Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Анықтауыштар мен матрицалар.Сызықтық теңдеулер жүйесі
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Анықтауыштар мен матрицалар.Сызықтық теңдеулер жүйесі

библиотека
материалов

Дәрістің тақырыбы.


Анықтауыштар. Матрицалар. Кері матрица. Матрицаның рангі. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.


Дәрістің мақсаты: Студенттерге анықтауыш, матрица ұғымдарын беру. Анықтауышты есептеу жолдарын үйрету. Кері матрица, матрицаның рангі ұғымдарын беру және оларды табу жолдарын үйрету. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін үйрету.

Жоспары:

1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу жолдарын үйрету.

2. Минорлар және алгебралық толықтауыштарды табуды меңгерту.

3. Матрицаның анықтамасын, оның түрлерін білу және оларға амалдар қолдануға үйрету.

4. Матрицаның рангі ұғымын беру және оны есептеу жолын үйрету.

5. Кері матрица ұғымын беру және оны табу.

6. Негізгі ұғымдар.

7. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін білу.


1. Анықтама. Сандардың мына түрдегі тік бұрышты кестесін

hello_html_m1cff25c8.gif

hello_html_19282c89.gifөлшемді матрица деп атайды, мұндағы hello_html_51e72e05.gif - нақты сандар, берілген матрицаның элементтері. Матрицаның элементтері жолдар мен бағандарды құрайды. Бірінші индекс hello_html_m7662b03c.gif жолдың нөмірін көрсетеді, ал екіншісі - hello_html_a83271a.gif бағанның нөмірін көрсетеді. Матрицаны қысқаша былай белгілейді:

hello_html_455c07c1.gif.

Егер матрицадағы жолдың саны мен бағанның саны бірдей болса (т=п) , онда матрица п-ші ретті квадратты матрица деп аталады. Ал тең болмаса, онда тік бұрышты матрица деп аталады.

Егер т = 1, п>1 болса, біржолды матрица аламыз: hello_html_m57e2b7e9.gif

Егер m>1, n = 1 болса, бір бағанды матрица аламыз, яғни hello_html_m507ad4f9.gif.

hello_html_1c4db7e6.gifэлементтердің реттелген жиынтығын квадратты матрицаның бас диагоналы деп атайды.

hello_html_m76b0d3f3.gifекі матрица өзара тең деп аталады, егер бірдей орындағы элементтері тең болса, яғни барлық hello_html_mc5f3267.gif үшін hello_html_34bf976.gif ( мұнда екі матрицадағы жолдың және бағанның сандары бірдей болуы керек).

Матрицаға мынадай сызықтық амалдар қолдануға болады:

1. hello_html_11f69e8e.gif және hello_html_m16ceba61.gif екі матрицаның қосындысы деп үшінші бір hello_html_m32ef118d.gif матрицасын айтады, оның да т жолы және п бағаны бар, оның элементтері

мына теңдікпен анықталады: hello_html_2c06fcc2.gif.

Белгіленуі: A+B=C.

Айталық, hello_html_72f856ad.gif, hello_html_5e212836.gif десек, онда

hello_html_48399ffe.gif

Осы сияқты екі матрицаның айырмасын да табуға болады.

2. hello_html_11f69e8e.gif матрицасын hello_html_1a414774.gif санына көбейту деп әрбір элементі А матрицасының сәйкес элементі мен hello_html_1a414774.gif санының көбейтіндісінен тұратын матрицаны айтады, яғни hello_html_15c6ce7c.gif десек, hello_html_312897b6.gif;

  1. т жолы және п бағаны бар hello_html_11f69e8e.gif матрицасы мен к жолы мен п бағаны бар hello_html_m16ceba61.gif матрицасының көбейтіндісі деп т жолы және п бағаны бар және hello_html_3016be80.gif элементі А-ның i жолындағы элементтері мен В-ның j бағанының элементінің көбейтіндісінің қосындысына тең hello_html_m32ef118d.gif матрицасын айтады, яғни hello_html_m2f484e80.gif.

