• Васенина Елена Николаевна

  Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

  Форма урока: урок на проектной основе

  Тип урока: повторительно-обобщающий урок

  Цель урока: На примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью нашей культуры.

  Задачи урока:

  обучающие	развивающие	воспитательные	методические
  -систематизация знаний, полученных в ходе изучения темы, углубленное изучение понятий прогрессий, позволяющих на более высоком уровне понимать явления общественной жизни	-способствовать развитию логического мышления; -развитие творческих способностей обучающихся, познавательного интереса, умений анализировать, обобщать, сравнивать, систематизировать знания, полученные на других предметах	-воспитание информационной культуры, внимательности, аккуратности,  дисциплинированности, стремления к получению новых знаний, обобщению знаний из различных областей жизни; воспитание чувства ответственности, коммуникативных качеств,  воспитание умения слушать, трудолюбия.	-предложить вариант нетрадиционного урока; -показать возможность работы с презентацией и мультимедийным оборудованием; -продемонстрировать обеспечение принципа наглядности; -показать возможность использования межпредметных связей; -продемонстрировать возможности современного учащегося к самостоятельному получению знаний

  Оборудование урока: Компьютер, проектор, компьютерная презентация, проектные продукты учащихся (сборник задач с практическим содержанием, текст самостоятельной работы, справочный материал, презентации)

  Подготовка к уроку: В ходе изучения темы «Последовательности» учащиеся задали вопрос: «А зачем изучать последовательности, где это нам пригодится в дальнейшем?». В ходе обсуждения учащиеся пришли к необходимости выполнения исследования в данном направлении:

  Проблемный вопрос:

  Где в нашей жизни нам пригодятся знания о прогрессиях?

  Объект исследования:

  Арифметическая и геометрическая прогрессии

  Предмет исследования:

  Практическое применение прогрессий

  Гипотеза:

  Возможно прогрессии возникли из практических нужд человека и нашли огромное практическое применение в современной  жизни

  Цель исследования:

  Установить, как появилось понятие прогрессия, подтвердить или опровергнуть практическое применение прогрессий.

  Намечены направления исследования (Задачи):

  1.      Изучить историю возникновения последовательностей и прогрессий, рассмотреть исторические задачи

  2.      Сравнить свойства арифметической и геометрической прогрессии, проанализировать задачи ГИА и ЕГЭ на предмет наличия заданий на прогрессии.

  3.      Проанализировать учебники алгебры различных авторов, найти в них задачи с практическим содержанием, составить самостоятельную работу для решения задач

  4.      Найти задачи с практическим содержанием в различных отраслях народного хозяйства. (Рассмотреть отдельно биологию.)

  По каждому направлению учащиеся составляют мини-проекты. Общим продуктом будет урок обобщения, сборник задач.

  Ход урока:

  Обобщить и закрепить знания по теме;

  Задачи:

  1.      Познакомиться с историей возникновения прогрессий, рассмотреть исторические задачи

  2.      Вспомнить формулы, применить их при решении экзаменационных задач

  3.      Проверить свои знания во время самостоятельной работы

  4.      Рассмотреть возможность применения прогрессий в современном мире

  5.      Продемонстрировать друг другу умение работать с информацией.

  Содержание

  1.      Организационный этап

  Взаимное приветствие учащихся и учителя, положительный настрой на урок.

  2.      Актуализация и целеполагание

  Учитель: (В ходе беседы учащиеся воспроизводят цели и задачи урока) Сегодня у нас последний урок перед контрольной работой. Обратите внимание на эпиграф к уроку (слайд 1, Приложение 1.). Тема нашего урока (Арифметическая и геометрическая прогрессии) и это предпоследний урок в теме «Последовательности», а значит Цель нашего урока...

  (после фронтального обсуждения) Обобщить и закрепить знания по теме;

  Задачи:

  1.      Познакомиться с историей возникновения прогрессий, рассмотреть исторические задачи

  2.      Вспомнить формулы, применить их при решении экзаменационных задач

  3.      Проверить свои знания во время самостоятельной работы

  4.      Рассмотреть возможность применения прогрессий в современном мире

  5.      Продемонстрировать друг другу умение работать с информацией. (Слайд 2)

   

  Здесь идет обсуждение учебного проекта, учащиеся настраиваются на работу с информацией. (Слайд 3)

  3.      Систематизация и обобщение знаний (слайд 4)

  Учитель: Рассмотрение нашего проекта мы начнем в хронологическом порядке и сначала о истории возникновения прогрессий нам расскажет Ржавин Евгений. (Приложение 2.)

