Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа «Разложение многочлена на множители»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Исследовательская работа «Разложение многочлена на множители»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ математика конференция 2013.doc

библиотека
материалов


Муниципальное образование «Кижингинский район»

МБОУ «Хуртэйская средняя общеобразовательная школа»



















Разложение многочлена множители



















Выполнили:

Шевцова Виктория, ученица 9 класса

Холодкова Людмила, ученица 9 класса


Научный руководитель:

Григорьева Татьяна Андреевна

учитель математики









2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение -----------------------------------------------------------------------3

1. Основная часть

  1. Основные понятия---------------------------------------------------5

  2. Деление многочлена на двучлен «уголком»-------------------6

  3. Схема Горнера--------------------------------------------------------6

2. Практическая часть

2.1 Решение уравнений--------------------------------------------------8

2.2Сборник уравнений---------------------------------------------------9

Заключение-----------------------------------------------------------------10

Список литературы-------------------------------------------------------11


























ВВЕДЕНИЕ

Математика - удивительный мир! Мы никогда не перестаем удивляться тому, как много можно сделать при помощи математики. Математика - это царица и служанка любой науки.

Но отбросим эту поэзию. На сегодняшний день выпускнику девятого класса предстоит сдать Государственную итоговую аттестацию, результаты которой, как говорят его создатели, должны помочь поступить в профильные классы детям из глубинки. Ну что ж... Придется доказывать свои прочные знания по тем или иным предметам. Но нас на данный момент интересует математика.

На этом экзамене, как на войне, придется отвоевывать каждый балл. Мы нашли хороший способ, как отвоевать пару, а то и больше баллов. Для этого мы свои открытия решили изложить в этой научно-исследовательской работе. В ней мы рассмотрим один, но, на наш взгляд, очень важный вопрос: разложение многочлена на множители, как один из способов решения уравнений.

Для подготовки к ГИА у нас есть варианты разных годов. Хочется, отметить, что составители вариантов ГИА придумывают всё новые и новые задания. В демоверсии 2012 года предложили переименовать экзамен по алгебре в экзамен по математике, и теперь, в текст работы входят задания и по геометрии и по статистике. Мы, ученики обычной школы, в которой 3 часа алгебры в неделю, столкнулись с заданиями, решение которых для нас стало проблемой. Среди них были: уравнения третьей степени, построение графиков функций, содержащих многочлен третьей степени, уравнения с параметрами. В каждом из них нужно уметь разлагать многочлен на множители. Поэтому, мы поставили перед собой вопрос: «Существует ли самый простой способ разложения многочлена на множители?»

Объект исследования: многочлен третьей степени.

Цель исследования - выделение наиболее простого способа решения уравнений n-ой степени.

Задачи исследования:

  1. Расширить кругозор знаний по алгебре;

  2. Научиться делить «уголком» многочлен на двучлен;

  3. Познакомиться со схемой Горнера;

  4. Рассмотреть различные способы решения уравнений n-ой степени и сделать сравнительный анализ;

  5. Сделать подборку уравнений для применения каждого из рассмотренных способов.

Мы выдвигаем гипотезу, что умение применять рассмотренные способы разложения, помогут сэкономить время для решения более сложных задач.

Методической базой исследования работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенко, А.Г.Мордковича, Е.М.Родионова и других.

Методы исследования:

  • источниковедческий анализ литературы;

  • математическая обработка данных;

  • решение уравнений третьей степени;

  • обобщение.
















1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1 Основные понятия

Переходя к основной части работы, начну с основных понятий.

Определение: Полиномом (многочленом) от переменной hello_html_m7b8eb911.png называют выражение вида

hello_html_36be840a.png


hello_html_m5c01afc7.png – коэффициенты полинома, hello_html_m29f5caf5.png – старший коэффициент, hello_html_m60393b6f.png – свободный член, hello_html_m3db57100.png – степень полинома.

Мы остановимся на многочлене третьей степени. Рассмотрим один из способов решения уравнения Р3(х) = 0 - разложение левой части на множители.

Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе:

  1. Вынесение общего множителя за скобку.

  2. С помощью формул сокращённого умножения.

  3. Группировка.

  4. Специальная формула для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Но для многочлена третьей степени иногда ни один из этих способов неприменим.

Проблемная задача: решить уравнение: х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.

Рассмотрим дополнительные способы разложения многочлена на множители, которые помогут решить данное уравнение. Нам помогают следующие теоремы:

Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то число 1 является корнем многочлена.

Теорема 2: Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.



1.2 Деление многочлена на двучлен уголком


Задача: разделить многочлен х3 – 13 х2-33х + 45 = 0 на двучлен х-1. Запишем данное деление «уголком»:





разделим старшую степень делимого на старшую степень делителя, получим х2. Умножим х2 на каждое слагаемое, получим х3 - х2, подпишем полученное выражение под первой строкой и вычтем. Сносим следующий одночлен. Разделим старшую степень остатка на старшую степень делителя, получим -12 х, опять умножим -12х на каждое слагаемое делителя, подпишем под остатком и вычтем. Проделав туже операцию, в делителе получим ещё -45.

Таким образом, выполнив деление многочлена на двучлен, получили квадратный трёхчлен х2 -12х - 45 . Способ не сложный, но громоздкий. Если при делении многочлена на двучлен получается остаток = 0, то это значит, что данный многочлен можно разложить на множители х3 - 13х2 - 33х + 45 = (х - 1)(х2 -12х - 45) .

Применяя теорему, обратную теореме Виета, найду корни квадратного
трёхчлена
х2 -12х - 45 = 0, х = 15, х =-3. Тогда исходный многочлен можно
разложить на три множителя
х3 - 13х2 - 33х + 45 = - 1)(х - 15)(х + 3). Значит,
разложив, таким образом, многочлен
б3 - 13б2 - 33б + 45 на множители, можно
записать корни уравнения
х3 - 13х2 -33х + 45 = 0 . Ответ: 15; 1; -3


1.3 Схема Горнера

Горнер Уильям Джордж, английский математик, ввёл очень важный для развития алгебры способ деления многочлена на двучлен, названный схемой Руфини - Горнера. Она позволяет очень быстро находить рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами.

Составим схему Горнера - это таблица, в верхней строке которой записываются коэффициенты многочлена в порядке убывания их степеней, в левой колонке записываются возможные корни.

Решим уравнение х3 13х2 33х+ 45 = 0. Старший коэффициент которого равен 1. Если это уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, т.е. ± 1;± 3;± 5;± 9;± 15;± 45 .

х =1 - корень

Составим схему Горнера, по Т1 число 1 является корнем, тогда




1

-13

-33

45

1

1

1 • 1 -13 = -12

1 •(-12)-33 = -45

1 •(- 45)+ 45 = 0

х3 - 13х2 - 33х + 45 = (х - 1)(х2 -12х - 45), значит, если исходное уравнение ещё имеет корни, то они находятся среди корней квадратного уравнения: х2 -12х - 45 = 0. Корни подберём по теореме, обратной теореме Виета: х2 = 15; х3 = -3 .

Ответ: 15; -3; 1

Данный способ нахождения корней уравнения третьей степени более короткий и экономичный в сравнении с делением «уголком».

Таким образом, на одном уравнении мы показал применение двух различных способов разложения на множители. На наш взгляд, схема Горнера наиболее практична и экономична. Попробуем доказать данное предположение в практической части своей работы.













2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Решение уравнений.

Пример 1. Рассмотрим уравнение х3 - 2х - 9 = 0, в нём одна из степеней отсутствует, и решим его для сравнения двумя способами.

1) Деление «уголком» Делители свободного члена: ± 1; ± 3; ± 9. По Т1 и Т2 корнями ± 1 не являются. Подставляя х = 3, получим верное равенство, значит, х = 3 является корнем. Разделим данный многочлен на (х - 3).

hello_html_m4b9a9c1.gif

Частное от деления х2 + х + 3 приравняем к 0, решим полученное уравнение:
д = 12 - 4 • 3 = -11 < 0 - корней нет. Ответ: х = 3.

2) Схема Горнера

По Т1 и Т2 х = 1 и -1 корнем уравнения не являются, проверим, является ли х = 3 корнем уравнения




1

- 2

0

- 9

3

1

3 • 1 - 2 = 1

3-1 + 0 = 3

3 • 3 - 9 = 0

Числа, полученные в последней строке, являются коэффициентами квадратного трёхчлена х2 + х + 3 = 0, Д = 12 -4• 3 = -11 < 0, корней нет.

Ответ: х = 3.

Сравнивая данные способы, хочется отметить краткость второго способа.

Пример 2. Упростить выражение

hello_html_65ba9699.png

Решение:

Так как выражение задано в виде дроби, то областью определения выражения

х +1 = 0, х = -1.

Упростим данное выражение, разделив числитель на знаменатель

9


hello_html_m14fd577b.png

Мы упростили дробь, не разлагая числитель на множители, а просто разделили многочлен на двучлен уголком.



Все уравнения, которые я разобрал в работе, взяты мною из вариантов ГИА 2011 - 2012 года. Для всех, кого увлекла моя работа, я предлагаю подборку уравнений из вариантов ГИА, которые помогут закрепить данные способы при подготовке к экзамену.


2.2 СБОРНИК УРАВНЕНИЙ

  1. [2, стр 56] Решить уравнение: х3 - 9х + 26х - 24 = 0 .

  2. [2, стр 58] Решить уравнение: х3 - 2 х - 13х - 10 = 0.

  3. [2, стр 62] Решите уравнение: х3 - 6х2 - 31х + 36 = 0

  4. [2, стр 68] Решите уравнение: х3 -Зх2 -10х + 24 = 0

х3 - х2 -14 х + 24

10. [3, стр 122] Постройте график функции у = и

2

определите, при каких значениях а прямая у = 3а имеет с графиком только одну общую точку.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Обобщая всё выше сказанное, можно отметить, что в теоретической части работы нами представлен материал, который сможет помочь каждому учащемуся разобраться в способах разложения многочлена третьей степени на множители.