Айталық,

hello_html_784501ef.gifдесек, онда hello_html_m5ca943e1.gif

  1. Бас диагоналындағы элементтері 1-ге, ал қалған элементтері 0-ге тең матрицаны бірлік матрица деп атайды:

hello_html_m1409726e.gifнемесе hello_html_m3cbd403b.gif

Айталық, үшінші ретті бірлік матрицаны жазсақ: hello_html_ff4d48c.gif

Бірлік матрицаның мынадай қасиеті бар: hello_html_m7276403c.gif және hello_html_389f825a.gif

Матрицаларға сызықтық амалдар қолдануда мынадай қатынастарды қолдануға болады (қасиеттері):

hello_html_664f37dc.gifhello_html_m7cc6a15b.gifhello_html_m53d4ecad.gif, мұндағы A,B және C - өлшемдері бірдей матрицалар, ал hello_html_m1898c47d.gif - кейбір нақты сандар, 0- нөлдік

матрица.

Матрицаларды көбейтуде мынадай қатынастарды қолдануға болады (қасиеттері):

hello_html_4a91def8.gif

hello_html_2c1b01fc.gifкез келген нақты сан.

hello_html_a8d6357.gif

Матрицаны транспорлеу деп матрицаның жолдарын, ретін сақтай отырып, оның бағандарымен ауыстыруды айтады. Транспорленген матрицаны hello_html_b4a8711.gif деп белгілейді.

Матрицаның рангы деп осы матрицаның нөлден өзгеше минорларының ең жоғарғы ретін айтады.

A матрицасының рангын r(A) деп белгілейді.

Мысал: hello_html_2a73ee66.gif

hello_html_m76eadc94.gifматрицасын A квадратты матрицасына кері матрица деп атайды, егер олардың көбейтіндісі бірлік матрицаға тең болса: hello_html_md0c26f3.gif.

Кері матрицаны мына формуламен есептейді:

hello_html_m7aea0b28.gifмұндағы hello_html_m5a5da4a6.gif біріктірілген матрица.

2. Анықтама hello_html_m16d7f5df.gifөлшемді матрицаға сәйкес келетін,

hello_html_7842373.gif

таңбасымен белгіленген, кез келген сандар кестесіне белгілі бір заңдылықпен сәйкес қойылатын қандай да бір сан n-ші ретті анықтауыш деп аталады.

Анықтауышты hello_html_m77059578.gif немесе hello_html_m39b69a89.gif деп белгілейді.

n-ші ретті анықтауыш әрқайсысы әр n жол мен әр n бағаннан тек бір элементтен алынған осы анықтауыштың n элементінің көбейтіндісі болатын n!=1*2*3*...*n мүшелерінің алгебралық қосындысына тең, сонай-ақ мүшелерінің жартысы солардың таңбасымен, ал қалғандары қарама-қарсы таңбамен алынады.

Дербес жағдайда екінші ретті квадраттық матрица берілсін:

hello_html_617d088f.gifhello_html_m337b8cf3.gif; (1)

Анықтама. Екінші ретті анықтауыш (детерминант) деп (1) матрицаға сәйкес және hello_html_2acf0aee.gif таңбасымен белгіленетін және hello_html_m3eb4397e.gif теңдігімен анықталатын санды айтады.

Үшінші ретті анықтауыш та осылай анықталады: hello_html_m21400b5d.gif. Бұны есептеу үшін төмендегідей схема қолданылады: 1) hello_html_7cc6b2d5.png 2) hello_html_1275cc6c.png


Сонда жоғарыдағы анықтауыш мына теңдікпен табылады:

hello_html_m5e1c224a.gif; (4)

Анықтауыштың қасиеттері: 1.Анықтауыштың жатық жолдарын сәйкес тік жолдарымен ауыстырғаннан мәні өзгермейді, яғни:hello_html_4e09ef75.gif

  1. Анықтауыштың екі тік жолын немесе екі жатық жолын ауыстырсақ онда оны –1-ге көбейткенге гең: hello_html_m56b035d.gif

  2. Егер анықтауышта екі бірдей тік жол немесе екі бірдей жатық жол болса, онда ол нөлге тең болады.

