Выбранный для просмотра документ Три урока комбинаторики.doc
Министерство общего и профессионального образования РФ
ОГОУ Профессиональный лицей № 1 г.Иваново
Три урока комбинаторики
Методические рекомендации для учащихся
Составитель Е.В.Мочалова
Иваново
2010
Урок 1. Основные правила комбинаторики.
План.
1. Предмет комбинаторики.
2. Основные правила комбинаторики.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.
Общие правила комбинаторики.
В основе решения задач на комбинаторику лежат следующие два правила.
1. Правило сложения.
Если некоторые элемент A можно выбрать m способами, а другой элемент B – n способами, исключающими друг друга, то выбор какого-нибудь одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить m+n способами.
2. Правило умножения.
Если элемент А можно выбрать m способами и, если после каждого такого выбора, элемент В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,B) в указанном порядке можно осуществить m*n способами.
Эти правила можно обобщить на случай любого конечного количества элементов.
Задачи.
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если никакую из этих цифр не использовать более одного раза?
Решение.
Задача сводится к подсчету числа всех возможных
групп, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, используя каждую из цифр не
более одного раза. Прежде всего выпишем все эти группы. При этом процесс
составления таких групп будем изображать в виде так называемого «дерева» (см.
рис.). Для этого из некоторой точки С проведем три отрезка, соответствующие
числу различных выборов, которые можно сделать на первом этапе (в качестве
первого элемента группы может быть взята любая из цифр 1, 2, 3). Из конца
каждого построенного отрезка проведем по два отрезка, что соответствует числу
выборов, которые можно сделать на втором этапе, если в первый раз был выбран
данный элемент (например, если в качестве первой цифры группы была взята цифра
2, то в качестве второй цифры можно взять любую из цифр 1, 3). Далее, из конца
каждого из полученных отрезков проведем по отрезку, соответствующему выбору,
который можно сделать на третьем этапе, если на первых двух этапах были выбраны
данные цифры.
Двигаясь всеми возможными путями из точки О к крайней правой вершине «дерева», мы получим 6 трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3.
Это же число можно получить сразу, используя правило умножения. Так как для выбора первого элемента группы имеется три способа, для выбора второго — два способа, а третьего — один способ, то по правилу умножения выбор трех элементов, составляющих группу, можно произвести 3*2*1 = 6 способами.
2. Сколько трехзначных и четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра при составлении числа используется не более одного раза?
Решение.
В задаче требуется найти количество трехзначных и четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 или, что тоже самое, число способов, которыми можно составить либо трехзначное, либо четырехзначное число из этих цифр. По правилу умножения - четырехзначное число можно составить 4*3*2*1=24 способами, трехзначное число 4*3*2=24 способами. Тогда выбор либо трехзначного, либо четырехзначного числа может быть осуществлен по правилу сложения 24+24=48 способами. Таким образом, общее количество трехзначных и четырехзначных чисел, которые можно составить их цифр 1, 2, 3, 4, используя при составлении числа каждую цифру не более одного раза, равно 48.
Урок 2. Понятие факториала.
План
1. Понятие факториала
2. Выполнение действий с факториалами
Произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называют п-факториалом и пишут
п! =1·2·3·...· (n - 1) ·n.
Задачи.
1. Вычислить: а) 3!; б) 7! - 5!; в) (7!+5!)/6!
Решение.
а) 3!= 1·2·3 = 6.
б) Так как 7! = 1·2·3·4·5·6·7 и 5! = 1·2·3·4·5, то можно вынести за скобки 5! Тогда получим 5!(6·7-1) = 5! ·41 = 1·2·3·4·5·41 = 120·41 =4920.
в) 
2. Упростить выражения :
а) 
б) 
в) 
Решение:
а) Так как 
и n!=1·2·3·…·n, то 
б) 
в) 
Урок 3. Размещения. Перестановки. Сочетания.
План.
1. Размещения.
2.Перестановки.
3. Сочетания.
В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, ... , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т. п.
Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие - входящими в них цифрами (например, 1036 и 5671), третьи различаются и числом цифр (например, 345 и 45).
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Рассмотрим их отдельно.
Размещениями из n различных элементов по k называется всевозможные группы, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающихся друг от друга составом элементов или их порядку.
Число размещений из n различных элементов по k без повторений:
=n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)! (1)
Число размещений из n различных элементов по k с повторениями:
=nk. (2)
Задачи.
1. В местком избрано 6 человек. Из них надо выбрать председателя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Задача сводится к нахождению числа размещений
(без повторений) из шести элементов по два, так как здесь существенно и то, кто
будет выбран в руководство месткома, и то, как распределятся обязанности между
ними. Таким образом, искомое число равно
2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Решение.
Каждое трехзначное число, составленное из указанных цифр, можно рассматривать как размещение с повторениями, составленное из трех цифр, взятых из данных семи. Поэтому искомое число равно
Перестановкой из n различных элементов называют всевозможные группы из этих элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.
Число перестановок без повторений:
Pn=n! (3)
Число перестановок из n различных элементов с повторениями, которые можно сделать из k1 элементов 1 типа, k2 элемента-2 типа, …, kn элемента n типа находится по формуле:
(4)
Задачи.