  Презентация «История и прогрессии»

  Цель: проанализировать справочную литературу, интернет, найти исторические задачи на прогрессии, где впервые встречаются задачи на прогрессии, представить формулировки некоторых задач.

  Гипотеза: если исторических сведений достаточно много, видимо и в нашей жизни возможно применение прогрессий

  Демонстрирует презентацию, показывает и рассказывает решение некоторых исторических задач

  Вывод: Последовательности были известны еще в древности, и возникли эти знания из практических нужд человека.

   

  Учитель. Вспомнить основные формулы арифметической и геометрической прогрессий нам поможет Трофимов Юра. Он приготовил нам задачи из государственной итоговой аттестацией на данную тему. (Приложение 3.)

  Презентация «Свойства арифметической и геометрической прогрессий»

  Цель работы:

  систематизировать материал по двум прогрессиям,

  создать памятку для решения задач по данной теме

  Проанализировать работы ГИА и ЕГЭ, собрать задачи на использование формул прогрессий, показать решение данных задач

  После демонстрации формул раздает памятки. (Приложение 4.)

  Показывает решение задач на доске (учащиеся в тетради).

  Вывод: В государственных экзаменах присутствуют задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию, знание этой темы пригодится мне для успешного  дальнейшего обучения.

  4.      Закрепление материала

  Учитель. Переходим к следующей части нашего урока, узнаем, где могут применяться арифметические прогрессии. Наше исследование началось с учебников алгебры, прежде всего с нашего учебника. После рассмотрения задач из учебника, мы проверим свои знания с помощью самостоятельной работы. (Приложение 5.)

  Презентация «Прогрессивные» задачи практического содержания»

  Харин Тимур

  Цель: проанализировать учебники по математике, создать сборник задач с практическим содержанием по арифметической и геометрической прогрессии.

  Задачи:

  1.      Исследовать тексты учебников математики.

  2.      Найти и рассмотреть задачи с практическим содержанием.

  3.      Составить сборник задач на прогрессии, выбрать задачи для самостоятельной работы.

  4.      Оценить результаты самостоятельной работы

  5.      Сделать выводы.

  Демонстрирует презентацию, делает выводы:

  ·        Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

  ·        Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева.

  ·        Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

  Раздает тексты самостоятельной работы (Приложение 6.), на выполнение которой отводится 8-10 минут, после выполнения проверяет работы, анализирует.

  5.      Практическое применение

  Учитель. В повседневной жизни арифметическая и геометрическая прогрессии нашли своё применение. Именно это нам попытается доказать Воробьёва Ксения. (Приложение 7.)

  Презентация «Практическое применение прогрессий»

   

  Цель: Найти применений арифметической и геометрической прогрессий в различных отраслях хозяйства.

  Приводит примеры применения прогрессии в повседневной жизни. Показывает презентацию, рассматривает задачи, предлагает для решения задачу

  Делает вывод: Знание свойств и формул прогрессии пригодится в повседневной жизни, особое значение прогрессия имеет в банковском деле, в  медицине и в биологии.

  Учитель. Мы затронули некоторую малую часть использования прогрессий в повседневной жизни. Более подробно об одной из этой направленности расскажет нам Новоструева Елена. (Приложение 8.)

  Презентация «Прогрессии в биологии»

  Цель: Показать практическое применение прогрессии в биологии.

  Задачи: 1) собрать, изучить и систематизировать материал о прогрессии;

  2) рассмотреть применение прогрессии в биологии при решении задач.

  Демонстрирует презентацию, рассказывает интересные факты, делает выводы: Знание формул прогрессий необходимо при изучении биологии и наук, связанных с ней

  6.      Подведение итогов занятия

  (Слайд 5, Приложение 1.). Делаются выводы по проведенной работе, выводы по уроку (Харин Тимур проводит анализ самостоятельных работ и делает вывод о готовности учащихся к выполнению контрольной работы).

