Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Тема Урок Производная показательной функции Число е
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям рекомендуем принять участие в Международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

СЕГОДНЯ (15 ДЕКАБРЯ) ПОСЛЕДНИЙ ДЕНЬ ПРИЁМА ЗАЯВОК!

Конкурс "Я люблю природу"

Тема Урок Производная показательной функции Число е

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Тема: Производная показательной функции. Число hello_html_m5265d63f.gif.

Дидактическая цель: сформировать представление о числе е, доказать дифференцируемость функции hello_html_2e7ef960.gif в любой точке hello_html_m76fcc87c.gif, дифференцирование функции hello_html_7d0d9929.gif. Дать понятие натурального логарифма.

Развивающая цель: развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с применением персонального компьютера.

Воспитательная цель: продолжить формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшим качеством будущего специалиста.

Наглядные пособия: плакаты.

Раздаточный материал: карточки-задания для индивидуальной работы. Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркнуть значение числа е и натурального логарифма.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

1 )Графики показательной функции.

2) hello_html_6d48cd1c.gif

3) Число hello_html_m5265d63f.gif.

4) Вычисление числа hello_html_m5265d63f.gif.

5) Формула производной показательной функции.

6) Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel.

7) Первообразная показательной функции.

8) 3начение числа hello_html_m5265d63f.gif.

III. Решение примеров.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой hello_html_m5aad781f.gif равносильно её дифференцируемое в х0. Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=ах для у=2х, у=Зх, у=2,Зх (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой hello_html_m2e86e3d2.gif. Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°...51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg35 до tg51.

Существует такое число, болышее2 и меньшее 3, что показательная функция у=ах в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Первые числа таковы 2,718288182459045~2,7.

Функцию hello_html_2e7ef960.gif часто называют экспонентой. Полученное число играет огромную роль в высшей математике также как и знаменитое число 3,14. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция hello_html_2a17d09c.gif дифференцируема в каждой точке области определения, и hello_html_m18350651.gif.

Доказательство. Находим приращение функции hello_html_44ddcc04.gif

hello_html_66eae1c3.gif

при hello_html_3c6c06d6.gif.

По определению производной hello_html_m49122d53.gif, т.е hello_html_m18350651.gif при любых hello_html_m76fcc87c.gif.

Доказать, что hello_html_m6044a7b1.gif самостоятельно.

Пример.

hello_html_6ed284d2.gif

Даю определение: Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию hello_html_m5265d63f.gif:

hello_html_m60c7f009.gif.

Теорема 2. Показательная функция hello_html_42b36b21.gifдифференцируема в каждой точке области определения, и hello_html_m2e6e5978.gif.

Примеры. hello_html_m5a8f461a.gif, hello_html_m3fed4584.gif. Найти производные функций.

hello_html_5539a589.gif

hello_html_m979c289.gif.

Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel.

Пример. Исследуем функцию hello_html_m7af015ea.gif на возрастание (убывание) и экстремум и построим её график.

hello_html_45709874.gifТак как hello_html_m499f5fa0.gif для любых hello_html_m76fcc87c.gif, то знак совпадает со знаком hello_html_m394606d2.gif . Следовательно hello_html_104143e2.gif на hello_html_m2f4e83c4.gif , hello_html_67c5312d.gif- возрастает

hello_html_m426c1aa5.gifна hello_html_m677de4ed.gif, hello_html_67c5312d.gif- убывает.

hello_html_3a686c8.gif. Для построения графика используем программу MS Excel.

Первообразная показательной функции.

Теорема 3.Первообразной для функции hello_html_42b36b21.gif на R является функция hello_html_m312388a2.gif. Доказательство:

hello_html_631b10c6.gif.

Примеры:

а) hello_html_m8f5c3d5.gif, hello_html_5e8aa46f.gif

б) hello_html_590d6ca6.gif, hello_html_m32740fdd.gif

в) hello_html_f7b086a.gif, hello_html_26ebb431.gif.

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_e26c5ef.gif, hello_html_maf13631.gif, hello_html_4b235aed.gif, hello_html_m1f713cd1.gif.

Значение е.

Полученное число hello_html_34b61de8.gif играет огромную роль в математике, физике, астрономии, биологии и других науках. Вот некоторые :

Это славное е

Помогает вполне

Уяснить вам и мне

Год рожденья Толстого Л.Н. 2,71828

Формула Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783г) Знаменитый математик 18в. Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов верёвки вокруг сваи.

hello_html_243a937e.gif, hello_html_m4a87f5e1.gif-сила, против которой направлено наше усилие hello_html_67c5312d.gif; hello_html_779184ff.gifе;

hello_html_121fb547.gif-коэффициент трения между верёвкой и сваей, hello_html_m7d8beed6.gif - угол навивания, т.е. отношение длины дуги, охваченной верёвкой, к радиусу этой дуги. В обыденной жизни, мы, сами не подозревая, часто пользуемся выгодой, которую указывает нам формула Эйлера.

Что такое узел? Это бечёвка, навитая на валик. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше. Правило возрастания трения таково, что, увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растёт в прогрессии геометрической.

Бессознательно пользуется тем же обстоятельством и портной, пришивая пуговицу. Он много раз обматывает нитку вокруг захваченного стежком участка материи и затем обрывает её, если только нитка крепка, пуговица не отпорется. Здесь применяется уже знакомые нам правило: с увеличением числа оборотов нитки в прогрессии арифметической крепость шитья возрастает в прогрессии геометрической. Если бы не было трения, мы не могли бы пользоваться пуговицами: нитки размотались бы под их тяжестью и пуговицы отвалились бы.

Английский физик Эрнест Резерфорд (1871-1937г) вывел закон радиоактивного распада hello_html_67484525.gif, hello_html_f5910b2.gif- масса радиоактивного вещества в

начальный момент времени, hello_html_m1509b110.gif- масса через интервал времени, hello_html_m7d8beed6.gif- постоянная для каждого радиоактивного элемента.

Формула К.Э. Циолковского:

hello_html_m4bdf6a88.gif,

где hello_html_6ffcd71f.gif-скорость ракеты, hello_html_m5506c04f.gif-относительная скорость отделяющихся частиц ,то hello_html_661f30d2.gif -начальная(стартовая) масса ракеты, hello_html_1bcb9c87.gif- масса ракеты.

Внимание туриста, посетившего городское кладбище в Вене, невольно привлечёт могила- памятник, украшенная бюстом из белого мрамора работы скульптора Амброзио с выгравированной на камне математической формулой hello_html_7840b3ae.gif-Людвигу Больцману(1844-1906г), австрийскому физику, открывшему основной закон природы, определяющий направление всех физических процессов, стремящихся к равновесию как наиболее вероятному состоянию. hello_html_2f2460ca.gif-энтропия, т.е. мера достижения системой равновесия, hello_html_m4f84d30a.gif-вероятность состояния системы.

Итоги урока. Домашнее задание: №538,№542

Приложение №1

hello_html_58591e8a.png



Краткое описание документа:

Как заинтересовать математикой? Многое зависит от того, как поставить даже очевидный вопрос, и от того, как вовлечь всех учащихся в обсуждение сложившейся ситуации. Творческая активность учащихся, успех урока целиком зависит от методических приемов, которые выбирает учитель. Как сформировать интерес к предмету у ребенка? Через самостоятельность и активность, через поисковую деятельность на уроке и дома, создание проблемной ситуации, разнообразие методов обучения, через новизну материала, эмоциональную окраску урока.

Общая информация

Номер материала: 47508033024

Похожие материалы