  3. Анықтауыштың бір тік жолының немесе бір жатық жолының элементтерін кез келген hello_html_1a414774.gifсанына көбейту анықтауышты сол hello_html_1a414774.gifсанына көбейткенмен теңбе-тең:

hello_html_m37907dd5.gif

  1. Егер анықтауыштың бірнеше тік жолының немесе бірнеше жатық жолының элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың өзі де нөлге тең болады. (Бұл 4-ші қасиеттен шығады, яғни hello_html_6aa9b992.gif болса).

  2. Егер анықтауыштың екі тік жолының немесе екі жатық жолының элементтері пропоционал болса, онда мұндай анықтауыш нөлге тең болады.

  3. Егер анықтауыштың п-ші тік жолының әрбір элементтері екі қосылғыштан тұрса,онда анықтауышты екі анықтауыштың қосындысымен жазуға болады, мұндағы 1-ші тік жолдар әр қосылғыштан тұрады, 2-ші, 3-ші тік жолдар өзгермейді.

  4. Егер анықтауыш кейбір тік (жатық) жолының элементтеріне сәйкесінше басқа тік (жатық) жолдың элементтерін кез келген hello_html_1a414774.gif ортақ көбейткішке көбейтіп қосса, онда анықтауыштың шамасы өзгермейді.

Минор және алгебралық толықтауыш

Анықтама. Анықтауыштың кез келген элементінің миноры дегеніміз - ол да анықтауыш, берілген анықтауыштың осы элемент тұрған тік жолы мен жатық жолын сызып тастаудан шыққан.

Мысалы, hello_html_5d785eee.gif анықтауышының

hello_html_m2a08f519.gif элементінің минорын табайық: hello_html_6c35e12b.gif

Анықтама. Анықтауыштың кез келген элементінің алгебралық толықтауышы дегеніміз осы элементтің минорын hello_html_2492b694.gif көбейткенге тең, мұндағы hello_html_m798ec8f8.gif, яғни осы элемент орналасқан тік және жатық жолдың нөмірлерінің қосындысы.

hello_html_m7ce7c562.gif элементінің алгебралық толықтауышы hello_html_20d96ace.gif ,

hello_html_m2a08f519.gif элементінің алгебралық толықтауышы hello_html_m32fc2a11.gif , т. с. с. белгіленеді.

Осы ұғымдардан кейін келесі қасиетті айтамыз.

  1. Анықтауыш қандай да бір тік немесе жатық жолдың элементтерін олардың алгебралық толықтауышына көбейтіп қосқанға тең болады.

hello_html_m45cb1553.gif

Мұны - анықтауышты жіктеу деп атайды.

Мысал: Анықтауышты 1-ші жатық жолдың элементтерін жіктеу арқылы табу керек: hello_html_m5d20d211.gif

Шешуі: hello_html_4325f59.gif

hello_html_2122cd62.gif.

  1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар дегеніміз не?

  2. Анықтауыштың қандай қасиеттері бар?

  3. Анықтауыштың миноры дегеніміз не? Алгебралық толықтауыш дегеніміз не?

  4. Жоғарғы ретті анықтауыштар қандай әдіспен есептеледі?

  5. Матрица дегеніміз не? Матрицаның өлшемі дегеніміз не?

  6. Тікбұрышты, квадратты, бірлік матрицалар дегеніміз не?

  7. Қандай матрицалар өзара тең болады?

  8. Транспорленген матрица дегеніміз не?

  9. Матрицаларға сызықтық амалдар қалай орындалады?

  10. Матрицаларға қолданылатын сызықтық амалдардың қандай қасиеттері бар?

  11. Бірлік матрицаның қандай қасиеті бар?

  12. Матрицаның рангі дегеніміз не?