  После проведенной беседы по проекту, выдвигается предложение по дальнейшей работе над сборником задач, каждый учащийся готов оформить несколько задач. Работу над проектом необходимо дополнить еще одним продуктом – оформленным стендом «Задачи с практическим содержанием» для демонстрации творческих способностей учащихся перед всей школой

  Вывод: Мы провели огромную работу, приложив минимум усилий. И это не первая тема, на которой перед нами встал вопрос: А зачем мы изучаем данную тему, а где это нам пригодится, и т.д. На конкретном примере мы сегодня с вами убедились, что …….

   

  Что алгебра является частью нашей культуры

   

  7.      Домашнее задание:

  Оформить 2 понравившиеся практические задачи с решением.

  Пример домашнего задания (на 1 неделю) – Приложение 9.

   

  8.      Замечание: Данный урок проводился на областном семинаре, треть присутствующих учителей – учителя биологии. Школа в течение 4 лет занимается исследовательской и проектной деятельностью, является базовым учреждением института развития образования области. В 9 классе нашей школы 5 учащихся, поэтому каждый из них участвовал в создании проекта.

  По итогам изучения темы оформлен учебный проект

  Технологическая карта урока – Приложение 10.

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Закончился двадцатый век.
    Куда стремится человек?
    Изучены космос и море,
    Строенье звезд и вся Земля.
    Но математиков зовет
    Известный лозунг:
    «Прогрессио- движение вперед».
    

  • 

    2 слайд

    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Цель:
    Обобщить и закрепить знания по теме;
    Задачи:
    Познакомиться с историей возникновения прогрессий, рассмотреть исторические задачи
    Вспомнить формулы, применить их при решении экзаменационных задач
    Проверить свои знания во время самостоятельной работы
    Рассмотреть возможность применения прогрессий в современном мире
    Продемонстрировать друг другу умение работать с информацией.
    

  • 

    3 слайд

    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Проблемный вопрос:
    Где в нашей жизни нам пригодятся знания о прогрессиях?
    Объект исследования:
    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Предмет исследования:
    Практическое применение прогрессий
    Гипотеза:
    Возможно прогрессии возникли из практических нужд человека и
    нашли огромное практическое применение в современной жизни
    Цель исследования:
    Установить как появилось понятие прогрессия, подтвердить или
    опровергнуть практическое применение прогрессий
    

  • 

    4 слайд

    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    История и прогрессии
    Свойства арифметической и геометрической прогрессий
    По страницам учебника…
    Практическое применение. Прогрессии в биологии
    
    
    

  • 

    5 слайд

    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Выводы по проведенной работе:
    Мы установили, что…
    
    Выводы по уроку:
    Домашнее задание
    
    
    

  • 

    6 слайд

    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Спасибо за урок!
    

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    История и прогрессии
    Выполнил ученик 9 класса МКОУ ООШ д.М.Конып Ржавин Евгений
    

  • 

    2 слайд

    Цель
    проанализировать справочную литературу, интернет-ресурсы, найти исторические задачи на прогрессии, узнать где впервые встречаются задачи на прогрессии, представить формулировки некоторых задач
    Гипотеза
    Если прогрессии возникли из потребностей жизни, то прогрессии найдут применение и в современном мире
    
    

  • 

    3 слайд

    Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.
    В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:
    1+2+3+…+n =2+4+6+…+2n = n·(n+1).
    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)
    

  • 

    4 слайд

    В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.
    

  • 

    5 слайд

  • 

    6 слайд

    Пифагор и последовательности
    Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:
    - последовательность (ап) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;
    -последовательность (bп) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;
    -последовательность (сп) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...
    

  • 

    7 слайд

    Кто открыл прогрессии?
    Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равных 1.
    О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.
    Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.
    
    
    

  • 

    8 слайд

    В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
    1+2+3+4+…+98+99+100 =
    = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
    =101x50 =5050.
    
    Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году.
    
