83613
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыРешение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным

Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области










Решение иррациональных уравнений,

сводящихся к квадратным










Работа педагога дополнительного

образования

Куца Фёдора Ивановича




















г. Зверево

2014г.

1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй

степени:

I способ решения (метод подстановки);

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:

Iспособ решения (метод подстановки);

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

III способ решения (уединение корня).

3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких

степеней

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней


1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.

Iспособ решения(метод подстановки)

Пример 1. 2х2 + 3х - 5 hello_html_52fc20bc.gif + 3 = 0. (1)

Решение. Если обозначить у = hello_html_52fc20bc.gif (у ≥ 0), тогда hello_html_m7ea4763.gif= у2 - 9, то уравнение (1)

превратится в квадратное:

у2 - 9 - 5у + 3 = 0, у2 - 5у – 6 = 0.

у1 = - 1, у2 = 6.

у1 = - 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0

Возвращаясь к переменной х, имеем: hello_html_52fc20bc.gif = 6,

2 + 3х + 9 = 36,

2 + 3х - 27 = 0,

х1,2 = hello_html_m3b81149d.gif= hello_html_525cdd63.gif = hello_html_53fc26df.gif.

х1 = hello_html_m482dd619.gif = - hello_html_78170999.gif = - 4,5; х2 = hello_html_m156067f6.gif = 3.

Корни исходного уравнения: х1 = - 4,5, х2 = 3.

Пример 2. hello_html_4df89e92.gif - hello_html_m4aae006e.gif hello_html_79b7d554.gif = 1.

Решение. Если обозначить у =hello_html_6a393991.gif, то исходное уравнение превратится в квадратное:

у2 - hello_html_mc8695dd.gifhello_html_mc8695dd.gif,

2 – 3у – 2 = 0, корни которого у1 = 2, у2 = - hello_html_6eec8aff.gif.

hello_html_6eec8aff.gif.

Далее решаем уравнения: 1)hello_html_3652dd2e.gif = 2, hello_html_5b322d82.gif = 4, х = 4 – 4х, 5х = 4, х = hello_html_36b5a9e0.gif.

2) hello_html_3652dd2e.gif = - hello_html_6eec8aff.gif , нет корней в силу неотрицательности арифметического квадратного корня.

Корень исходного уравнения: х = hello_html_36b5a9e0.gif.

Пример 3. hello_html_5e2efec9.gif = 3х + 8.

Решение. Пусть у = hello_html_5e2efec9.gif, где у ≥ 0, тогда х = 2 – у2, имеем уравнение у = 3(2 – у2) + 8.

2 + у – 14 = 0,

у1,2 = hello_html_m23780be0.gif = hello_html_m3dac23a.gif = hello_html_f37c826.gif, у1=2, у2= -hello_html_222842c7.gif.

у2 = -hello_html_222842c7.gif не удовлетворяет условию у ≥ 0, следовательно х = 2 – 22 = -2.

Корень исходного уравнения: х = -2.


IIспособ решения(возведение обеих частей уравнения в квадрат)

Пример 4. hello_html_58ce269a.gif= х.


Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:

hello_html_5b6a0f47.gif= х2, х + 2 = х2, х2 - х - 2 = 0.

х1 = -1, х2 = 2.

Проверка.

При х = - 1: hello_html_6bbfca5e.gif = hello_html_m22ba9a23.gif= 1, но 1 ≠ - 1, следовательно, корень х = - 1 - посторонний.

При х = 2: hello_html_3be1b4f3.gif = hello_html_3d5c6a96.gif= 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = 2.


2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.

Iспособ решения (метод подстановки).

Пример 5. hello_html_m58cee1ba.gif hello_html_14b5d53d.gif = 2.

Решение. Если обозначить у = hello_html_351673b.gif, где у > 0, то получим уравнение 3у - hello_html_m241c6ba1.gif = 2, которое при

умножении на у принимает вид: 3у2 – 2у – 1= 0.

Корни уравнения: у1 = 1, у2 = -hello_html_7f8f9891.gif.

