Историческое развитие тригонометрии

Слово "Тригонометрия" (от греческих слов "Тригонон" - треугольник и "метрео" - измеряю) - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников, тригонометрические функции и тригонометрические ряды.

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге.

Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Т.о., в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями.

Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. Он разработал ее как науку о тригонометрических функциях, рассматриваемых как отношения соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Впервые в его трудах встречаются записи sin x , tg x. (1707 – 1783)

Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах.

           В знаменитом сочинении Птолемея, вошедшем в историю науки под арабским названием «Альмагест», собраны все астрономические знания того времени.

Франсуа  ВИЕТ разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени.

Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии. Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №4 города Азнакаево» Азнакаевского муниципального района

Республики Татарстан

УРОК МАТЕМАТИКИ

Тема урока:

«Тригонометрия и ее применение в различных сферах науки и жизни».

                                                     Азнакаево, 2014

Тема урока:  Тригонометрия и ее применение в различных сферах науки и жизни

Цели урока: изучить исторические пути развития тригонометрии её связи и со сферической тригонометрией, давшей возможность изучать объекты астрономии; рассмотреть основные понятия тригонометрии во взаимосвязи с практическим применением в астрономии, компьютерной графике, музыке, медицине …

1.ЭЙ АР ГАЙД

Здравствуйте. Этот наш урок мы посвятим тригонометрии. На ваших столах есть листок с утверждениями. Внимательно их прочитайте, и заполните колонку «До». Даю вам 2 минуты. …..

2.ФИНК-РАЙТ-РАУНД РОБИН - «подумай-запиши-обсуди в команде»

- Откройте тетради, запишите дату, классная работа, тему. ……..

- Сейчас каждый стол получит отдельное задание. Ответ обдумайте, затем запишите. Столу №1 - определение синуса, столу №2 – определение косинуса, стол №3 – вам определение тангенса, стол №4, вам – определение котангенса.  Даю 1 минуту ….  Обсудите свой ответ в команде. Начинает партнёр под номером 2. Об окончании оповестите ЧИРом.

- Стол №1, кто поделится ответом? Стол №2? … Стол №3? …… Стол №4? ……

Прорешаем задачи. Каждый подумает и покажет решение в тетради. Вам 1 минута. …… Обсудите в команде. 1 минута. Об окончании оповестите ЧИРом.……

Для стола №1: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=6 см, sin А=0,6.   АВ-?

Для стола №2: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=6 см, cos А=0,6.   АВ-?

Для стола №3: В треугольнике АВС  угол С =90°,  АС=2 см,  ВС=3см.    tgA-?

Для стола №4: В треугольнике АВС   угол С =90°,  АС=2 см,  ВС=3 см.  ctgB-?

- Стол №3, кто поделится ответом? Вашему столу оценка «?». Стол №2? … Стол №3? …… Стол №4? ……

Следующее задание. Запишите простые тригонометрические уравнения и частные случаи с решениями:

Для чётных столов:  cos t=a;             t=±arccos a+2πn, nєZ

                                    1) cos t=1;                2) cos t=0;                   3) cos t=-1;  

Для нечётных столов: sin t =a;     t=(-1)ⁿ arcsin a + πk, kєZ 

1)      sin t =1;                   2) sin t =0;                     3) sin t =-1

ЧИР.

Учитель проверяет на местах, ставит оценку.

ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН- «встать-сесть».

4. Продолжаем работу с уравнениями. Где же применяются эти простые уравнения? Ответы учеников

- Да, в первую очередь, для решения задач по ЕГЭ. Прорешаем следующее задание из С1 из сайта ФИПИ…..

Задача С1.

 Решите уравнение  cos(2x)+3sin²(x)=1,25  и найдите корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]

Решение: по формуле косинуса двойного угла преобразуем первое слагаемое:

                     cos²(x)- sin²(x )+3sin²(x)=1,25 

                      cos²(x)+2 sin²(x)=1,25 

Используя основное  тригонометрическое тождество, получим:

(cos²(x)+ sin²(x))+ sin²(x)=1,25 

1+sin²(x)=1,25 

sin²(x)=0,25 

sin(x)=0,5 

sin(x)=-0,5 

Корни уравнения  sin(x)=0,5 ;    х1=(-1)ⁿ π/6+πn , х2=………,    nєZ ;

Корни уравнения  sin(x)=-0,5  х1=(-1)ⁿ⁺¹ π/6+πn,    х2=…………….., nєZ;  

- Теперь нужно найти корни, которые принадлежат данному отрезку.  Сколько есть способов дальнейшего решения? ……

-Графический (ученик решает у доски)

- Двойное неравенство (ученик решает у доски)

- С помощью единичной окружности (ученик решает у доски)

СТЁ ЗЕ КЛАСС.

- Где ещё применяются   уравнения, конкретно, тригонометрия?  Запишите свои идеи на листке. Вам 1 минута ……. Теперь походите по классу, соберите у одноклассников как можно больше идей…. (Ученики проходят по классу, записывают идеи)

- Садитесь.

ТЭЙК-ОФ -ТАЧ ДАУН- «встать-сесть».

- Итак, у кого больше идей? Поднимите руку, у кого десять идей? …. Ещё больше? …… Обсудите свои идеи и выберите наиболее удачную, на ваш взгляд, идею. Кто готов поделиться?  ……..

5. Работа по группам.   ТИМБИЛДИНГ

- Поработаем по группам. Стол №1, вы отвечаете на тестовые вопросы, садитесь за компьютеры.

Стол №2, для вас я приготовила практическую работу: найдите длину и ширину дверного проёма, измерить можно только диагональ, которая специально для вас здесь проведена. После произведённых вычислений проверьте результаты, измерив проём с помощью рулетки. Сравните. Помните про погрешность измерений (связь с физикой).

Стол №3.  Выполняете задание на интерактивной доске.

Стол №4. Вам выпало творческое задание. Возьмите папку, здесь исторический материал по тригонометрическим уравнениям. Вам необходимо подготовить небольшой доклад, и выступить с ним перед одноклассниками. (Учитель сопровождает доклад учеников видеоматериалом).

ЭЙ АР ГАЙД

6. Возвращаемся к нашим утверждениям. Заполните колонку «после». ….. Изменилось ли ваше мнение? Поделитесь с партнёрами по лицу. ….. Есть желающие поделиться своим мнением? ……

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Откройте задачник, страница 172, п.31, задание №31.18 (а), №31.21 (а).

Тестовые вопросы

{Q}Найдите значение выражения  ,  при

0

{A}3

{Q}Найдите , если  и <<0

-0,5

-0,75

{A}0,75

0,5

{Q}Упростите выражение 

{A}

{Q}Упростите 

{A}

{Q}Упростите выражение   sin(x)+tg(x)*cos(x)   

1

{A}2sin(x)

2 cos²  (x)     

1/sin(x)

{Q}Найдите значение выражения , если  

-0,5

0

1

{A}-1