    

  • 

    9 слайд

    На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед.
    В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика», который составил такую таблицу:
    
    
    М. Штефель
    Архимед
    

  • 

    10 слайд

    Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер Ферма)
    

  • 

    11 слайд

    Исторические задачи
    

  • 

    12 слайд

    Задача Фибоначчи
    Некто поместил пару кроликов в некое место, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со 2 месяца после своего рождения.
    

  • 

    13 слайд

    “Задача о 7 старухах”
    7 старух направились в РИМ, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного.
    S6 = 7 + 72 + ... 76 = [7 · (76 – 1)]/6 = 137 256
    Ответ: 137 256 число всего перечисленного
    

  • 

    14 слайд

    Задача о 7 старцах
    Шли 7 старцев
    У каждого старца по 7 костылей
    На каждом костыле по 7 сучков
    На каждом сучке по 7 кошелей
    В каждом кошеле по 7 пирогов
    В каждом пироге по 7 воробьев
    Сколько всего воробьев?
    
    
    
    Ответ: 117649 воробьев
    
    

  • 

    15 слайд

    Задача 7 человеках
    Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает 7 мышек, каждая мышка за одно лето может унести 7 ячменных колосков, а из зерен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна спасается благодаря кошкам?
    
    
    
    
    
    
    Ответ: 16807 горстей
    

  • 

    16 слайд

    Вывод.
    Последовательности были известны еще в древности, и возникли эти знания из практических нужд человека.
    

  • 

    17 слайд

    Спасибо за внимание!
    

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Свойства арифметической и геометрической прогрессий
    Выполнил: Ученик 9 класса
    Трофимов Юрий
    

  • 

    2 слайд

    Цель
    Повторить и сравнить свойства арифметической и геометрической прогрессии
    Проанализировать задачи ГИА и ЕГЭ на прогрессии
    

  • 

    3 слайд

    Что такое Арифметическая прогрессия?
    Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида
    
    
    

  • 

    4 слайд

    Геометрическая прогрессия
    Геометрическая прогрессия — последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число   (знаменатель прогрессии), где , : [
    

  • 

    5 слайд

    Формула n-го члена прогрессии
    an=a1+d(n-1)
    bn=b1qn-1
    арифметической,
    геометрической
    

  • 

    6 слайд

    Арифметическая прогрессия
    Геометрическая прогрессия
    
    Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии
    Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности (bn >0)
    Характеристическое свойство прогрессий
    

  • 

    7 слайд

    Формулы суммы n первых членов прогрессий
    арифметическая
    геометрическая
    

  • 

    8 слайд

    ФОРМУЛА СУММЫ
    бесконечно убывающей
    геометрической прогрессии
    |q| < 1
    

  • 

    9 слайд

    Экзаменационные задачи
    Три типа задач:
    1. Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.
    2. Арифметическая прогрессия ( an) задана условиями: a1=3, an+1=an+4. Найдите a10.
    3. Геометрическая прогрессия ( bn ) задана условиями: b1 = – 1, bn + 1 = 2bn. Найдите b7.
    

  • 

    10 слайд

    Вывод
    У арифметической и геометрической прогрессий имеются некоторые сходства, но сами по себе они абсолютно различны
    Знание формул арифметической и геометрической прогрессий необходимо для успешной сдачи экзамена по математики
    

  • 

    11 слайд

    Спасибо за внимание!
    

• Алгебраическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
  Арифметическая прогрессия - числовая последовательность  определяемая условиями: 1)  2)	Геометрическая прогрессия - числовая последовательность  определяемая условиями: 1)  2)  n = 1, 2, ...(q - знаменатель геометрической прогрессии).
  Свойства арифметической прогрессии:	Свойства геометрической прогрессии:
  Формула n-го члена:	Формула n-го члена:
  Формулы суммы n первых членов :	Формулы суммы n первых членов : Сумма бесконечной геометрической прогрессии

   

  Алгебраическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
  Арифметическая прогрессия - числовая последовательность  определяемая условиями: 1)  2)	Геометрическая прогрессия - числовая последовательность  определяемая условиями: 1)  2)  n = 1, 2, ...(q - знаменатель геометрической прогрессии).
  Свойства арифметической прогрессии:	Свойства геометрической прогрессии:
  Формула n-го члена:	Формула n-го члена:
  Формулы суммы n первых членов :	Формулы суммы n первых членов : Сумма бесконечной геометрической прогрессии

