Инфоурок / Математика / Конспекты / Презентация «Три урока комбинаторики»

Презентация «Три урока комбинаторики»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Три урока комбинаторики.doc

библиотека
материалов


Министерство общего и профессионального образования РФ

ОГОУ Профессиональный лицей № 1 г.Иваново











Три урока комбинаторики


Методические рекомендации для учащихся













Составитель Е.В.Мочалова







Иваново 2010


Урок 1. Основные правила комбинаторики.


План.

1. Предмет комбинаторики.

2. Основные правила комбинаторики.


Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.

Общие правила комбинаторики.

В основе решения задач на комбинаторику лежат следующие два правила.

1. Правило сложения.

Если некоторые элемент A можно выбрать m способами, а другой элемент Bn способами, исключающими друг друга, то выбор какого-нибудь одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить m+n способами.

2. Правило умножения.

Если элемент А можно выбрать m способами и, если после каждого такого выбора, элемент В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,B) в указанном порядке можно осуществить m*n способами.

Эти правила можно обобщить на случай любого конечного количества элементов.


Задачи.

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если никакую из этих цифр не использо­вать более одного раза?

Решение.

Зhello_html_4126d33e.png
а­дача сводится к под­счету числа всех возможных групп, которые можно сос­тавить из цифр 1, 2, 3, используя каждую из цифр не более од­ного раза. Прежде всего выпишем все эти группы. При этом процесс состав­ления таких групп будем изображать в виде так называе­мого «дерева» (см. рис.). Для этого из некоторой точки С проведем три отрезка, соответствующие числу различных выборов, которые можно сделать на первом этапе (в каче­стве первого элемента группы может быть взята любая из цифр 1, 2, 3). Из конца каждого построенного отрезка про­ведем по два отрезка, что соответствует числу выборов, которые можно сделать на втором этапе, если в первый раз был выбран данный элемент (например, если в качестве первой цифры группы была взята цифра 2, то в качестве второй цифры можно взять любую из цифр 1, 3). Далее, из конца каждого из полученных отрезков проведем по отрезку, соответствующему выбору, который можно сделать на третьем этапе, если на первых двух этапах были выб­раны данные цифры.

Двигаясь всеми возможными путями из точки О к край­ней правой вершине «дерева», мы получим 6 трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3.

Это же число можно получить сразу, используя прави­ло умножения. Так как для выбора первого элемента груп­пы имеется три способа, для выбора второго — два способа, а третьего — один способ, то по правилу умножения выбор трех элементов, составляющих группу, можно произвести 3*2*1 = 6 способами.


2. Сколько трехзначных и четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра при составлении числа используется не более одного раза?

Решение.

В задаче требуется найти количество трехзначных и четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 или, что тоже самое, число способов, которыми можно составить либо трехзначное, либо четырехзначное число из этих цифр. По правилу умножения - четырехзначное число можно составить 4*3*2*1=24 способами, трехзначное число 4*3*2=24 способами. Тогда выбор либо трехзначного, либо четырех­значного числа может быть осуществлен по правилу сло­жения 24+24=48 способами. Таким образом, общее количество трехзначных и четырехзначных чисел, которые можно составить их цифр 1, 2, 3, 4, используя при составлении числа каждую цифру не более одного раза, равно 48.




Урок 2. Понятие факториала.


План

1. Понятие факториала

2. Выполнение действий с факториалами


Произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называют п-факториалом и пишут

п! =1·2·3·...· (n - 1) ·n.


Задачи.

1. Вычислить: а) 3!; б) 7! - 5!; в) (7!+5!)/6!

Решение.

а) 3!= 1·2·3 = 6.

б) Так как 7! = 1·2·3·4·5·6·7 и 5! = 1·2·3·4·5, то можно вынести за скобки 5! Тогда получим 5!(6·7-1) = 5! ·41 = 1·2·3·4·5·41 = 120·41 =4920.


в) hello_html_m55077c01.gif


2. Упростить выражения :

а) hello_html_m1c4b13d7.gif б) hello_html_m43ac627d.gif в) hello_html_m77b789.gif

Решение:

а) Так как hello_html_m3d6b21b3.gif и n!=1·2·3··n, то hello_html_2aad684f.gif


б) hello_html_6b61c5d7.gif


в) hello_html_m1711aa45.gif



Урок 3. Размещения. Перестановки. Сочетания.


План.

1. Размещения.

2.Перестановки.

3. Сочетания.


В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением мно­жеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, ... , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать раз­личные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т. п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие - входящими в них цифрами (например, 1036 и 5671), третьи разли­чаются и числом цифр (например, 345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют раз­личным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, со­четания. Рассмотрим их отдельно.


Размещениями из n различных элементов по k называется всевозможные группы, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающихся друг от друга составом элементов или их порядку.