Работа имеет практическое применение. Считем, что работа написана на доступном языке, а разобранные уравнения научат вас применять данные способы.

При подборке заданий мы встречались с уравнениями высших степеней, то есть степеней больших чем 3. Данные способы разложения можно применять и для таких многочленов. Исчерпать все типы таких заданий просто невозможно. Зато возможно набраться опыта в решении, и не впадать в панику, если вдруг такое задание попадётся на экзамене.

Материал мы постарались изложить так, чтобы получилось методическое пособие для учителя и ученика с теорией, разбором конкретных заданий и подборкой заданий по данной теме.

Считаем, что гипотеза, выдвинутая нами, подтверждена, цель работы достигнута. Сделан ещё один важный шаг к успешной сдаче экзамена.














СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика 9класс. Подготовка к ГИА - 2013: учебно-методическое
пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко - Ростов - на - Дону: Легион,

2012 - 224 с.

  1. Математика 9класс. Подготовка к ГИА - 2014: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф.Лысенко - Ростов - на - Дону: Легион, 2013 - 272 с.

  2. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - М.: Наука, 1987. - 432 с.

  3. Числа и многочлены. Методическая разработка для заочного отделения МММФ/ Автор - составитель А.В. Деревянкин. - М., Издательство центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008 - 72 с.


Выбранный для просмотра документ на конференцию 2013.ppt

библиотека
материалов
Выполнили: Шевцова Виктория, 9 класс Холодкова Людмила, 9 класс Руководитель...
Объект исследования: многочлен n-ой степени. Цель исследования - выделение на...
Задачи исследования: Расширить кругозор знаний по алгебре; Научиться делить «...
Гипотеза: умение применять рассмотренные способы разложения, помогут сэкономи...
Методической базой исследования работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенк...
 Полиномом (многочленом) от переменной   называют выражение вида
Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы...
 Проблемная задача: решить уравнение: х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.
Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0,то число 1 является к...
10 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Выполнили: Шевцова Виктория, 9 класс Холодкова Людмила, 9 класс Руководитель
Описание слайда:

Выполнили: Шевцова Виктория, 9 класс Холодкова Людмила, 9 класс Руководитель: Григорьева Т.А. Разложение многочлена множители

№ слайда 2 Объект исследования: многочлен n-ой степени. Цель исследования - выделение на
Описание слайда:

Объект исследования: многочлен n-ой степени. Цель исследования - выделение наиболее простого способа решения уравнений n-ой степени.

№ слайда 3 Задачи исследования: Расширить кругозор знаний по алгебре; Научиться делить «
Описание слайда:

Задачи исследования: Расширить кругозор знаний по алгебре; Научиться делить «уголком» многочлен на двучлен; Познакомиться со схемой Горнера; Рассмотреть различные способы решения уравнений n-ой степени и сделать сравнительный анализ; Сделать подборку уравнений для применения каждого из рассмотренных способов.

№ слайда 4 Гипотеза: умение применять рассмотренные способы разложения, помогут сэкономи
Описание слайда:

Гипотеза: умение применять рассмотренные способы разложения, помогут сэкономить время для решения более сложных задач.

№ слайда 5 Методической базой исследования работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенк
Описание слайда:

Методической базой исследования работы явились труды математиков Ф.Ф. Лысенко, А.Г.Мордковича, Е.М.Родионова и других. Методы исследования: источниковедческий анализ литературы; математическая обработка данных; решение уравнений третьей степени; обобщение

№ слайда 6  Полиномом (многочленом) от переменной   называют выражение вида
Описание слайда:

Полиномом (многочленом) от переменной   называют выражение вида

№ слайда 7 Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы
Описание слайда:

Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе: Вынесение общего множителя за скобку. С помощью формул сокращённого умножения. Группировка. Специальная формула для разложения квадратного трёхчлена на множители.

№ слайда 8  Проблемная задача: решить уравнение: х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.
Описание слайда:

Проблемная задача: решить уравнение: х3 – 13 х2-33х + 45 = 0.

№ слайда 9 Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0,то число 1 является к
Описание слайда:

Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0,то число 1 является корнем многочлена. Теорема 2: Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.

№ слайда 10
Описание слайда:

Краткое описание документа:

Деление многочленов (или полиномов) на множители не только нужное знание, но и очень интересное. Это позволяет ученику более углубленно понять такие темы, как: «Деление многочлена на двучлен уголком», «Схема Горнера». Дети, находясь в поиске ответов на интересующие их вопросы, открывают все новые и новые тайны самой величайшей из всех наук, математики!!!! Выпускникам же эта тема предоставляет возможность решать некоторые задания из ЕГЭ и ГИА своим нетрадиционным способом. Очень надеемся, что данная работа поможет в решении не только практических заданий, но и позволит ребятам расширить свой кругозор в области математики.

Общая информация

  • 1338
  • 27.03.2014
Номер материала: 40703032732

Похожие материалы