Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация к уроку математики по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация к уроку математики по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве»

библиотека
материалов
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Разработка урока – лек...
Угол между двумя скрещивающимися прямыми Пусть прямые a и b скрещивающиеся. В...
Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересек...
Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной плос...
Теорема 3.  Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между с...
Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется...
Теорема 6.  Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и...
Перпендикулярность двух плоскостей Пусть прямая a является линией пересечения...
Теорема 8. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Пусть a перпендикулярн...
Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема об общем перпендикуляре двух...
Угол между наклонной и плоскостью Углом между наклонной и плоскостью называет...
На чертеже показана наклонная AB, OB = Пр α AB,    ABO – угол между наклонной...
Двугранный угол Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между д...
Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями. Обща...
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина м...
Ортогональное проектирование Параллельное проектирование, при котором проекти...
Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника, Пр α(Δ...
Второй случай. Ни одна сторона Δ ABC не параллельна плоскости проекции. Прове...
Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в...
Применение Перпендикулярность прямых и плоскостей широко используется в строи...
20 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Разработка урока – лек
Описание слайда:

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Разработка урока – лекции. Учитель математики Кураховской гимназии « Престиж» Паринцева И.В.

№ слайда 2 Угол между двумя скрещивающимися прямыми Пусть прямые a и b скрещивающиеся. В
Описание слайда:

Угол между двумя скрещивающимися прямыми Пусть прямые a и b скрещивающиеся. Выберем на прямой a произвольную точку A. Проведем через нее прямую b' || b. Угол между прямыми a и b' по теореме 10 равен углу между скрещивающимися прямыми a и b. Ясно, что величина этого угла не зависит от выбора точки A. Действительно, выберем на прямой a точку A1 ≠ A и проведем через нее прямую b’' || b. Поскольку b' || b и b’' || b, то b’' || b'. Прямые b' и b’' образуют с прямой a одинаковые углы.

№ слайда 3 Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересек
Описание слайда:

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол. На чертеже изображен куб ABCDA1B1C1D1. Скрещивающиеся прямые A1D1 и CD перпендикулярны. Действительно, A1D1 перпендикулярно C1D1, а C1D1 || CD. Назовем еще несколько пар скрещивающихся перпендикулярных прямых: A1D1 и AB, A1B1 и BC, A1B1 и AD, B1C1 и AB

№ слайда 4 Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной плос
Описание слайда:

Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости. Теорема1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Теорема 2.  Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

№ слайда 5 Теорема 3.  Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между с
Описание слайда:

Теорема 3.  Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.      Теорема 4.  Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.      Теорема 5.  Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

№ слайда 6 Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется
Описание слайда:

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости. Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α , O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = Пр. α AB).

№ слайда 7 Теорема 6.  Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и
Описание слайда:

Теорема 6.  Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной; наклонные с равными проекциями равны; из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.      Теорема 7. О трех перпендикулярах. Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

№ слайда 8 Перпендикулярность двух плоскостей Пусть прямая a является линией пересечения
Описание слайда:

Перпендикулярность двух плоскостей Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей α и β Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ пересекает α по m, γ пересекает β по n и m перпендикулярна n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными. Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ. Пусть δ пересекает α по m', δ пересекает β по n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол, образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.     

№ слайда 9 Теорема 8. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Пусть a перпендикулярн
Описание слайда:

Теорема 8. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Пусть a перпендикулярна α, a принадлежит β, тогда β  перпендикулярна  α. То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны. Теорема 9.  Пусть α  перпендикулярна   β, α пересекает  β по прямой a, b  перпендикулярна a, b  принадлежит  β, тогда b  перпендикулярна α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α. Теорема 10. Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости α проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот перпендикуляр лежит в плоскости β. Теорема 11.  Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по прямой a, тогда a  перпендикулярна   γ.

№ слайда 10 Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема об общем перпендикуляре двух
Описание слайда:

Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых. Теорема 12.  Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный. Лемма 1.  Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

№ слайда 11 Угол между наклонной и плоскостью Углом между наклонной и плоскостью называет
Описание слайда:

Угол между наклонной и плоскостью Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

№ слайда 12 На чертеже показана наклонная AB, OB = Пр α AB,    ABO – угол между наклонной
Описание слайда:

На чертеже показана наклонная AB, OB = Пр α AB,    ABO – угол между наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b через точку B так, чтобы OC было перпендикулярно b. Пусть,    ABO = β,    OBC = γ,    ABC = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем Заметим, что               или Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны. Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ. Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости α.                                                          cos φ = cos β cos γ.

№ слайда 13 Двугранный угол Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между д
Описание слайда:

Двугранный угол Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

№ слайда 14 Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями. Обща
Описание слайда:

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями. Общая прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M     α, N     β , тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP. Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a1 и b1. Согласно теореме о следе a1 || a, b1 || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

№ слайда 15 При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина м
Описание слайда:

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

№ слайда 16 Ортогональное проектирование Параллельное проектирование, при котором проекти
Описание слайда:

Ортогональное проектирование Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием Теорема 13.  Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: Доказательство Sпр = S cos φ. Заметим, что проекции фигуры на произвольные из параллельных плоскостей равны, так как могут быть совмещены параллельным переносом в направлении проектирования. Теперь рассмотрим теорему для случая, когда проектируется треугольник.

№ слайда 17 Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника, Пр α(Δ
Описание слайда:

Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника, Пр α(Δ ABC) = Δ ABO, CD – высота Δ ABC. По теореме о трех перпендикулярах OD  AB, то есть OD – высота Δ ABO. Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB, поэтому    CDO – линейный угол двугранного угла AB. Пусть    CDO = φ, тогда OD = CD cos φ,                     что и требовалось доказать. Если сторона AB не лежит в плоскости проекции, но параллельна ей, доказательство аналогично.                                                                              

№ слайда 18 Второй случай. Ни одна сторона Δ ABC не параллельна плоскости проекции. Прове
Описание слайда:

Второй случай. Ни одна сторона Δ ABC не параллельна плоскости проекции. Проведем отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD, параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем: Складывая или вычитая эти равенства в зависимости от того принадлежит точка D отрезку AC или лежит вне него, имеем что и требовалось доказать. SΔ AB1D1 = SΔ ABD cos φ,  SΔ B1C1D1 = SΔ BCD cos φ. SΔ AB1C1 = SΔ ABC cos φ,

№ слайда 19 Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в
Описание слайда:

Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в этом случае является отрезок, площадь которого равна нулю. Косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью Δ равен так же нулю. Значит формула              также формально верна. Если проектируется многоугольник, то разбиваем его на треугольники и для каждого применяем доказанную теорему.

№ слайда 20 Применение Перпендикулярность прямых и плоскостей широко используется в строи
Описание слайда:

Применение Перпендикулярность прямых и плоскостей широко используется в строительной промышленности (для правильности и геометрической точности стен и потолков зданий и их фундаментов). В инженерно-технических проектах, где перпендикулярность прямых и плоскостей является основой для построений более сложных элементов.

Краткое описание документа:

Презентация - разработка урока - лекции или цикла уроков по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» может быть интересна как преподавателям так и учащимся 10 класса и может быть использована для проведения урока - лекции или как фрагмент урока на нескольких уроках темы для введения нового материала, актуализации опорных знаний, для объяснения различных моментов при решении задач, ортогональном проектировании , применении перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. В данной презентации использованы вставки диска « Математика» ( стереометрия) фирмы Физикон. Буду рада если пригодится.

Автор
Дата добавления 26.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1025
Номер материала 38372032606
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх