Конспектыуроков «Логика как наука»

Тема:              ЧАСТЬ 1.     ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Глава 1 .   Логика как наука

 

Цель урока:Знакомство  с элементами логики, понятиями «суждения», «высказывания», «множества», «ложность и истинность». Ввести обозначения некоторых понятий, научить строить диаграммы Эйлера – Венна.

Тип урока: объяснительно – демонстрационный с элементами практикума.

План урока:

• Законы правильного мышления.
• Формы человеческого мышления.
• Что такое формальная логика.
• Развитие логики.
• Отношения между понятиями.
• ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
• ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ.
• ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Законы правильного мышления

Познание истины — одна из важнейших потребностей человека. Каж-дый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для чего? Для того, чтобы жить, что в дан-ном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.

Представьте себе круг вашего знания по логике сегодня, только в на-чале ее изучения. Это знание невелико, и его можно изобразить небольшим кружочком — вот так: Q. Вне этого кружочка лежит все то, чего вы пока не знаете. Его граница является границей вашего знания, но одно-временно она является и границей вашего незнания.

Сократ знал, конечно же, гораздо болыпе в этой области знаний, чем вы сейчас, потому что много размышлял и не боялся высказывать то , o чем он думал.

Круг его знания изобразим в виде болыиого круга.

Заметим, что граница его незнания существенно больше границы ва-шего. Теперь вам понятно, почему он воскликнул: «Я знаю, что ничего не знаю!»?

Человек с древних времен стремился познать законы правилъного мышления, т. Е. логические законы. Наука логика помогает познанию этих законов.

 

                                      Область

 

                                      Область

 

 

 

 

                                      незнания

Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Существует даже мнение, что всякое движение нашей мысли,

постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены всегда следовать этим законам, чтобы жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.

В Древней Греции, Древней Индии, Древнем Риме законы и формы пра-вильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедитель-но доносить до аудитории их точку зрения, склонять людей на свою сторону.

Мыслить логично — значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логи-ческие ошибки.

Представьте себе, что вас спросили: «Почему днем бывает светло?» А вы ответили: «Потому что днем свет делает день светлым». Вы нару-шили правила логики и, по сути, ничего не объяснили.

Логика — одна из древнейших наук. Ее основателем считается вели-чайший древнегреческий философ Аристотель, который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал кате-гории «понятие» и «суждение», подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

Формы человеческого мышления

Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выде-ляют следующие формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Примеры понятий:

1) апелъсин;

2) трапеция',

3) белизна;

4) река Нил;

5}ураганный ветер;

6) студент медицинского института.

Понятие — форма мышления, в которой отражаются отличительные существенные пртнаки предметов.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы сихпомощью отличить (выделитъ) данный предмет (явление) от всех остальных и сделатъ обобщение, объединив однородные предметы в множество.

Например, признаками понятия апелъсин являются: круглый, оранже-вый, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отличить апельсин от неапельсина? По ним легко отличить апельсин от яблока, но нельзя отличить апельсин от мандарина: болышй мандарин можно спутать с маленьким апельсином. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.

Понятие имеет две основные логические характеристики: содержа-ние и объем.

Содержание понятия — совокупностъ существенных признаков, отраженных в этом понятии.

Например, содержанием понятия ромб является совокупность двух существенных признаков: быть параллелограммом и иметъравные сторо-ны. Содержание понятияученик включает в себя признаки: познаватъ новое и иметъучителя. Содержание понятия хорошийученик включает в себя признаки: познаватъ новое, иметъ учителя, иметъ интерес кучебе, бытъ исполнительным, быть обязательным, бытъ воспитанным, помогатъ отстающим. Любой ли отличник может в соответствии с этими признаками называться хорошим учеником? Заметим, что даже если ученик плохо учится, но проявляет интерес к учебе, всегда выполняет домашние зада-ния, воспитан и помогает по мере сил тем, кто слабее его, то его можно отнести по данной совокупности признаков к хорошим ученикам.

Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками, можно объединить в множество.

Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Например, объем понятия река — это множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др. Объем понятия ученик включает в себя всех людей, которые когда-либо учились (в частности, «чему-нибудь и как-нибудь»), учатся сейчас или будут учиться когда-нибудь.

 Наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отншений между ними была предложена математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707 — 1781) и носит название кругов Эйлера.

Рассмотрим множество учеников вашего класса (Е). Те ученики, которые занимаются спортом, образуют множество спортсменов (А). Те, кто увлекается литературой, образуют другое множество (В). Te, кто учится на одни пятерки и на каникулах отдыхает у бабушки, образуют еще одно мно-жество (С) Предположим, что среди учеников, составляющих множество С, нет ни одного, занимающегося спортом, т. Е. множества С и А не имеют общих элементов. Множество учеников класса, которые знают пять иностранных языков (Д)), будет пустым, если таких полиглотов в вашем классе нет. Данную ситуацию графически можно изобразить, например, так:

 

Суждение (высказывание, утверждение) — форма мышления, е которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Примеры суждений:

1) Этот апелъсин вкусный.

