Выбранный для просмотра документ математика конференция 2013.doc
Муниципальное образование «Кижингинский район»
МБОУ «Хуртэйская средняя общеобразовательная школа»
Разложение многочлена множители
Выполнили:
Шевцова Виктория, ученица 9 класса
Холодкова Людмила, ученица 9 класса
Научный руководитель:
Григорьева Татьяна Андреевна
учитель математики
2013
СОДЕРЖАНИЕ
Введение -----------------------------------------------------------------------3
1. Основная часть
1.1 Основные понятия---------------------------------------------------5
1.2 Деление многочлена на двучлен «уголком»-------------------6
1.3 Схема Горнера--------------------------------------------------------6
2. Практическая часть
2.1 Решение уравнений--------------------------------------------------8
2.2Сборник уравнений---------------------------------------------------9
Заключение-----------------------------------------------------------------10
Список литературы-------------------------------------------------------11
ВВЕДЕНИЕ
Математика - удивительный мир! Мы никогда не перестаем удивляться тому, как много можно сделать при помощи математики. Математика - это царица и служанка любой науки.
Но отбросим эту поэзию. На сегодняшний день выпускнику девятого класса предстоит сдать Государственную итоговую аттестацию, результаты которой, как говорят его создатели, должны помочь поступить в профильные классы детям из глубинки. Ну что ж... Придется доказывать свои прочные знания по тем или иным предметам. Но нас на данный момент интересует математика.
На этом экзамене, как на войне, придется отвоевывать каждый балл. Мы нашли хороший способ, как отвоевать пару, а то и больше баллов. Для этого мы свои открытия решили изложить в этой научно-исследовательской работе. В ней мы рассмотрим один, но, на наш взгляд, очень важный вопрос: разложение многочлена на множители, как один из способов решения уравнений.
Для подготовки к ГИА у нас есть варианты разных годов. Хочется, отметить, что составители вариантов ГИА придумывают всё новые и новые задания. В демоверсии 2012 года предложили переименовать экзамен по алгебре в экзамен по математике, и теперь, в текст работы входят задания и по геометрии и по статистике. Мы, ученики обычной школы, в которой 3 часа алгебры в неделю, столкнулись с заданиями, решение которых для нас стало проблемой. Среди них были: уравнения третьей степени, построение графиков функций, содержащих многочлен третьей степени, уравнения с параметрами. В каждом из них нужно уметь разлагать многочлен на множители. Поэтому, мы поставили перед собой вопрос: «Существует ли самый простой способ разложения многочлена на множители?»
Объект исследования: многочлен третьей степени.
Цель исследования - выделение наиболее простого способа решения уравнений n-ой степени.
Задачи исследования:
1. Расширить кругозор знаний по алгебре;
2. Научиться делить «уголком» многочлен на двучлен;
3. Познакомиться со схемой Горнера;
4. Рассмотреть различные способы решения уравнений n-ой степени и сделать сравнительный анализ;
5. Сделать подборку уравнений для применения каждого из рассмотренных способов.
Мы выдвигаем гипотезу, что умение применять рассмотренные способы разложения, помогут сэкономить время для решения более сложных задач.
Методической базой исследования работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенко, А.Г.Мордковича, Е.М.Родионова и других.
Методы исследования:
• источниковедческий анализ литературы;
• математическая обработка данных;
• решение уравнений третьей степени;
• обобщение.
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.1 Основные понятия
Переходя к основной части работы, начну с основных понятий.
Определение: Полиномом (многочленом) от переменной 
называют выражение вида
– коэффициенты полинома, 
– старший коэффициент, 
– свободный член, 
– степень полинома.
Мы остановимся на многочлене третьей степени. Рассмотрим один из способов решения уравнения Р3(х) = 0 - разложение левой части на множители.
Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе:
1. Вынесение общего множителя за скобку.
2. С помощью формул сокращённого умножения.
3. Группировка.
4. Специальная формула для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Но для многочлена третьей степени иногда ни один из этих способов неприменим.
Проблемная задача: решить уравнение: х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.
Рассмотрим дополнительные способы разложения многочлена на множители, которые помогут решить данное уравнение. Нам помогают следующие теоремы:
Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то число 1 является корнем многочлена.
Теорема 2: Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.
1.2 Деление многочлена на двучлен уголком
Задача: разделить многочлен х3 – 13 х2-33х + 45 = 0 на двучлен х-1. Запишем данное деление «уголком»:
разделим старшую степень делимого на старшую степень делителя, получим х2. Умножим х2 на каждое слагаемое, получим х3 - х2, подпишем полученное выражение под первой строкой и вычтем. Сносим следующий одночлен. Разделим старшую степень остатка на старшую степень делителя, получим -12 х, опять умножим -12х на каждое слагаемое делителя, подпишем под остатком и вычтем. Проделав туже операцию, в делителе получим ещё -45.
