Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Олимпиадные задания по математики
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Олимпиадные задания по математики

библиотека
материалов

Школьная олимпиада

по математике

5 класс


1. Две тетради стоят столько же, сколько три карандаша, а шесть карандашей – столько же, сколько пять ручек. Алеша купил 15 ручек. Сколько тетрадей он мог бы купить за те же деньги?


2. В записи *****х****=*******1 замените звездочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример.


3. Квадратная шоколадка размером 5х5 см разделена канавками на 25 одинаковых квадратных долек. Требуется несколькими разрезами, проходящим по канавкам, разделить шоколадку на 5 частей по 5 долек в каждой. Это легко сделать, проводя разрезы общей длиной 20 см (рис.14). А как это сделать, проведя разрезы общей длиной 16 см?



























Рис.14


4.Здание разделено на 16 прямоугольных комнат. Комендант измерил параметры восьми комнат. Семь из восьми результатов его измерений показаны на рисунке 15 (пропорции на рисунке не соблюдены, комнаты на самом деле не обязательно квадратные!), а результат восьмого мы обозначили буквой х. Чему равен х.? Ответ объясните


7


13




10

7

10

11




5


х


5. Неточные часы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 500 г (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Петя взвесил на них свой портфель. Весы показали 5 кг. Вася взвесил Петин портфель вместе с килограммовой гирей. Весы показали 7 кг. Сколько весит портфель на самом деле? Ответ объясните.



Школьная олимпиада

по математике

6 класс



1. Двое с постоянными скоростями плавают в бассейне по двум параллельным соседним дорожкам. Доплыв до бортика, каждый немедленно поворачивает назад. Плацы стартовали одновременно с одного бортика и впервые встретились посередине бассейна. Где они встретятся во второй раз? Ответ объясните.

2.Разрежьте круг на 9 частей. Среди которых есть 6 одинаковых треугольников.


3. В примере на сложение четырехзначных чисел

МЕТР + МЕТР = ГРАММ

Одинаковые цифры зашифрованы одинаковыми цифрами. А разные – разными. Найдите все возможные расшифровки и объясните, почему других вариантов нет.


4. Знайка знает, что Незнайка задумал три целых числа, больших 1, но не знает самих этих чисел. Незнайка умножил первое число на второе и получил 1001, а потом перемножил второе и третье и получил 305. Увидев это и немного подумав, Знай-ка, сказал где – то ошибка. Почему он так решил?


  1. Неточные часы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 500 г (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Петя взвесил на них свой портфель. Весы показали 5 кг. Вася взвесил Петин портфель вместе с килограммовой гирей. Весы показали 7 кг. Сколько весит портфель на самом деле? Ответ объясните.















Школьная олимпиада

по математике

7 класс


  1. Как разрезать квадрат на четыре одинаковые части тремя сквозными прямолинейными разрезами, среди которых нет параллельных и перпендикулярных?


  1. В примере на сложение четырехзначных чисел

МЕТР + МЕТР = ГРАММ

Одинаковые цифры зашифрованы одними цифрами, а разные –

разными. Найдите его возможные расшифровки и объясните, почему

других вариантов нет.


  1. В новогоднюю полночь Шреку и Фионе подарили 2007 кг шоколада. С тех пор каждый день на рассвете Шрек съедает четверть имеющего шоколада, а Фиона на закате съедает треть оставшегося шоколада. Какого числа, какого месяца шоколада впервые останется меньше килограмма?


  1. В комнате из 10 человек есть эрудит, который знает дату рождения каждого из остальных, но никто из остальных не даты его рождения. Вы можете спросить у любого члена компании, знает ли он дату рождения любого другого члена компании, и получит честный ответ. Как за девять таких вопросов наверняка найти эрудита?



  1. Неточные часы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 0,5 кг (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Когда на них положили свои портфели Петя и Вася, весы показали 5,5 кг, а портфели Пети и Коли вместе потянули на 7 кг, а портфели Коли и Васи – на 6 кг. Когда же на весы положили все три портфеля, они показали 8 кг. Сколько весит каждый из портфелей на самом деле?