2) eсли  прошел дождъ, то на улице весна.

3) На Луне живут лунатики, а на Марсе —марсиане.

Языковым выражением суждений является повествовательное предложение. Суждения бывают простыми и сложными.

Например, Наступила весна — простое суждение, а Наступила весна, и прилетели грачи — сложное, состоящее из двух простых.

Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию. Содержание суждения — это mo, o чем в нем идет речъ, его смысл.

Одно и то же суждение разными людьми может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от их взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т. Д.

Например, для кого-то истинным является, что свободу, безопасностъ и комфорт дают глубокие знания, а для кого-то — свободу, безопасностъ и комфорт дают болъшие денъги.

Для того чтобы вести рассуждения и оценивать их правильность, необходимо прежде договориться по каждому суждению, будем ли мы его рассматривать как истинное или ложное в данном конкретном случае. Например, суждение Он —хороший шахматист может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от того, кто имеется в виду под местоимением «он». Заметим, что «договориться» мы можем только по отношению к простым суждениям. Значение же истинности сложных суждений вычисляется. При вычислении истинности (ложности) сложного суждения содержание вхо-дящих в него простых суждений является незначимым. Интерес представ-ляет то, чем суждения отличаются друг от друга, что характеризует каждое из них и неизменно для каждого из них, а именно их форма.

Логическая форма суждения — это его строение, способ связи его составных частей.

Форма суждения, в отличие от его содержания, объективна, т. Е. не зависит от тех или иных взглядов того или иного человека.

Попробуйте определить логическую форму следующих суждений:

1) Все лошади едят овес.

2) Все реки впадают в море.

3) Все школъники — отличники.

4) Все книги имеют страницы.

5) Все планеты вращаются вокруг звезд.

Во всех этих суждениях говорится о разном (у них различное содержание), но они имеют одинаковую логическую форму:

Bce S есть Р.

А суждения Всемедузы не имеют головы; Люди не боги имеют другую логическую форму:

Bсe S не есть Р.

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или несколъких суждений, называемых посылками, мы no оп-ределенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения).

В русском языке слово «умозаключение» используется в двух значениях: для обозначения процесса рассуждения, размышления, при-водящего к некоторому выводу, и для обозначения результата этого процесса.

Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения:

Все люди смертны.

Сократ — человек.

 

Сократ смертен.

Заметим, что посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения.

Всякое умозаключение, так же как и суждение, имеет свою форму. Эта форма может быть логически правильной или логически непра-вильной. Так, в примере с Сократом форма умозаключения логически верная:

Bсe S есть Р.

Некоторые А есть S.

Некоторые А есть Р.

Примеры верных умозаключений:

Умозаключение	Форма умозаключения
Четырехугольник        (SI),        y        которого противоположные стороны параллельны (Р), естъ параллелограмм (S2). Квадрат (S3) – это четырехуголъник (SI), y которого         противоположные         стороны параллелъны (Р).	Если S1 есть Р, to SI есть S2. Bee S3 есть SI и все S3 есть Р.
	Все S3 есть S2.
Квадрат – это параллелограмм.
Умозаключение	Форма умозаключения
Bee граждане России имеют право на отдых. Я – гражданин России.	Bee S есть Р. А есть S.
Я имею право на отдых.	А есть Р.
Если цветы поливают, то они не засохнут. Цветы засохли.	ЕслиЗестьР1, то 5 не есть Р2. S есть Р2.
Цветы не поливали.
	S нe есть Р1.

Правильно ли рассуждает человек, когда он говорит:

Умозаключение	Истинность суждений	Форма умозаключения
Если что-то естъ металл, то оно проводит элеюпрический ток. Алюминий проводит ток.	Истина Истина	Если S естьР1, to S есть Р2. А есть Р2.
Алюминий – металл.	Истина	А естьР1.

 

Из истинных посылок получилось истинное заключение. Можно пред-положить, что, рассуждая по данной форме, мы получим из истинных посылок истинное заключение во всех случаях. Проверим это:

 

 

Умозаключение	Истинность суждений	Форма умозаключения
Если что-mo естъ металл, то оно проводит электрический ток. Вода проводит ток.	Истина Истина	Если S естьР1 to S есть Р2.  А есть Р2.
Вода – мепгалл.	Ложь	А естьР1

 

Из истинных посылок получилось ложное заключение. Наше предположение о том, что, рассуждая по данной форме, мы всегда из истинных посылок получим истинное заключение, ошибочно. Следовательно, те, кто рассуждает по данной форме, либо ошибаются сами, либо вводят слушателей в заблуждение. Таким образом, услышав какую-нибудь фразу (рассуждение, умозаключение), вы можете, определив форму этого рассуждения и зная, правильна ли она логически, заранее сісазать, будет ли истинным заключение. Рассмотрим, например, следующую фразу:

Если у человека повышена температура, то он болен; этот человек болен; следователъно, у него должна быть повышенная температура.

