• 
  Историческое развитие тригонометрии

   

  Слово "Тригонометрия" (от греческих слов "Тригонон" - треугольник и "метрео" - измеряю) - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников, тригонометрические функции и тригонометрические ряды.

  Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

  Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге.

  Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Т.о., в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями.

  Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. Он разработал ее как науку о тригонометрических функциях, рассматриваемых как отношения соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Впервые в его трудах встречаются записи sin x , tg x. (1707 – 1783)

  Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах.

             В знаменитом сочинении Птолемея, вошедшем в историю науки под арабским названием «Альмагест», собраны все астрономические знания того времени.

  Франсуа  ВИЕТ разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени.

  Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии. Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон)

   

• Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

  «Лицей №4 города Азнакаево» Азнакаевского муниципального района

  Республики Татарстан

   

   

   

   

   

   

   

   

  УРОК МАТЕМАТИКИ

   

  Тема урока:

  «Тригонометрия и ее применение в различных сферах науки и жизни».

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Класс:  10А

  Учитель первой квалификационной категории    Сагдиева Расиха Гайсиновна

   

   

   

   

   

   

                                                       Азнакаево, 2014

   

  Тема урока:  Тригонометрия и ее применение в различных сферах науки и жизни

  Цели урока: изучить исторические пути развития тригонометрии её связи и со сферической тригонометрией, давшей возможность изучать объекты астрономии; рассмотреть основные понятия тригонометрии во взаимосвязи с практическим применением в астрономии, компьютерной графике, музыке, медицине …

  1.ЭЙ АР ГАЙД

  Здравствуйте. Этот наш урок мы посвятим тригонометрии. На ваших столах есть листок с утверждениями. Внимательно их прочитайте, и заполните колонку «До». Даю вам 2 минуты. …..

  до	Вопросы	после
  	Мне не понадобятся знания о тригонометрических уравнениях в жизни или быту
  	Я не знаю, в каких сферах науки и искусства применяется тригонометрия
  	Мне хочется знать про историю возникновения тригонометрии и понять, как зарождались математические понятия, связанные с ней
  	Мне достаточно знать один способ решения тригонометрических уравнений уровня С1
  	Мне достаточно уметь решать только простые тригонометрические уравнения (без частных случаев)
  	Я понимаю, как можно применить знания о тригонометрических уравнениях в жизни или в быту
  	Знания и опыт, которые я получу на данном уроке, понадобятся мне в будущем

   

  2.ФИНК-РАЙТ-РАУНД РОБИН - «подумай-запиши-обсуди в команде»

  - Откройте тетради, запишите дату, классная работа, тему. ……..

  - Сейчас каждый стол получит отдельное задание. Ответ обдумайте, затем запишите. Столу №1 - определение синуса, столу №2 – определение косинуса, стол №3 – вам определение тангенса, стол №4, вам – определение котангенса.  Даю 1 минуту ….  Обсудите свой ответ в команде. Начинает партнёр под номером 2. Об окончании оповестите ЧИРом.

  - Стол №1, кто поделится ответом? Стол №2? … Стол №3? …… Стол №4? ……

  Прорешаем задачи. Каждый подумает и покажет решение в тетради. Вам 1 минута. …… Обсудите в команде. 1 минута. Об окончании оповестите ЧИРом.……

  Для стола №1: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=6 см, sin А=0,6.   АВ-?

  Для стола №2: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=6 см, cos А=0,6.   АВ-?

  Для стола №3: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=2 см,  ВС=3см.    tgA-?

  Для стола №4: В треугольнике АВС   угол С =90°,  АС=2 см,  ВС=3 см.  ctgB-?

