Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа.11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа.11 класс

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Обобщающий урок по теме логарифмические уравнения.docx

библиотека
материалов

hello_html_75c272d2.gifhello_html_75c272d2.gifhello_html_mb1d7999.gifhello_html_mb1d7999.gifhello_html_mb1d7999.gifhello_html_bcb7cd5.gifhello_html_6a91711a.gifhello_html_6a91711a.gifhello_html_1a2127b9.gifhello_html_22bcc25.gifhello_html_m60d4b57a.gifhello_html_m60baa992.gifhello_html_3e8957c0.gifhello_html_3e8957c0.gifhello_html_3e8957c0.gifhello_html_m45726be4.gifhello_html_m6f668548.gifhello_html_m6f668548.gifОбобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений»

(учитель Клокова Т.Ю. МБОУ СКОШ №36 г. Озерск Челябинской области)

Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

2. Расширить знания учащихся.

3. Учить находить «красивое» решение уравнений.

4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений.





План:

  1. Фронтальный опрос

  2. Методы решения логарифмических уравнений.

  3. «Учимся на чужих ошибках»

  4. Решение комбинированных уравнений.

  5. Обучающая самостоятельная работа.

  6. Задание на дом (дать комментарии к решению)

  7. Итог урока.

























Фронтальный опрос



Дать определение уравнения

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значить найти его корни или доказать, что корней нет.

Что такое корень уравнения?

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Что такое область определения уравнения?

Областью определения уравнения называется множество значений переменной уравнения f(x)=g(x), при которых одновременно имеют смысл f(x) и g(x).

Какие уравнения называются равносильными?

Уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней называются равносильными.

Следствия равносильности

  1. Если к обеим частям уравнения f(x)=g(x) прибавить одну и ту же функцию у(х) определенную при всех значениях переменной из области определения данного уравнения, то уравнение f(x)+ у(х) =g(x)+у(х) равносильно данному.

  2. Если к оби части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.

Равносильны ли уравнения?

  1. hello_html_m5895fadb.gif(да)



  1. hello_html_m61590289.gif(нет)



  1. hello_html_m6f53eed6.gif

(нет)



  1. hello_html_m5296f3dc.gif

hello_html_4d978c27.gif(нет)


Что такое логарифм?

Логарифмом положительного числа b по основанию a (а>0, ahello_html_m3de78483.gif) называется показатель степени Х, в которую нужно возвести а, чтобы получить b, т. еhello_html_m5e8bc5a.gif

Какое уравнение называется логарифмическим?

Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифмической функции.

Свойства логарифмов

hello_html_m3dc6d996.gif

hello_html_4c1c133f.gif

hello_html_m46a5cdea.gif-hello_html_m38d01bce.gif

hello_html_2645d93.gif

hello_html_m9154f76.gif

hello_html_4d88c903.gif

hello_html_m4572d4f7.gif

hello_html_7c7b0009.gif

hello_html_512f9fae.gif

hello_html_m172c7ea2.gif

hello_html_m51993fea.gif





При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы:

  1. Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма.

  2. Решение с помощью потенцирования.

  3. Применение основного логарифмического тождества.

  4. Введение новой переменной.

  5. Использование логарифмирования.

  6. Переход к логарифму с новым основанием.

( При решении логарифмических уравнений необходима проверка все найденных корней или нахождения области определения уравнения, т.е. соблюдение равносильных переходов)











  1. Метод, основанный на определении логарифма hello_html_m19cd41a9.gif.

По определению логарифма имеем:

hello_html_m528276a7.gif, то есть hello_html_m327e74a4.gif (свели уравнение к показательному уравнению, которое решается методом введения нового неизвестного),

hello_html_316e5b5f.gif.

Следовательно hello_html_44de5ea.gif.

hello_html_m58c6db09.gif: 2 корня, по обратной теореме Виета имеем:hello_html_fcc9874.gif ,следовательноhello_html_m39677bab.gif

hello_html_m507826ab.gif- не удовлетворяет условию hello_html_m5261ffbc.gif.

Имеем: hello_html_m1e047336.gif.

Проверка: если hello_html_m785032ae.gif, тогда

hello_html_13f85028.gif

hello_html_m580b02c5.gif

hello_html_7e33446d.gifверно.

Ответ: hello_html_m785032ae.gif.

  1. Метод, использующий монотонность логарифмической функции (метод потенцирования).



