• 

  1 слайд

  Применение производной к исследованию функции
  Разработчик:
  Веремеенко Т.Н
  1 курс
  Алгебра и начала анализа
  

• 

  2 слайд

  «Мало иметь хороший ум, главное -хорошо его применять».
  
  Р.Декарт
  

• 

  3 слайд

  Понятие производной тесно связано со многими понятиями в математике, физике. Рассмотрим, как при помощи производной можно устанавливать возрастание или убывание функции на различных промежутках области ее определения, находить точки максимума или минимума функции, а также определять наибольшее или наименьшее значение функции на конкретном промежутке.
  

• 

  4 слайд

  Признак возрастания: Если f(х) > 0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале.
  
  
  Признак убывания: Если f(х) < 0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале.
  Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков её возрастания и убывания.
  

• 

  5 слайд

  ПРИМЕР 1: Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x3–5x2–32х+9.
  РЕШЕНИЕ:
  1) Найдем производную f '(x) = 3x2–10х–32
  2) Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x2–10х–32=0 (получили квадратное уравнение)
  Д=484>0, два корня х1 = – 2, х2 = 16/3 = 5⅓
  3) Устанавливаем знак производной на каждом интервале.
  
  
  Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков (– ∞; –2] и [5⅓; +∞),
  убывает на промежутке[–2; 5⅓]
  +
  –
  +
  5⅓
  –2
  х
  

• 

  6 слайд

  Необходимое условие экстремума: Если точка Хо является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю: f(хо) = 0.
  Признак максимума: если в точке X0 производная меняет знак с плюса на минус, то Х0 есть точка максимума.
  Признак минимума: если в точке Х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Х0 есть точка минимума.
  Удобно пользоваться упрощенными формулировками
  

• 

  7 слайд

  
  Точки максимума и минимума функции f(x) называют точками её экстремума,
  а значение функции в этих точках – экстремумами функции.
  

• 

  8 слайд

  
  ПРИМЕР 2: Исследуем функцию f(x) = x3–3x на экстремум.
  РЕШЕНИЕ:
  1) Находим производную f '(x) = 3x2–3
  2) Критические точки: 3x2–3 = 0; x2 –1=0,
  следовательно х1= 1, х2= –1
  
  3)производная на интервале (– ∞; –1) имеет знак плюс, на интервале (–1; 1) знак минус,
  следовательно точка х = –1 – точка максимума.
  Аналогично выясняем, что х = 1 – точка минимума
  4) Вычислим значение функции в этих точках:
  f(–1) = (–1)3–3(–1) = 2f(1) = 13–3·1 =–2
  Ответ: max f(–1) = 2; min f(1) = –2
  +
  –
  +
  1
  –1
  х
  

• 

  9 слайд

  Наибольшее или наименьшее значение функции, непрерывной на промежутке [а; в], находят по следующему плану:
  
  Находят критические точки на этом промежутке.
  Вычисляют значение функции в критических точках и на концах данного промежутка.
  Из всех полученных значений выбирают наибольшее или наименьшее.
  

• 

  10 слайд

  ПРИМЕР 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:
  f(x) =6x3–3x2–12x+7 на отрезке [0;2]
  РЕШЕНИЕ:
  Находим критические точки заданной функции f′(x) = 18x2–6x–12;
  18x2–6x–12 = 0/: 6
  3x2–x–2 = 0; х1 = 1; х2 = –2/3  [0;2]
  2) Вычислим значения функции на концах заданного отрезка и в точке х =1:
  f(0) = 7;
  f(1) = 6-3-12+7= -2;
  f(2) = 48-12-24+7=19
  из полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее
  Ответ: наименьшее f(1) = -2, наибольшее f(2) = 19
  

• 

  11 слайд

  Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений применим к решению разнообразных прикладных задач.
  

• 

  12 слайд

  
  
  ПРИМЕР 4: Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых таким образом, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
  РЕШЕНИЕ:
  1) Пусть первое число х, тогда второе (24-х).
  2) Сумму квадратов выразим через функцию:
  f(x) = х2+(24-х)2 при х  [0; 24]
  f (x) = х2+576–48х+х2;
  f(x) = 2х2–48х+576;
  3) Найдем производную f′(x) = 4х–48 и приравняем к нулю:4х–48 = 0,
  Х = 12 – критическая точка.
  4) Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
  f(0) = 576; f(12) = 288;f(24) = 576
  Следовательно, наименьшее значение функция имеет при х=12.
  Ответ: 24=12+12
  

• 

  13 слайд

  «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»
  Я.А.Коменский
  

• 

  14 слайд

  
  Спасибо за внимание!
  
  
  
  
  

Краткое описание материала