• 

  1 слайд

  Работа
  по алгебре
  

• 

  2 слайд

  Тема: «Функция y = cos x,
  её свойства и график»
  

• 

  3 слайд

  повторение
  область определения и область значения функции
  Функция определена на всей числовой прямой;
  Множество значений функции – отрезок [- 1; 1]
  

• 

  4 слайд

  повторение
  Периодичность
  cos(x + 2π) = cos x,
  Функция y=cos x -периодическая с периодом 2π ( строим график на промежутке длиной 2π , например [- π; π])
  

• 

  5 слайд

  повторение
  Чётность и нечётность:
  
  cos (–x) = cos x,
  Функция y=cos x является чётной ( график симметричен относительно оси OY , строим график на промежутке [0; π])
  

• 

  6 слайд

  Построение графика функции
  o
  y
  
  
  x x Р (0;1)
  -1 cos x cos x 1 x на рис. видно, что функция y= cos x убывает на отрезке [0; π]
  

• 

  7 слайд

  Построение графика функции
  
  1 этап
  2 этап
  3 этап
  

• 

  8 слайд

  y
  -1
  1
  0
  x
  p
  -p
  2
  p
  2
  -p
  III
  II
  I
  IY
  III
  IY
  I
  II
  p
  
  2
  p
  2
  -p
  0
  p - шесть клеток
  Ось косинусов
  6
  -p
  6
  p
  1
  -1
  0
  3
  p
  3
  -p
  6
  p
  6
  -p
  3
  -p
  3
  p
  -2p
  3
  2p
  3
  -5p
  6
  5p
  6
  -2p
  3
  2p
  3
  -5p
  6
  5p
  6
  II Построение графика функции y = cosx с применением тригонометрического круга
  

• 

  9 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  1.Область определения
  – множество R всех действительных чисел
  y
  
  x
  
  График расположен вдоль всей оси OX
  

• 

  10 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  2. Множество значений функции
  1
  
  
  -1
  График ограничен линиями У=-1 и У=1
  
  
  
  

• 

  11 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  3.Функция у= cos x периодическая с периодом 2π
  

• 

  12 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  4.Функция y= cos x – четная
  

• 

  13 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  5. У=0 при х= π/2 + πп, пє Z
  Наибольшее значение у=1, если х= 2 πп, пє Z
  Наименьшее значение у=-1, если х= Наибольшее значение у=1, если х= π+2 πп, пє Z
  У>0 на интервале (-π/2 ; π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп
  У<0 на интервале (π/2 ; 3π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп
  
  
  
  

• 

  14 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  6. возрастает на (π ; 2π ) и на интервалах , получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп
  
  

• 

  15 слайд

  Основные свойства функции
  y= cos x
  7. убывает на (0; π ) и на интервалах , получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп
  
  

• 

  16 слайд

  Примеры решения уравнений и неравенств
  Пример 1:
  найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]
  Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2
  
  
  

• 

  17 слайд

  Примеры решения уравнений и неравенств
  Графики заданных функций пересекаются в точках, отмеченных на графике:
  Абсциссы этих точек являются решениями данного уравнения
  На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = -1/2 является число arccos (-1/2) = 2π/3.
  Следующим решением является число, симметричное относительно оси ОУ: х= - 2π/3.
  Третий корень уравнения равен :- 2π/3 + 2π= 4π/3
  Ответ : 2π/3; - 2π/3; 4π/3
  
  
  

• 

  18 слайд

  Примеры решения уравнений и неравенств
  Пример 2:
  найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]
  Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2
  
  
  

• 

  19 слайд

  Примеры решения уравнений и неравенств
  Пример 2:
  Найти все решения неравенства cos x > - ½, принадлежащие отрезку [- π; 2π]
  Решение:
  
  
  
  
  Из рисунка видно, что график функции y=cos x лежит выше графика функции у=-1/2 на промежутках (- 2π/3; 2π/3) и (4π/3; 2π)
  Ответ : - 2π/3<x< 2π/3 ;4π/3<x< 2π
  
  

• 

  20 слайд

  Упражнения ( устно)
  № 708 Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; 3π], функция у=cos x принимает :
  1)значение , равное 0
  Ответ : π/2; 3π/2; 5π/2
  2) значение, равное 1
  Ответ : 0; 2π
  3) значение , равное -1
  Ответ : π; 2 π
  4) положительные значения
  Ответ: (0; π/2); (3π/2; 5π/2)
  5) отрицательные значения
  Ответ : (π/2; 3π/2) ; (5π/2; 3π )
  

• 

  21 слайд

  Упражнения ( устно)
  № 709 Выяснить , возрастает или убывает функция y=cos x на отрезке:
  1) [3π; 4π]
  Ответ : возрастает
  2) [- 2π; -π]
  Ответ : убывает
  3) [2 π; 5π/2]
  Ответ : убывает
  4) [- π/2; 0]
  Ответ : возрастает
  5) [1; 3]
  Ответ: убывает
  6) [- 2; -1]
  Ответ : возрастает
  

• 

  22 слайд

  Упражнения
  № 710 Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция y=cos x возрастала, а на другом убывала:
  
  
  
  
  
  1) ) [π/2; 3π/2]
  Ответ : ) [π/2; π] и [π; 3π/2]
  2) ) [- π/2; π/2]
  Ответ: ) [-π/2; 0] и [ 0 ; π/2]
  
  
  

• 

  23 слайд

  Упражнения
  № 710 Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция y=cos x возрастала, а на другом убывала:
  
  
  
  
  
  
  
  3) [0; 3π/2]
  Ответ: ) [0; π] и [ π; 3π/2]
  4) ) [- π; π/2]
  Ответ : ) [- π; 0] ) [0 ; π/2]
  
  

• 

  24 слайд

  Упражнения
  № 711 Используя свойство возрастания или убывания функции y=cos x, сравнить числа:
  1) cos π/7 и cos 8π/9
  Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к.
  π/7 < 8π/9, то ) cos π/7 > cos 8π/9
  2) cos 8π/7 и cos 10π/7
  Ответ: на интервале ( π; 2π ) функция возрастает, значит т.к.
  8π/7 < 10π/7, то cos 8π/7<cos 10π/7
  3) cos (-6π/7 и cos (-π/8)
  Ответ: на интервале (- π; 0 ) функция возрастает, значит т.к.
  -6π/7 < -π/8, то cos (-6π/7)<cos (-π/8)
  
  

• 

  25 слайд

  Упражнения
  № 711 Используя свойство возрастания или убывания функции y=cos x, сравнить числа:
  4) cos(- 8π/7) и cos (-9π/7)
  Ответ: на интервале ( -3π/2; -π) функция убывает, значит т.к.
  -8π/7 > -9π/7, то cos(- 8π/7) < cos (-9π/7)
  5) cos1 и cos 3
  Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к.
  1 < 3,то cos1 > cos 3
  6) cos 4 и cos 5
  Ответ: на интервале ( π; 2π) функция возрастает, значит т.к.
  4< 5, то cos4 < cos 5
  
  
  
  
  

• 

  26 слайд

  Упражнения
  №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  1) cos x = ½
  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = 1/2 является число х=arccos (1/2) = π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ 3 π/2=11π/6, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=π/3+ +2π=7π/3
  Ответ: х= π/3; х=11 π/6; х=7π/3
  
  
  
  

• 

  27 слайд

  Упражнения
  №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  2) cos x = /2
  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = /2 является число х= arccos ( /2) = π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 7 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = π/4+2 π= 9π/4
  Ответ : х= π/4 ; х= 7π/4 ; х= 9π/4
  
  
  
  

• 

  28 слайд

  Упражнения
  №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  3) cos x= - /2
  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- /2 является число х= arccos ( - /2) = 3π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 5 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 3 π/4+2 π= 11π/4
  Ответ : х=3π/4 ; х=5 π/4 ; х=11π/4
  
  

• 

  29 слайд

  Упражнения
  №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  4) cos x = - ½
  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- 1/2 является число х=arccos (-1/2) = 2π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ π=4π/3, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=2π/3+ +2π=8π/3
  Ответ: х= 2π/3; х=4π/3; х=8π/3
  
  
  

• 

  30 слайд

  Упражнения
  № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  1) cos x ≥ 1/2
  Решение :
  
  
  
  
  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=1/2 на промежутках ([ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]
  Ответ : [ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]
  

• 

  31 слайд

  Упражнения
  № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  2) cos x ≥- 1/2
  Решение :
  
  
  
  
  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=-1/2 на промежутках ([ 0;2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]
  Ответ : [ 0; 2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]
  

• 

  32 слайд

  Упражнения
  № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  3) cos x <- /2
  Решение :
  
  
  
  
  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у=- /2 на промежутках (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)
  Ответ : (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)
  

• 

  33 слайд

  Упражнения
  № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :
  4) cos x < /2
  Решение :
  
  
  
  
  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у= /2 на промежутках ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )
  Ответ : ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )
  

• 

  34 слайд

  Упражнения
  № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:
  1) cos π/5 и sin π/5
  Решение: sin π/5= sin (π/2 - 3π/5)= cos 3π/10. Сравним cos π/5 и cos 3π/10; π/5 < 3π/10, значит cos π/5 > cos 3π/10, а значит cos π/5 > sin π/5
  Ответ : cos π/5 > sin π/5
  2) sin π/7 и cos π/7
  Решение: sin π/7= sin (π/2 - π/7)= cos 5π/14. Сравним cos π/7 и cos 5π/14; π/7 < 5π/14, значит cos π/7 > cos 5π/14, а значит cos π/7 > sin π/7
  Ответ : sin π/7 <cos π/7 >
  
  

• 

  35 слайд

  Упражнения
  № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:
  3) cos 3π/8 и sin 5π/8
  Решение: sin 5π/8= sin (π/2 + π/8)= cos π/8. Сравним cos 3π/8 и cos π/8; π/8 < 3π/8, значит cos 3π/8 < cos π/8, а значит cos 3π/8 < sin 5π/8
  Ответ : cos 3π/8 < sin 5π/8
  4) sin 3π/5 и cos π/5
  Решение: sin 3π/5= sin (π/2 + π/10)= cos π/10. Сравним cos 3π/5 и cos π/10; 3π/5 > π/10, значит cos 3π/5 < cos π/10, а значит sin 3π/5< cos π/5
  Ответ : sin 3π/5< cos π/5
  
  
  
  

• 

  36 слайд

  Упражнения
  № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:
  5) cos π/6 и sin 5π/14
  Решение: sin 5π/14= sin (π/2 - π/7)= cos π/7. Сравним cos π/6 и cos π/7; π/6 > π/7, значит cos π/6 < cos π/7, а значит cos π/6 < sin 5π/14
  Ответ : cos π/6 < sin 5π/14
  6) cos π/8 и sin 3π/10
  Решение: sin 3π/10= sin (π/2 - π/5)= cos π/5. Сравним cos π/8 и cos π/5; π/8 < π/5, значит cos π/8 > cos π/5, а значит cos π/8 > sin 3π/10
  Ответ : cos π/8 > sin 3π/10
  
  
  
  

• 

  37 слайд

  Упражнения
  № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
  1) cos 2x= ½
  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая уравнение 2х = π/3, получим х = π/6
  Ответ : х = π/6
  
  

• 

  38 слайд

  Упражнения
  № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
  2) cos 3x= /2
  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая уравнение 3х = π/6, получим х = π/18
  Ответ : х = π/18
  
  

• 

  39 слайд

  Упражнения
  № 716 Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
  1) cos 2x< ½
  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая неравенство π/3 <2х < 3π/2, получим π/6 < х < 3π/4
  Ответ : π/6 < х < 3π/4
  
  

• 

  40 слайд

  Упражнения
  № 716. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
  2) cos 3x> /2
  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая неравенство 0< 3х < π/6, получим 0< х <π/18
  Ответ : 0< х <π/18
  
  

• 

  41 слайд

  Упражнения
  № 717 Построить график функции и выяснить её свойства:
  1) y=1+cos x
  Решение : График функции y=cos x+1 получается из графика функции y=cos x смещением по оси ОУ на 1 единицу.
  у
  
  2 y=cos x +1
  1
  - π/2 0 π/2 π 3π/2
  Cвойства функции: 1) ООФ – вся числовая прямая
  

• 

  42 слайд

  2) Область значений функции - [ 0; 2]
  3) Периодическая с периодом - 2π
  4) четная
  5) принимает значение, равное 0, при х= π+2 πn, nє Z
  Наибольшее значение , равное 2, принимает при x= 0, nє Z и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
  Наименьшее значение, равное 0, принимает при x= π и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z .
  Положительные значения на интервале на всей числовой прямой, кроме точек, в которых значение функции равно 0.
  Отрицательных значений у функции нет.
  6)Возрастает на отрезке (π; 2π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
  7) Убывает на отрезке (0; π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
  
  
  

• 

  43 слайд

  Упражнения
  № 718 Найти множество значений функции y=cos x , если х принадлежит промежутку :
  1) [ π/3; π]
  Решение : Найдем значения функции на концах промежутка. Cos (π/3) = ½; соs (π)=-1. На заданном промежутке функция строго убывающая, значит, множество значений функции – отрезок [ -1 ; ½ ]
  Ответ: [ -1 ; ½ ]
  

• 

  44 слайд

  Упражнения
  № 719 Построить график функции :
  1) у=|cos x|
  Решение: Строим график функции y=cos x , а затем те части графика, где y принимает отрицательные значения, отображаем симметрично оси ОХ
  у
  
  0 х
  
  
  

Краткое описание материала