Школьная олимпиада

по математике

8 класс


1. В записи *****х*1111=*******1 замените звездочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство.


2. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке, после чего опять проделали эту операцию несколько раз. Много ли в итоге получиться ровно 2008 отмеченных точек?


3. В треугольнике АВС угол А, вдвое больше угла В. Докажите, что по крайней мере два из сторон этого треугольника длиннее его биссектрисы, проведенной из вершины А.


4. Неточные часы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 0,5 кг (при разных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Когда на них положили свои портфели Петя и Вася, весы показали 5,5 кг, а портфели Пети и Коли вместе потянули на 7 кг, а портфели Коли и Васи – на 6 кг. Когда же на весы положили все три портфеля, они показали 8 кг. Сколько весит каждый из портфелей на самом деле?


5. Можно ли расставить в таблице 4х4 различные натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2х2 сумма чисел делилась на 17?




















Олимпиадные задания

9 класс



1. На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили еще по точке, после чего опять проделали эту операцию еще раз. В итоге получилось 101 точка. Сколько точек было отмечено вначале?


2. Гонцу надо пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути равнялась 12 миль в час?


3. Перпендикуляры ВЕ и DF, опущенные из вершин В и D параллелограмма ABCD на стороны AD и BC соответственно, делят параллелограмм на три части равной площади. На продолжении диагонали BD за вершину D отложен отрезок DG, равный отрезку BD. Прямая ВЕ пересекает отрезок АG в точке Н. Найдите отношение АН: НG.


4. За круглым столом собрались рыцари и лжецы (не меньше четырех человек). Рыцари говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Каждый сказал: «Когда я смотрю на остальных, среди любых троих. Сидящих подряд, вижу лжецов больше, чем рыцарей». Покажите. Что такое действительно могло случиться, и выясните, сколько за столом могло быть рыцарей.


5 Какое наибольшее число ладей, можно расставить на доске размером 21х21 так чтобы каждая находилась под ударом не более чем одной из остальных? Напомним, что ладья бьет на любое число клеток по вертикали и горизонтали, в которых находится.
















Школьная олимпиада

по математике 5 класс

Решение задач


1. Ответ: 12 тетрадей.

Решение: Если две тетради стоят столько же, сколько три карандаша, то четыре тетради стоят столько же, сколько шесть карандашей, а стало быть, столько же, сколько пять ручек. Поэтому 3 · 5 = 15 ручек стоят столько же, сколько 3 · 4 = 12 тетрадей.


2. Решение: Достаточно понять, что в записи умножения искомых сомножителей в столбик две единицы под чертой не должны находиться в одном разряде, исключая разряды единиц. Варианты ответа:

10001 х. 1001 = 10011001, 10001 х. 1011 = 10111011,

10001 х. 1101 = 11011101, 10001 х. 1111 = 11111111,

10101 х. 1001 = 10111101.

Замечание: Можно показать, что других вариантов нет.


3. Решение: Один из нескольких возможных способов показан на рисунке 16.


4. Ответ: 7.

Первое решение: Заметим, что сумма четырех периметров, отмеченных на рисунке 17 жирным шрифтом, равна периметру здания. Ему же равна сумма четырех периметров, отмеченных на рисунке 17 курсивом.

Рис.16































Рис.17

7


13




10

7

10

11




5


Х

Из получающегося уравнения 13 + 7 + 10 + 5 = 7 + 10 + 11 + х. находим ответ: х. = 7

Второе решение: Рассмотрим первую и третью комнаты в верхнем ряду. Их стены, изображенные на чертеже вертикальными линиями, имеют одинаковые длины, значит, разница в периметрах получается за счет горизонтальных стен. Такая же разница в периметрах получается между первой и третьей комнатами в третьем сверху ряду. Стало быть, периметр третьей комнаты третьего сверху ряжа равен 10 + (13 - 7) = 16. аналогичным образом находим, что периметр третьей комнаты нижнего ряда равен 5 + 916-110 = 10, а х. = 10 + (7 - 10) = 7.

