• 

  1 слайд

  Перпендикулярность прямых
  Перпендикулярность
  прямой и плоскости.
  Перпендикулярность плоскостей
  Проверь себя
  Преподаватель математики ОГБОУ ПЛ №1 г.Иваново
  Мочалова Е.В.
  

• 

  2 слайд

  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикуляр-ными), если угол между ними равен 90°.
  Обозначается a ┴ b
  Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
  
  а
  b
  c
  

• 

  3 слайд

  Перпендикулярные прямые в пространстве
  Теорема.
  Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
  Через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
  

• 

  4 слайд

  Перпендикулярность прямой и плоскости
  Прямая называется перпендикулярной
  к плоскости, если она перпендикулярна
  к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
  
  
  
  
  
  Прямая a, перпендикулярная
  плоскости α (a⊥α), означает,
  что a ⊥b, a ⊥c, где b ⊂ α, c ⊂ α.
  
  

• 

  5 слайд

  Свойства :
  1. Если плоскость перпендикулярна одной
  из двух параллельных прямых,
  то она перпендикулярна другой
  прямой. (a ⊥ α b и a II b => b ⊥ α)
  
  2 Если две прямые перпендикулярны
  одной и той же плоскости,
  то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α => a II b)
  
  3 Если прямая перпендикулярна
  одной из двух параллельных
  плоскостей, то она перпендикулярна
  и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α => a ⊥ β)
  

• 

  6 слайд

  Свойства :
  4 Если две различные плоскости
  перпендикулярны одной и той же прямой,
  то эти плоскости параллельны.
  (a ⊥ α и a ⊥ β => a II β)
  
  5 Через любую точку пространства можно
  провести прямую, перпендикулярную
  данной плоскости, и притом только одну.
  
  6 Через любую точку прямой можно
  провести плоскость, перпендикулярную ей
  и притом только одну.
  
  

• 

  7 слайд

  
  Перпендикуляр и наклонная
  
  Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, - отрезок, лежащий на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости, соединяющий данную точку с точкой плоскости.
  Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием перпендикуляра.
  Наклонная, проведенная из данной точки к плоскости, - любой отрезок, соединяющей данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
  
  

• 

  8 слайд

  Перпендикуляр и наклонная
  Конец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной.
  Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
  
  Свойства:
  
  
  1 Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из одной точки AO<AB.
  2. Из данной точки, не лежащей на плоскости, можно провести только один перпендикуляр к плоскости и бесконечное множество наклонных.
  

• 

  9 слайд

  Перпендикуляр и наклонная.
  3. Если из одной точки к одной
  плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, то:
  - равные наклонные имеют равные проекции (если AB=AC, то BO=CO);
  Если проекции наклонных равны, то сами наклонные равны (если BO= CO, то AB=AC);
  
  
  Большая наклонная имеет большую проекцию (если AB>AC, то BO>CO);
  Из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (если BO>CO, то AB>AC).
  

• 

  10 слайд

  Перпендикуляр и наклонная.
  Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
  
  
  AO – расстояние от точки A до плоскости α.
  

• 

  11 слайд

  Теорема о трех перпендикулярах
  Если прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна наклонной (если a ⊥ BO, то a ⊥ AB).
  
  
  Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
  проекции наклонной
  (если a ⊥ AB, то ⊥ BO).
  
  

• 

  12 слайд

  Теорема о трех перпендикулярах
  Доказательство:
  1)АВ- перпендикуляр,
  2) Проводим СА´║АВ.
  ( по свойству перпендикулярных прямой и плоскости)
  3) АВ и А´С определяют
  4)
  (признак перпендикулярности прямой и плоскости)
  5)
  Если
  то
  следовательно
  6)Аналогично, если
  и
  следовательно
  АС- наклонная,
  

• 

  13 слайд

  Задача
  Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны
  Через центр вписанной в треугольник окружности
  проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
  Решение:
  1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,
  то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне
  О- центр окружности,
  S- точка на перпендикуляре
  2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,
  3)По теореме Пифагора:
  где r-радиус вписанной окружности
  4)
  5)
  А
  О
  С
  В
  S
  

• 

  14 слайд

  Перпендикулярность двух плоскостей
  Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых выполняется условие, что третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения, пересекает их по перпендикуляр-ным прямым.
  Плоскости α и β перпендику-лярны (α ⊥β), если плоскость Υ ⊥ c, Υ пересека-ет α и β по взаимноперпен-дикулярным прямым a и b,
  (a ⊥ b).
  
  

• 

  15 слайд

  Признак перпендикулярности плоскостей
  Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
  (если a ⊂ α, a ⊥ β, то α ⊥ β).
  

• 

  16 слайд

  Свойства перпендикулярных плоскостей
  1.Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
  (если α∩β=c, α ⊥β, α∩Υ=a, γ∩β=b и γ ⊥ c, то a ⊥b)
  
  2. Если прямая лежащая в одной из
  двух перпендикулярных плоскостей,
  перпендикулярна прямой их пересече-ния, то она перпендикулярна и другой плоскости.
  (если α ⊥β, α ∩β=b, a€α и a ⊥b,
  то a ⊥ β)
  

• 

  17 слайд

  3. Через любую точку прост-ранства можно провести
  плоскость, перпендикулярную данной плоскости
  4 Две плоскости, перпендику-лярные третьей плоскости, или параллельны, или пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости.
  Свойства перпендикулярных плоскостей
  

• 

  18 слайд

  5. Три попарно перпендику-лярные плоскости пересе-каются по трем перпенди-кулярным прямым (eсли α ⊥β, β ⊥ y, y ⊥ α, То a ⊥ b, b ⊥ c, a ⊥ c)
  
  
  Свойства перпендикулярных плоскостей
  6 .Через данную прямую некоторой плоскости можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.
  
  

• 

  19 слайд

  Двугранный угол – фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
  Полуплоскости называются гранями, а прямая, их ограничиваю-щая, - ребром двугранного угла.
  Двугранные углы.
  α и β – грани двугранного угла
  a – ребро двугранного угла
  

• 

  20 слайд

  Двугранные углы.
  Линейный угол двугранного угла – угол, являющийся разрезом этого двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру (угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало).
  Мера двугранного угла – мера соответствующего ему линейного угла.
  Мера двугранного угла находится в переделах от 0 до 180 градусов.
  
  

• 

  21 слайд

  
  Расстоянием между
  скрещивающимися прямыми
  называется длина их
  общего перпендикуляра
  
  Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
  Утверждение: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
  
  

• 

  22 слайд

  Проверь себя
  Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
  Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
  Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
  Если плоскость перпендикулярна одной из двух …. прямых , то она ,,,, другой прямой.
  Две прямые, перпендикулярные одной плоскости ,,,,,,
  Что такое перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость?
  Расстояние от точки до плоскости – это …
  Что такое наклонная? Что такое проекция наклонной?
  Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
  Какие плоскости называются перпендикулярными?
  Признак перпендикулярности плоскостей.
  Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
  
  
  
  
  
  

Краткое описание материала