Выбранный для просмотра документ урок математики@SEP@Хакимзянова Н И.doc
Урок по теме "Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения"
Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение
в том или ином деле.
(А.Н. Крылов)
Цели занятия.
Образовательные:
Развивающие:
Воспитывающая:
.
Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, тесты, книги.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Какой
смайлик
соответствует твоему настроению на начало урока?
Класс разделен на группы. В группе может быть 4 или 5обучающихся.
Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся меняются поручениями.
Проверка д/з.
Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?
ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)
Задачи такого типа называются комбинаторными.
Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Комбинаторные задачи делятся на несколько групп.
III. Сообщение новых знаний.
1. Задача:
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
abc acb
bac bca
cab cba ответ:6
Это задача на перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1
Pn = n!
Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
Факториалы растут удивительно быстро.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n! 1 4 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628800
Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
Задача.
Квартет
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
2. Задача. У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Это размещения .
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами
можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных
предмета?
A94 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
3. Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123
124 125 134 135 145
234 235 245
345 ответ: 10
Это сочетания .
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Задача. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
C72 = = 21
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»
|
Перестановки |
Размещения |
Сочетания |
|
n элементов n клеток |
n элементов k клеток |
n элементов k клеток |
|
Порядок имеет значение |
Порядок имеет значение |
Порядок не имеет значения |
|
|
|
|
IV. Физкультминутка.
V. Закрепление темы.
1) Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка)
Вариант 1.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 495 3) 36 4) 48
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
№ задания 1 2 3
№ ответа 3 2 4
Вариант 2.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.
1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600
№ задания 1 2 3
№ ответа 4 1 2
Вариант 3.
1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
№ задания 1 2 3
№ ответа 1 2 4
Вариант 4
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?
1) 455 2) 45 3) 475 4) 18
3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?
1) 600 2) 100 3) 300 4)720
№ задания 1 2 3
№ ответа 2 1 4
2) Проблемный вопрос:
Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ.
Области
применения комбинаторики:
-учебные заведения ( составление расписаний)
-сфера общественного питания (составление меню)
-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
-география (раскраска карт)
-биология (расшифровка кода ДНК)
-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
-криптография (разработка методов шифрования)
-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
-военное дело (расположение подразделений)
Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.
Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.
Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.
Вывод:
Комбинаторика повсюду.
Комбинаторика везде.
Комбинаторика вокруг нас.
VI. Д/з:
1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
4. Проект «История комбинаторики»
VII.Итог, рефлексия.
Определи своё настроение в конце урока
Литература
1. Алгебра: учеб. для 7 класса общеобразоват. учреждений (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) под ред. Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2006.
2. Евстафьева Л.П., Карп А.П. Алгебра: дидактические материалы для 7 класса общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2006 (стр.65, О - 30, стр.131, П – 49).
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей, Алгебра 7-9.
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ урок математики@SEP@Хакимзянова Н И.ppt
Скачать материал "Урок математики в 7 классе на тему «Комбинаторика»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.
(А.Н. Крылов)
2 слайд
Какой смайлик
соответствует твоему настроению на начало урока
1 2 3
3 слайд
Задача
Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?
Туристлык фирмасы Италиянең өч шәһәре: Венеция, Рим һәм Флоренция буйлап сәяхәт итәргә мөмкинлек бирә. Алар маршрутны ничә ысул белән сайлый алалар?
Мәсьәлә
4 слайд
Решение
*
В
Ф
Р
Р
Р
Ф
Ф
В
В
Р
Р
Ф
Ф
В
В
ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР
5 слайд
Комбинаторика
6 слайд
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Занимался идеями комбинаторного искусства.
7 слайд
Комбинаторика –
раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.
Комбинаторика – тоташтыру, оештыру
8 слайд
Задача
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
( 3 китапны китап киштәсенә ничә ысул белән урнаштырырга була? )
1 Руководитель
2 Диктор
3 Секретарь
4 Наблюдатель
1 Руководитель
2 Зам. руководителя
3 Диктор
4 Секретарь
5 Наблюдатель
9 слайд
123 132
213 231
312 321
Ответ: 6
10 слайд
Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1
Pn = n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
Перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Алмаштырмалар
n элементның билгеле бер тәртиптә һәр урнашуы n элементтан алмаштырма дип атала.
0!=1
5!=1· 2· 3· 4 ·5 = 120
factorial – делающий
Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!
Запомните!!!
11 слайд
Факториалы растут удивительно быстро
12 слайд
Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
(Финал йөгерешләрендә 8 катнашучыны сигез йөгерү сукмагында ничә ысул белән урнаштырырга була? )
13 слайд
Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
(Финал йөгерешләрендә 8 катнашучыны сигез йөгерү сукмагында ничә ысул белән урнаштырырга була? )
P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
14 слайд
Задача
Квартет
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?