Это пример рассуждения, построенного по той же неверной схеме (форме):

Если есть первое, то естъ второе; второе естъ; следователъно, естъ первое.

Такая схема от истинных исходных положений (посылок) может вести не только к истинному, но и к ложному заключению.

Примеры неверных умозаключений:

1)   Все зебры полосаты.                    Bсe S есть Р.

Это животное полосато.             Некоторый А есть Р.

Это животное – зебра.                 Некоторый А есть S.

 

Заключение не следует с необходимостью из посылок, так как тигр тоже полосат.

7.       Бутылки с ряженкой продаются в молочном отделе.

Это бутылка  сряженкой.

Заключение не следует с необходимостью из посылок, так как в бу-тылке может быть и молоко, и кефир.

 

3)      Все школъники — отличники.

Вовочка — школъник.

Вовочка — отличник.

Одна из посылок ложна, поэтому об истинности или ложности заключения судить нельзя.

7.       Людей много.

Сократ — человек.

Сократов много

 Неужели Сократов много? Интересно, что думают по этому поводу логики?

Итак, с точки зрения содержания суждений в процессе мышления формируется истинное или ложное отражение мира, а если рассматривать мышление со стороны формы, то имеет значение только его логическая правильность или неправильность.

 

Что такое формальная логика

Античную логику, основанную Аристотелем, принято называть формальной логикой.

Это название происходит от основного принципа логики как науки, который гласит, что правилъность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой, или структурой, и независит от конкретного содержания входящих в него суждений.

Итак, основной принцип формальной логики предполагает, что:

•   каждое рассуждение, выраженное на некотором языке, имеет содержание и форму;

•   содержание и форма различаются и могут быть разделены;

•   содержание не оказывает влияния на правильность рассуждения (поэтому от него можно отвлечься);

•   для оценки правильности рассуждения существенна лишь его форма;

•   форму рассуждения необходимо выделить в «чистом» виде и затем на основе только формы решать вопрос о правильности рассуждения.

 

Развитие логики

Постижение науки логики дает нам возможность узнать законы, пра-вила и приемы мышления, которые помогают анализировать правиль-ность рассуждений, оценивать истинность полученных заключений. Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения выводного знания. Логика также изучает приемы, используемые человеком при познании действительности, такие, как аб-страгирование, анализ, синтез, обобщение, классификация и др.

Вклад в развитае логики внесли: Р. Декарт (Франция, 1596 — 1650), Г. Лейбниц (Германия, 1646— 1716), М. В. Ломоносов (Россия, 1711 — 1765), И. Кант (Германия, 1724 — 1804), О. де Морган (Англия, 1806 — 1871), Дж. Буль (Англия, 1815 — 1864), Г. Фреге (Германия, 1848 — 1925), A. A. Марков (Россия, 1903 — 1979) и многие другие ученые.

В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику часто называют символической или математической логикой. У истоков современной логики стоит Г. Лейбниц, выдвинувший идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же обосновал необходимость создания универсально-го логического языка, который, в отличие от естественного языка, мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения. Лейбниц пытался разработать своего рода алгебру человеческого мышления, позволяющую получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений.

Основными разделами современной логики являются логика выска-зываний, логика предикатов и металогика. Предметом рассмотрения в данном методическом пособии является логика высказываний.

 

Отношения между понятиями

По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и несравнимые.

Далекие друг от друга no своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми.

Примеры несравнимых понятий:

1) Романс и кирпич.

2) Безответственностъ и нитка.

Остальные понятия называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся no объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностъю или частично) и несовмести-мые (объемы которых не совпадают ни no одному элементу).

Ранее отмечалось, что отношение между объемами понятий можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Если имеются два каких-либо понятия X и Y, то объем каждого из этих понятий можно представить в виде круга, а отношение между этими объемами — в виде пары кругов.

Выделяют следующие виды отношений между сравнимыми понятиями: равнозначность (тождество), перекрещивание (пересечение), подчинение (субординация), соподчинение, противоположность и противоречие.

Обозначения сравнимых совместимых понятий:

Тождество                                         Пересечение                                     Подчинение

(X подчинен Y)

 

X—Ю. Гагарин,                                  X—школъник,                        X—лев,

Y— первый космонавт.                       Y— спортсмен.              Y— хищник.

 

Обозначения сравнимых несовместимых понятий:

Соподчинение                          Противоположностъ                    Противоречие

(АиВ соподчинены С)

A — береза,                                       A — болъшой дом,                          A — болъшой дом

В — ель,                                            В — маленький дом.                       В — неболъшой дом.

С — дерево.

 

Как мы уже знаем, объем понятия — это множество (класс) предме-тов (элементов множества), каждый из которых характеризуется опреде-ленными признаками. Символическая запись а е М означает: a — элемент множества М. Отсюда в частности, следует, что если, например, круг X— множе-_ство школьников, а круг Y— множество спортсменов (см. выше в этом разделе графическую иллюстрацию), то общая часть этих кругов также является множеством, каждый элемент которого принадлежит как множеству X, так и множеству 7, т. Е. множеством школьников-спортсменов.