5. Ответ: 5 кг 500 г.

Решение: Первое взвешивание показывает, что Петин портфель весит не больше чем 5 кг + 500 г, а второе - что он весит не меньше чем 7 кг – 1 кг – 500 г = 5 кг 500 г. Поэтому он весит ровно 5 кг 500 г.





Школьная олимпиада

по математике 6 класс

Решение задач


1. Ответ: у бортика, противоположного тому, с которого стартовали.

Решение: Из условия ясно, что за время, которое один из пловцов потратил, чтобы проплыть половину дорожки, второй успел проплыть дорожку целиком и половину дорожки в обратном направлении. Стало быть, быстрый пловец плывет втрое быстрее медленного, и, пока медленный будет преодолевать втору половину своей дорожки, быстрый проплывет полторы дорожки. Отсюда ответ.

Замечание: Более красивое, но, возможно, более трудное для восприятия решение этой задачи таково. Представим себе, что в момент первой встречи от пловцов отделяются копии, каждая из которых плывет с той же скоростью, что и оригинал, но в обратном направлении. Понятно, что в следующий раз копии встретятся у линии старта. Но оригиналы движутся симметрично своим копиям относительно прямой, делящей дорожки пополам. Поэтому они в следующий раз встретятся у бортика симметричного, т.е. противоположного стартовому.


2. Решение: Впишем в круг равносторонний треугольник и проведем в нём медианы (рис 18).

Замечание: Есть и другие решения. Можно, например, как угодно разместить в круге шесть одинаковых треугольников, не имеющих общих точек, а потом произвольным образом разделить оставшуюся часть круга на три части.


hello_html_4e0ea12b.gif

3. Ответ: 6733 + 6783 = 13 566

Решение: Будем рассуждать так, как будто данный пример записан в столбик:

МЕТР

+МЕТР

=ГРАММ

Поскольку сумма Р + Р оканчивается на цифру М, то цифра М чётна. На М оканчивается также либо сумма Т + Т, если при сложении не было переноса единицы в разряд десятков, либо сумма Т + Т + 1, если такой перенос был. Но последнее невозможно, ибо число 2Т + 1 нечётно. Поэтому Р + Р = М и Т + Т =10 + М. Заметим также, что М ≥ 5, иначе сумма МЕТР + МЕТР не будет пятизначной. Значит, М = 6 или М = 8. если М = 6, то Р = 3, Т = 8. пример приобретает вид 6Е83 + 6Е83 = 13А66. Видим, что при сложении был перенос в разряд тысяч (иначе там была бы цифра 2). Поэтому цифра Е ≥ 5. Так как цифры 6 и 8 уже заняты, то цифра Е может ровняться 5, 7 или 9. Подстановка показывает, что подходит только цифра Е = 7, что даёт указанный вначале ответ 6783 + 6783 = 13 566.

Наконец, если М = 8, то пример приобретает вид 8Е94 + 8Е94 = 14А88, что невозможно, ибо в разряде тысяч у суммы 8Е94 + 8Е94 стоит 6 или 7. таким образом, расшифровка у нашего ребуса только одна.


4. Решение: Разложим результаты Незнайки на простые множители: 305 = 5 х 61, 1001 = 7 х 11 х 13. Получается, что НОД (1001, 305) = 1, а он по условию должен делиться на второе Незнайкино число, которое больше 1.


  1. Ответ: Петин – 5,5 кг, Васин – 4,5 кг.

Решение: Первое взвешивание показывает, что Петин портфель весит не больше чем 5,5 кг, второе – что Васин портфель весит не больше чем 4,5 кг. Поэтому вместе эти два портфеля весят не больше 10 кг. Но третье взвешивание показывает, что вместе эти два портфеля весят не меньше чем 10 кг. Поэтому вместе они весят ровно 10 кг, а это возможно, только если портфель Пети весит ровно 5,5 кг, а портфель Васи – ровно 4,5 кг.




Школьная олимпиада

по математике

7 класс

Рhello_html_m7eaa7d36.gifешение задач


  1. Решение: Например, так, как на рисунке 19.


hello_html_7e410f1c.gif

  1. См. решение задачи 3 для 6 класса.


  1. Ответ: 11 января.


Решение: Заметим, что за день Шрек и Фиона вместе съедают половину имеющегося шоколада: Шрек съедает четверть его, а Фиона – треть остатка, т.е. столько же, сколько Шрек. Поэтому задача сводится к тому, чтобы узнать, на какую наименьшую степень двойки надо разделить 2007, чтобы частное оказалось меньше 1. осталось заметить, что 2¹º = 1024 <2007<2¹¹=2048.


4. Решение: Возьмём любого члена компании, укажем ему на любого другого и спросим у первого, знает ли он дату рождения второго. Если окажется, что он не знает, - первый не эрудит; если окажется, что знает, - второй не эрудит. В обоих случаях мы можем удалить из компании одного члена, который наверняка не эрудит. Проделав такую операцию 9 раз, мы удалим из компании девятерых. Единственный оставшийся, очевидно, эрудит.

5. Ответ: 3,5 кг, Петин – 3 кг, Васин – 2 кг.

Решение: если бы весы показывали точный вес, то сумма результатов первых трех взвешиваний давала бы удвоенный суммарный вес трёх портфелей. Однако весы неточные и суммарная погрешность за три взвешивания не более 1,5 кг. Поэтому три портфеля вместе весят не меньше чем 5,5 + 7 + 6 + 1,5 = 8,5 кг. С другой стороны, четвёртое

2 взвешивание показывает, что три портфеля вместе весят не больше чем 8 + 0,5 = 8,5 кг. Поэтому вместе портфели весят ровно 8,5 кг. Это возможно, только если во время трех первых взвешиваниях вес был завышен максимально, т.е. на 0,5 кг, иначе три портфеля вместе весили бы больше 8,5 кг. Поэтому истинный суммарный вес портфелей Пети и Васи равен 5 кг, Пети и Коли – 6,5 кг, Коли и Васи – 5,5 кг, отсюда легко находиться ответ.



Школьная олимпиада

по математике

8 класс

Решение задач


1. Ответ: 10001 х 1111 = 11111111.

Замечание: Рассматривая умножение в столбик, нетрудно убедиться, что приведённый ответ – единственно возможный.


  1. Ответ: не могло.

Решение: Пусть в начале было отмечено k точек. Тогда после первой операции мы отметили k – 1 новую точку (по первой и второй, второй и третей. …,k 1 – й и k – й старыми отмеченными точками), и всего отмеченных точек станет 2k – 1, т.е. нечётное число. Оно будет оставаться нечётным и после любого числа таких операций, а число 2008 чётно.


3. Решение: Пусть AD – биссектриса. В треугольнике АDВ оба угла DAB и DBA равны половине угла САВ, откуда AD = DB < CB. Заметим теперь, что один из двух смежных углов ADC или ADB не меньше 90º. Против него в соответствующем треугольнике (ADC или ADB) лежит небольшая сторона – AС или AB соответственно. Она и будет второй стороной треугольника ABС, большей биссектрисы AD.

Замечание: На самом деле всегда выполнимо неравенство AD < AB. Действительно, hello_html_m67f91fa0.gifCAB + hello_html_m67f91fa0.gifCBA = 3hello_html_m67f91fa0.gif CDB < 180º, откуда hello_html_m67f91fa0.gifCBA = hello_html_m67f91fa0.gifDAB < 60º. Поэтому угол ADB наибольший в треугольнике ADB, AB > AD.