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    «ПРОГРЕССИВНЫЕ» ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Выполнил: Харин Тимур
    ученик 9 класса
    Малый Конып, 2014 год
    МКОУ ООШ д. М. Конып
    

  • 

    2 слайд

    Задачи
    Исследовать тексты учебников математики.
    Найти и рассмотреть задачи с практическим содержанием.
    Составить сборник задач на прогрессии, выбрать задачи для самостоятельной работы.
    Оценить результаты самостоятельной работы
    Сделать выводы.
    
    

  • 

    3 слайд

    УЧЕБНИКИ МАТЕМАТИКИ С СОДЕРЖАНИЕМ В НИХ ВЫШЕУПОМЯНУТЫХ ЗАДАЧ.
    

  • 

    4 слайд

    НЕМНОГО ИСТОРИИ
    Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.
    Термин «прогрессия» (от латинского слова progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием.
    Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.
    Прогрессии широко распространены в нашей жизни.
    

  • 

    5 слайд

    Где же они?
    Прогрессии в природе:
    Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.  (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением. Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
    Задача. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов , -М: Мнемозина, 2010. -224с.(108) ] Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
    
    
    
    

  • 

    6 слайд

    Решение
    Решение. В сутках 1440 минут,  каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1= 4 722 366 482 869 645 213 695. Это число читается:
    4 септиллиона
    722 сектиллиона
    366 квинтиллионов
    482 квадриллионов
    869 триллиона
    645 миллиарда
    709 миллионов
    213 тысяча
    695 единиц
    
    

  • 

    7 слайд

    Где же они?
    Банковское дело.
    Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами. Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу,  либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?  Чтобы ответить на этот вопрос, вам то же надо решить задачу на геометрическую прогрессию.
    
    

  • 

    8 слайд

    Где же они?
    Прогрессии в медицине.  
    Задача. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов - М: Мнемозина, 2010. -224с.(с.100) Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Найдя сумму первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель, т.е. 2 пузырька лекарства.
    
    

  • 

    9 слайд

    Где же они?
    Прогрессии в спорте.
    Задача. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М: Мнемозина, 2010. -224с.(с.100) Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
    
    
    

  • 

    10 слайд

    В каких процессах ещё встречаются 
    такие закономерности?
    Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.
    При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
    Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра. Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия. Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности.
     Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
    

  • 

    11 слайд

    Выводы
    Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
    Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева.
    Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.
    
    

  • 

    12 слайд

    А так же:*
    А теперь вас ждет маленькая проверочная работа, но…
    все таки
    
    Спасибо за внимание!
    

• Самостоятельная работа

  «Прогрессии в задачах»

  1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

  2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

  3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

  4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

  1 задача – оценка «3»

  2 задачи – оценка «4»

  3 задачи – оценка «5»

   

   

  Самостоятельная работа

  «Прогрессии в задачах»

  1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

  2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

  3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

  4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

  1 задача – оценка «3»

  2 задачи – оценка «4»

  3 задачи – оценка «5»

   

   

   

  Самостоятельная работа

  «Прогрессии в задачах»

  1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

  2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

  3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

  4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

  1 задача – оценка «3»

  2 задачи – оценка «4»

  3 задачи – оценка «5»

   

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Прогрессия в различных
    областях деятельности
    

  • 

    2 слайд

    Прогрессия
    Важно знать прогрессии
    Нам в любой профессии.
    Спросите, зачем врачу,
    Строителю, циркачу,
    Экономисту, продавцу
    Знание прогрессии?
    Вот задачки порешаем,
    Обо всем сейчас узнаем.
    
    

  • 

    3 слайд

    Прогрессия в медицине
    
    Однажды на прием к врачу пришла бабушка, больная атеросклерозом. Врач ей прописал следующий рецепт: «Принимать настойку чеснока (в соотношении 3:2) и пить строго по каплям за 15-20 минут до еды, запивая 1/4 стаканом молока». И дал следующую схему лечения:
    
    А далее пить по 25 капель 3 раза в день в течение 10 дней. В последний день выпить оставшиеся 10 капель. На что экономная бабушка спросила: «Доктор, сколько чеснока и сколько спирта мне понадобится?»
    Как бы ответили вы, будучи врачом?
    Считать, что одна капля весит 0,01г.
    