Другой пример. Если X— множество львов, a F— множество хищников (см. выше в этом разделе графическую иллюстрацию), то каждый элемент множества У является также элементом множества Y. B этом слу-чае говорят, что множество Х вложено в множество Y.

Множество — одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах. По словам одного из создателей теории множеств, немецкого математика Георга Кантора, — «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

В конце XIX в. Английский ученый Джордж Венн усовершенствовал круги Эйлера, добавив к изображению объема рассматриваемого понятия X изображение объема логически противоположного ему понятия HE Х( Х). Объем понятия   -Х является дополнением к объему понятия X.

Например, дополнением к объему понятия льва является совокупность объектов, которые не являются львами, что может быть представлено следующей диаграммой Эйлера — Венна:

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логика (от греч. Logos — слово, понятие, рассуждение, разум) — наука о законах и формах рационального мышления, методах формализации содержательных теорий.

Мыслить логично — значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логи-ческие ошибки. Формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения.

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки предметов.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помо-щью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.

Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.

Содержание понятия — совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.

Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Суждение (высказывание, утверждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Суждение характеризуется содержанием и формой.

Содержание суждения — это to, o чем в нем идет речь, его смысл.

Логическая форма суждения — его строение, способ связи его составных частей.

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.

Умозаключение, так же как и суждение, имеет свою логическую форму (структуру).

Основной принцип формальной логики: правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.

С точки зрения содержания, суждения, входящие в рассуждение, могут быть истинными или ложными (истинно или ложно отражать действительность), а если рассматривать рассуждение со стороны формы, то имеет значение только его логическая правильность или неправильность.

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

 

1. Приведите примеры понятий, суждений, умозаключений из курсов математики, истории, информатики.

2. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий:

а) квинтэссенция',

б) добродетелъ',

в) истина;

г) ложь.

Подсказка: посмотрите толковые словари.

3. Определите объемы понятий:

а) столица России;

б) столица;

в) город',

г) знаменитый полководец',

д) бесконечность;

е) Змей Горыныч.

4. Оцените правильность следующего рассуждения: Сидящий встал; кто встал, mom cmoum; значит, сидящий стоит.

5. Отличаются ли содержания понятий «истина» и «логическая правилъностъ»!

6. В чем заключается основной принцип формальной логики? Поясните на конкретном примере.

7.  Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок:

а)  Тем, кто лыс, расческа не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос.

Б) Ни один добрый поступок не является незаконным. Все, что законно, можно делатъ без страха.

В) Некоторые уроки трудны.

Все, что трудно, требует внимания.

 

Домашнее задание

Упражнения

 

1.  Нарисуйте диаграммы Эйлера — Венна, иллюстрирующие суждения:

а)   «Bee x являются у»;

б)   «Некоторые х являются у»;

в)   «Ни одно х не является у»;

г)   «Некоторые х не являются у»,

2.  Докажите, что из предложения «Некоторые х являются у» следует предложение «Некоторые у являются х».

3.  Докажите, что если ни одно х не являются у, то ни одно у не является х.

4.  Изобразите   диаграммы   Эйлера — Венна,   для   которых ложны оба высказывания: «Все х являются у» и «Ни одно х не является у».

5.  Следует ли из того, что «Bee x являются у и некоторые  ; у являются z», утверждение «Некоторые х являются 2»?

6.  Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Bee x являются у, и некоторые у являются z; значит, некоторые z являются X»?

7.  Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Bee x являются у, и некоторые у не являются z; значит,  некоторые х не являются z»?

8.  Правильно ли. рассуждение, имеющее форлу: «Ни одно х не является у, и некоторые у являются z; значит, некоторые z не являются х»?

9.  Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Bсe x являются  у, и ни одно х не является z, значит, все у не являются z»?

10.  Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если некоторые х являются у, а некоторые у являются z, to некоторые х являются z»?

11.  Правильно ли рассуждение, имеющее форму: «Если некоторые у являются х, некоторые у. являются z и некоторые z являются х, то некоторые х одновременно являются и у, и z»?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема:              Глава 2. Понятие об алгебре высказываний.

 

Цель урока:Знакомство  с   понятиями «алгебра логики», «высказывания»,   

Тип урока: объяснительно – демонстрационный с элементами практикума.

План урока:

• Понятие об алгебре высказываний
• ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
• ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ.
• ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

 

ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII в. не­мецкий логик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он пытался создать универсаль­ный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение (высказывание) или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений. Но идея Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор не найден способ свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Подлинный прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIX в. прежде всего благодаря труду английско­го логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические опе­рации, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В трудах Дж. Буля и О. де Моргана математическая логика представ­лена как своеобразная алгебра — алгебра логики (алгебра высказываний).