15 слайд
Решение:
Здесь n=4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
16 слайд
Задача
У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
(Бездә 5 китап бар. Бер полкага 3 китап сыя. 3 китапны ничә ысул белән куярга була?)
1 Наблюдатель
2 Руководитель
3 Диктор
4 Секретарь
1 Наблюдатель
2 Руководитель
3 Зам. руководителя
4 Диктор
5 Секретарь
17 слайд
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
18 слайд
Размещения
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Урынлаштырмалар
Бирелгән n элемнттан билгеле бер тәртиптә алынган һәм k элементтан торган теләсә нинди күплек n элементтан k лап (k≤n) урынлаштырма дип атала.
Запомните!!!
19 слайд
Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
(2 нче сыйныф укучылары 9 уку предметы укыйлар. Расписаниедә 4 төрле уку предметы булырлык итеп, бер көнгә ничә ысул белән расписание төзергә була?)
20 слайд
Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
(2 нче сыйныф укучылары 9 уку предметы укыйлар. Расписаниедә 4 төрле уку предметы булырлык итеп, бер көнгә ничә ысул белән расписание төзергә була?)
A94 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
21 слайд
Задача
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
(Бер төстәге 5 китап бирелгән. Шул китаплар арасыннан 3 сен ничә ысул белән сайлый ала?)
1 Секретарь
2 Наблюдатель
3 Руководитель
4 Диктор
1 Секретарь
2 Наблюдатель
3 Руководитель
4 Зам. руководителя
5 Диктор
22 слайд
Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
124 125 134 135 145
234 235 245
345
Ответ: 10
23 слайд
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Оештырмалар
Бирелгән n элементтан сайлап алынган k элементтан төзелгән теләсә нинди күплек n элементтан k лап оештырма дип атала.
Запомните!!!
24 слайд
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
(Сыйныфта 7 кеше математикадан яхшы укый. Математика олимпиадасында катнашу өчен, аларның икесен ничә ысул белән сайлап алырга була?)
25 слайд
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
(Сыйныфта 7 кеше математикадан яхшы укый. Математика олимпиадасында катнашу өчен, аларның икесен ничә ысул белән сайлап алырга була?)
C72 =
= 21
26 слайд
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»
27 слайд
Простейшие комбинации
28 слайд
Физкультминутка
29 слайд
Тест
30 слайд
Тест по комбинаторике
Вариант 1.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 495 3) 36 4)48
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
Тест по комбинаторике
Вариант 2.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.
1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600
31 слайд
Тест по комбинаторике
Вариант 3.
1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
Тест по комбинаторике
Вариант 4
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?
1) 455 2) 45 3) 475 4)18
3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?
1) 600 2) 100 3) 300 4)720
32 слайд
Тест
Вариант1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
«5» - три правильных ответа
«4» - два правильных ответа
«3» - один правильный ответ
33 слайд
Проблемный вопрос:
Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
34 слайд
Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ.
35 слайд
Области применения комбинаторики:
1 Диктор
2 Секретарь
3 Наблюдатель
4 Руководитель
1 Диктор
2 Секретарь
3 Наблюдатель
4 Руководитель
5 Зам. руководителя
36 слайд
Области
применения
комбинаторики:
ГИА
37 слайд
Игра Кубик Рубика
Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.
Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.
Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.
38 слайд
Вывод:
Комбинаторика повсюду.
Комбинаторика везде.
Комбинаторика вокруг нас.
39 слайд
Pn = n!
Перестановки
Размещения
Сочетания
40 слайд
Домашнее задание:
1. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
4. История комбинаторики. Выступление.
41 слайд
Я всё понял, у меня всё получалось!
Мне не всё удалось, придется дома подольше посидеть
Мне было очень трудно и непонятно
Определи своё
настроение в конце урока
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данный урок знакомит обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика» (основные понятия и задачи, использование их в практических целях, а так же в жизни человека). Задачи по комбинаторике входят в состав ГИА по математике. Поэтому у обучающихся должны формироваться первоначальные представления о комбинаторных задачах уже в 6-7 классах. Они учатся решать сложные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, что развивает логическое мышление. Также на уроке обучающиеся работают в группах. Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся меняются поручениями. Урок помогает обучающемуся быть активным. ОТРЫВОК ИЗ РАБОТЫ »2) Проблемный вопрос: Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни? Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ. Области применения комбинаторики: -учебные заведения ( составление расписаний) -сфера общественного питания (составление меню) -лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв) -спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками) -агротехника (размещение посевов на нескольких полях) -география (раскраска карт) -биология (расшифровка кода ДНК) -химия (анализ возможных связей между химическими элементами) -экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей) -криптография (разработка методов шифрования) -доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки) -военное дело (расположение подразделений)»
6 911 344 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Хакимзянова Нурания Идерисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 5111 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.