и сводится в большинстве случаев к квадратному или линейному.

В15: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций.

Комментарий: Решение задания связано с нахождением при помощи производной точек минимума (максимума) заданной функции или её наименьшего (наибольшего) значения на отрезке. При этом возможны два основных случая: либо производная задана графиком, либо функция задана формулой. Если производная задана графиком, то на тех промежутках, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. точки, в которых производная меняет знак), являются точками экстремума. Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке можно использовать стандартный алгоритм.

Тема 14: Уравнение или система уравнений с отбором корней.

С1: Уравнение или система уравнений. Относительно несложное уравнение или система уравнений с отбором корней. Может содержать тригонометрические функции, логарифмы, степени, корни.

Комментарий: Как правило, решение задачи требует замены переменной, позволяющей свести уравнение к квадратному, и отбора

корней, связанного с условием задачи или с ограниченностью новой переменной, наличием выражений с переменной в знаменателях алгебраических дробей, под знаками корней чётной степени и логарифмов.

Тема 15: Задание на вычисление отрезков, площадей, углов, связанных с многогранниками и телами вращения.

С2: Стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов).

Комментарий: Задача по стереометрии, доступная любому успевающему ученику. Как правило, в задаче нужно найти длину отрезка, площадь, угол (между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанные с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром. Дополнительные построения минимальны (например, построение линейного угла «хорошего» двугранного угла и т.д.).

С3: Неравенство или система неравенств. Рациональные, иррациональные, логарифмические неравенства; системы рациональных, иррациональных, показательных неравенств; системы, содержащие логарифмическое неравенство; системы с логарифмами по переменному основанию.

Тема 17: Задача на вычисление длин, площадей, углов, связанных с плоскими фигурами.

С4: Планиметрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).

Комментарий: Довольно сложная задача, часто требующая рассмотрения двух случаев и приводящая к двум разным ответам.

Тема 18: Задача с параметром, требующая уверенного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем.

С5: Уравнение или система уравнений. Задача с параметром, требующая уверенного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем.

Комментарий: Это задание, как и следующее за ним, является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано прежде всего на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов (это не обязательно вузы, готовящие математиков, физиков, программистов - к ним относится, например, и ряд экономических вузов). Если вы претендуете на высокий балл, то нужно постараться решить эту задачу или хотя бы продвинуться в решении этой задачи как можно дальше. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать с изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения. Особое внимание следует уделить задачам с параметром, решение которых основывается на таких свойствах функций, как ограниченность, монотонность, чётность и нечётность, а также требует умения строить графики основных элементарных функций.

Требование к уровню математической подготовки учащихся:

1. Решение задач.

Цель: обобщить и систематизировать методы решения текстовых задач.

Учащиеся должны знать:

· Алгоритм составления уравнения, неравенства для решения задач;

· Приемы решения квадратных, дробно- рациональных уравнений, квадратных неравенств методом интервалов, по знаку старшего коэффициента.

Учащиеся должны уметь:

· выполнять арифметические действия;

· анализировать реальные числовые данные, осуществлять практические расчеты, пользоваться оценкой и прикидкой практических результатов;

· моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры;

· использовать приобретенные знания и умения в практической и повседневной жизни.

2. Выражения преобразования.

Цель: обобщить и систематизировать методы преобразования числовых выражений.

Учащиеся должны знать:

методы преобразования числовых выражений, содержащих корни, степень, логарифмы;
способы преобразования тригонометрических и показательных выражений.

Учащиеся должны уметь:

применять методы преобразования числовых выражений, содержащих корни, степень, логарифмы на практике;
применять способы преобразования тригонометрических и показательных выражений на практике.

3. Функциональные линии.

Цель: научить навыками “чтения” графиков функции, научить методам исследования функции по заданной ее формуле.

Учащиеся должны знать:

свойства функции,
алгоритм исследования функции,
геометрический и физический смысл производной,
функциональные методы решения уравнений и неравенств

Учащиеся должны уметь:

находить область определения функции, множество значений функции;
исследовать функции на экстремум, четность, периодичность;
находить производную функции;
находить наибольшее и наименьшее значения функции, экстремумы функции;
использовать функциональный подход в решении нестандартных уравнений и неравенств.

4. Уравнения и неравенства. Системы уравнений.

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся в решении уравнений, систем уравнений и неравенств.

Учащиеся должны знать:

1. основные методы решения уравнений,

2. основные методы решения неравенств,

3. методы решения систем уравнений,

4. нестандартные приемы решения уравнений и неравенств.

Учащиеся должны уметь:

применять методы решения уравнений на практике,
применять методы решения систем уравнений на практике,
использовать свойства монотонности функции при решения логарифмический и показательных неравенств.

5. Задания с параметром.

Цель: рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

Учащиеся должны знать:

методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

Учащиеся должны уметь:

применять методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

6. Геометрия.

Цель: обобщить и систематизировать основные темы курса планиметрии и стереометрии; отработать навыки решения планиметрических и стереометрических задач.

Учащиеся должны знать:

свойства геометрических фигур (аксиомы, определения, теоремы),
формулы для вычисления геометрических величин.

Учащиеся должны уметь:

применять свойства геометрических фигур для обоснования вычислений,
применять формулы для вычисления геометрических величин,
записывать полное решение задач, приводя ссылки на используемые свойства геометрических фигур.

Дидактический материал для проведения занятий

Тема 1: Задачи на вычисление, моделирующие реальную или близкую к реальной ситуацию.

1. Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

2. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

3. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

4. Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 20 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку?

5. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

6. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

7. Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

8. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

9. В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

10. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?

11. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

12. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

13. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

14. На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек.

15. Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

16. Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в , а прибывает в на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

17. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

18. В общежитии института в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 83 иногородних студентов?

19. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?

20. В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живет в квартире 50. На каком этаже живет Петя?

21. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

22. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

23. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

24. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

25. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

26. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

27. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

28. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

29. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

30. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

1. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в Н $\cdot$ м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н $\cdot$ м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н $\cdot$ м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой $\nu =0,036n$ , где $\emph{n}$ — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 120 Н $\cdot$ м? Ответ дайте в километрах в час.

6C8EC7C960A2A0224376E12BAD6BFEE4/img1.png

3. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры ${{60}^{\circ }}C$ до температуры ${{90}^{\circ }}C$ .

2B40A96CC0119FBF4E6196AA92D4392D/img2.png

4. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.80/img512717n1.png

5. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.92/img512729n1.png

6. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.100/img512737n1.png

7. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков.

MA.E10.B2.186/innerimg0.png

8. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

MA.E10.B2.218/innerimg0.png

9. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

MA.E10.B2.224/innerimg0.png

10. На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена золота на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

MA.E10.B2.262/innerimg0.png

11. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.157/innerimg0.png

12. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.166/innerimg0.png

13. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1999 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.176/innerimg0.png

14. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

MA.E10.B2.161/innerimg0.png

15. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

MA.E10.B2.183/innerimg0.png

1. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А	3200	3,5
Б	4100	5
В	9500	12

2. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План "0"	Нет	2,5 руб. за 1 Мб
План "500"	550 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План "800"	700 руб. за 800 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?

3. Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,25 ${\textrm{м}^{2}}$ . В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 ${\textrm{м}^{2}}$ )	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
A	420	75
Б	440	65
В	470	55

4. Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 ${\textrm{м}^{2}}$ . В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 ${\textrm{м}^{2}}$ )	Резка стекла (руб. за одно стекло)	Дополнительные условия
A	300	17
Б	320	13
В	340	8	При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно.

5. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 500 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	7	3700
Б	Бензин	10	3200
В	Газ	14	3200

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина —- 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

6. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата (в месяц)	Плата за 1 минуту разговора
Повременный	135 руб.	0,3 руб.
Комбинированный	255 руб. за 450 мин.	0,28 руб. (сверх 450 мин. в месяц)
Безлимитный	380 руб.

Абонент выбрал наиболее дешёвый тарифный план исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минутам? Ответ дайте в рублях.

7. Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?

8. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Цена бруса (за 1 ${\textrm{м}^{3}}$ )	Стоимость доставки	Дополнительные условия
A	4200 руб.	10200 руб.
Б	4800 руб.	8200 руб.	При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно
В	4300 руб.	8200 руб.	При заказе на сумму больше 200000 руб. доставка бесплатно

9. Строительной фирме нужно приобрести 75 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Поставщик	Стоимость пенобетона (руб. за за 1 ${\textrm{м}^{3}}$ )	Стоимость доставки	Дополнительныеусловия
A	2650	4500 руб.
Б	2700	5500 руб.	При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно
В	2680	3500 руб.	При заказе более 80 ${\textrm{м}^{3}}$ доставка бесплатно

10. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

11. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

Транспорт	От дома до остановки (станции) пешком	В пути	От остановки (станции) до дачи пешком
Автобус	15 мин.	2 ч 15 мин.	5 мин.
Электричка	25 мин.	1 ч 45 мин.	20 мин.
Маршрутное такси	25 мин.	1 ч 35 мин.	40 мин.

12. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам.
Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

E2C8E3FB2C8043F0A91F96EA6C6856FD/img508992n0.png

13. Строительный подрядчик планирует купить 5 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки?

Поставщик	Цена кирпича (руб. за шт)	Стоимость доставки (руб.)	Специальные условия
А	17	7000	Нет
Б	18	6000	Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 50000 руб.
В	19	5000	Доставка со скидкой 50%, если сумма заказа превышает 60000 руб.

14. В таблице даны тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость минимальной поездки	Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки
А	350 руб.	Нет	13 руб.
Б	Бесплатно	20 мин. — 300 руб.	19 руб.
В	180 руб.	10 мин. — 150 руб.	15 руб.

15. Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерстяной пряжи синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 граммов, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 граммов и окрасить её. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 граммов пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

16. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?

17. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?

18. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель	Процент от выручки, поступающий в доход салона	Примечания
«Альфа»	5 %	Изделия ценой до руб.
«Альфа»	3 %	Изделия ценой свыше руб.
«Бета»	6 %	Все изделия
«Омикрон»	4 %	Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите, продажа какого дивана наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого дивана.

Фирма-производитель	Изделие	Цена
«Альфа»	Диван «Коала»	15000 руб.
«Альфа»	Диван «Неваляшка»	28000 руб.
«Бета»	Диван «Винни-Пух»	17000 руб.
«Омикрон»	Диван «Обломов»	23000 руб.

19. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

20. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1) И. купит все три товара сразу.

2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.

3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

1. Найдите тангенс угла .

MA.OB10.B4.92/innerimg0.jpg

2. Найдите тангенс угла AOB.