В развитии математической логики приняли участие многие выдаю­щиеся математики и логики конца XIX и XX в., в том числе К. Гедель (Австрия), Д. Гильберт (Германия), С. Клини (Америка), Э. Пост (Амери­ка), А. Тьюринг (Англия), А. Черч (Америка), российские ученые А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков и многие другие.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (анализ и синтез автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математичес­кой логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логи­ческих высказываний и способы установления их истинности с по­мощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являют-

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно  или ложно,

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например:

Х= Число 12345 кратно 3.

Р = Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее программное обеспечение.

Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А — истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = О» и говорить «А ложно».

Примеры высказываний и предложений, не являющихся высказываниями:

1) А = Солнце светит для всех =1 — истинное высказывание.

2) В = Все ученики любят информатику = О — ложное высказывание.

3) С = Некоторые из учеников любят информатику = 1 — истинное высказывание.

4) Д =А ты любишь информатику? — не высказывание, так как не является повествовательным предложением.

5)Е =Посмотри в окно — не высказывание, так как является побуди­тельным предложением.

6) Ж— (х • х < 0) = 0 — ложное высказывание, так как какое бы х мы ни взяли, произведение х • х будет неотрицательным.

7)3 = 2*х-5>0 — не высказывание, так как для одних значений х это выражение будет истинным т в то же время для других значений х—ложным.

8) И= Крокодилы летают очень низко — высказывание.

Последний пример показывает, что истинность или ложность высказыва­ния не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логи­ков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интере­суется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью выска­зываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъек­тивного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

В алгебре логики над высказываниями можно производить различ­ные операции (подобно тому как в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами

 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгеб­раических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

 

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Если высказы­вание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А ложно».

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Приведите примеры истинных высказываний, ложных высказываний, предложений, не являющихся высказываниями.

2. Определите, какие из нижеприведенных фраз являются высказыва­ниями с точки зрения алгебры логики. Определите значение высказыва­ния (истина или ложь):

а)  Число 8456 является совершенным.

б) Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

в) Как хорошо быть генералом!

г) Революция может быть мирной и немирной.

д) Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.

е) Познай самого себя.

ж) Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами.

з) Талант всегда пробьет себе дорогу. и) Некоторые животные мыслят.

к) Информатика, в частности, изучает алгоритмы. л) Всякая истина является конкретной.

м) Это утверждение ложно.

Домашнее задание:

1. Укажите среди следующих предложений высказывания:

а)   «Луна — спутник Земли»;

б)   «Все учащиеся любят математику»;

в)   «Принеси мне, пожалуйста, книгу»;

г)   «Некоторые люди имеют голубые глаза»;

д)   «Окружкостью называется множество всех точек шюскости, Расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет за-Аанную величину»;

е)   «Вы были в театре?»

2. Установите, какие из следующих предложений являются истинными, а какие — ложными высказываниями:

а)   «Число —2 меньше числа 0»;

б)   «Частное от деления числа 7 на 5 равно 0»;

в)   «Сумма чисел 5 и х равна 10»;

г)   «Существует такое действительное число х, что 2х+ 5= 15»-

д)  .«(13-2*7)*4=-4»;

е)   «Bee треугольники равнобедренные»;

ж)   «Медианой треугольника называется перпендикуляр, опу-щенный из вершины треугольника на противоположную сторону».

Тема:               Глава 3. Логические операции              

 

Цель урока:Знакомство  с основными логическими операциями (инверсия,коньюкция, дизьюнкция,импликация,эквивалентность).

Тип урока: объяснительно – демонстрационный с элементами практикума.

План урока:

• Логическое отрицание(инверсия).
• Логическое умножение (коньюкция).
• Логическое сложение (дизьюнкция).
• Логическое следование (импликация).
• Логическое равенство (эквивалентность).
• ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
• ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ.
• ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

 

ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Логическая операция — способ построения сложного высказыва­ния из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истин­ности исходных высказываний.

 

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что...».

Примеры образования логического отрицания:

Высказывание Л	Значение высказыв А	Инверсия высказывания А	Значение инверсии высказывания А
У меня есть приставка Денди	0	У меня нет приставки Денди	1
Я не знаю китайского языка	1	Неверно, что я не знаю китайского языка. (Я знаю китайский язык)	0

Поясним эти примеры:

1) А = У меня есть приставка   Денди — высказывание.

Пусть у вас ее нет, тогда это высказывание ложно (Л = 0). Инверсия А — это высказывание У меня не есть приставка   Денди или высказывание Неверно, что у меня есть приставка  Денди . Более правильным в русском языке является предложение У меня нет приставки Денди, и это выска­зывание будет истинным.

2) А = Я не знаю китайского языка — высказывание.

Пусть вы действительно не знаете китайского языка, тогда это выска­зывание истинно (А= 1). Инверсия А есть высказывание Неверно, что я не знаю китайского языка, которое является ложн

Любую операцию необходимо как-то обозначать.

Обозначение инверсии: НЕ А; А , А ;NOТ A.  

Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму А (вне зависимости от его содержания). Определяется она по специальной таб­лице истинности.