Таким образом, выполнив деление многочлена на двучлен, получили квадратный трёхчлен х2 -12х - 45 . Способ не сложный, но громоздкий. Если при делении многочлена на двучлен получается остаток = 0, то это значит, что данный многочлен можно разложить на множители х3 - 13х2 - 33х + 45 = (х - 1)(х2 -12х - 45) .
Применяя теорему,
обратную теореме Виета, найду корни квадратного
трёхчлена х2 -12х - 45 = 0, х = 15, х =-3. Тогда исходный многочлен можно
разложить на три множителя х3 - 13х2 - 33х + 45 = (х - 1)(х - 15)(х + 3). Значит,
разложив, таким образом, многочлен б3 - 13б2 - 33б + 45 на множители, можно
записать корни уравнения х3 - 13х2 -33х + 45 = 0 . Ответ: 15;
1; -3
1.3 Схема Горнера
Горнер Уильям Джордж, английский математик, ввёл очень важный для развития алгебры способ деления многочлена на двучлен, названный схемой Руфини - Горнера. Она позволяет очень быстро находить рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами.
Составим схему Горнера - это таблица, в верхней строке которой записываются коэффициенты многочлена в порядке убывания их степеней, в левой колонке записываются возможные корни.
Решим уравнение х3 – 13х2 – 33х+ 45 = 0. Старший коэффициент которого равен 1. Если это уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, т.е. ± 1;± 3;± 5;± 9;± 15;± 45 .
|
х =1 - корень |
Составим схему Горнера, по Т1 число 1 является корнем, тогда
|
|
1 |
-13 |
-33 |
45 |
|
1 |
1 |
1 • 1 -13 = -12 |
1 •(-12)-33 = -45 |
1 •(- 45)+ 45 = 0 |
х3 - 13х2 - 33х + 45 = (х - 1)(х2 -12х - 45), значит, если исходное уравнение ещё имеет корни, то они находятся среди корней квадратного уравнения: х2 -12х - 45 = 0. Корни подберём по теореме, обратной теореме Виета: х2 = 15; х3 = -3 .
Ответ: 15; -3; 1
Данный способ нахождения корней уравнения третьей степени более короткий и экономичный в сравнении с делением «уголком».
Таким образом, на одном уравнении мы показал применение двух различных способов разложения на множители. На наш взгляд, схема Горнера наиболее практична и экономична. Попробуем доказать данное предположение в практической части своей работы.
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 Решение уравнений.
Пример 1. Рассмотрим уравнение х3 - 2х - 9 = 0, в нём одна из степеней отсутствует, и решим его для сравнения двумя способами.
1) Деление «уголком» Делители свободного члена: ± 1; ± 3; ± 9. По Т1 и Т2 корнями ± 1 не являются. Подставляя х = 3, получим верное равенство, значит, х = 3 является корнем. Разделим данный многочлен на (х - 3).
Частное от деления х2 + х + 3 приравняем к 0, решим
полученное уравнение:
д = 12 - 4 • 3 = -11 < 0 - корней нет. Ответ: х = 3.
2) Схема Горнера
По Т1 и Т2 х = 1 и -1 корнем уравнения не являются, проверим, является ли х = 3 корнем уравнения
|
|
1 |
- 2 |
0 |
- 9 |
|
3 |
1 |
3 • 1 - 2 = 1 |
3-1 + 0 = 3 |
3 • 3 - 9 = 0 |
Числа, полученные в последней строке, являются коэффициентами квадратного трёхчлена х2 + х + 3 = 0, Д = 12 -4• 3 = -11 < 0, корней нет.
Ответ: х = 3.
Сравнивая данные способы, хочется отметить краткость второго способа.
Пример 2. Упростить выражение
Решение:
Так как выражение задано в виде дроби, то областью определения выражения
х +1 = 0, х = -1.
Упростим данное выражение, разделив числитель на знаменатель
 |
Мы упростили дробь, не разлагая числитель на множители, а просто разделили многочлен на двучлен уголком.
Все уравнения, которые я разобрал в работе, взяты мною из вариантов ГИА 2011 - 2012 года. Для всех, кого увлекла моя работа, я предлагаю подборку уравнений из вариантов ГИА, которые помогут закрепить данные способы при подготовке к экзамену.