  - Стол №3, кто поделится ответом? Вашему столу оценка «?». Стол №2? … Стол №3? …… Стол №4? ……

  Следующее задание. Запишите простые тригонометрические уравнения и частные случаи с решениями:

  Для чётных столов:  cos t=a;             t=±arccos a+2πn, nєZ

                                      1) cos t=1;                2) cos t=0;                   3) cos t=-1;  

  Для нечётных столов: sin t =a;     t=(-1)ⁿ arcsin a + πk, kєZ 

  1)      sin t =1;                   2) sin t =0;                     3) sin t =-1

  ЧИР.

  Учитель проверяет на местах, ставит оценку.

  ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН- «встать-сесть».

  4. Продолжаем работу с уравнениями. Где же применяются эти простые уравнения? Ответы учеников

  - Да, в первую очередь, для решения задач по ЕГЭ. Прорешаем следующее задание из С1 из сайта ФИПИ…..

  Задача С1.

   Решите уравнение  cos(2x)+3sin²(x)=1,25  и найдите корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]

  Решение: по формуле косинуса двойного угла преобразуем первое слагаемое:

                       cos²(x)- sin²(x )+3sin²(x)=1,25 

                        cos²(x)+2 sin²(x)=1,25 

  Используя основное  тригонометрическое тождество, получим:

  (cos²(x)+ sin²(x))+ sin²(x)=1,25 

  1+sin²(x)=1,25 

  sin²(x)=0,25 

  sin(x)=0,5 

  sin(x)=-0,5 

  Корни уравнения  sin(x)=0,5 ;    х1=(-1)ⁿ π/6+πn , х2=………,    nєZ ;

  Корни уравнения  sin(x)=-0,5  х1=(-1)ⁿ⁺¹ π/6+πn,    х2=…………….., nєZ;  

  - Теперь нужно найти корни, которые принадлежат данному отрезку.  Сколько есть способов дальнейшего решения? ……

  -Графический (ученик решает у доски)

  - Двойное неравенство (ученик решает у доски)

  - С помощью единичной окружности (ученик решает у доски)

  СТЁ ЗЕ КЛАСС.

  - Где ещё применяются   уравнения, конкретно, тригонометрия?  Запишите свои идеи на листке. Вам 1 минута ……. Теперь походите по классу, соберите у одноклассников как можно больше идей…. (Ученики проходят по классу, записывают идеи)

  - Садитесь.

  ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН- «встать-сесть».

  - Итак, у кого больше идей? Поднимите руку, у кого десять идей? …. Ещё больше? …… Обсудите свои идеи и выберите наиболее удачную, на ваш взгляд, идею. Кто готов поделиться?  ……..

  5. Работа по группам.   ТИМБИЛДИНГ

  - Поработаем по группам. Стол №1, вы отвечаете на тестовые вопросы, садитесь за компьютеры.

  Стол №2, для вас я приготовила практическую работу: найдите длину и ширину дверного проёма, измерить можно только диагональ, которая специально для вас здесь проведена. После произведённых вычислений проверьте результаты, измерив проём с помощью рулетки. Сравните. Помните про погрешность измерений (связь с физикой).

  Стол №3.  Выполняете задание на интерактивной доске.

  Стол №4. Вам выпало творческое задание. Возьмите папку, здесь исторический материал по тригонометрическим уравнениям. Вам необходимо подготовить небольшой доклад, и выступить с ним перед одноклассниками. (Учитель сопровождает доклад учеников видеоматериалом).

  ЭЙ АР ГАЙД

  6. Возвращаемся к нашим утверждениям. Заполните колонку «после». ….. Изменилось ли ваше мнение? Поделитесь с партнёрами по лицу. ….. Есть желающие поделиться своим мнением? ……

  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Откройте задачник, страница 172, п.31, задание №31.18 (а), №31.21 (а).