Число размещений из n различных элементов по k без повторений:

hello_html_89f2d72.gif=n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)! (1)

Число размещений из n различных элементов по k с повторениями:

hello_html_m1221f9ed.gif=nk. (2)


Задачи.

1. В местком избрано 6 человек. Из них надо вы­брать председателя и его заместителя. Сколькими спосо­бами это можно сделать?

Решение.

Зhello_html_m5124e72c.png
адача сводится к нахождению числа раз­мещений (без повторений) из шести элементов по два, так как здесь существенно и то, кто будет выбран в ру­ководство месткома, и то, как распределятся обязанности между ними. Таким образом, искомое число равно


2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Решение.

Каждое трехзначное число, составленное из указанных цифр, можно рассматривать как размещение с повторениями, составленное из трех цифр, взятых из данных семи. Поэтому искомое число равно

hello_html_m65fa4204.png



Перестановкой из n различных элементов называют всевозможные группы из этих элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Число перестановок без повторений:

Pn=n! (3)

Число перестановок из n различных элементов с повторениями, которые можно сделать из k1 элементов 1 типа, k2 элемента-2 типа, …, kn элемента n типа находится по формуле:

hello_html_m17837d2d.gif (4)


Задачи.

1. Сколько различных четырехзначных чисел мож­но составить из цифр 0, 1,2, 3, если каждая цифра в изо­бражении числа встречается один раз?

Решение.

Рассматриваемое четырехзначное число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно Р4= = 4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то ис­комое количество равно

4!-3! = 3*3! = 1*2*3*3=18.

2. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение.

Речь идет об отыскании числа переста­новок с повторениями, которые можно сделать из k1= 4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3= 6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (4) получаем

hello_html_4f5214fc.png





Сочетаниями из n различных элементов по k называются всевозможные группы из k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга по крайней мере 1 элементом.


Число сочетаний из n различных элементов по k без повторения:

Ckn=n!/k!*(n-k)! (5)

Число сочетаний без повторений из n элементов по k равно числу сочетаний из этих же n элементов по (n-k):

Ckn=Cn-kn(5’)

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по k

Ckn=Ckn+k-1=(n+k-1)!/(k! · (n-1)!) (6)


Задачи.

1. Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?

Решение.

Различных пар из данных чисел, в кото­рых первый элемент меньше второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из семи эле­ментов по два. Отсюда по формуле (5) получаем искомое числоhello_html_m23570b12.png

2. В кондитерском магазине продаются три сорта пирожных: наполеоны, эклеры и слоеные. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение.

В задаче требуется найти число всевоз­можных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные эле­менты в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно, по формуле (6) получим

hello_html_727ed6c1.png

Вопросы и задачи для самостоятельного решения


  1. Что называется п-факториалом?

  2. Вычислите 5!; 7!.

  3. Запишите, чему равен п!.

  4. Вычислите hello_html_m2c4f3380.gif

  5. Вычислите hello_html_4f41bb8f.gif

  6. Вычислите hello_html_2c8b66fd.gif

  7. Перечислите основные задачи комбинаторики.

  8. Что называется перестановками?

  9. Запишите формулу для числа перестановок из m элементов.

  10. Вычислите число перестановок из 5 предметов.

  11. Что называется размещениями?

  12. Запишите формулу числа размещений из т элементов по п.

  13. Вычислите hello_html_m6a8a3b45.gif.

  14. Что называется сочетаниями?

  15. Запишите формулу для числа сочетаний из. т элементов по п.

  16. Вычислите hello_html_m5e091ac7.gif

  17. На 6 карточках было записано слово «победа». Их рассыпали и взяли снова только 4 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «обед»?

  18. Собрание сочинений из четырех томов нужно поставить на полку по порядку. Вычислите вероятность того, что нужный порядок будет достигнут.

  19. Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая — из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?

  20. Сколькими способами можно поставить на книж­ную полку 15 книг так, чтобы три определенные книги ока­зались рядом?

  21. В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти 7 точек?

  22. Сколькими способами можно переставить буквы слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?

  23. Сколько точек М (х; у) можно образовать, если абсцисса х и ордината у могут принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6?

  24. В команду должны быть отобраны четыре спорт­смена из имеющихся десяти. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?

  25. В партии содержится 30 деталей, из них 8 де­фектных. Сколькими способами из этой партии можно отобрать 6 деталей так, чтобы четыре из них были каче­ственные и две дефектные?