2.2 СБОРНИК УРАВНЕНИЙ
1. [2, стр 56] Решить уравнение: х3 - 9х + 26х - 24 = 0 .
2. [2, стр 58] Решить уравнение: х3 - 2 х - 13х - 10 = 0.
3. [2, стр 62] Решите уравнение: х3 - 6х2 - 31х + 36 = 0
4. [2, стр 68] Решите уравнение: х3 -Зх2 -10х + 24 = 0
х3 - х2 -14 х + 24
10. [3, стр 122] Постройте график функции у =----------------------- и
2-х
определите, при каких значениях а прямая у = 3а имеет с графиком только одну общую точку.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обобщая всё выше сказанное, можно отметить, что в теоретической части работы нами представлен материал, который сможет помочь каждому учащемуся разобраться в способах разложения многочлена третьей степени на множители.
Работа имеет практическое применение. Считем, что работа написана на доступном языке, а разобранные уравнения научат вас применять данные способы.
При подборке заданий мы встречались с уравнениями высших степеней, то есть степеней больших чем 3. Данные способы разложения можно применять и для таких многочленов. Исчерпать все типы таких заданий просто невозможно. Зато возможно набраться опыта в решении, и не впадать в панику, если вдруг такое задание попадётся на экзамене.
Материал мы постарались изложить так, чтобы получилось методическое пособие для учителя и ученика с теорией, разбором конкретных заданий и подборкой заданий по данной теме.
Считаем, что гипотеза, выдвинутая нами, подтверждена, цель работы достигнута. Сделан ещё один важный шаг к успешной сдаче экзамена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Математика
9класс. Подготовка к ГИА - 2013: учебно-методическое
пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко - Ростов - на - Дону: Легион,
2012 - 224 с.
2. Математика 9класс. Подготовка к ГИА - 2014: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко - Ростов - на - Дону: Легион, 2013 - 272 с.
3. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - М.: Наука, 1987. - 432 с.
4. Числа и многочлены. Методическая разработка для заочного отделения МММФ/ Автор - составитель А.В. Деревянкин. - М., Издательство центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008 - 72 с.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ на конференцию 2013.ppt
Скачать материал "Исследовательская работа «Разложение многочлена на множители»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Выполнили: Шевцова Виктория, 9 класс
Холодкова Людмила, 9 класс
Руководитель: Григорьева Т.А.
Разложение многочлена множители
2 слайд
Объект исследования: многочлен n-ой степени.
Цель исследования - выделение наиболее простого способа решения уравнений n-ой степени.
3 слайд
Задачи исследования:
Расширить кругозор знаний по алгебре;
Научиться делить «уголком» многочлен
на двучлен;
Познакомиться со схемой Горнера;
Рассмотреть различные способы решения
уравнений n-ой степени и сделать сравнительный
анализ;
Сделать подборку уравнений для применения
каждого из рассмотренных способов.
4 слайд
Гипотеза:
умение применять рассмотренные
способы разложения, помогут
сэкономить время для
решения более сложных задач.
5 слайд
Методической базой исследования
работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенко,
А.Г.Мордковича, Е.М.Родионова и других.
Методы исследования:
источниковедческий анализ литературы;
математическая обработка данных;
решение уравнений третьей степени;
обобщение
6 слайд
Полиномом (многочленом) от переменной
называют выражение вида
7 слайд
Существует несколько способов разложения многочлена на множители,
которые мы изучаем в школе:
Вынесение общего множителя за скобку.
С помощью формул сокращённого умножения.
Группировка.
Специальная формула для разложения
квадратного трёхчлена на множители.
8 слайд
Проблемная задача:
решить уравнение:
х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.
9 слайд
Теорема 1: Если сумма коэффициентов
многочлена равна 0,то число 1 является
корнем многочлена.
Теорема 2: Если сумма коэффициентов,
стоящих на чётных местах равна сумме
коэффициентов, стоящих на нечётных
местах, то число (-1) является корнем
многочлена.
10 слайд
Спасибо за внимание!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Деление многочленов (или полиномов) на множители не только нужное знание, но и очень интересное. Это позволяет ученику более углубленно понять такие темы, как: «Деление многочлена на двучлен уголком», «Схема Горнера». Дети, находясь в поиске ответов на интересующие их вопросы, открывают все новые и новые тайны самой величайшей из всех наук, математики!!!! Выпускникам же эта тема предоставляет возможность решать некоторые задания из ЕГЭ и ГИА своим нетрадиционным способом. Очень надеемся, что данная работа поможет в решении не только практических заданий, но и позволит ребятам расширить свой кругозор в области математики.
6 662 871 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Чинякина Наталья Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.