   

   

   

   

   

   

   

   

  Тестовые вопросы

  {Q}Найдите значение выражения  ,  при

  0

  

  {A}3

  

  {Q}Найдите , если  и <<0

  -0,5

  -0,75

  {A}0,75

  0,5

  {Q}Упростите выражение 

  

  

  

  {A}

  {Q}Упростите 

  {A}

  

  

  

  {Q}Упростите выражение   sin(x)+tg(x)*cos(x)   

  1

  {A}2sin(x)

  2 cos²  (x)     

  1/sin(x)

  {Q}Найдите значение выражения , если  

  -0,5

  0

  1

  {A}-1

   

   

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Цели урока: изучить исторические пути развития тригонометрии её связи и со сферической тригонометрией, давшей возможность изучать объекты астрономии;
    рассмотреть основные понятия тригонометрии во взаимосвязи с практическим применением в астрономии, компьютерной графике, музыке, медицине …
    
    
    Тригонометрия и её применение в различных
    сферах науки и жизни
    
    

  • 

    2 слайд

    
    Цели урока:
    
    систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений
      воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству.
     развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики.
    
    

  • 

    3 слайд

    
    Структура ЭЙ АР ГАЙД.
    
    

  • 

    4 слайд

    ФИНК-РАЙТ-РАУНД РОБИН
    «подумай-запиши-обсуди в команде».
    Определения синуса, косинуса, тангенса , котангенса.
    Обсудить свой ответ в команде.
    
    

  • 

    5 слайд

    Задачи (решение в тетради).
    №1 В треугольнике АВС угол С =90°,
    АС=6 см, sin А=0,6. АВ-?
    №2 В треугольнике АВС угол С =90°, АС=6 см, cos А=0,6. АВ-?
    №3 В треугольнике АВС угол С =90°, АС=2 см, ВС=3см. tgA-?
    №4 В треугольнике АВС угол С =90°, АС=2 см, ВС=3 см. ctgB-?
    
    

  • 

    6 слайд

    Записать
    простые тригонометрические уравнения и частные случаи с решениями:
    
    Для чётных столов: косинус
    
    Для нечётных столов: синус
    

  • 

    7 слайд

    cos t=a; t= ± arccos a+2πn, nєZ
    Частные случаи:
    1) cos t=1; 2) cos t=0; 3) cos t= -1;
    
    
    sin t =a; t=(-1)n arcsin a + πk, kєZ
    Частные случаи:
    1) sin t =1; 2) sin t =0; 3) sin t = -1;
    

  • 

    8 слайд

    ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН - «встать-сесть».
    
    Где же применяются эти простые уравнения?
    

  • 

    9 слайд

    Задача С1 из сайта ФИПИ
    (www.fipi.ru).
    
    Решить уравнение cos(2x)+3sin2(x)=1,25 и найти корни, принадлежащие отрезку
    
    

  • 

    10 слайд

    Сколько есть способов дальнейшего решения?
    
    Графический
    Двойное неравенство
    С помощью единичной окружности
    
    

  • 

    11 слайд

    СТЁ ЗЕ КЛАСС.
    
    Запишите свои идеи на листке
    

  • 

    12 слайд

    ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН- «встать-сесть».
    
    У кого больше идей?
    

  • 

    13 слайд

    ТИМБИЛДИНГ Работа по группам
    
    Стол №1- тестовые вопросы.
    Стол №2 – практическая работа: найдите длину и ширину дверного проёма, измерить можно только диагональ. После произведённых вычислений сравнить результаты, измерив проём с помощью рулетки. Помните про погрешность измерений (связь с физикой).
    Стол №3 Письменное задание.
    Стол №4 Творческое задание. Исторический материал по тригонометрии. Подготовить небольшое выступление.
    
    

  • 

    14 слайд

    ЭЙ АР ГАЙД
    
    Возвращаемся к нашим утверждениям. Заполните колонку «после».
    Изменилось ли ваше мнение? Поделитесь с партнёрами по лицу.
    Есть желающие поделиться своим мнением
    

  • 

    15 слайд

    ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
    Откройте задачник, страница 172, п.31, задание №31.18 (а), №31.21 (а).
    
    

Краткое описание материала