  13. Кері матрица деп қандай матрицаны айтады?

  14. Біріктірілген матрица деп қандай матрицаны айтады?


Матрицалар және анықтауыштардың теориясы теңдеулер жүйесін шешуде кеңінен қолданылады.

1. Үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесін қарастырайық:

hello_html_m1ab15984.gif(1)

hello_html_m4e2a5000.gifкоэффициенттері және hello_html_7ad92946.gif бос мүшелері берілген.

Егер hello_html_m6619fce4.gif үш санын hello_html_f26d5ec.gif -тің орнына қойғанда (1) жүйедегі үш теңдеу тепе-теңдікке айналса, онда бұл үш санды (1) жүйенің шешімі деп атайды.

Әрі қарай мына төрт анықтауыш негізгі рөл атқарады:

hello_html_1ef83b5b.gifhello_html_6a9c95a7.gif(2)

hello_html_m77059578.gif анықтауыш (1) жүйенің анықтауышы деп аталады. hello_html_6522e57f.gif анықтауыштары hello_html_m77059578.gif анықтауышындағы бірінші, екінші және үшінші бағандарды сәйкесінше бос мүшелермен алмастыру арқылы алынады.

Егер (1) теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда жүйе үйлесімді; егер жүйенің шешімі болмаса, онда үйлесімсіз деп аталады. Егер үйлесімді теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі болса, онда ол анықталған, ал бірден көп шешімі болса, онда анықталмаған деп аталады.

(1) түріндегі екі теңдеулер жүйесінің шешімдер жиыны бірдей болса, онда бұл теңдеулер жүйесін эквивалентті немесе мәндес деп атайды. Жүйені эквивалентті түрлендірулер оны эквивалентті (мәндес) жүйеге келтіреді.

Сызықтық теңдеулер жүйесiнiң элементар түрлендiрулерi

- hello_html_577bf699.gif - теңдеуiн сызып тастау;

- жүйедегi теңдеулердiң немесе теңдеудегi hello_html_47ddecc9.gif қосылғыштардың орнын ауыстыру;

  • жүйедегi бiр теңдеудiң екi бөлiгiне, екiншi теңдеудiң сәйкес екi бөлiгiн кез келген нақты санға көбейтiп қосу;

жүйедегi басқа теңдеулердiң сызықтық комбинациясы болатын теңдеудi жүйеден алып тастау.

Енді теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін қарастырамыз.

  1. (2) анықтауыштар арқылы (1) теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу әдісін Крамер ережесі деп атайды. Ол мына формулалар:

hello_html_md6e8520.gif(3)

  1. Кері матрица әдісінде әуелі берілген (1) сызықтық теңдеулер жүйесін матрица түрінде жазып аламыз:

hello_html_70398829.gif(4)

Сонда, матрицаларды көбейту ережесі бойынша, (1) жүйені эквивалентті матрица түрінде жазуға болады:

hello_html_37fdeaec.gif(5)

мұндағы A - берілген матрица; H – берілген вектор-баған; X – белгісіз вектор-баған. Бұдан, кері матрица ұғымын қолдансақ, онда ізделінді шешімді былай табуға болады:

hello_html_39ac6a5a.gif(6)

  1. Тағы бір көп қолданылатын әдістердің бірі – Гаусс әдісі. Бұл әдісте белгісіздерді бірте-бірте жою арқылы шығарады. Гаусс әдісі бойынша шешім табу екі кезеңнен тұрады. Бірінші кезеңде (тура жол) жүйе сатылы түрге келтіріледі. Екінші кезеңде (кері жол) осы сатылы жүйеден белгісіздер анықталады. Осыны жүйелеп айтайық. Айталық, сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

hello_html_m79caa441.gif(7)

Бірінші кезең:

hello_html_342ed9a4.gifдеп есептейміз ( егер hello_html_2520bb52.gif болса, онда hello_html_m7d7af84.gif-дің коэффициенті нөлден өзгеше теңдеуді бірінші жазамыз). hello_html_44ce356b.gif-ді жетекші коэффициент, ал осы коэффициенті бар теңдеуді жетекші теңдеу деп атайды.