 

Таблица истинности:
А	А
0	1
1	0

Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истин­на, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции инверсии.

Мнемоническое правило: слово «инверсия» (от лат.   переворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помо­щью диаграмм Эйлера — Венна.

В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.

Примечание.

Близость законов алгебры высказываний к законам алгебры мно­жеств можно продемонстрировать следующим образом. С одной сто­роны, каждое множество может быть описано либо при помощи пря­мого перечисления его элементов, либо путем указания свойства, ко- _Т0рому должны удовлетворять все элементы данного множества и толь-_К0 эти элементы. Так, можно говорить о множестве, состоящем из четырех студентов: Пети, Гали, Коли, Оли, или о множестве отличников данной студенческой группы, имея в виду в обоих случаях одно и то дее множество.

С другой стороны, выбрав какое-то высказывание, можно рассмот­реть множество всевозможных объектов, к которым это высказывание относится, и выделить из него подмножество, для элементов которого это высказывание будет истинным (множество истинности высказывания). Так, множество истинности высказывания Этот студент — отличник для рассмотренной выше студенческой группы будет включать в себя ту же четверку студентов.

Для построения соответствующей дополнению к множеству диаграммы

Эйлера — Венна выберем строку таблицы истинности, в которой А = 1. На диаграмме заштрихуем область, в которой значение А такое же, как в выбранной строке, т. е. 0. Здесь и далее следует учесть: в области, изоб­ражающей объем понятия А (множество А), значение А равно 1, вне этой области — 0.

Графическая иллюстрация:

 

А — множество отличников; А — множество неотличников.

Примечания:

1. Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с обо­ротом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчеркивается отри­цание всего высказывания.

2. Дважды или четырежды отрицающееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и исходное высказывание, триж­ды отрицающееся — что и отрицающееся один раз. Например, выс­казывание А = Неверно, что математика — не царица наук имеет то же значение истинности, что и высказывание В = Математика — царица наук.

 

Логическое умножение (конъюнкция)

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и»,

Приведем пример конъюнкции.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигулъ

 

Обозначение конъюнкции: А И В; А   В; А & В; А • В; А  AND B(

Таблица истинности:

А	В	А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1
Смысл высказываний А и В для указанных значениц					Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
«Мерседес» не стоит			«Жигули» не стоят		Ложь
«Мерседес» не стоит			«Жигули» стоят		Ложь
«Мерседес» стоит			«Жигули» не стоят		Ложь
«Мерседес» стоит			«Жигули» стоят		Истина

 

Пояснение:

Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказывает истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложн когда хотя бы одно высказывание ложно. Иногда это свойство принимают за определение операции конъюнкции. Мнемоническое правило: конъюнкция — это логическое умно­жение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0*0 = 0; 0*1=0; 1*0 = 0; 1*1 = 1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.

В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересече­ния множеств.

Для построения соответствующей пересечению множеств диаг­раммы Эйлера — Венна выберем ту строку таблицы истинности, в которой А & В = 1. На диаграмме заштрихуем область, в которой зна­чения А и В такие же, как в выбранной строке, т. е. А = 1 и одновре­менно В = 1.

Графическая иллюстрация:

А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе; А   В — множество отличников, занимающихся спортом.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией. Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

 

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи	Нестрогая
Сережа учится в школе или окончил ее	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая
Земля движется по круговой или эллиптической орбите	Строгая
Числа можно складывать или перемножать	Нестрогая
Дети бывают или воспитанные, или не наши	?

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; А ОR В; А \ В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Далее под дизъюнкцией будем понимать нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А= На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

А	^- — В	А v В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	Ложь
«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	Истина

 

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция — это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; О + 1 = 1 • 1 + 0 = 1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

или    и

V     

Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» — «галочка вниз» — V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объединения  множеств,

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера—Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых А V В = 1.  Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках. Графическая иллюстрация:

А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе; А   В — множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

 

Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или») Приведем пример строгой дизъюнкции.

Пусть даны высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

 

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули» и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автостоянке одновременно.

•

Обозначение строгой дизъюнкции: А ХОR. В; А v В.

Таблица истинности:

Пояснение:

А	В	А v В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0
Смысл высказываний А и В для указанных значений					Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
«Мерседес» не стоит				«Жигули» не стоят	Ложь
«Мерседес» не стоит				«Жигули» стоят	Истина
«Мерседес» стоит				«Жигули» не стоят	Истина
«Мерседес» стоит				«Жигули» стоят	Ложь

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции _гцнна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин-₀ ц ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера — Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе;

 

А   В — множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

 

 

Логическое следование (импликация)

 

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то... ».

Примеры импликаций:

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться.

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес­смысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат­ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

Х= Если я — Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А -> В; А => В. (В данном пособии: А => В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

 

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь.

 В = Асфальт мокрый.

