•  

   

   

   

   

   

   

  Подготовка к ЕГЭ по математике

   

  Открытый урок

  по теме: «Решение задач на вычисление

  объемов и площадей поверхностей тел».

  (задачи В10, В13)

   

   

   

                                  Учитель: Мартыненко П. А.

   

   

   

   

   

  г. Зеленокумск

  февраль 2014 г.

   

   

        Цель урока: Закрепление навыков у учащихся на решение задач на нахождение

                                  объемов и площадей поверхностей тел. Умение решать задачи на

                                  комбинацию различных тел.

   

   

  Ход урока

  1.    Организационный момент.

  2.    Проверка домашнего задания:

  № 667  решение: ; Получим, что

  № 690  решение:   Получим:  из уравнения Высота боковой грани: Площадь боковой грани: Т. О.

   

  3.    Опрос учащихся:

   

  I	Устная работа по готовым чертежам:
  	Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).   Ответ: 28
  	Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. Ответ: 7
  	Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 5. Най­ди­те объем ци­лин­дра.   Ответ: 15
  	Объем прямоугольного паралле­ле­пи­пе­да, опи­сан­но­го около сферы, равен 216. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.     Ответ: 3
  II	Опрос учащихся у доски (решение задач по карточкам)
  III	Записать формулы объемов многогранников и тел вращения на доске

   

   

  4.    Письменная работа с учащимися на доске и в тетрадях (решение

           задач на закрепление изученной темы)

   

  1. Диагональ куба равна  . Найдите его объем         Решение: Если ребро куба равно a, то его диагональ равна  .Отсюда следует, что если диагональ куба равна , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8   Ответ: 8
  2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объем.           Решение: Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1)2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение  6(x+1)2 = 6x2 + 30, решая которое, находим x = 2.   Ответ: 2; 8
  3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда     Решение: Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60о, равна  . Высота, опущенная на эту грань, равна. Объем параллелепипеда равен 1,5.   Ответ: 1,5
  4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы   Решение: Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8                       Ответ: 8
  5. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.       Решение: Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360.     Ответ: 360
  6. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3     Решение: Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27. Ответ: 27
  7. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.     Решение: Треугольник SAD равносторонний со стороной ,  AB = GH =Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6.     Ответ: 6
  8. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.     Решение:   = коэффициентом подобия, равным 2. Значит  . Так как пирамиды имеют одинаковые высоты, а площадь основания отсеченной пирамиды  в 4 раза меньше площади основания данной пирамиды, то и ее объем будет в 4 раза меньше объема данной.                            Ответ: 3
  9. Во сколь­ко раз объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, боль­ше объ­е­ма ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду?     Решение:  Радиус основания вписанного конуса будет равен половине стороны основания пирамиды, т.е.  тогда   Радиус основания описанного конуса будет равен половине диагонали пирамиды, т.е.  тогда           Таким образом,                                Ответ: 2

   

   

   

   

   

  5.    Подведение итогов урока

  Вопросы учащимся

  ·       Какова была тема и цель урока;

  ·       Задачи какого типа решались на уроке

           (задачи на нахождение объемов);

  ·       Каково практическое применение данного типа задач;

  ·       Имеют ли место данные задачи в материалах ЕГЭ.

        

  6.    Домашнее задание: (домашняя самостоятельная работа по           карточкам).

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Задачи В10 и В13
    
    Решение задач на нахождение объемов и площадей поверхностей тел
    

  • 

    2 слайд

    Домашнее задание
    

  • 

    3 слайд

     Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке
    (все двугранные углы многогранника прямые).
    Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
    Ответ: 28
    Ответ: 7
    

  • 

    4 слайд

    Конус впи­сан в ци­линдр. Объем ко­ну­са равен 5. Най­ди­те объем ци­лин­дра.
    
    Объем прямоугольного паралле­ле­пи­пе­да, опи­сан­но­го около сферы, равен 216. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.
    
    Ответ: 15
    Ответ: 3
    

  • 

    5 слайд

    1. Диагональ куба равна 𝟏𝟐 . Найдите его объем
    Решение: Если ребро куба равно a, то его диагональ равна 𝒂 𝟑 .Отсюда следует, что если диагональ куба равна 𝟏𝟐 , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8
    Ответ: 8
    

  • 

    6 слайд

    2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объем.
    Решение: Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1)2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+1)2 = 6x2 + 30, решая которое, находим x = 2. 𝑽=𝟖.
    Ответ: 2; 8
    

  • 

    7 слайд

    3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда
    Решение: Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60о, равна 𝟑 𝟐 . Высота, опущенная на эту грань, равна 𝟑 . Объем параллелепипеда равен 1,5.
    
    Ответ: 1,5
    

  • 

    8 слайд

    4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы
    Решение: Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8
    Ответ: 8
    

  • 

    9 слайд

    5. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды
    Решение: Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360
    Ответ: 360
    

  • 

    10 слайд

    6. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3
    Решение: Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27.
    Ответ: 27
    

  • 

    11 слайд

    7. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды
    Решение: Треугольник SAD равносторонний со стороной 𝟐 𝟑 ,
    AB = GH = 𝟑 . Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем
    пирамиды равен 6
    Ответ: 6
    

  • 

    12 слайд

    8. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
    Решение: 𝑽 𝑺𝑨𝑩𝑪 = 𝟏 𝟑 𝑺 𝑨𝑩𝑪 ∙𝑯. ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑴𝑵𝑪 с коэффициентом подобия, равным 2. Значит 𝑺 𝑴𝑵𝑪 = 𝟏 𝟒 𝑺 𝑨𝑩𝑪 . Так как пирамиды имеют одинаковые высоты, а площадь основания отсеченной пирамиды в 4 раза меньше площади основания данной пирамиды, то и ее объем будет в 4 раза меньше объема данной. 𝑽 𝑺𝑴𝑵𝑪 = 𝟏 𝟒 𝑽 𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝟑.
    Ответ: 3
    

  • 

    13 слайд

    9. Во сколь­ко раз объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, боль­ше объ­е­ма ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду?
    Решение: Радиус основания вписанного конуса будет равен половине стороны основания пирамиды, т.е. 𝑹 вп = 𝒂 𝟐 тогда 𝑽 вп = 𝟏 𝟑 𝝅 𝒂 𝟐 𝟒 𝒉= 𝟏 𝟏𝟐 𝝅 𝒂 𝟐 𝒉. Радиус основания описанного конуса будет равен половине диагонали пирамиды, т.е. 𝑹 оп = 𝒂 𝟐 𝟐 тогда 𝑽 оп = 𝟏 𝟑 𝝅 𝒂 𝟐 𝟐 𝒉= 𝟏 𝟔 𝝅 𝒂 𝟐 𝒉. Таким образом 𝑽 оп 𝑽 вп = 𝟏 𝟔 𝝅 𝒂 𝟐 𝒉 𝟏 𝟏𝟐 𝝅 𝒂 𝟐 𝒉 =𝟐.
    Ответ: 2
    

Краткое описание материала