Решение квадратных уравнений

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Обучающая программа
  
  Решение квадратных уравнений
  
  (для учащихся 8-х классов)
  О ПРОЕКТЕ
  

• 

  2 слайд

  Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причем a0.
  
  
  Что такое неполные квадратные уравнения?
  

• 

  3 слайд

  Являются ли ниже перечисленные уравнения квадратными?
  48х2-х3+5=0 Да Нет
  2,1х2-2х+2/3=0 Да Нет
  1-12х=0 Да Нет
  7х2-4=0 Да Нет
  

• 

  4 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  5 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  6 слайд

  Вы совершенно правы,
  продолжим
  

• 

  7 слайд

  Квадратные уравнения можно решать несколькими способами:
  ТЕСТ 1
  Графическим способом
  Выделением квадрата двучлена
  По формуле
  По обратной теореме Виета
  ТЕСТ 2
  

• 

  8 слайд

  Решение квадратных уравнений графическим способом.
  Решать квадратные уравнения графически можно по-разному. Например: 5х2-11х+2=0 можно решать так:
  Построить график функции y=5х2-11х+2, найти абсциссы точек пересечения с осью х, они и будут корнями исходного уравнения.
  
  Записать исходное уравнение, как 5х2 =11х-2, и построить графики функций y=5х2, y=11х-2, после этого найти абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться корнями исходного уравнения.
  
  И в том и другом случае ответ 1/5, 2, но его можно получить лишь приближенно.
  

• 

  9 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  10 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  11 слайд

  Попробуйте решить самостоятельно и выбрать правильный ответ.
  1. х2+9х-22=0 2. х2-14х+16=0
  
  
  -1,5; 11 8/3; 2
  
  -11; 1,5 6; 8
  
  -22; 3 -6; -8
  А
  А
  В
  В
  С
  С
  

• 

  12 слайд

  Вы совершенно правы,
  продолжим
  

• 

  13 слайд

  Решение квадратных уравнений выделение квадрата двучлена.
  Пример: х2-8х+15=0
  х2-2·4х+15=0
  (*) х2-2·4х+42-42+15=0
  х2-2·4х+42 =42 -15
  (х-4)2=1
  х-4 =1 или х-4=- 1
  х=5 или х=3
  Ответ: 3; 5.
  Формулы суммы и разности квадрата двучлена
  a2+2ab+b2 = (a+b)2
  a2-2ab+b2 =(a-b)2
  
  Если к разности х2-8х прибавить число 16, то полученное выражение можно записать в виде квадрата двучлена (х-4)2, прибавим и вычтем 42 и получим (*), после преобразований найдем корни
  

• 

  14 слайд

  Попробуйте решить самостоятельно и выбрать правильный ответ.
  1. х2+12х+20=0 2. х2-5х-6=0
  
  
  -2; -10 -6; 1
  
  2; 10 -1; 6
  
  Нет корней Нет корней
  А
  В
  С
  А
  В
  С
  

• 

  15 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  16 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  17 слайд

  Вы совершенно правы,
  продолжим
  

• 

  18 слайд

  Решение квадратных уравнений по формуле.
  ах2+bх+с=0 D=b2-4ac
  Если D>0, то уравнение имеет 2 корня
  
  
  Если D=0, то уравнение имеет один корень
  
  
  Если D<0, то уравнение не имеет корней
  
  Пример:
  Решить 3х2-14х+16=0
  D=196-4316=196-192=4
  х1=(14-2)/6=2
  х2=(14+2)/6=8/3
  
  Ответ: 2; 8/3.
  

• 

  19 слайд

  Попробуйте решить самостоятельно и выбрать правильный ответ.
  1. 2х2+3х+1=0 2. х2-5х+6=0
  
  
  -2; -1 2; 3
  
  -1; -1/2 -2; 12
  
  Нет корней Нет корней
  А
  А
  В
  В
  С
  С
  

• 

  20 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  21 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  22 слайд

  Вы совершенно правы,
  продолжим
  

• 

  23 слайд

  Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета.
  (Кто такой Виет?)
  Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b/a, а произведение равно c/а, то эти числа являются корнями уравнения aх2+bх+c=0.
  Пример: х2+3х-40=0
  х1+х2=-3 и х1·х2=-40
   х1 =-8, х2=5
  Ответ: -8; 5.
  
  Как запомнить эту теорему?
  
  

• 

  24 слайд

  Попробуйте решить самостоятельно и выбрать правильный ответ.
  1. х2 -15х-16=0 2. 2х2 +7х+6=0
  
  
  -1; 16 -1,5; -2
  
  -16; 1 1,5; 2
  
  -15; -1 -1,5; 2
  А
  А
  В
  В
  С
  С
  

• 

  25 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  26 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  27 слайд

  Вы совершенно правы,
  продолжим
  

• 

  28 слайд

  Ваши дальнейшие действия
  Хотите повторить тренировку ?
  
  
  
  
  
  
  Задания для самоконтроля
  Хотите закончить тренировку?
  
  
  
  
  
  
  Список использованной литературы
  

• 

  29 слайд

  Виет Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, - 13.12.1603, Париж)
  - французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos nх и sin nх по степеням cos х и sin х. Виет впервые рассмотрел бесконечные произведения. Сочинения Виет написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.
  
  (Большая Советская Энциклопедия)
  

• 

  30 слайд

  Графический способ решения квадратных уравнений
  Строим график функции
  y=5х2-11х+2:
  сначала найдем хвершины=-b/2a и найдем значение в ней увершины
  потом возьмем произвольные точки х и симметричные им, и найдем в них значение функции;
  график пересекает ось абсцисс в точках х=1/5, х=2
  

• 

  31 слайд

  Графический способ решения квадратных уравнений
  Перепишем исходное уравнение как
  5х2 =11х-2, и построим графики функций
  y=5х2, y=11х-2, они пересекутся в точках с абсциссами х=1/5, х=2
  

• 

  32 слайд

  О проекте
  Данный проект был создан учениками девятого класса для восьмиклассников в качестве повторения теоретического материала, обобщения и систематизации знаний учащихся по теме «Решение квадратных уравнений» после изучения данной темы, а так же для самоконтроля
  
  

• 

  33 слайд

  Список использованной литературы
  Большая советская энциклопедия
  Мордкович А. Г. Алгебра – 8
  Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра-8
  Алимов Ш. А. Алгебра-8
  

• 

  34 слайд

  Теорема Виета для корней квадратного уравнения
  * * *
  
  По праву достойна в стихах быть воспета
  О свойствах корней теорема Виета.
  Что лучше, скажи, постоянства такого:
  Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
  В числителе с, в знаменателе а,
  А сумма корней тоже дроби равна.
  Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
  В числителе b, в знаменателе а.
  

• 

  35 слайд

  Задания для самоконтроля
  Являются ли следующие уравнения квадратными?
  -х2=0
  7х2-13=0
  1-15х=0
  0х2-14х+5=0
  -5х+12х2=0
  
  
  
  Ответы.
  Решить уравнения, удобным способом:
  х2-4х+3=0
  5х2+3х-8=0
  5х2+14х-3=0
  35х2+2х-1=0
  25=26х-х2
  3х2-8х+5=0
  у2=4у+96
  у2-10у+25=0
  
  Ответы.
  

• 

  36 слайд

  Ответы.
  Да
  Да
  Нет
  Нет
  Да
  х1=1; х2=3
  х1=-1,6; х2=1
  х1=-3; х2=0,2
  х1=-0,2; х2=1/7
  х1=1; х2=25
  х1=1; х2=5/3
  у1=-8; у2=12
  у=5
  

• 

  37 слайд

  ТЕСТ 1
  
  
  
  
  
  
  
  
  ОТВЕТЫ:
  

• 

  38 слайд

  Ответы на тест 1:
  В
  Б
  Б
  А
  Г
  Г
  Б
  
  

• 

  39 слайд

  ТЕСТ 2
  
  
  
  
  
  
  
  
  ОТВЕТЫ:
  

• 

  40 слайд

  Ответы на тест 2:
  В
  Б
  А
  Г
  Б
  А
  Б
  

• 

  41 слайд

  Неполные квадратные уравнения
  Если в квадратном уравнение ах2+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.
  

• 

  42 слайд

  Способы решения неполных квадратных уравнений
  
  
  
  
  
  
  
  Нажмите соответствующую кнопку
  
  Решить тест
  

• 

  43 слайд

  Неполное квадратное уравнение при b=0
  Уравнение примет вид ах2+с=0 и мы решаем его:
  ах2 =-с
  х2 =-с/а
  
  Пример:
  Решить -3x2+15=0
  -3x2=-15
  x2=-15/(-3)
  x2=5
  
  

• 

  44 слайд

  Неполное квадратное уравнение при c=0
  Уравнение примет вид ах2+bx=0 и мы решаем его:
  x(аx+b) =0
  x=0 или ax+b=0
  ax=-b
  x=-b/a
  
  
  Пример:
  Решить 5x2-15x=0
  5x(x-3)=0
  x=0 или x-3=0
  x=3
  
  
  

• 

  45 слайд

  Неполное квадратное уравнение при b=0, c=0
  Уравнение примет вид ах2=0 и мы решаем его:
  ах2 =0
  х2 =0
  x=0
  
  Пример:
  Решить -81x2=0
  x2=0
  x=0
  
  
  
  

• 

  46 слайд

  Решение неполных квадратных уравнений
  Решить 4x2-9=0
  9/4 3/2 ±3/2
  
  Решить 5x2=0
  0 5 1/5
  
  Решить 4x2-3x=0
  ±3/2 0; ¾ 0; 4/3
  А
  А
  А
  В
  В
  В
  С
  С
  С
  

• 

  47 слайд

  Вы совершенно правы
  

• 

  48 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  49 слайд

  Вы совершенно правы, продолжим
  

• 

  50 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  51 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  52 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  53 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  54 слайд

  Не верно, подумайте ещё
  

• 

  55 слайд

  Презентацию создали:
  
  Ученики 9 «А» класса 588 школы
  ЦАО:
  
  Любарь Сергей,
  
  Нгуен Зунг
  
  при поддержки учителя
  математики и информатики
  
  Белецкой Наталии Ивановны.
  
  
  
  
  Москва, 2007 г.