Бірінші теңдеуден басқа барлық теңдеуден hello_html_m7d7af84.gif белгісізді жойып, (1) жүйені түрлендіреміз. Ол үшін бірінші теңдеудің екі жағын да hello_html_m3bcbe489.gif-ге көбейтіп, жүйенің екінші теңдеуіне мүшелеп қосамыз. Бұдан кейін бірінші теңдеудің екі жағын hello_html_m40dd1cdc.gif-ге көбейтіп, үшінші теңдеуге қосамыз. Осы процесті жалғастыра отырып, эквивалентті жүйе аламыз:

hello_html_m6effb093.gif(8)

Мұндағы hello_html_210cf2c8.gifбірінші адымнан кейінгі жаңа коэффициенттер.

Жоғарыдағыдай, басты элемент hello_html_m689ed165.gif деп есептеп,бірінші және екінші теңдеулерден басқа барлық теңдеуден hello_html_38683e1d.gifбелгісізін жоямыз, т.с.с.

Егер ең соңында сатылы жүйе үшбұрыш түріне келсе, онда бұл жүйенің бір ғана шешімі болады:

hello_html_m45894cba.gif

Осы теңдеуден hello_html_m427e68dc.gifді табамыз, бұның алдындағы теңдеуден hello_html_m3729e490.gifді табамыз, әрі қарай жүйе бойынша жоғары қарай көтеріліп, қалған барлық белгісіздерді

hello_html_21ed613b.gifтабамыз.

Бақылау сұрақтары:

1.Екінші және үшінші ретті анықтауыштар дегеніміз не?

2.Анықтауыштың қандай қасиеттері бар?

3.Анықтауыштың миноры дегеніміз не? Алгебралық толықтауыш дегеніміз не?

4.Жоғарғы ретті анықтауыштар қандай әдіспен есептеледі?

5.Матрица дегеніміз не? Матрицаның өлшемі дегеніміз не?

6.Тікбұрышты, квадратты, бірлік матрицалар дегеніміз не?

7.Қандай матрицалар өзара тең болады?

8.Транспорленген матрица дегеніміз не?

9.Матрицаларға сызықтық амалдар қалай орындалады?

10.Матрицаларға қолданылатын сызықтық амалдардың қандай қасиеттері бар?

11.Бірлік матрицаның қандай қасиеті бар?

12.Матрицаның рангі дегеніміз не?

13. Кері матрица деп қандай матрицаны айтады?

14. Біріктірілген матрица деп қандай матрицаны айтады?

15.n белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесінің (СТЖ) шешімі дегеніміз не?

16.Қандай СТЖ үйлесімді және үйлесімсіз деп аталады?

17.Қандай СТЖ анықталған және анықталмаған деп аталады?

18.Эквивалентті (мәндес) СТЖ дегеніміз не?

19.Крамер ережесі қандай формулалар?

20.Гаусс әдісі дегеніміз қандай әдіс?

21.Матрица әдісі дегеніміз қандай әдіс?

Краткое описание документа:

Студенттерге анықтауыш, матрица ұғымдарын беру. Анықтауышты есептеу жолдарын үйрету. Кері матрица, матрицаның рангі ұғымдарын беру және оларды табу жолдарын үйрету. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін үйрету. " "Жоспары: 1. Екінші және үшінші ретті анықтауыштарды есептеу жолдарын үйрету. 2. Минорлар және алгебралық толықтауыштарды табуды меңгерту. 3. Матрицаның анықтамасын, оның түрлерін білу және оларға амалдар қолдануға үйрету. 4. Матрицаның рангі ұғымын беру және оны есептеу жолын үйрету. 5. Кері матрица ұғымын беру және оны табу. 6. Негізгі ұғымдар. 7. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін білу.
Автор
Дата добавления 26.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров13686
Номер материала 39402032645
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх