Выбранный для просмотра документ Комбинаторика.pptx
Скачать материал "Презентация на тему «Комбинаторика»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
КОМБИНАТОРИКА
Размещения,
перестановки,
сочетания
2 слайд
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»:
Определение 1:
n!=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n
3 слайд
Например:
6!=1·2·3·4·5·6=720
·
·
·
·
·
!=
4 слайд
Теорема 1:
n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами.
Рn=n! - перестановки
5 слайд
6 слонят
Сколькими способами можно их расставить?
Например:
6!=1·2·3·4·5·6=720
6 слайд
Задача 1:
К хозяину дома пришли гости A,B,C,D. За круглым столом – пять разных стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина дома уже известно?
A
B
C
D
хозяин
7 слайд
Решение:
а) На 5 стульев должны сесть 5 человек (включая хозяина дома). Значит, всего имеется Р5 способов их рассаживания:
Р5 =5!=
1·2·3·4·5=
120
8 слайд
Решение:
б) Так как место хозяина фиксировано, то следует рассадить четырех гостей на четыре места. Это можно сделать Р4 способами:
Р4 =4!=
1·2·3·4=
24
9 слайд
Задача 2:
В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько всего было игр?
10 слайд
Решение:
Первый способ:
Рассмотрим таблицу 7х7, в которой вписаны результаты игр. В ней 49 клеток:
По диагонали клетки закрашены, т.к. никакая команда не играет сама с собой. Если убрать диагональные клетки, их останется 49-7=42.
11 слайд
Решение:
В нижней части таблицы результатов нет, т.к. все они получаются отражением уже имеющихся результатов из верхней части таблицы.
3:1
1:3
Поэтому количество всех проведенных игр равно половине от 42, т.е. 21.
12 слайд
Второй способ:
Произвольно пронумеруем команды №1, №2,…, №7 и посчитаем число игр поочередно. Команда №1 встречается с командами №2-7 – это 6 игр. Команда №2 тоже проведет 6 встреч, но одну игру , с командой №1, мы уже посчитали. Получается 5 новых игр. Команда №3 проведет 6 встреч, из которых две, с №1 и №2 мы посчитали, значит, добавится еще 4 игры. Продолжая, получим:
6 игр
5 игр
4 игры
3 игры
2 игры
1 игра
21 игра
6+5+4+3+2+1=21
13 слайд
Третий способ:
Используем геометрическую модель: 7 команд – это вершины выпуклого семиугольника, а отрезок между двумя вершинами – это встреча двух соответствующих команд: сколько отрезков, столько игр.
Из каждой вершины выходит 6 отрезков. Получается 7·6 отрезков, каждый из которых посчитан дважды: как АВ, так и ВА. Значит, всего проведен (7·6):2=42:2=21 отрезок.
А
В
С
D
E
F
G
14 слайд
Выводы:
Состав игры определен, как только мы выбираем две команды. Значит, количество всех игр в турнире для n команд – это количество всех выборов двух элементов из n данных элементов. При этом порядок выбора не важен.
15 слайд
Теорема 2:
Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести
способами.
16 слайд
Определение 2:
Число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают
[«цэ из эн по два»]
17 слайд
Задача 3:
Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки, которые они «давненько не брали в руки». Сколько встреч было:
а) между футболистами
б) между хоккеистами
в) всего?
18 слайд
Решение:
а)
б)
в)
19 слайд
А что получится, если мы будем учитывать порядок двух выбираемых элементов?
Теорема 3:
Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести
способами.
20 слайд
Определение 3:
Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают
[«а из эн по два»]
21 слайд
Задача 4:
В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии;
б) они должны быстро стереть с доски?
Решение:
В случае а) порядок важен, а в случае б) – нет. Значит,
а)
б)
22 слайд
А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс заменить на 5, 7, 10 и т.д.? Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; 7 монет из 10 данных; 10 карт из колоды в 32 карты?
Определение 4:
Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают
Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают
23 слайд
Теорема 4:
Для любых натуральных чисел n и k таких, что k<n, справедливы соотношения:
24 слайд
ЗАДАЧИ
25 слайд
Задача 5:
В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую?
б) им следует спеть в хоре?
26 слайд
Задача 6:
«Проказница Мартышка, Осел, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11.
а) найти число всевозможных выборов инструментов;
б) найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Представляю Вашему вниманию Презентацию по математике на тему «Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания ». Она составлена по учебнику «Математика» А.Г.Мордковича, И.М.Смирновой за 10 класс («Мнемозина», 2013). Презентация содержит двадцать шесть слайдов. В Презентации даны определения факториала, перестановок, сочетаний, размещений. Сформулированы четыре теоремы. Рассмотрены подробные решения четырех задач комбинаторики (плюс несколько способов решения одной и той же задачи) и две задачи на самостоятельное решение. Презентация отлично подходит для проведения уроков по теме «Комбинаторика» с использованием мультимедийной доски или экрана и проектора. Презентация содержит анимационные элементы, легка в управлении и применима при объяснении нового материала.
6 661 048 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Андронова Евгения Андреевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.