Инфоурок / Математика / Конспекты / Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

Конкурс "Законы экологии"

Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области










Решение иррациональных уравнений,

сводящихся к квадратным










Работа педагога дополнительного

образования

Куца Фёдора Ивановича




















г. Зверево

2014г.

1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй

степени:

I способ решения (метод подстановки);

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:

Iспособ решения (метод подстановки);

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

III способ решения (уединение корня).

3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких

степеней

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней


1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.

Iспособ решения(метод подстановки)

Пример 1. 2х2 + 3х - 5 hello_html_52fc20bc.gif + 3 = 0. (1)

Решение. Если обозначить у = hello_html_52fc20bc.gif (у ≥ 0), тогда hello_html_m7ea4763.gif= у2 - 9, то уравнение (1)

превратится в квадратное:

у2 - 9 - 5у + 3 = 0, у2 - 5у – 6 = 0.

у1 = - 1, у2 = 6.

у1 = - 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0

Возвращаясь к переменной х, имеем: hello_html_52fc20bc.gif = 6,

2 + 3х + 9 = 36,

2 + 3х - 27 = 0,

х1,2 = hello_html_m3b81149d.gif= hello_html_525cdd63.gif = hello_html_53fc26df.gif.

х1 = hello_html_m482dd619.gif = - hello_html_78170999.gif = - 4,5; х2 = hello_html_m156067f6.gif = 3.

Корни исходного уравнения: х1 = - 4,5, х2 = 3.

Пример 2. hello_html_4df89e92.gif - hello_html_m4aae006e.gif hello_html_79b7d554.gif = 1.

Решение. Если обозначить у =hello_html_6a393991.gif, то исходное уравнение превратится в квадратное:

у2 - hello_html_mc8695dd.gifhello_html_mc8695dd.gif,

2 – 3у – 2 = 0, корни которого у1 = 2, у2 = - hello_html_6eec8aff.gif.

hello_html_6eec8aff.gif.

Далее решаем уравнения: 1)hello_html_3652dd2e.gif = 2, hello_html_5b322d82.gif = 4, х = 4 – 4х, 5х = 4, х = hello_html_36b5a9e0.gif.

2) hello_html_3652dd2e.gif = - hello_html_6eec8aff.gif , нет корней в силу неотрицательности арифметического квадратного корня.

Корень исходного уравнения: х = hello_html_36b5a9e0.gif.

Пример 3. hello_html_5e2efec9.gif = 3х + 8.

Решение. Пусть у = hello_html_5e2efec9.gif, где у ≥ 0, тогда х = 2 – у2, имеем уравнение у = 3(2 – у2) + 8.

2 + у – 14 = 0,

у1,2 = hello_html_m23780be0.gif = hello_html_m3dac23a.gif = hello_html_f37c826.gif, у1=2, у2= -hello_html_222842c7.gif.

у2 = -hello_html_222842c7.gif не удовлетворяет условию у ≥ 0, следовательно х = 2 – 22 = -2.

Корень исходного уравнения: х = -2.


IIспособ решения(возведение обеих частей уравнения в квадрат)

Пример 4. hello_html_58ce269a.gif= х.


Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:

hello_html_5b6a0f47.gif= х2, х + 2 = х2, х2 - х - 2 = 0.

х1 = -1, х2 = 2.

Проверка.

При х = - 1: hello_html_6bbfca5e.gif = hello_html_m22ba9a23.gif= 1, но 1 ≠ - 1, следовательно, корень х = - 1 - посторонний.

При х = 2: hello_html_3be1b4f3.gif = hello_html_3d5c6a96.gif= 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = 2.


2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.

Iспособ решения (метод подстановки).

Пример 5. hello_html_m58cee1ba.gif hello_html_14b5d53d.gif = 2.

Решение. Если обозначить у = hello_html_351673b.gif, где у > 0, то получим уравнение 3у - hello_html_m241c6ba1.gif = 2, которое при

умножении на у принимает вид: 3у2 – 2у – 1= 0.

Корни уравнения: у1 = 1, у2 = -hello_html_7f8f9891.gif.

у2 = -hello_html_7f8f9891.gif не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем:

hello_html_351673b.gif = 1, hello_html_6d9897ff.gif = 1, х – 1= 2х + 1, х = - 2.

Корень исходного уравнения: х = - 2.

II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).

Пример 6. hello_html_m67622b60.gif -hello_html_m7c2db748.gif = 1.

Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_1c81973c.gif= 12,

hello_html_m584a072e.gif- 2 hello_html_m67622b60.gifhello_html_m7c2db748.gif + hello_html_3bad2342.gif = 1,

3х + 1 - 2 hello_html_68a13cdc.gif + х + 4 = 1,

4х + 4 = 2 hello_html_68a13cdc.gif,

2х + 2 = hello_html_68a13cdc.gif.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_4ac835e8.gif= hello_html_m6e251d41.gif

2 + 8х + 4 = hello_html_4565f48.gif),

2 + 8х + 4 = 3х2 + 13х + 4,

х2 - 5х= 0,

х (х – 5)= 0.

х1 = 0, х2 = 5.

Проверка.

При х = 0: hello_html_m7db25f65.gif = hello_html_m6b8c5067.gif = - 1, но -1≠ 1, следовательно, х = 0 - посторонний корень.

При х = 5: hello_html_m7db25f65.gif =hello_html_m5fea817a.gif = hello_html_m44d240c.gif = 4 – 3 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 5 – корень исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = - 5.

III способ решения (уединение корня).

Пример 7. hello_html_m7159f270.gif = 1.

Решение. Уединим один из радикалов:

hello_html_m586ec891.gif= hello_html_1faa9333.gif + 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_mefc80c4.gif=hello_html_m313f2e33.gif,

3 - 2х = hello_html_m6fe31dc4.gif- 2hello_html_7c2982e4.gif1 + 1,

3 - 2х = 1 – х - 2hello_html_1faa9333.gif + 1,

2hello_html_1faa9333.gif= х – 1.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

hello_html_m4274a6da.gif=hello_html_m72ddcae0.gif,

4(1 - х) = х2 - 2х + 1,

4 - 4х = х2 - 2х + 1.

х2 + 2х - 3 = 0.

х1= 1, х 2 = - 3.

Проверка.

При х = 1: hello_html_371445b9.gif = hello_html_m5497cd44.gif = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = 1 – корень исходного уравнения.

При х = -3: hello_html_m7159f270.gif =hello_html_m3618bfb3.gif hello_html_179de511.gif = hello_html_m3cf4807f.gif = 3 - 2 = 1. Так как 1 = 1 – тождество, то х = -3 – корень исходного уравнения.

Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2 = -3.


3) Уравнения, содержащие радикалы третьей степени.

Пример 8. 5hello_html_662f4b5e.gif + hello_html_m56f84953.gif - 6 = 0.

Решение. Пусть у =hello_html_m51773cb6.gif, тогда 5у2 + у - 6 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - hello_html_fb550d2.gif.

Переходя к переменной х, имеем:

hello_html_7283bece.gif = 1, х = 1.

hello_html_35dc408b.gif= - hello_html_fb550d2.gif, х = - hello_html_m48d5dd0f.gif.

Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2= - hello_html_m48d5dd0f.gif.

4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней.

Пример 9. hello_html_m4d27fc64.gif - hello_html_672d1317.gif + 2 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = hello_html_m4d27fc64.gif, где у ≥ 0.

Получим уравнение: у - у2 + 2 = 0; у2 - у - 2 = 0; корни которого: у1 = -1, у2 = 2.

у1 = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

Возвращаясь к переменной х, имеем:hello_html_m4d27fc64.gif = 2; 2х + 32 = 64; 2х = 32, х = 16

Корень исходного уравнения: х = 16.


Литература:

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.

Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.

Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.

Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.


Краткое описание документа:

В работе рассмотрены некотроые виды иррациональных уравнений,при решении которых используется квадратное уравнение: 1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй     степени:      I способ решения (метод подстановки);      II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат 2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:          Iспособ решения  (метод подстановки);          II способ решения  (возведение обеих частей уравнения в квадрат).   III способ решения (уединение корня).     3) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких        степеней 4) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких степеней  

Общая информация

Номер материала: 46865032915

Похожие материалы