Литература

  1. Мордкович А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - 5-е изд.- М.: Мнемозина, 2008

  2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (профильный уровень) - М.: Мнемозина, 2010



Выбранный для просмотра документ элементы комбинаторики.ppt

библиотека
материалов
Элементы комбинаторики. Презентация подготовлена преподавателем ПЛ №1 Мочалов...
Содержание Определение Факториал Правило сложения Правило умножения РАЗМЕЩЕНИ...
Определение Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи,...
Факториал. Факториалом (n!) называют произведение всех натуральных чисел от 1...
Правило сложения Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а некото...
Пример Сколькими способами можно выбрать 1 шарик, если есть 4 красных и 3 чер...
Правило умножения Если элемент А можно выбрать m способом и если после каждог...
Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и...
Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и...
РАЗМЕЩЕНИЯ Размещениями из n элементов по k элементам называются всевозможные...
Число размещений определяется по формуле:
Пример Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если важен их поряд...
ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановками из n различных элементов называются всевозможные...
Число перестановок из n элементов определяется по формуле:
Пример Сколькими способами можно расположить 3 разноцветных шарика содержание
СОЧЕТАНИЯ Сочетаниями из n различных элементов по k элементам называются всев...
Число сочетаний определяется по формуле:
Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если не важен их порядок П...
18 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Элементы комбинаторики. Презентация подготовлена преподавателем ПЛ №1 Мочалов
Описание слайда:

Элементы комбинаторики. Презентация подготовлена преподавателем ПЛ №1 Мочаловой Е.В.

№ слайда 2 Содержание Определение Факториал Правило сложения Правило умножения РАЗМЕЩЕНИ
Описание слайда:

Содержание Определение Факториал Правило сложения Правило умножения РАЗМЕЩЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВКИ СОЧЕТАНИЯ

№ слайда 3 Определение Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи,
Описание слайда:

Определение Комбинаторика – это раздел математики, в котором решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. содержание

№ слайда 4 Факториал. Факториалом (n!) называют произведение всех натуральных чисел от 1
Описание слайда:

Факториал. Факториалом (n!) называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n. содержание

№ слайда 5 Правило сложения Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а некото
Описание слайда:

Правило сложения Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а некоторый элемент B n способами, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо B) можно осуществить m+n способами.

№ слайда 6 Пример Сколькими способами можно выбрать 1 шарик, если есть 4 красных и 3 чер
Описание слайда:

Пример Сколькими способами можно выбрать 1 шарик, если есть 4 красных и 3 черных шара? содержание

№ слайда 7 Правило умножения Если элемент А можно выбрать m способом и если после каждог
Описание слайда:

Правило умножения Если элемент А можно выбрать m способом и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить m*n способами.

№ слайда 8 Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и
Описание слайда:

Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и 3 черных содержание

№ слайда 9 Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и
Описание слайда:

Пример Сколькими способами можно выбрать пару шариков, если есть 4 красных и 3 черных содержание

№ слайда 10 РАЗМЕЩЕНИЯ Размещениями из n элементов по k элементам называются всевозможные
Описание слайда:

РАЗМЕЩЕНИЯ Размещениями из n элементов по k элементам называются всевозможные группы, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком.

№ слайда 11 Число размещений определяется по формуле:
Описание слайда:

Число размещений определяется по формуле:

№ слайда 12 Пример Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если важен их поряд
Описание слайда:

Пример Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если важен их порядок содержание

№ слайда 13 ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановками из n различных элементов называются всевозможные
Описание слайда:

ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановками из n различных элементов называются всевозможные группы, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.

№ слайда 14 Число перестановок из n элементов определяется по формуле:
Описание слайда:

Число перестановок из n элементов определяется по формуле:

№ слайда 15 Пример Сколькими способами можно расположить 3 разноцветных шарика содержание
Описание слайда:

Пример Сколькими способами можно расположить 3 разноцветных шарика содержание

№ слайда 16 СОЧЕТАНИЯ Сочетаниями из n различных элементов по k элементам называются всев
Описание слайда:

СОЧЕТАНИЯ Сочетаниями из n различных элементов по k элементам называются всевозможные группы, взятые из этих элементов, отличающиеся друг от друга одним элементом.

№ слайда 17 Число сочетаний определяется по формуле:
Описание слайда:

Число сочетаний определяется по формуле:

№ слайда 18 Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если не важен их порядок П
Описание слайда:

Сколькими способами можно выбрать 2 шарика из 3-х, если не важен их порядок Пример содержание

Краткое описание документа:

Эта разработка предназначена в первую очередь для учащихся средних школ, изучающих комбинаторику, и учителей математики общеобразовательных школ и учебных заведений НПО и СПО, а также для всех, интересующихся комбинаторикой. Она содержит краткие теоретические сведения по комбинаторике, примеры решения комбинаторных задач и подборку задач для самостоятельного решения. Разработка может быть использована при организации самостоятельной работы учащихся, при повторении и подготовке к экзамену, при проведении факультативных занятий, может быть использована как справочный материал. Конспекты уроков дополнены презентацией «Элементы комбинаторики». Управление показом презентации выполняется вручную. Презентацию можно использовать в качестве иллюстративного материала на уроке.

Общая информация

Номер материала: 4375013100

Похожие материалы