у2 = -hello_html_7f8f9891.gif не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем:

hello_html_351673b.gif = 1, hello_html_6d9897ff.gif = 1, х – 1= 2х + 1, х = - 2.

Корень исходного уравнения: х = - 2.

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

Пример 6. hello_html_m67622b60.gif -hello_html_m7c2db748.gif = 1.

Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_1c81973c.gif= 12,

hello_html_m584a072e.gif- 2 hello_html_m67622b60.gifhello_html_m7c2db748.gif + hello_html_3bad2342.gif = 1,

3х + 1 - 2 hello_html_68a13cdc.gif + х + 4 = 1,

4х + 4 = 2 hello_html_68a13cdc.gif,

2х + 2 = hello_html_68a13cdc.gif.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_4ac835e8.gif= hello_html_m6e251d41.gif

2 + 8х + 4 = hello_html_4565f48.gif),

2 + 8х + 4 = 3х2 + 13х + 4,

х2 - 5х= 0,

х (х – 5)= 0.

х1 = 0, х2 = 5.

Проверка.

При х = 0: hello_html_m7db25f65.gif = hello_html_m6b8c5067.gif = - 1, но -1≠ 1, следовательно, х = 0 - посторонний корень.

При х = 5: hello_html_m7db25f65.gif =hello_html_m5fea817a.gif = hello_html_m44d240c.gif = 4 – 3 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 5 – корень исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = - 5.

III способ решения (уединение корня).

Пример 7. hello_html_m7159f270.gif = 1.

Решение. Уединим один из радикалов:

hello_html_m586ec891.gif= hello_html_1faa9333.gif + 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_mefc80c4.gif=hello_html_m313f2e33.gif,

3 - 2х = hello_html_m6fe31dc4.gif- 2hello_html_7c2982e4.gif1 + 1,

3 - 2х = 1 – х - 2hello_html_1faa9333.gif + 1,

2hello_html_1faa9333.gif= х – 1.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_m4274a6da.gif=hello_html_m72ddcae0.gif,

4(1 - х) = х2 - 2х + 1,

4 - 4х = х2 - 2х + 1.

х2 + 2х - 3 = 0.

х1= 1, х 2 = - 3.

Проверка.

При х = 1: hello_html_371445b9.gif = hello_html_m5497cd44.gif = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 1 – корень исходного уравнения.

При х = -3: hello_html_m7159f270.gif =hello_html_m3618bfb3.gif hello_html_179de511.gif = hello_html_m3cf4807f.gif = 3 - 2 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = -3 – корень исходного уравнения.

Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2 = -3.


3) Уравнения, содержащие радикалы третьей степени.

Пример 8. 5hello_html_662f4b5e.gif + hello_html_m56f84953.gif - 6 = 0.

Решение. Пусть у =hello_html_m51773cb6.gif, тогда 5у2 + у - 6 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - hello_html_fb550d2.gif.

Переходя к переменной х, имеем:

hello_html_7283bece.gif = 1, х = 1.

hello_html_35dc408b.gif= - hello_html_fb550d2.gif, х = - hello_html_m48d5dd0f.gif.

Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2= - hello_html_m48d5dd0f.gif.

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней.

Пример 9. hello_html_m4d27fc64.gif - hello_html_672d1317.gif + 2 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = hello_html_m4d27fc64.gif, где у ≥ 0.

Получим уравнение: у - у2 + 2 = 0; у2 - у - 2 = 0; корни которого: у1 = -1, у2 = 2.

у1 = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

Возвращаясь к переменной х, имеем:hello_html_m4d27fc64.gif = 2; 2х + 32 = 64; 2х = 32, х = 16

Корень исходного уравнения: х = 16.


Литература:

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.

Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.

Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.

Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.


Краткое описание документа:
В работе рассмотрены некотроые виды иррациональных уравнений,при решении которых используется квадратное уравнение: 1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй     степени:      I способ решения (метод подстановки);      II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат 2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:          Iспособ решения  (метод подстановки);          II способ решения  (возведение обеих частей уравнения в квадрат).   III способ решения (уединение корня).     3) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких        степеней 4) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких степеней  
Общая информация

Номер материала: 46865032915

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.