Васенина Елена Николаевна

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Форма урока: урок на проектной основе

Тип урока: повторительно-обобщающий урок

Цель урока: На примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью нашей культуры.

Задачи урока:

Оборудование урока: Компьютер, проектор, компьютерная презентация, проектные продукты учащихся (сборник задач с практическим содержанием, текст самостоятельной работы, справочный материал, презентации)

Подготовка к уроку: В ходе изучения темы «Последовательности» учащиеся задали вопрос: «А зачем изучать последовательности, где это нам пригодится в дальнейшем?». В ходе обсуждения учащиеся пришли к необходимости выполнения исследования в данном направлении:

Проблемный вопрос:

Где в нашей жизни нам пригодятся знания о прогрессиях?

Объект исследования:

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Предмет исследования:

Практическое применение прогрессий

Гипотеза:

Возможно прогрессии возникли из практических нужд человека и нашли огромное практическое применение в современной  жизни

Цель исследования:

Установить, как появилось понятие прогрессия, подтвердить или опровергнуть практическое применение прогрессий.

Намечены направления исследования (Задачи):

1.      Изучить историю возникновения последовательностей и прогрессий, рассмотреть исторические задачи

2.      Сравнить свойства арифметической и геометрической прогрессии, проанализировать задачи ГИА и ЕГЭ на предмет наличия заданий на прогрессии.

3.      Проанализировать учебники алгебры различных авторов, найти в них задачи с практическим содержанием, составить самостоятельную работу для решения задач

4.      Найти задачи с практическим содержанием в различных отраслях народного хозяйства. (Рассмотреть отдельно биологию.)

По каждому направлению учащиеся составляют мини-проекты. Общим продуктом будет урок обобщения, сборник задач.

Ход урока:

Обобщить и закрепить знания по теме;

Задачи:

1.      Познакомиться с историей возникновения прогрессий, рассмотреть исторические задачи

2.      Вспомнить формулы, применить их при решении экзаменационных задач

3.      Проверить свои знания во время самостоятельной работы

4.      Рассмотреть возможность применения прогрессий в современном мире

5.      Продемонстрировать друг другу умение работать с информацией.

Содержание

1.      Организационный этап

Взаимное приветствие учащихся и учителя, положительный настрой на урок.

2.      Актуализация и целеполагание

Учитель: (В ходе беседы учащиеся воспроизводят цели и задачи урока) Сегодня у нас последний урок перед контрольной работой. Обратите внимание на эпиграф к уроку (слайд 1, Приложение 1.). Тема нашего урока (Арифметическая и геометрическая прогрессии) и это предпоследний урок в теме «Последовательности», а значит Цель нашего урока...

(после фронтального обсуждения) Обобщить и закрепить знания по теме;

Задачи:

1.      Познакомиться с историей возникновения прогрессий, рассмотреть исторические задачи

2.      Вспомнить формулы, применить их при решении экзаменационных задач

3.      Проверить свои знания во время самостоятельной работы

4.      Рассмотреть возможность применения прогрессий в современном мире

5.      Продемонстрировать друг другу умение работать с информацией. (Слайд 2)

Здесь идет обсуждение учебного проекта, учащиеся настраиваются на работу с информацией. (Слайд 3)

3.      Систематизация и обобщение знаний (слайд 4)

Учитель: Рассмотрение нашего проекта мы начнем в хронологическом порядке и сначала о истории возникновения прогрессий нам расскажет Ржавин Евгений. (Приложение 2.)

Презентация «История и прогрессии»

Цель: проанализировать справочную литературу, интернет, найти исторические задачи на прогрессии, где впервые встречаются задачи на прогрессии, представить формулировки некоторых задач.

Гипотеза: если исторических сведений достаточно много, видимо и в нашей жизни возможно применение прогрессий

Демонстрирует презентацию, показывает и рассказывает решение некоторых исторических задач

Вывод: Последовательности были известны еще в древности, и возникли эти знания из практических нужд человека.

Учитель. Вспомнить основные формулы арифметической и геометрической прогрессий нам поможет Трофимов Юра. Он приготовил нам задачи из государственной итоговой аттестацией на данную тему. (Приложение 3.)

Презентация «Свойства арифметической и геометрической прогрессий»

Цель работы:

систематизировать материал по двум прогрессиям,

создать памятку для решения задач по данной теме

Проанализировать работы ГИА и ЕГЭ, собрать задачи на использование формул прогрессий, показать решение данных задач

После демонстрации формул раздает памятки. (Приложение 4.)

Показывает решение задач на доске (учащиеся в тетради).

Вывод: В государственных экзаменах присутствуют задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию, знание этой темы пригодится мне для успешного  дальнейшего обучения.

4.      Закрепление материала

Учитель. Переходим к следующей части нашего урока, узнаем, где могут применяться арифметические прогрессии. Наше исследование началось с учебников алгебры, прежде всего с нашего учебника. После рассмотрения задач из учебника, мы проверим свои знания с помощью самостоятельной работы. (Приложение 5.)

Презентация «Прогрессивные» задачи практического содержания»

Харин Тимур

Цель: проанализировать учебники по математике, создать сборник задач с практическим содержанием по арифметической и геометрической прогрессии.