    
    

  • 

    4 слайд

    Прогрессия в строительстве
    Строителям нужно изготовить деревянный фронтон дома. Сколько погонных метров планок потребуется, чтобы зашить щели между досками? Сколько погонных метров планок выписать прорабу со склада дополнительно, если у строителей уже имеется 100м планок? Какие данные еще необходимо знать прорабу?
    Доски стандартные – 10см;
    Ширина дома – 7,5м.
    
    
    

  • 

    5 слайд

    Прогрессия в транспорте
    
    
    Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость и через 11 минут достигнет скорости 30км/ч. Найти ускорение поезда в минуту.
    
    

  • 

    6 слайд

    Скорость течения реки, скорость парохода против течения и скорость парохода по течению реки составляют арифметическую прогрессию. Расстояние между пристанями в 72км пароход проходит в оба конца за 12 часов 48 минут. Найдите скорость течения реки.
    
    

  • 

    7 слайд

    Прогрессия в авиации
    Реактивный самолет летит равномерно со скоростью 720км/ч, а затем с некоторого момента движется в течение 10с с ускорением 10м/с2. Определите конечную скорость и пройденный за 10с путь.
    
    

  • 

    8 слайд

    Прогрессия в торговле
    
    
    В магазин поступили коробки с консервами. Продавщица решила расставить консервы из одной коробки на полке в форме треугольника, т.е. в каждом последующем верхнем ряду на одну баночку меньше, чем в нижнем. Сколько таких рядов у нее получится, если в коробке было 28 консервов?
    
    
    

  • 

    9 слайд

    Прогрессия в сельском хозяйстве
    Суточный привес поросят на данной ферме в среднем равен 600 г. Какой массы достигнет поросенок через месяц, если его первоначальная масса равнялась 6 кг?
    
    

  • 

    10 слайд

    Прогрессия в геологии
    Предполагается, что при углублении на каждые 30,5м внутренняя температура земли возрастает на 1оС. Если на поверхности земли температура равна 10оС, то:
    какова температура будет на глубине 1000м?
    

  • 

    11 слайд

    Прогрессия в спорте
    Альпинист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 25м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты 5700м?
    
    

  • 

    12 слайд

    
    
    

  • 

    13 слайд

  • 

    14 слайд

    Ты будешь, может быть, врачом,
    Строителем или ткачом,
    Но где бы ни работал,
    Не забывай прогрессию.
    Не будешь знать прогрессии –
    Не будет в жизни интереса,
    Ни капли не будет и прогресса.
    Отсюда вывод лишь один:
    Важно знать прогрессии
    Нам в любой профессии.
    
    Заключение
    

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Прогрессии в биологии
    Выполнила Новоструева Елена ученица 9 класса
    МКОУ ООШ деревни Малый Конып
    

  • 

    2 слайд

    Цель
    Показать практическое применение прогрессии в биологии
    

  • 

    3 слайд

    Задачи
    1) собрать, изучить и систематизировать материал о прогрессии;
    2) рассмотреть применение прогрессии в биологии при решении задач.
    

  • 

    4 слайд

    ИНФУЗОРИИ…
    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.
    Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
    Все организмы обладают интенсивностью
    размножения в геометрической прогрессии
    

  • 

    5 слайд

    РЕШЕНИЕ
    
    b15 = 2·214 = 32 768
    Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.
    
    

  • 

    6 слайд

    Бактерии
    В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.
    

  • 

    7 слайд

    Решение
    Данная последовательность является геометрической прогрессией (bn)
    b1=1, q=2, n=7.
    Решение:
    

  • 

    8 слайд

    Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
    бактерии…
    

  • 

    9 слайд

    ВИРУС гриппа
    Ежедневно человек, несущий вирус гриппа может заразить 4 окружающих. Население поселка 2200 человек. Через сколько дней все жители поселка заболеют.
    
    Ответ: через 6 дней
    
    

  • 

    10 слайд

    Если видам дать размножаться свободно, без ограничений, то численность любого из них росла бы в геометрической прогрессии. На графике дан рост численности особей при неограниченном бесполом размножении амебы. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?
    

  • 

    11 слайд

    Интенсивность размножения бактерий используют…
    
    в пищевой
    промышленности
    (для приготовления
    напитков,
    кисломолочных
    продуктов,
    при квашении, солении и др.)
    
    
    в сельском
    хозяйстве
    (для приготовления
    силоса, корма
    для животных и др.)
    
    
    в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)
    
    
    
    в коммунальном
    хозяйстве и
    природоохранных
    мероприятиях
    (для очистки сточных
    вод,ликвидации
    нефтяных пятен)
    

  • 

    12 слайд

    “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.
    Карл Линней Девятое поколение одной
    пары мух наполнило бы куб,
    сторона которого равна 140 км,
    или же составило бы нить,
    которой можно опоясать земной
    шар 40 млрд. раз.
    мухи…
    

  • 

    13 слайд

    “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.
    К. А. Тимирязев
    одуванчик…
    

  • 

    14 слайд

    Еще раз про одуванчик…
    Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.
    а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?
    [1012 км2]
    б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
    [нет, S суши = 148 млн км2]
    
    

  • 

    15 слайд

    ТЛИ…
    Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
    

  • 

    16 слайд

    ВОРОБЬИ
    Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
    

  • 

    17 слайд

    ГИДРА
    Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?
    
    

  • 

    18 слайд

    ПЛОДОВИТОСТЬ РЫБ
    

  • 

    19 слайд

    Положение некоторых видов на кривой вероятности попадания в Красную книгу, построенной на основе годовой плодовитости. Зубр, тигр и русская выхухоль находятся в Красной книге. В качестве примера вида, которого нет в Красной книге, показан кролик.
    

  • 

    20 слайд

    Вывод
    Знание формул прогрессий необходимо при изучении биологии и наук, связанных с ней
    

  • 

    21 слайд

    Спасибо за внимание!
    

• Практические задачи по теме «Прогрессии»

  

  1.    При каждом делении амёбы получается две новые особи.

  Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

   

  Решение:

  Деление амебы происходит по законам геометрической прогрессии

  b₁=1

  q=2

  Необходимо вычислить S₇ (после 6 деления) и S₁₁

  S_n=

   S₇=

  S₁₁=

  Ответ: 127 особей после 6 делений, 2027 – после десяти.

   

  2. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

  Решение:

  Изменение давления воздуха в сосуде происходит по законам геометрической прогрессии

  b₁=760

  q=0,8 (остаётся 80% воздуха), b₂ – после первого движения поршня.

  Необходимо вычислить b₇

     =760∙0,262144=199,22944мм.рт.ст.

   

  Ответ: После 6 движений поршня давление в сосуде будет 199,22944мм.рт.ст.

  Выполнил:

• Технологическая карта урока

  Учитель  Васенина Е.Н.

  МКОУ ООШ д.Малый Конып

  Предмет

  Математика

  Тема урока

  Арифметическая и геометрическая прогрессии

  Форма урока

  Урок на проектной основе

  Тип урока

  Повторительно-обобщающий урок

  Цель урока

  На примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью нашей культуры..

  Задачи урока

  обучающие

  развивающие

  воспитательные

  методические

  -систематизация знаний, полученных в ходе изучения темы, углубленное изучение понятий прогрессий, позволяющих на более высоком уровне понимать явления общественной жизни

  -способствовать развитию логического мышления; -развитие творческих способностей обучающихся, познавательного интереса, умений анализировать, обобщать, сравнивать, систематизировать знания, полученные на других предметах

  -воспитание информационной культуры, внимательности, аккуратности,  дисциплинированности, стремления к получению новых знаний, обобщению знаний из различных областей жизни; воспитание чувства ответственности, коммуникативных качеств,  воспитание умения слушать, трудолюбия.

  -предложить вариант нетрадиционного урока; -показать возможность работы с презентацией и мультимедийным оборудованием; -продемонстрировать обеспечение принципа наглядности; -показать возможность использования межпредметных связей; -продемонстрировать возможности современного учащегося к самостоятельному получению знаний

  Деятельность учителя

  Деятельность обучающихся

  Познавательная

  Коммуникативная

  Регулятивная

  Осуществляемые действия

  Формируемые способы деятельности

  Осуществляемые действия

  Формируемые способы деятельности

  Осуществляемые действия

  Формируемые способы деятельности

  1-й этап урока  Организационный

  Приветствует, проверяет готовность к уроку

  Приветствуют учителя, настраиваются на восприятие материала урока, проверяют готовность к уроку

  2-й этап урока  Актуализация и целеполагание

  Демонстрирует эпиграф, предлагает сформулировать цель, организует беседу по предполагаемым задачам на урок, мотивирует к изучению

  Слушают и отвечают на вопросы учителя, делают предположения о цели урока, формулируют задачи на урок

  Выдвигать гипотезу и подтверждать её, выделять задачи из поставленной цели

  Взаимодействуют с учителем во время фронтального опроса

  Слушать собеседника, высказывать свои предположения в удобной для собеседника форме

  Проверяют правильность высказываний учащихся

  Уметь выстроить свою речь в соответствие с поставленной целью, дополнять высказывания учащихся

  3-й этап урока  Систематизация и обобщение знаний

  Организует работу по демонстрации презентаций учащихся: Исторической справки и Основных сведений о прогрессиях

  Работа с презентацией: просмотр, обсуждение, предложение своих вариантов, решение примеров и задач из ГИА, применяют формулы

  Анализировать умение проводить демонстрацию презентации, выдвигать цели и гипотезы, делать выводы, применять формулы

  Обучающие активно участвуют в процессе демонстрации презентации

  Умение задавать вопросы, выслушивать ответы на вопросы  делать общее заключение

  Определяют правильность постановки целей и задач, определяют уровень презентации, оценивают работу учащихся

  Умение оценивать деятельность, выставлять объективные оценки

  4-ый этап урока  Закрепление материала

  Организует работу по демонстрации презентаций: Практические задачи в учебниках Контролирует проведение самостоятельной работы

  Просмотр презентации, один из учащихся организует и проводит самостоятельную работу,  закрепляют формулы, решая самостоятельную работу

  Умение работать с формулой, составлять математическую модель практической задачи, вычислительные навыки

  Организация самостоятельной работы, участие в процессе демонстрации презентации

  Умение выслушать и понять одноклассника, правильно задавать вопросы

  Выбор формул из справочника, один из учащихся проверяет, оценивает работу, делает вывод

  Умение объективно выставлять оценки, воспринимать критику, определять временные рамки, распределять время

  5-ый этап урока  Практическое применение

  Организует работу по демонстрации презентации Практическое применение прогрессий в различных отраслях народного хозяйства Применение прогрессий в биологии

  Работа с презентацией, просмотр, обсуждение

  Анализировать умение проводить демонстрацию презентации, выдвигать цели и гипотезы, делать выводы, применять формулы

  Умение выслушать, сделать выводы,

  Умение правильно реагировать на успехи или неудачи одноклассников

  Определяют правильность постановки целей и задач, определяют уровень презентации, оценивают работу учащихся

  Умение оценивать деятельность, выставлять объективные оценки

  6-ой этап урока  Подведение итогов занятия

  Помогает сделать выводы по проведенной самостоятельной работе Задает вопросы по уроку, подводит к выводу

  Участвуют в беседе по формулировке выводов урока

  Строить речевое высказывание, обосновывать своё мнение

  Выслушивают точки зрения своих одноклассников

  Воспринимать на слух ответы и выводы одноклассников, адекватно реагировать на выводы

  Выслушивают выводы участников презентаций

  Осуществлять итоговый контроль

  7-ой этап урока  Домашнее задание

  Формулировка и разъяснение домашнего задания, предупреждение о возможных затруднениях

  Запись домашнего задания и прослушивание рекомендаций его выполнения

  Осознать значимость выполнения домашнего задания

  Задать интересующие вопросы

  Умение терпеливо выслушать рекомендации преподавателя

   

Краткое описание материала