(А импликация В) = Если на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В=1), то это соответствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на  улице идёт дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфалы может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Пояснение:

Таблица истинности:
А	В	А => В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1
Смысл высказываний А и В для указанных значений					Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый
Дождя нет				Асфальт сухой	Истина
Дождя нет				Асфальт мокрый	Истина
Дождь идет				Асфальт сухой	Ложь
Дождь идет				Асфальт мокрый	Истина

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказывания ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.

Дано высказывание:

Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

форма высказывания: если А, то В,

А = Коровы летают = 0; В = (2 + 2 = 5) = 0.

На основании таблицы истинности определим значение высказыва-_ния: о => 0 = 1, т. е. высказывание истинно.

В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее по­пробуем отобразить импликацию с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

 

Графическая иллюстрация:

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

 

 

 

 

 

 

 

(А = 0)      (В = 0)                     (А = 0)     (В=1)                            (А = 1)   (В=1)

 

 

 

 

 

 

Логическое равенство (эквивалентность)

 

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединение  двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и  тогда, когда...».

Примеры эквивалентностей:

1) Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет  внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает.

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.

 

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем).

В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) - Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

Пояснение:

Таблица истинности:
А	В	А <=> В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1
Смысл высказываний А и В для указанных значений					Значение высказывания Число кратно 3  тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3
Число не кратно трем				Сумма цифр не кратна трем	Истина
Число не кратно трем				Сумма цифр кратна трем	Ложь
Число кратно трем				Сумма цифр не кратна трем	Ложь
Число кратно трем				Сумма цифр кратна трем	Истина .

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера —• Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых А <=> В.=1.  Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация:

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

 Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением высказываний в одно с помощью союза «или».

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...».

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

 

Опорный конспект «Свойства логических операций»

Инверсия истинна		высказывание ложно
Дизъюнкция ложна          Конъюнкция истинна	тогда   и только тогда, когда	Оба высказывания                      ложны истинны
Дизъюнкция истинна Конъюнкция ложна		Хотя бы одно высказыв истинно ложно
Импликация ложна		из истинного высказывания следует ложное высказывание
Эквивалентность истинна		оба высказывания ложны или оба высказывания истинны

 Упражнения

 

Отрицание.

1. Постройте отрицания приведенных ниже высказываний. Определите значения истинности этих высказываний и их отри­цаний.

а)   «Число 5—делитель числа 542»;

б)   «Автомобиль не имеет права ехать вперед на красный свет»;

в)   «Существуют параллелограммы с прямыми углами»;

г)   «Уравнение 2х² — Зх+1=0 имеет целый корень»;

д)   «Все корни уравнения 2я²—Зх + 1 =0 — целые»;

е)   «Все натуральные числа делятся на 2»;

ж)   «Не существует натурального числа, делящегося на 2»;

з)   «Существует целое число, делящееся на все целые числа»;

2. Среди следующих высказываний найдите отрицание выс­казывания «Существуют четные простые числа»:

а)   «Существуют нечетные простые числа»;

б)   «Существуют четные составные числа»;

в)   «Любое простое число нечетно»;

г)   «Не существует четных простых чисел».

3.  Определите, какие из предложений в^: следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие нет; объясните почему:

а)   «4<0; 4>О»;

б)   «5<0; 5>=0»;

в)   «АВС прямоугольный; АВС остроугольный»;

г)   «Натуральное число 6 четно; натуральное число 6 нечетно»;

д)   «Он мой друг; он мой враг»;

е)   «Все простые числа четны; все простые числа нечетны»;

ж)   «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле; на Земле существует вид животных, неизвестный чело­веку»;

з)   «Он мой друг; он друг моего брата».

4.  Докажите или опровергните следующие предложения, об­разовав их отрицания:

а) 2<=2; б) 3<=5; в) все простые числа нечетны; г) ни одно русское слово не содержит более двух одинаковых гласных подряд.

 

Конъюнкция и дизъюнкция

 

1.  Среди следующих сложных высказываний выделите конъ­юнкции и дизъюнкции и определите, ложны они или истинны:

а)   «Число 27 кратно 3 и 9»;

б)   «17<42<18»;

в)   «Число 2 простое или четное»;

г)   «АВС является остроугольным, прямоугольным или ту­поугольным»;

д)   «Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга пополам»;

ж) «Если треугольник равнобедренный, то он равносторон­ний»;

и) «21<=21»;

к) «21<=18».

2.  Даны высказывания:

А)   «Я купил велосипед»; 

В)   «Я участвовал в соревнованиях по велоспорту»;

С) «Я путешество­вал по СССР».

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям:

Импликация и эквиваленция высказываний

1.  В следующих составных высказываниях выделите состав­ляющие их элементарные высказывания; укажите истинные имп­ликации:

а)   «Если число 48 кратно 8, то оно кратно 4»;

б)   «Если —3< —1, то 3² = 6»;

в)   «Если 1д 100 = 10, то у собаки четыре ноги»;

г)   «Если 2*2 = 5, то существуют ведьмы».

2.   Даны высказывания:

А: «Четырехугольник МРВК — параллелограмм»;

В: «Диагонали четырехугольника  МРВК в точке пересечения делятся пополам».

Сформулируйте словами высказывания и установите, истинны они или ложны:.

 3.   Определите значения истинности высказываний:

а)   «Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2»;

б)   «Если 17 делится на 4, то 17 делится на 2»;

в)   «Если 18 делится на 4, то 18 делится на 2»;

г)   «Если 18 делится на 2, то 18 делится на 4»;

д)   «Если 2*2 = 4, то 7²=81»;

ж)   «Если телепатия  существует, то  некоторые физические законы требуют пересмотра»;

з)   «16 делится на 4 тогда и только тогда, когда 16 делит­ся на 2»;

и) «17 делится на 4 тогда и только тогда, когда 17 делится на 2»;

к) «18 делится на 4 тогда и только тогда, когда 18 делится на 2»;

л) «15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делит­ся на 10».

4. Определите значение истинности А я В при условии, что высказывание:

а)   «Если 2 — простое число, то Л» истинное;

б)   «Если В, то 2 — составное число» ложное;

в)   «Если 2 — простое число, то В» ложное;

г)   «Если Л, то 2 — составное число» ложное;

 

Алгебра логики

1. Из простых высказываний:

А: «Завтра будет дождь»;

В «Мы пойдем в театр»;

С: «Завтра будет солнечно»;

Д: «Завтра занятия начнутся раньше обычного» — образова­ны следующие составные высказывания:

а)   «Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного и мы пойдем в театр»;

б)   «Завтра будет солнечно или будет дождь и занятия нач­нутся раньше обычного»;

в)   «Завтра занятия начнутся раньше обычного и мы пойдем в театр тогда и только тогда, когда не будет дождя и будет сол­нечно».

Запишите данные сложные высказывания, используя символы алгебры логики.

2.   Каждое  из простых высказываний,  входящее  в  приве­денные ниже сложные высказывания, обозначьте буквой и запи­шите эти составные высказывания в символической форме.

а)   Если прямая АВ перпендикулярна прямым СО и КЬ, то прямые СО и /(/, параллельны.

б)   Четырехугольник является параллелограммом тогда и толь­ко тогда, когда его противоположные стороны попарно парал­лельны, или тогда, когда его диагонали равны.

в)   Я сделаю зарядку и, если будет хорошая погода, поеду за город.

г)   Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и его углы равны.

д)   Две плоскости параллельны тогда и только тогда, ког­да они не имеют общих точек или совпадают.

3.  Для каждого из следующих выражений придумайте по два предложения соответствующей логической структуры:

4.  Докажите, что следующие выражения являются тавтоло­гиями: _

 

4.   Докажите следующие эквивалентности:

 5.  Согласно инструкции капитан должен находиться на суд. не всегда, за исключением случаев, когда с судна выгружают груз; если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутст­вует, если не отсутствует и капитан. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне?

6. В каждой из приведенных ниже импликаций выделите условие и заключение. Сформулируйте импликацию, противополож­ную данной и обратную противоположной. Определите, истинны они или ложны.

а)   Если вы находитесь в Африке, то вы находитесь южнее Москвы.

б)   Если я учусь в школе, то мне больше чем два года.

в)   Если последняя цифра числа 17 равна 5, то оно делится на 5.

г)   Если сумма цифр числа 25 делится на 3, то это число делится на 3.

д)   Если сумма цифр числа 23 делится на 5, то это число делится на 5.

Логическое следование

1.  Проверьте, какие из следующих высказываний истинны:

2.  Запишите   в   формализованном   виде   нижеприведенные рассуждения и проверьте, правильны ли они:

а)   Если четырехугольник АВСО — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Четырехугольник АВСО — ромб. Сле­довательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

б)   Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3. Число 10 делится на 3. Следовательно,, 100 делится на 3.

в)   Если 10 делится на 2, то 100 делится на 2. Число  100 делится на 2. Следовательно, 10 делится на 2.

г)   Если множество простых чисел  конечно, то существует наибольшее простое число. Наибольшего простого числа не суще­ствует.   Следовательно,   множество  простых  чисел  бесконечно.

3.  Ответьте на приведенные ниже вопросы:

а)   Что можно утверждать о правильности двух рассуждений, которые в формализованном виде выглядят одинаково?

б)   Может ли правильное рассуждение иметь ложное заклю­чение? Может ли неправильное рассуждение иметь истинное за­ключение?

в)  Что можно утверждать о заключении правильного рассуж­дения, если все его посылки истинны?

г)   Что можно утверждать о посылках правильного рассужде­ния, если его заключение ложно?

д) Что можно утверждать о рассуждении, все посылки кото­рого «истинны, а заключение ложно?

4.  Можно ли на основании посылок «Если предмет интере­сен, то он полезен» и «Предмет неинтересен» заключить, что пред­мет бесполезен? Почему?

5.  Можно ли, исходя из посылки «Если ученик много занимается, то он успешно сдает экзамены», сделать заключение, что ученик, провалившийся на экзамене, занимается мало? Всегда ли такое заключение истинно? Почему?