Задачи:

1.      Исследовать тексты учебников математики.

2.      Найти и рассмотреть задачи с практическим содержанием.

3.      Составить сборник задач на прогрессии, выбрать задачи для самостоятельной работы.

4.      Оценить результаты самостоятельной работы

5.      Сделать выводы.

Демонстрирует презентацию, делает выводы:

·        Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

·        Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева.

·        Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

Раздает тексты самостоятельной работы (Приложение 6.), на выполнение которой отводится 8-10 минут, после выполнения проверяет работы, анализирует.

5.      Практическое применение

Учитель. В повседневной жизни арифметическая и геометрическая прогрессии нашли своё применение. Именно это нам попытается доказать Воробьёва Ксения. (Приложение 7.)

Презентация «Практическое применение прогрессий»

Цель: Найти применений арифметической и геометрической прогрессий в различных отраслях хозяйства.

Приводит примеры применения прогрессии в повседневной жизни. Показывает презентацию, рассматривает задачи, предлагает для решения задачу

Делает вывод: Знание свойств и формул прогрессии пригодится в повседневной жизни, особое значение прогрессия имеет в банковском деле, в  медицине и в биологии.

Учитель. Мы затронули некоторую малую часть использования прогрессий в повседневной жизни. Более подробно об одной из этой направленности расскажет нам Новоструева Елена. (Приложение 8.)

Презентация «Прогрессии в биологии»

Цель: Показать практическое применение прогрессии в биологии.

Задачи: 1) собрать, изучить и систематизировать материал о прогрессии;

2) рассмотреть применение прогрессии в биологии при решении задач.

Демонстрирует презентацию, рассказывает интересные факты, делает выводы: Знание формул прогрессий необходимо при изучении биологии и наук, связанных с ней

6.      Подведение итогов занятия

(Слайд 5, Приложение 1.). Делаются выводы по проведенной работе, выводы по уроку (Харин Тимур проводит анализ самостоятельных работ и делает вывод о готовности учащихся к выполнению контрольной работы).

После проведенной беседы по проекту, выдвигается предложение по дальнейшей работе над сборником задач, каждый учащийся готов оформить несколько задач. Работу над проектом необходимо дополнить еще одним продуктом – оформленным стендом «Задачи с практическим содержанием» для демонстрации творческих способностей учащихся перед всей школой

Вывод: Мы провели огромную работу, приложив минимум усилий. И это не первая тема, на которой перед нами встал вопрос: А зачем мы изучаем данную тему, а где это нам пригодится, и т.д. На конкретном примере мы сегодня с вами убедились, что …….

Что алгебра является частью нашей культуры

7.      Домашнее задание:

Оформить 2 понравившиеся практические задачи с решением.

Пример домашнего задания (на 1 неделю) – Приложение 9.

8.      Замечание: Данный урок проводился на областном семинаре, треть присутствующих учителей – учителя биологии. Школа в течение 4 лет занимается исследовательской и проектной деятельностью, является базовым учреждением института развития образования области. В 9 классе нашей школы 5 учащихся, поэтому каждый из них участвовал в создании проекта.

По итогам изучения темы оформлен учебный проект

Технологическая карта урока – Приложение 10.

Самостоятельная работа

«Прогрессии в задачах»

1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

1 задача – оценка «3»

2 задачи – оценка «4»

3 задачи – оценка «5»

Самостоятельная работа

«Прогрессии в задачах»

1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

1 задача – оценка «3»

2 задачи – оценка «4»

3 задачи – оценка «5»

Самостоятельная работа

«Прогрессии в задачах»

1.  Дана арифметическая прогрессия: −1; 2; 5; … . Найдите сумму первых сорока её членов.

2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 500 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. (в₁₅-?)

3. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было 40 000 м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%?

4. Птолемей сказал: - «Каждый новый год, будет увеличивать посевы Египта на π га. Окружность, показывающая  это число, каждый новый год будет увеличиваться на 5 (радиус), а сама окружность (ее длина ) на 22 пальца».  Как велики были посевы фараона, если на 3 году их величина была в 13,56 раз больше, чем после слов сказанных ученым.

1 задача – оценка «3»

2 задачи – оценка «4»

3 задачи – оценка «5»

Практические задачи по теме «Прогрессии»

1.    При каждом делении амёбы получается две новые особи.

Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

Решение:

Деление амебы происходит по законам геометрической прогрессии

b₁=1

q=2

Необходимо вычислить S₇ (после 6 деления) и S₁₁

S_n=

 S₇=

S₁₁=

Ответ: 127 особей после 6 делений, 2027 – после десяти.

2. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

Решение:

Изменение давления воздуха в сосуде происходит по законам геометрической прогрессии

b₁=760

q=0,8 (остаётся 80% воздуха), b₂ – после первого движения поршня.

Необходимо вычислить b₇

   =760∙0,262144=199,22944мм.рт.ст.

Ответ: После 6 движений поршня давление в сосуде будет 199,22944мм.рт.ст.

Выполнил:

Технологическая карта урока

Учитель  Васенина Е.Н.

МКОУ ООШ д.Малый Конып