  1. См. решение задачи 5 для 7 класса.

  2. Ответ: можно.

Решение: Один из примеров расстановки – на рисунке 20.

Рис. 20.

1

16

3

14

12

5

10

7

9

8

11

6

4

13

2

15












Школьная олимпиада

по математике 9 класс

Решение задач


  1. Ответ: 26

Решение: Пусть в начале было отмечено k точек. Тогда к ним добавилась ещё k – 1 точка (по одной между первой и второй, второй и третей. …,k 1 – й и k – й старыми отмеченными точками), а затем (k + (k - 1)) – 1 = 2k – 2 точки. Всего точек в итоге стало 4 k – 3. Решая уравнение 4 k – 3 = 101, находим ответ.


2. Ответ: не сможет.

Решение: Чтобы средняя скорость гонца на всем пути равнялась 12 милям в час, он должен пробежать 24 мили за 2 часа. Но эти 2 часа он уже потратил на первые 16 миль.


3. Ответ: 1 : 1.

Решение: По условию (AE · BE) : 2 = ED · BE, откуда AE = 2 ED. Заметим, что AD – медиана треугольника ABG. Поэтому отрезок BH, делящий медиану AD в отношении AE : ED = 2, тоже медиана треугольника ABG.


  1. Ответ: двое.

Решение: Среди людей, сидящих за столом, непременно есть лжецы, иначе все рыцари, сидящие за столом, лгут. Возьмем какого – нибудь лжеца. Так как он лжет, что среди любых троих, сидящих подряд, которых он видит, лжецов больше, чем рыцарей, найдутся трое сидящих подряд, среди которых есть по крайней мере два рыцаря (назовём их большой тройкой). Отметим из этих рыцарей ровно двоих и покажем, что больше рыцарей за столом нет. В самом деле, если есть неотмеченный рыцарь, то он не может видеть большую тройку целиком, иначе он солгал. Поэтому он должен входить в неё. Но тогда крайний слева рыцарь из большой тройки видит среди троих следующих за ним справа, по крайней мере двух рыцарей и, стало быть, солгал – противоречие. Осталось заметить, что, посадив за стол двух рыцарей и любое число лжецов, не меньше двух, так, чтобы рыцари сидели рядом, мы получим расположение, удовлетворяющее условиям задачи.


  1. Ответ: 28.

Решение: Линией будем называть всякую горизонталь или вертикаль доски. Если две ладьи бьют друг друга, то в занимаемых ими трёх линиях нет других ладей. Если ладья не побита другой ладьей, то в занимаемых ею двух линиях нет других ладей. Таким образом, если на доске стоят k пар ладей, бьющих друг друга, и m ладей, не побитых другими ладьями, то эти 2k + m ладей «выводят из строя» 3k + 2m линий. Поскольку 3k + 2m ≤ 42 () 42 = 21 +


21, имеем 2k + m ≤ 2k + 4m = 2 (3k + 2m)2 · 42 ≤ 28. Чтобы расставить

3 3 3

соблюдением условия задачи 28 ладей, выделим на доске 7 непересекающихся квадратов размером 3 х 3, идущих цепочкой по диагонали, и в каждом квадрате разместим 4 ладьи, поставив 2 во вторую и третью слева клетки верхней строки и 2 во вторую и третью сверху клетки левого столбца.





Краткое описание документа:

Данная работа предназначена для подготовки к олимпиадным заданиям, как для учителей так и для учащихся. Так же можно использовать на кружках и факультативов для углубленных занятий. Задания включают в себя задания повышенной сложности. К заданиям предоставлены решения и ответы. Ученик при решении легко сможет проверить свои способности и уровень усвоения по пройденным темам. На основании выбора этого варианта решения определяется учебно-познавательный интерес по предмету.
"Задания разработаны для 5-9 классов. Каждая работа включает в себя 5 логических задач.
"
"
Автор
Дата добавления 26.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1344
Номер материала 37753032515
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх