• 

  1 слайд

  Решение уравнений и неравенств с модулем при подготовке к ЦТ
  Государственное учреждение образования «Боровская средняя школа Лепельского района»
  Учитель: Мысина Д.А.
  

• 

  2 слайд

  Методы решения уравнений
  Метод подбора (олимпиада)
  Метод проверки (замена уравнения следствием, выполнение проверки)
  Метод равносильных преобразований
  Функциональный метод
  

• 

  3 слайд

  Методы решения неравенств
  Метод подбора
  Метод равносильных переходов
  Функциональный метод
  

• 

  4 слайд

  Найти сумму корней уравнения
  │x + 1│= 2│x – 2│
  
  │x + 1│= 2│x – 2│
  │x + 1│= │2││x – 2│
  │x + 1│= │2x – 4│
  x + 1= 2x – 4
  x + 1= 4 – 2x
  x= 5
  x= 1
  5 + 1 = 6
  Ответ: 6.
  
  
  
  
  
  

• 

  5 слайд

  Найти длину промежутка d
  x²+√x²<1/8
  8x²+8|x|-1<0
  8|x|²+8|x|-1<0
  Замена |x|=𝐭, 𝐭≥0
  8𝐭²+8𝐭-1<0
  -2-√6 < 𝐭 < -2+√6
  4 4
  𝐭≥0
  𝐭 < -2+√6
  4
  |x|<-2+√6
  4
  d=2· (-2+√6) = -2+√6 = √3/2-1 Ответ: √3/2-1.
  4 2
  
  
  
  
  

• 

  6 слайд

  Найти сумму корней
  |(x-2)³-140|=76
  (x-2)³-140=76
  (x-2)³-140=-76
  (x-2)³=216
  (x-2)³=64
  x-2=6
  x-2=4
  x=8
  x=6
  8+6=14
  Ответ: 14.
  
  
  
  
  
  

• 

  7 слайд

  Найти сумму корней уравнения
  
  |x-2|=0
  х²+10x>0 Ø
  x>18
  x=3
  x=1
  x≠1‚x≠3‚x≠2
  x²+10x-x+18=0
  x=3
  x=1
  x≠1‚x≠3‚x≠2
  x²+9x+18=0
  x=3
  x=1
  x=-6
  x=-3 3+1+(-6)+(-3)=-5 Ответ: -5.
  
  
  
  

• 

  8 слайд

  Сколько действительных корней имеет система |x|+|y|=8
  x²+y²=32
  Графическое решение:
  8 y
  
  
  -8 8 х
  
  
  -8
  Ответ: 4 корня.
  

• 

  9 слайд

  Сумма наибольшего положительного и наименьшего отрицательного решений неравенства |x²-4|x|+3|≤2
  |x²-4|x|+3|≤2
  ||x|²-4|x|+3|≤2
  Функция четная, график симметричен относительно оси Оу. Если, например, большее значение 8, то меньшее значение -8.
  Сумма равна 0.
  Ответ: 0.
  

• 

  10 слайд

  Среднее арифметическое целых решений неравенства
  Решим методом интервалов.
  Рассмотрим функцию
  Найдем область определения
  D(y): 5-|x|>0 |x|<5
  x≠ -2 x≠-1‚x≠-3‚x≠ -2
  (2+x)²≠1
  3. Перейдем к другому основанию (это равносильный переход)
  4. Нули функции
  D(y)
  5-|x|=1 x=4
  D(y) x=-4
  D(y)
  Нули x=4
  x=-4
  5.
  -5 -4 -3 -2 -1 + 4 5
  Ответ: 1.
  
  
  
  

• 

  11 слайд

  Количество целых решений неравенства |x²-|x||<6
  |x²-|x||<6
  -6<|x|²-|x|<6 у
  |x|²-|x|- 6<0
  |x|²-|x|+6>0 и т.д.
  Графический способ
  Рассмотрим функцию
  Базовая функция
  f(|x|)
  |f| -3 3 х
  y=6
  Целые:
  -2, -1, 0, 1. 2
  Ответ: 5 целых решений неравенства.
  
  
  

• 

  12 слайд

  Указать количество натуральных решений
  |8x-x²-17|+|2x-32|=x²-10x+49
  |8x-x²-17|+|2x-32|=x²-10x+49
  |x²-8x+17|+|2x-32|=x²-10x+49
  Найдем критические точки
  x²-8x+17=0
  D<0
  x²-8x+17>0
  x²-8x+17+|2x-32|=x²-10x+49
  |2x-32|=- 2x+32
  |t|=-t, t≤0
  2x-32≤0
  x≤16
  Ответ: 16.
  
  
  

• 

  13 слайд

  Количество натуральных решений
  ОДЗ: x+8>0, x>-8
  Критические точки x=-9
  x=3
  x>-8
  2x+18-|5x-15|-7x-3=0
  x>-8 -9 -8 3 х
  |5x-15|=-5x+15
  x>-8
  5x-15≤0
  x>-8
  x≤3
  x>-8 Количество натуральных:3.
  Ответ: 3.
  
  

• 

  14 слайд

  Наименьшее целое а, при котором уравнение имеет ровно 3 различных корня (x-10)|6-x|=a
  Задания с параметрами решаются графически.
  y=a
  y= (x-10)|6-x| у
  x≥6 y=-(x-10)(6-x)
  y=(x-10)(x-6)
  y=x²-16x+60
  x=8, у=-4
  x<6 y= (x-10)(6-x) 6 8 10 х
  y=-x²+16x-60
  x=8, у=4 у=а -4
  (-4;0)
  Ответ: -3.
  
  
  
  

• 

  15 слайд

  Найти сумму корней или корень (если он единственный)
  
  
  
  
  x-5>0
  x>5
  3x-4+x²-12x+36=(x-2)(x-5)
  x>5
  x=11
  Ответ: 11.
  
  
  

• 

  16 слайд

  Найти произведение корней
  
  
  
  Произведение равно 0, когда один из множителей
  равен 0, а второй имеет смысл.
  
  6=|x²-3x-4|
  x≥3
  Ответ: 5·3=15.
  
  

• 

  17 слайд

  Найти произведение большего корня на количество корней
  |x³+2x²-9|=x³+9
  x³+9≥0
  2x²=18
  2x²=-2x³
  x³+9 ≥0
  x=3
  x=-3
  x=0
  x=-1
  x=3
  x=0
  x=-1
  3·3=9 Ответ: 9.
  
  
  
  

• 

  18 слайд

  Найти сумму значений функции в точках максимума
  y=|x²-6|x|+5|
  y=|x²-6|x|+5| у
  y=x²-6x+5
  f(|x|) : y=|x|²-6|x|+5
  |f|: y=||x|²-6|x|+5| 5
  х max=-3
  х max= 3
  х max=0 -3 0 3 х
  f(-3)=4 -4
  f(3)=4
  f(0)=5
  4+4+5=13 Ответ: 13.
  

• 

  19 слайд

  Сумма целых корней уравнения
  |(x+9)(x²-4x+3)|=|x+9|(-x²+4x-3)
  |(x+9)(x²-4x+3)|=|x+9|(-x²+4x-3)
  |x+9|| x²-4x+3|-|x+9|(-x²+4x-3)=0
  |x+9|(| x²-4x+3|+x²-4x+3)=0
  |x+9|=0 или |x²-4x+3|= -x²+4x-3
  x=-9 |t|=- t, t≤0
  x²-4x+3≤0
  + - +
  -9+1+2+3= -3 1 3
  Ответ: -3.
  
  
  
  

• 

  20 слайд

  Произведение целых корней уравнения
  |x²-2x-15|+|x²-8x+12|=6x-27
  |x²-2x-15|+|x²-8x+12|=6x-27
  Если из первого выражения вычесть второе, то
  получим 6x-27.
  |a|+|b|=a-b
  a≥0
  b≤0 + - +
  x²-2x-15≥0 + -3 - 5 +
  x²-8x+12≤0 2 6
  x≤-3
  x≥5
  [2;6]
  5· 6=30 Ответ: 30.
  
  

• 

  21 слайд

  Сумма корней уравнения
  |14x-|3x+24||=9x+4
  |14x-|3x+24||= 9x+4
  9x+4≥0
  x≥-4/9
  x≥-4/9
  x=14
  x=1
  |14x-3x-24|= 9x+4
  |11x-24|= 9x+4
  11x-24 = 9x+4 или 11x-24= - 9x - 4
  2x = 28 20x=20
  x = 14 x = 1
  14 + 1 = 15
  Ответ: 15.
  
  
  
  

• 

  22 слайд

  Количество целых решений неравенства
  
  
  
  
  
  - + -
  + ½ - ⅔ +
  ⅔ ¾
  (½;⅔) U (⅔;¾)
  Ответ: 0.
  

• 

  23 слайд

  Найти 6m, m- среднее арифметическое корней
  |x-2|(2x-3)=-3(3-2x)
  |x-2|(2x-3)= -3(3-2x)
  |x-2|(2x-3)= 3(2x-3)
  |x-2|(2x-3) -3(2x-3) = 0
  (2x-3)(|x-2|-3)= 0
  2x-3 = 0 или |x-2|= 3
  2x = 3 x-2 = 3 или x-2 = - 3
  x = 3/2 x = 5 x = -1
  6m = 11
  Ответ: 11.
  

• 

  24 слайд

  Сумма целых решений неравенства |3-2x-x²|≤ 3-2x-x²
  |3-2x-x²|≤ 3-2x-x²
  |x²+2x-3|≤ -x²-2x+3
  |t| ≤ - t, t≤0 у
  x²+2x-3≤0 |t|
  + - +
  -3 1 х
  [-3;1]
  -3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5 -t
  Ответ: - 5. t≤0
  
  
  
  
  

• 

  25 слайд

  Среднее арифметическое целых решений неравенства
  |x²+3x-4|> x²+3x-4
  |x²+3x-4|> x²+3x-4
  |t|>t
  t<0
  x²+3x-4<0
  + - +
  -4 1
  (-3 + (-2) + (-1) +0) : 4 = - 1,5
  Ответ: - 1,5.
  

• 

  26 слайд

  Найти произведение большего корня на количество корней |x³+2x²-4|=x³+4
  |x³+2x²-4|=x³+4
  x³+4 ≥0
  x³+2x²-4=x³+4 или x³+2x²-4=- x³-4
  2x²=8 2x³+2x²=0
  x²=4 2x²(x+1)=0
  x=+ 2 x=0 или x=-1
  {2;0;-l}
  2·3=6
  Ответ: 6.
  
  
  
  

• 

  27 слайд

  Найти количество целых корней уравнения
  
  
  
  1=1 -1=-1
  x²+4x-2l>0 x²+4x-2l<0
  x²-x-30<0 x²-x-30>0
  + - +
  + -7 -5 - 3 6 +
  (3 ; 6) (-7 ; -5)
  Целые: 4; 5 Целое: - 6.
  Ответ: 3.
  
  
  

• 

  28 слайд

  Самостоятельная работа
  1. Найти разность наибольшего и наименьшего
  корней уравнения |x²-3x+1|=|2x-3|.
  2. Найти произведение корней уравнения
  |x²-3x-5|=|x+1|.
  3. Найти количество целых решений неравенства
  |x²+4|x||≤ 12.
  4. Найти сумму целых решений неравенства
  ||3x+1|+x+1|≤ 2.
  5. Найти сумму целых решений системы
  | x|≥4
  |x-1|<6.
  
  

• 

  29 слайд

  Ответы
  5
  24
  5
  - 1
  11
  

Краткое описание материала