MA.OB10.B4.104/innerimg0.jpg

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.6

4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.11

5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.97

6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.1

7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.101

8. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

pic.94

9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.99

10. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.) Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

MA.OB10.B6.65/innerimg0.jpg

11. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

MA.OB10.B6.66/innerimg0.jpg

12. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.227

13. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.228

14. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.233

15. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.113

16. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

pic.114

17. Найдите (в см²) площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см (см. рис.). В ответе запишите $\frac S\pi$ .

pic.224

18. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (9;9).

p4-1/p4-1.1229

19. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (10;9).

p4-1/p4-1.1230

20. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

p2/p2.114

21. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

p5-1-1/p5-1-1.1205

22. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

p5-1-1/p5-1-1.12

23. Площадь треугольника ABC равна 4. — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

MA.OB10.B6.11/innerimg0.jpg

24. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

MA.OB10.B6.14/innerimg0.jpg

25. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

MA.OB10.B6.22/innerimg0.jpg

26. Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

MA.OB10.B6.20/innerimg0.jpg

Тема 5: Задачи по теории вероятностей или статистике.

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.

7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

8. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

9. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

10. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

11. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

12. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

13. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

14. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 $\%$ этих стекол, вторая –– 55 $\%$ . Первая фабрика выпускает 3 $\%$ бракованных стекол, а вторая –– 1 $\%$ . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

15. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

16. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

17. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

18. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

19. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

20. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Тема 6: Рациональное, показательное, логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное уравнения.

2. Найдите корень уравнения ${{\log }_{2}}(4-x)~=~7$ .

3. Найдите корень уравнения ${{\log }_{5}}(4+x)~=~2$ .

4. Найдите корень уравнения ${{\log }_{5}}(5-x)~=~{{\log }_{5}}3$ .

5. Найдите корень уравнения ${{\log }_{2}}(15+x)~=~{{\log }_{2}}3$ .

6. Найдите корень уравнения ${{2}^{4-2x}}~=~64$ .

7. Найдите корень уравнения ${{5}^{x-7}}~=~\frac{1}{125}$ .

8. Найдите корень уравнения ${{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-8}}~=~\frac{1}{9}$ .

9. Найдите корень уравнения ${{\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-2x}}~=~4$ .

10. Найдите корень уравнения ${{16}^{x-9}}~=~\frac{1}{2}$ .

11. Найдите корень уравнения ${{\left(\frac{1}{9}\right)}^{x-13}}~=~3$ .

12. Найдите корень уравнения $\sqrt{15-2x}~=~3$ .

13. Найдите корень уравнения ${{\log }_{4}}(x+3)~=~{{\log }_{4}}(4x-15)$

14. Найдите корень уравнения ${{\log }_{\frac{1}{7}}}(7-x)~=~-2$ .

15. Найдите корень уравнения ${{\log }_{5}}(5-x)~=~2{{\log }_{5}}3$ .

16. Найдите корень уравнения $\sqrt{\frac{6}{4x-54}}~=~\frac{1}{7}$ .

17. Найдите корень уравнения $\sqrt{\frac{2x+5}{3}}~=~5$ .

18. Найдите корень уравнения $\frac{4}{7}x=7\frac{3}{7}.$

19. Найдите корень уравнения $-\frac{2}{9}x=1\frac{1}{9}.$

20. Найдите корень уравнения $\frac{x-119}{x+7}=-5.$

21. Найдите корень уравнения $x=\frac{6x-15}{x-2}.$

22. Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

23. Найдите корень уравнения $\sqrt{-72-17x}=-x.$ Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

24. Найдите корень уравнения $\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac12.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

25. Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{8}\right)^{-3+x}=512.$

26. Найдите корень уравнения $\frac{9}{x^2-16}=1$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

27. Найдите корень уравнения $\frac{13x}{2x^2-7}=1$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

28. Найдите корень уравнения .

29. Найдите корень уравнения $\frac{1}{3}x^2=16\frac{1}{3}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

30. Найдите корень уравнения $\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

31. Найдите корень уравнения $\sqrt{6+5x}=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

32. Найдите корень уравнения $\tg \frac{\pi x}{4}=-1$ . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

33. Найдите корень уравнения $\sin \frac{\pi x}{3}=0,5$ . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Тема 7: Планиметрическая задача, в том числе по готовому чертежу.

1. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\tg A = \frac{1}{5}$ . Найдите AH.

2. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\tg A = 5$ . Найдите BH.

3. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , , $\tg A = \frac{1}{5}$ . Найдите высоту CH.

4. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\sin A = \frac{1}{6}$ . Найдите AH.

5. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\sin A = 0,5$ . Найдите BH.

6. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ . Найдите AH.

7. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , $\sin A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ . Найдите BH.

8. В треугольнике ABC , $\sin A = \frac{7}{25}$ . Найдите AB.

9. В треугольнике ABC , , $\sin A = \frac{7}{25}$ . Найдите AC.

10. В треугольнике ABC , $\cos A = 0,5$ . Найдите AB.

11. В треугольнике ABC , , $\cos A = 0,5$ . Найдите AC.

12. В треугольнике ABC , , $\tg A = \frac{33}{4 \sqrt{33}}$ . Найдите AC.

13. В треугольнике ABC , , $\sin BAC = 0,5$ . Найдите высоту AH.

14. В треугольнике ABC , AH — высота, , $\sin BAC = \frac{7}{25}$ . Найдите BH.

15. В треугольнике ABC , , $\cos BAC = \frac{7}{25}$ . Найдите высоту AH.

16. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , . Найдите $\sin A$ .

17. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, , . Найдите $\cos A$ .

18. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , CH — высота, $BC = 4 \sqrt{5}$ , . Найдите $\tg A$ .

19. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , высота CH равна 20, . Найдите $\sin A$ .

20. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , высота CH равна 4, . Найдите $\cos A$ .

21. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , высота CH равна 4, $BC = \sqrt{17}$ . Найдите $\tg A$

22. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , высота CH равна 24, . Найдите $\sin A$

23. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , высота CH равна 7, . Найдите $\cos A$

24. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 4. Найдите $\sin ACB$ .

25. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите $\cos ACB$ .

26. В тупоугольном треугольнике ABC $AC = BC = 4 \sqrt{5}$ , высота AH равна 4. Найдите $\tg ACB$ .

27. В параллелограмме ABCD , , $\sin A=\frac{6}{7}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

28. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

29. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен $\frac{5}{7}$ . Найдите боковую сторону.

30. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ . Найдите меньшее основание.

31. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен $\frac{5}{11}$ . Найдите высоту трапеции.

32. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен $\frac{13}{8}$ . Найдите большее основание.

33. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

34. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 $^\circ$ . Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

MA.OB10.B6.08/innerimg0.jpg

35. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150 $^\circ$ . Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

MA.OB10.B6.09/innerimg0.jpg

36. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30 $^\circ$ .

MA.OB10.B6.10/innerimg0.jpg

37. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B6.29/innerimg0.jpg

38. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

MA.OB10.B6.30/innerimg0.jpg

1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

3. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

task-1/ps/task-1.2

4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

27488.eps

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

MA.E10.B8.102_dop/innerimg0.jpg

6. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

task-3/ps/task-3.2

7. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение.

task-4/ps/task-4.1

8. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

task-4/ps/task-4.7

9. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

task-5/ps/task-5.1

10. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку .

task-5/ps/task-5.3

11. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку .

task-5/ps/task-5.5

12. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

task-6/ps/task-6.1

13. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

task-6/ps/task-6.9

14. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

task-7/ps/task-7.1

15. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

task-7/ps/task-7.3

16. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

task-8/ps/task-8.1

17. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

task-9/ps/task-9.2

18. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

task-14/ps/task-14.26

19. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

task-14/ps/task-14.4

20. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

task-14/ps/task-14.52

21. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

task-14/ps/task-14.2

22. На рисунке изображен график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

$b8\protob8-24.png$

23. На рисунке изображен график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

$b8\protob8-25.png$

24. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

MA.E10.B8.102_dop/innerimg0.jpg

25. Прямая является касательной к графику функции . Найдите a.

26. Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Тема 9: Задачи на вычисление элементов, площадей поверхностей или объёмов многогранников или тел вращения.

1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.11

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.31

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.51

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.71

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.91

6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.111

7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.151

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.191

9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

b9.313

10. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

C660091758904621B077C86F5231BEA6/img1.png

11. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

CC5AED81ED1A4A0AAC0819910E5B5Dx4/img1.png

12. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его объем.

5D4DBBE57DA1430B9AB263AB440289D0/img1.png

13. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

3AE3C11ECB674975A66566E3077CA3x3/img1.png

14. В цилиндрический сосуд налили $2000\,\,\textrm{cм}^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в $\textrm{cм}^3$ .

E8C97518A74C425EA3D9D1CD457C93D7/img1.png

15. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

B908CB2C808640A3A4DB8DCE4BE1A274/img1.png

16. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 $\textrm{cм}^3$ воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в $\textrm{cм}^3$ .

CAEDAF68D9C34A24B7BA2A2FAAA323x6/img1.png

17. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

74E237350AB34CD898AD180490FB1Ex7/img1.png

18. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 25.

AB6D7860B3AF415DA6B1A8D1E75686x6/img1.png

19. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5C5B1B3B35F646098A8D4EED593828F3/img1.png

20. Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

21. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

MA.E10.B9.04/innerimg0.jpg

22. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

MA.E10.B9.06/innerimg0.jpg

23. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

MA.E10.B9.08/innerimg0.jpg

24. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $\pi$ .

MA.E10.B9.10/innerimg0.jpg

25. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

MA.E10.B9.12/innerimg0.jpg

26. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

MA.E10.B9.16/innerimg0.jpg

27. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

MA.E10.B9.18/innerimg0.jpg

28. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

MA.E10.B9.20/innerimg0.jpg

29. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

MA.E10.B9.38/innerimg0.jpg

30. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

MA.E10.B9.40/innerimg0.jpg

31. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

MA.E10.B9.42/innerimg0.jpg

32. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

MA.E10.B9.44/innerimg0.jpg

33. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

MA.E10.B9.22/innerimg0.jpg

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2.

MA.E10.B9.24/innerimg0.jpg

35. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2.

MA.E10.B9.26/innerimg0.jpg

Тема 10: Задачи на вычисление значения числового или буквенного выражения.

1. Найдите значение выражения $\sqrt{{{65}^{2}}-{{56}^{2}}}$ .

2. Найдите значение выражения $\frac{{{(2\sqrt{7})}^{2}}}{14}$ .

3. Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-\sqrt{7})(\sqrt{13}+\sqrt{7})$ .

4. Найдите значение выражения $\frac{{{3}^{6,5}}}{{{9}^{2,25}}}$ .

5. Найдите значение выражения ${{7}^{\frac{4}{9}}}\cdot {{49}^{\frac{5}{18}}}$ .

6. Найдите значение выражения $\frac{{{2}^{3,5}}\cdot {{3}^{5,5}}}{{{6}^{4,5}}}$ .

7. Найдите значение выражения ${{35}^{-4,7}}\cdot {{7}^{5,7}}:{{5}^{-3,7}}$ .

8. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{2,8}\cdot \sqrt{4,2}}{\sqrt{0,24}}$ .

9. Найдите значение выражения $(\sqrt{3\frac{6}{7}}-\sqrt{1\frac{5}{7}}):\sqrt{\frac{3}{28}}$ .

10. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[9]{7}\cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}$ .

11. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[5]{10}\cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}}$ .

12. Найдите значение выражения ${{\left(\frac{{{2}^{\frac{1}{3}}}\cdot {{2}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt[12]{2}}\right)}^{2}}$ .

13. Найдите значение выражения $\frac{{{({{2}^{\frac{3}{5}}}\cdot {{5}^{\frac{2}{3}}})}^{15}}}{{{10}^{9}}}$ .

14. Найдите значение выражения ${{0,8}^{\frac{1}{7}}}\cdot {{5}^{\frac{2}{7}}}\cdot {{20}^{\frac{6}{7}}}$ .

15. Найдите значение выражения $5\cdot \sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[6]{9}$ .

16. Найдите значение выражения $\frac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ }{\sin 22{}^\circ }$ .

17. Найдите значение выражения $\frac{24({{\sin }^{2}}17{}^\circ -{{\cos }^{2}}17{}^\circ )}{\cos 34{}^\circ }$ .

18. Найдите значение выражения $\frac{5\cos 29{}^\circ }{\sin 61{}^\circ }$ .

19. Найдите значение выражения $36\sqrt{6}\tg \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{4}$ .

20. Найдите значение выражения $4\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{7\pi }{3}$ .

21. Найдите значение выражения $\frac{8}{\sin (-\frac{27\pi }{4})\cos (\frac{31\pi }{4})}$ .

22. Найдите значение выражения $-4\sqrt{3}\cos (-750{}^\circ )$ .

23. Найдите значение выражения $2\sqrt{3}\tg (-300{}^\circ )$ .

24. Найдите значение выражения $24\sqrt{2}\cos (-\frac{\pi }{3})\sin (-\frac{\pi }{4})$ .

25. Найдите значение выражения $\frac{14\sin 19{}^\circ }{\sin 341{}^\circ }$ .

26. Найдите значение выражения $\frac{4\cos 146{}^\circ }{\cos 34{}^\circ }$ .

27. Найдите значение выражения $5\tg 17{}^\circ \cdot \tg 107{}^\circ$ .

28. Найдите значение выражения $\frac{6}{{{\cos }^{2}}{{23}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{113}^{\circ }}}$ .

29. Найдите $\tg \alpha$ , если $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$ и $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};\,2\pi \right)$ .

30. Найдите $\tg \alpha$ , если $\sin \alpha =-\frac{5}{\sqrt{26}}$ и $\alpha \in (\pi ;\,\frac{3\pi }{2})$ .

31. Найдите $3\cos \alpha$ , если $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};\,2\pi \right)$ .

32. Найдите $5\sin \alpha$ , если $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha \in (\frac{3\pi }{2};\,2\pi )$ .

33. Найдите $24\cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha =-0,2$ .

34. Найдите $\frac{10\sin 6\alpha }{3\cos 3\alpha }$ , если $\sin 3\alpha =0,6$ .

35. Найдите значение выражения $\frac{3\cos (\pi -\beta )+\sin (\frac{\pi }{2}+\beta )}{\cos (\beta +3\pi )}$ .

36. Найдите значение выражения $\frac{2\sin (\alpha -7\pi )+\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )}{\sin (\alpha +\pi )}$ .

37. Найдите $\sin (\frac{7\pi }{2}-\alpha )$ , если $\sin \alpha =0,8$ и $\alpha \in (\frac{\pi }{2};\,\,\pi )$ .

38. Найдите $26\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )$ , если $\cos \alpha =\frac{12}{13}$ и $\alpha \in (\frac{3\pi }{2};\,2\,\pi )$ .

39. Найдите $\tg^2\alpha$ , если $5{{\sin }^{2}}\alpha +13{{\cos }^{2}}\alpha =6$ .

40. Найдите $\frac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ , если $\tg \alpha =3$ .

41. Найдите $\frac{10\cos \alpha +4\sin \alpha +15}{2\sin \alpha +5\cos \alpha +3}$ , если $\tg \alpha =-2,5$ .

42. Найдите значение выражения $5\sin (\alpha -7\pi )-11\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )$ , если $\sin \alpha =-0,25$ .

43. Найдите значение выражения $\frac{{{(11a)}^{2}}-11a}{11a^2-a}$ .

44. Найдите значение выражения $\frac{7{{(m^5)}^{6}}+11{{(m^3)}^{10}}}{{{(3{{m}^{15}})}^{2}}}$ .

45. Найдите , если $p(x)=\frac{x(6-x)}{x-3}$ при $x\ne 3$ .

46. Найдите $\frac{a}{b}$ , если $\frac{2a+5b}{5a+2b}=1$ .

47. Найдите $\frac{a+9b+16}{a+3b+8}$ , если $\frac{a}{b}=3$ .

48. Найдите значение выражения $18x^7\cdot {{x}^{13}}:{{(3{{x}^{10}})}^{2}}$ .

49. Найдите значение выражения , если .

50. Найдите значение выражения , если ,

51. Найдите , если .

52. Найдите значение выражения $\frac{5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x}$ при .

53. Найдите значение выражения $\frac{{{a}^{3,21}}\cdot {{a}^{7,36}}}{{{a}^{8,57}}}$ при .

54. Найдите значение выражения $\sqrt{{{(a-6)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-10)}^{2}}}$ при $6\le a\le 10$ .

55. Найдите значение выражения $7\cdot {{5}^{{{\log }_{5}}4}}$ .

56. Найдите значение выражения ${{36}^{{{\log }_{6}}5}}$ .

57. Найдите значение выражения ${{\log }_{0,25}}2$ .

58. Найдите значение выражения ${{\log }_{4}}8$ .

59. Найдите значение выражения ${{\log }_{5}}60-{{\log }_{5}}12$ .

60. Найдите значение выражения ${{\log }_{5}}0,2+{{\log }_{0,5}}4$ .

61. Найдите значение выражения $\frac{{{\log }_{3}}25}{{{\log }_{3}}5}$ .

62. Найдите значение выражения $\frac{{{\log }_{7}}13}{{{\log }_{49}}13}$ .

63. Найдите значение выражения ${{\log }_{5}}9\cdot {{\log }_{3}}25$

64. Найдите значение выражения $(1-{{\log }_{2}}12)(1-{{\log }_{6}}12)$ .

65. Найдите значение выражения ${{\log }_{\sqrt[6]{13}}}13$ .

66. Найдите значение выражения $\frac{{{\log }_{3}}18}{2+{{\log }_{3}}2}$ .

67. Найдите значение выражения ${{5}^{3+{{\log }_{5}}2}}$

68. Найдите значение выражения $\frac{24}{3^{{\log }_{3}2}}$ .

69. Найдите значение выражения $\frac{g(x-9)}{g(x-11)}$ , если $g(x)=8^{x}$ .

1. При температуре $0^\circ {\rm{C}}$ рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ )$ , где $\alpha= 1,2\cdot 10^{ - 5}(^\circ {\rm{C}})^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

2. Некоторая компания продает свою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q)=q(p-v)-f$ . Определите месячный объём производства (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300000 руб.

3. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет времяt падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

4. Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой . Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p$ . Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

5. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

6. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m\left( {\frac{{v^2 }}{L} - g} \right)$ , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с ${}^2$ ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0-\sqrt {2gH_0 } kt + \frac{g}{2}k^2 t^2$ , гдеt — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{{50}}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с ${}^2$ ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где м — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{{100}}\$ м/мин², и $b=-\frac{2}{5}$ м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

9. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где $a = - \frac{1}{{100}}$ м ${}^{ - 1}$ , — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле , где — время в минутах, К, К/мин ${}^2$ , К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К во избежание поломки прибор нужно отключить. Определите, через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор.

11. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{{\beta t^2 }}{2}$ , где t — время в минутах, $\omega = 20^\circ/$ мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 4^\circ/$ мин ${}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $1200^\circ$ . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

12. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч ${}^2$ . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v_0 t + \frac{{at^2 }}{2}$ . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

13. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с ${}^2$ . За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0 t - \frac{{at^2 }}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

14. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг $\cdot\text{см}^2$ , даeтся формулой $I = \frac{{(m + 2M)R^2 }}{2} + M(2Rh + h^2 )$ . При каком максимальном значении hмомент инерции катушки не превышает предельного значения $625\text{кг}\cdot\text{см}^2$ ? Ответ выразите в сантиметрах.

15. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_{\rm{A}} = \rho gl^3$ , где l — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000~\text{кг}/\text{м}^3$ — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем Н? Ответ выразите в метрах.

16. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_{\rm{A}} = \alpha \rho gr^3$ , где $\alpha = 4,2$ — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000~\text{кг}/\text{м}^3$ — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.

17. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: $P = \sigma ST^4$ , где $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}$ — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь $S = \frac{1}{{16}} \cdot 10^{20}$ м ${}^2$ , а излучаемая ею мощность P не менее $9,12\cdot 10^{25}$ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{{d_1}} + \frac{1}{{d_2}} = \frac{1}{f}$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

19. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f(v) = \frac{{f_0 }}{{1 - \frac{v}{c}}}$ (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а м/с. Ответ выразите в м/с.

20. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \frac{\varepsilon }{{R + r}}$ , где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), Ом — его внутреннее сопротивление,R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{\text{кз}} = \frac{\varepsilon }{r}$ ? (Ответ выразите в омах.)

21. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = \frac{U}{R}$ , где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

22. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega ) = \frac{{A_0 \omega _p^2 }}{{|\omega_p^2 - \omega ^2|}}$ , где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$ ), — постоянный параметр, $\omega_p = 360c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$ , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на $12,5\%$ . Ответ выразите в $c^{-1}$ .

23. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=90$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_{{\text{общ}}} = \frac{{R_{1} R_{2} }}{{R_{1} + R_{2}}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

24. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{{T_1 - T_2 }}{{T_1 }} \cdot 100\%$ , где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше $15\%$ , если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

25. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой $m_\textrm{в}$ (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы $m_\textrm{др}$ кг. Он определяется формулой $\eta = \frac{c_\textrm{в} m_\textrm{в}(t_2 - t_1 )}{q_\textrm{др} m_\textrm{др}} \cdot 100\%$ , где $c_\textrm{в} = {\rm{4}}{\rm{,2}} \cdot 10^3$ Дж/(кг $\cdot$ К) — теплоёмкость воды, $q_\textrm{др} = 8,3 \cdot 10^6$ Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите массу дров, которые понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть $m_{\rm} = 83$ кг воды от $10^\circ C$ до кипения, если известно, что КПД кормозапарника равен $21\%$ . Ответ выразите в килограммах.

26. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу тонн представляют собой две пустотелые балки длиной метров и ширинойs метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = \frac{{mg}}{{2ls}}$ , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с ${}^2$ ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

27. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 \frac{{c + u}}{{c - v}}$ (Гц), где — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет не менее 160 Гц?

28. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v = c\frac{f - f_0 }{f + f_0 }$ , где м/с — скорость звука в воде, — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.

29. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением $a~\text{км}/\text{ч}^2$ , вычисляется по формуле $v = \sqrt {2la}$ . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч ${}^2$ .

30. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt {\frac{Rh}{500}}$ , где км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Тема 12: Текстовая задача (на движение, работу и т.п.), сводящаяся к составлению и решению уравнения.

1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

2. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

5. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

6. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

7. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

8. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

9. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

10. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

11. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

12. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

13. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

14. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

15. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

16. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

17. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

18. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

19. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

20. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

21. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

22. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

23. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

24. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

25. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

26. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

27. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

28. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

29. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

30. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

31. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

32. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

33. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

34. Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

35. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

36. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

1. Найдите наименьшее значение функции $y~=~(x-8){{e}^{x-7}}$ на отрезке .

2. Найдите наибольшее значение функции $y~=~12\cos x+6\sqrt{3}\cdot x-2\sqrt{3}\pi +6$ на отрезке $[0;\frac{\pi }{2}]$ .

3. Найдите наименьшее значение функции $y~=~3+\frac{5\pi }{4}-5x-5\sqrt{2}\cos x$ на отрезке $[0;\frac{\pi }{2}]$ .

4. Найдите наименьшее значение функции $y~=~5\cos x-6x+4$ на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};0]$ .

5. Найдите наибольшее значение функции $y~=~15x-3\sin x+5$ на отрезке $[-\frac{\pi }{2};0]$ .

6. Найдите наименьшее значение функции $y~=~7\sin x-8x+9$ на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};0]$ .

7. Найдите наибольшее значение функции $y~=~10\sin x-\frac{36}{\pi }x+7$ на отрезке $[-\frac{5\pi }{6};0].\,\,\,$

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[-\frac{\pi }{4};0]$ .

9. Найдите наименьшее значение функции $y~=~4tgx-4x-\pi +5$ на отрезке $[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}]$ .

10. Найдите точку минимума функции $y~=~(x+16){{e}^{x-16}}$ .

11. Найдите точку максимума функции $y~=~(9-x){{e}^{x+9}}$

12. Найдите точку минимума функции $y~=~(3-x){{e}^{3-x}}$ .

13. Найдите точку максимума функции $y~=~(x+16){{e}^{16-x}}$ .

14. Найдите наименьшее значение функции $y~=~3x-\ln {{(x+3)}^{3}}$ на отрезке

15. Найдите наибольшее значение функции $y~=~\ln {{(x+5)}^{5}}-5x$ на отрезке .

16. Найдите наименьшее значение функции $y~=~4x-4\ln (x+7)+6$ на отрезке .

17. Найдите наибольшее значение функции $y~=~8\ln (x+7)-8x+3$ на отрезке .

18. Найдите наименьшее значение функции $y~=~9x-\ln (9x)+3$ на отрезке $[\frac{1}{18};\frac{5}{18}]$ .

19. Найдите наибольшее значение функции $y~=~2x^2-13x+9\ln x+8$ на отрезке $[\frac{13}{14};\frac{15}{14}]$

20. Найдите точку минимума функции $y~=~(3x^2-36x+36){{e}^{x-36}}$ .

21. Найдите точку максимума функции $y~=~(3x^2-36x+36){{e}^{x+36}}$ .

22. Найдите точку максимума функции $y~=~(x^2-10x+10){{e}^{5-x}}$ .

23. Найдите точку максимума функции $y~=~{{(x-2)}^{2}}{{e}^{x-6}}$ .

24. Найдите точку минимума функции $y~=~{{(x+3)}^{2}}{{e}^{2-x}}$ .

25. Найдите точку максимума функции .

26. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

27. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

28. Найдите точку минимума функции .

29. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

30. Найдите точку минимума функции

31. Найдите точку максимума функции $y=\frac{x^3}{3}-9x-7$

32. Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{x^3}{3}-9x-7$ на отрезке .

33. Найдите точку минимума функции $y=5+9x-\frac{x^3}{3}$ .

34. Найдите наименьшее значение функции $y=x^{\frac{3}{2}}-3x+1$ на отрезке .

35. Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1$ .

36. Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке .

37. Найдите точку максимума функции $y=-\frac{x^2+289}{x}$ .

38. Найдите наибольшее значение функции $y=\frac{x^2+25}{x}$ на отрезке .

39. Найдите точку максимума функции $y=\frac{16}{x}+x+3$ .

40. Найдите наименьшее значение функции $y=(8-x)e^{9-x}$ на отрезке .

41. Найдите наибольшее значение функции $y=(8-x)e^{x-7}$ на отрезке .

Тема 14: Уравнение или система уравнений с отбором корней.

1. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

5. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

6. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

7. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

8. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

9. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

10. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

11. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

12. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

15. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

16. Решите уравнение

17. Решите уравнение .

18. Решите уравнение .

19. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

20. Дано уравнение .

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку

21. Решите уравнение

22. Решите уравнение .

23. Решите систему уравнений

24. Решите уравнение .

25. Решите уравнение

26. Решите уравнение .

27. Решите уравнение

28. Решите систему уравнений

29. Решите уравнение

30. Решите уравнение

31. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

32. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

33. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

34. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

35. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Тема 15: Задание на вычисление отрезков, площадей, углов, связанных с многогранниками и телами вращения.

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

3. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и если отрезок — высота данной пирамиды, точка — середина ее бокового ребра

4. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно.

5. Точка — середина ребра куба . Найдите угол между прямыми и .

6. На ребре куба отмечена точка так, что Найдите угол между прямыми и

7. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

8. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

9. В правильном тетраэдре найдите угол между медианой грани и плоскостью

10. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

11. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой и плоскостью

12. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом Высота призмы равна Найдите угол между прямой и плоскостью

13. В прямоугольном параллелепипеде известны Найдите угол между прямой и плоскостью

14. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и

15. Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

16. В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: Найдите угол между плоскостями и

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K— середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 6, BC = 4.

19. В правильной четырёхугольной призме стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

20. В кубе все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки до прямой

21. Дан куб Длина ребра куба равна Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости

22. Дана правильная четырехугольная пирамида Боковое ребро сторона основания равна . Найдите расстояние от точки до плоскости где — середина ребра

23. Основанием прямого параллелепипеда является ромб ABCD, сторона которого равна а угол ВАD равен . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

24. Длины ребер и прямоугольного параллелепипеда равны соответственно и Найдите расстояние от вершины до прямой

25. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны найдите расстояние от точки до прямой

26. В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер Найдите объем пирамиды если — точка на ребре причем

27. Точка — середина ребра куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

28. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

29. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны .

30. В правильной треугольной призме боковое ребро равно а ребро основания равно Точка — середина ребра Найдите объём пятигранника

31. В правильной треугольной призме боковое ребро равно а ребро основания равно Точка — середина ребра Найдите объём пятигранника

32. Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P— середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM= 3:1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

33. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

34. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно , а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

35. Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

3. Решите неравенство

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

6. Решите неравенство

7. Решите неравенство

8. Решите неравенство:

9. Решите неравенство .

10. Решите неравенство

11. Решите неравенство

12. Решите неравенство

13. Решите неравенство

14. Решите систему неравенств

15. Решите систему неравенств

16. Решите систему неравенств

17. Решите систему неравенств

18. Решите систему неравенств

19. Решите систему неравенств

20. Решите систему

21. Решите систему неравенств:

22. Решите систему неравенств:

23. Решите систему неравенств:

24. Решите систему неравенств

25. Решите систему неравенств

26. Решите систему неравенств

27. Решите систему неравенств

28. Решите систему неравенств

29. Решите систему неравенств

30. Решите систему неравенств

31. Решите систему неравенств

32. Решите систему неравенств

33. Решите систему

34. Решите систему

35. Решите систему неравенств

Тема 17: Задача на вычисление длин, площадей, углов, связанных с плоскими фигурами.

1. В прямоугольнике со сторонами и на стороне расположены точки и таким образом, что при этом — точка пересечения прямых и . Площадь треугольника равна. Найдите длину отрезка, соединяющего точки и .

2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что . Найдите BC если .

3. Основание равнобедренного треугольника равно косинус угла при вершине равен Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

4. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

5. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

6. Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами и пересекаются с диагоналями трапеции в точках и Найдите площадь треугольника если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

7. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что и .

8. Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВE, если известно, что и .

9. На прямой, содержащей медиану прямоугольного треугольника с прямым углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника , если , .

10. Расстояния от точки расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

11. Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что

12. В треугольнике Точка D лежит на прямой BC причем . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

13. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

14. Расстояние между параллельными прямыми равно На одной из них лежит точка а на другой — точки и причем треугольник — равнобедренный и его боковая сторона равна Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

15. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен , а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно .

16. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен .

17. Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A,M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

18. Четырехугольник описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые и пересекаются в точке Найдите периметр треугольника если известно, что и

19. Дан ромб с диагоналями и Проведена окружность радиуса с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину касается этой окружности и пересекает прямую в точке Найдите

20. Четырехугольник описан около окружности и вписан в окружность. Прямые и пересекаются в точке . Найдите площадь четырехугольника, если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники и равны соответственно и .

21. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

22. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

23. Прямая касается окружностей радиусов и в точках и Известно, что расстояние между центрами равно причем и Найдите

24. Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

25. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей раины 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

26. Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного . Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

27. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

28. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

29. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

30. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

31. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

32. б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

33. Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADEвписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

34. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

2. Найдите все значения при каждом из которых уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

3. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

4. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение не имеет решений.

6. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

7. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

9. Найдите все значения при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок.

10. Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

11. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

12. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство

выполняется при всех

13. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции

на множестве не меньше 6.

14. Найдите все значения параметра при каждом из которых на интервале существует хотя бы одно число , не удовлетворяющее неравенству

15. Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений.

16. Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

17. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

18. При каких значениях параметра хотя бы при одном значении параметра с система

имеет решения для любых значений параметра ?

19. При каких значениях а системы уравнении и равносильны?

20. При каких р данная система имеет решения: ?

21. При каждом а решите систему уравнений

22. Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.

Краткое описание материала

"Описание материала:

Программа составлена на основе заданий открытого банка заданий ЕГЭ по математике и предусматривает трехуровневое обучение.

1 уровень: систематизация материала алгебры и геометрии за курс основной школы,

2 уровень: систематизация материала алгебры и геометрии за курс средней (полной) школы,

3 уровень: разбор наиболее сложных тем и заданий из прошлых лет ЕГЭ.

Программа содержит дидактический материал для проведения занятий. Темы изучаются в порядке от простого к сложному.

Учащиеся получают задания первого уровня и консультации (если в этом возникает необходимость), затем сдают тематический зачет. если зачет сдан, то учащиеся получают задания второго уровня, в противном случае - другие задания первого уровня.

Математика

Рабочие программы

Программа подготовки к ЕГЭ по математике

25.03.2014

1600

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Буторина Виктория Витальевна

На сайте: 10 лет и 4 месяца
Всего просмотров: 13070
Подписчики: 0
Всего материалов: 4

13070
просмотров
4
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Буторина Виктория Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.