1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение.
Рассматриваемое четырехзначное число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно Р4= = 4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно
4!-3! = 3*3! = 1*2*3*3=18.
2. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?
Решение.
Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1= 4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3= 6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (4) получаем
Сочетаниями из n различных элементов по k называются всевозможные группы из k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга по крайней мере 1 элементом.
Число сочетаний из n различных элементов по k без повторения:
Ckn=n!/k!*(n-k)! (5)
Число сочетаний без повторений из n элементов по k равно числу сочетаний из этих же n элементов по (n-k):
Ckn=Cn-kn (5’)
Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по k
Ckn=Ckn+k-1=(n+k-1)!/(k! · (n-1)!) (6)
Задачи.
1. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?
Решение.
Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше
второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из семи
элементов по два. Отсюда по формуле (5) получаем искомое число
2. В кондитерском магазине продаются три сорта пирожных: наполеоны, эклеры и слоеные. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение.
В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно, по формуле (6) получим
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Что называется п-факториалом?
2. Вычислите 5!; 7!.
3. Запишите, чему равен п!.
4. Вычислите 
5. Вычислите 
6. Вычислите 
7. Перечислите основные задачи комбинаторики.
8. Что называется перестановками?
9. Запишите формулу для числа перестановок из m элементов.
10. Вычислите число перестановок из 5 предметов.
11. Что называется размещениями?
12. Запишите формулу числа размещений из т элементов по п.
13. Вычислите 
.
14. Что называется сочетаниями?
15. Запишите формулу для числа сочетаний из. т элементов по п.
16. Вычислите 
17. На 6 карточках было записано слово «победа». Их рассыпали и взяли снова только 4 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «обед»?
18. Собрание сочинений из четырех томов нужно поставить на полку по порядку. Вычислите вероятность того, что нужный порядок будет достигнут.
19. Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая — из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?
20. Сколькими способами можно поставить на книжную полку 15 книг так, чтобы три определенные книги оказались рядом?
21. В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти 7 точек?
22. Сколькими способами можно переставить буквы слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?
23. Сколько точек М (х; у) можно образовать, если абсцисса х и ордината у могут принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6?
24. В команду должны быть отобраны четыре спортсмена из имеющихся десяти. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?
25. В партии содержится 30 деталей, из них 8 дефектных. Сколькими способами из этой партии можно отобрать 6 деталей так, чтобы четыре из них были качественные и две дефектные?
Литература
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ элементы комбинаторики.ppt
Скачать материал "Презентация «Три урока комбинаторики»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Элементы комбинаторики.
Презентация подготовлена преподавателем ПЛ №1
Мочаловой Е.В.
2 слайд
Содержание
Определение
Факториал
Правило сложения
Правило умножения
РАЗМЕЩЕНИЯ
ПЕРЕСТАНОВКИ
СОЧЕТАНИЯ
3 слайд
Определение
Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.
содержание
4 слайд
Факториал.
Факториалом (n!) называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
содержание
5 слайд
Правило сложения
Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а некоторый элемент B n способами, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо B) можно осуществить m+n способами.
6 слайд
Пример
Сколькими способами можно выбрать 1 шарик, если есть 4 красных и 3 черных шара?
4
3
7
содержание
7 слайд
Правило умножения
Если элемент А можно выбрать m способом и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить m*n способами.
8 слайд
Пример
Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и 3 черных
4
3
12
содержание
9 слайд
Пример
Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и 3 черных
4
3
12
содержание
10 слайд
РАЗМЕЩЕНИЯ
Размещениями из n элементов по k элементам называются всевозможные группы, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком.
11 слайд
Число размещений определяется по формуле:
12 слайд
Пример
Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если важен их порядок
2
2
2
+
+
=
6
=
6
содержание
13 слайд
ПЕРЕСТАНОВКИ
Перестановками из n различных элементов называются всевозможные группы, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.
14 слайд
Число перестановок из n элементов определяется по формуле:
15 слайд
Пример
Сколькими способами можно расположить 3 разноцветных шарика
1
+
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=
6
3!
=
6
содержание
16 слайд
СОЧЕТАНИЯ
Сочетаниями из n различных элементов по k элементам называются всевозможные группы, взятые из этих элементов, отличающиеся друг от друга одним элементом.
17 слайд
Число сочетаний определяется по формуле:
18 слайд
Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если не важен их порядок
Пример
1
1
1
+
+
=
3
=
3
содержание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Эта разработка предназначена в первую очередь для учащихся средних школ, изучающих комбинаторику, и учителей математики общеобразовательных школ и учебных заведений НПО и СПО, а также для всех, интересующихся комбинаторикой. Она содержит краткие теоретические сведения по комбинаторике, примеры решения комбинаторных задач и подборку задач для самостоятельного решения. Разработка может быть использована при организации самостоятельной работы учащихся, при повторении и подготовке к экзамену, при проведении факультативных занятий, может быть использована как справочный материал. Конспекты уроков дополнены презентацией «Элементы комбинаторики». Управление показом презентации выполняется вручную. Презентацию можно использовать в качестве иллюстративного материала на уроке.
6 808 065 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Мочалова Елена Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 4800 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.