Для каждой монотонной функции hello_html_m60773ed1.gif из равенства hello_html_m6ece2c8.gif следует, что hello_html_m8b072.gif.

Рассмотрим уравнение вида hello_html_383642d4.gif при hello_html_206014a.gif решением этого уравнения будут все те решения уравнения hello_html_m1e845555.gif, для которых hello_html_1367234c.gif (или hello_html_634078a9.gif).

Поэтому уравнение hello_html_40b03e1c.gif можно решить по алгоритму:

  1. Найти ОДЗ уравнения;

  2. Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение hello_html_m1e845555.gif.

Конечно, не все уравнения будут иметь вид hello_html_40b03e1c.gif, поэтому необходимы будут преобразования, используя свойства логарифмической функции.

hello_html_1874d44f.gif

Так как hello_html_5b39e74f.gif, то hello_html_m7256d2c2.gif; hello_html_36032acf.gif, получаем hello_html_1a490375.gif.

Исходное уравнение, используя свойства логарифмической функции можно представить в виде:

hello_html_67f4058c.gifданное уравнение при hello_html_1a490375.gif равносильно уравнению:

hello_html_m2429536e.gif.

Возведем в квадрат, получим

hello_html_m1c5a72e5.gif

hello_html_m6f1250e9.gif

hello_html_17c5a5b9.gif

hello_html_11d34f41.gifследовательно, уравнение имеет два корня:

hello_html_m189af139.gif, так как hello_html_1a490375.gif, то hello_html_4c2fbc87.gif посторонний корень.

hello_html_m19bef68b.gif.

Ответ: hello_html_2ea5387d.gif.

Замечание: переход от равенства hello_html_m29498da5.gif к равенству hello_html_m44529ee4.gif называется потенцированием по основанию hello_html_97b16c9.gif при hello_html_6776703e.gif. Совершая потенцирование мы совершаем переход, не являющийся равносильным, поэтому нужна проверка.



  1. Применение основного логарифмического тождества hello_html_3bf80872.gif

Найдем ОДЗ:

hello_html_m776a13db.gif; hello_html_7c6c234.gif; hello_html_1e67057c.gif, следовательно hello_html_26d8ecb4.gif.

Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим:

hello_html_56574454.gif, следовательно, уравнение примет вид:

hello_html_m278ac50d.gif.

Используя определение логарифма, получаем:

hello_html_m21e2a2e6.gif;

hello_html_m2c43a59.gif.

Пусть hello_html_2d8ecc77.gif, имеем: hello_html_44d578db.gif

hello_html_m549c8003.gif;

hello_html_m1b085d80.gif;

hello_html_337d823e.gifследовательно, 2 корня

hello_html_m7922eead.gif; hello_html_m2cd3d25.gif.

hello_html_m7443eab0.gifили hello_html_m434f7b5c.gif.

Но hello_html_50647262.gif не входит в ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: hello_html_m4b9ebcf7.gif.

  1. Применение логарифмирования.

Логарифмирование по основанию hello_html_57f55f58.gif представляет собой переход от равенства hello_html_m44529ee4.gif к равенству hello_html_638c41a6.gif, для этого hello_html_66266bf9.gif.

Решим уравнение hello_html_451de6b3.gif.

Уравнение содержит неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, его можно решить, логарифмируя левую и правую часть по основанию 10, так как в условии уже имеется десятичный логарифм. Получаем:

hello_html_2192670b.gif, где hello_html_mfdedb79.gif.

hello_html_m1537d19f.gif.

Введем новую переменную hello_html_m4cdd3722.gif и учитывая, что hello_html_m2c15b113.gif получаем:

hello_html_m68064e52.gif

hello_html_m6c917bb.gifили hello_html_m6071fbe6.gif.

Вернемся к замене:

hello_html_m5db8bf5d.gif или hello_html_m4d24a618.gif

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Все преобразования были тождественны, следовательно, оба корня являются решение уравнения.

Ответ: hello_html_m7e11ac8e.gif.

  1. Введение нового неизвестного

hello_html_82c212f.gifОДЗ hello_html_m23ebdec.gif.

hello_html_15367c92.gif

Пусть hello_html_m25e46ef5.gif, тогда

hello_html_m27e5dd5b.gif.

hello_html_m14a0fd8d.gifпо обратной теореме Виета получаем:

hello_html_m2ce662e1.gif; hello_html_6fb99437.gif.

hello_html_d32e558.gifили hello_html_35cd513e.gif.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 10; 10000.



  1. Переход к логарифму по новому основанию


hello_html_56a767fb.gif

Найдем ОДЗ:

hello_html_2623f6e.gif; hello_html_m44822ac4.gif, следовательно, hello_html_63090e79.gif.

Перейдем в уравнении к логарифму по основанию 3, получим:

hello_html_320e1e9.gif, следовательно,

hello_html_1b7ebc37.gif.

Введем новое неизвестное hello_html_4a190147.gif, получаем:

hello_html_7e854a77.gif, что тождественно hello_html_m455df13b.gif

hello_html_4ebe820c.gif, следовательно, 2 корня.

hello_html_m4f9e9826.gifhello_html_m38b82cff.gif; hello_html_52e635d3.gif.

Получаем:

hello_html_m140970d2.gifили hello_html_m36d667b7.gif

Оба корня больше -1 и не равны нулю, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: hello_html_74d9eab2.gif; 8.

Учимся на чужих ошибках.

  1. Решить уравнение hello_html_m46b4c5ac.gif

Решение: логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

hello_html_m12df5875.gif

hello_html_m38d255bb.gif

Ответ: hello_html_466e01c6.gif.

Приведенное решение не верно. Логарифмировать данное уравнение нельзя, так как выражение hello_html_m34da362d.gif. Функция в левой части уравнения принимает только положительные решения, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

  1. Решить уравнение hello_html_m4c937e56.gif.

Используя свойства логарифмов, имеем:

hello_html_bf2aabe.gif

Ответ: 0; 4.

Приведенное решение не верно, так как нет проверки или оценки ОДЗ. hello_html_m4b9ebcf7.gif является посторонним корнем.

Ответ: 4.

  1. Решить уравнение hello_html_m7472466.gif

hello_html_m33cc9056.gif, что тождественно hello_html_m6d124a28.gif;

hello_html_m7da87f9f.gif

Ответ: 5.

Решение не верно, так как нет проверки и нарушена операция потенцирования. Верный ответ hello_html_50647262.gif.

  1. Решить уравнение hello_html_m5f0a3fb3.gif

hello_html_m17f208b1.gif

hello_html_3e667478.gif; hello_html_m6985ddf0.gif;

hello_html_2fe8799f.gif;

hello_html_m151b9946.gif.

Ответ: hello_html_m6a248906.gif.

Решение не верно, так как не учтено условие hello_html_6f2fd8f8.gif, исходя из которого hello_html_7cbb6d09.gif, следовательно корень hello_html_m58d88d69.gif не входит в ОДЗ.

Ответ: hello_html_m2637fc39.gif.

Решение комбинированных уравнений (задания повышенной сложности)

  1. hello_html_m70318bc1.gif

Чем осложнено это уравнение? Какие нужны знания при решении этого уравнения?

Решение:

Найдем ОДЗ:

hello_html_m7f6da35.gif; hello_html_m6b697084.gif; hello_html_m3b519e01.gif.

hello_html_621c9cfa.gif;

hello_html_m6b06c7fd.gif

hello_html_m4f9240f2.gif;

hello_html_3214357e.gif.

По определению модуля имеем:

hello_html_5f16cb25.gif

Рассмотрим два случая:

Первый случай: hello_html_m68b87a24.gif ; hello_html_m18353269.gif

Решим неравенство hello_html_3a2b678f.gif методом параболы. Получим hello_html_3d0fc237.gif.

hello_html_5cd52017.gifотсюда получаем hello_html_m5985a37b.gif.

Второй случай: hello_html_m3c979d37.gif; hello_html_8582712.gif, следовательно, hello_html_3a4a7564.gif.

Ответ: hello_html_m5985a37b.gif; hello_html_3a4a7564.gif

  1. hello_html_442d9483.gif

Найдем ОДЗ: hello_html_m2b30ae80.gif, следовательно, корни лежат в I четверти: hello_html_423addb7.gif.

Перейдем к основанию 10:

hello_html_7306cfca.gif, следовательно,

hello_html_73aaf7e6.gif;

hello_html_12333f87.gif

hello_html_m6c203e7e.gif

hello_html_b07ebbd.gif, делим на hello_html_m1b601e0a.gif, так как из ОДЗ hello_html_127fcee9.gif.

hello_html_656cfbd1.gifhello_html_753eeaa9.png

hello_html_73ffbea6.gif.

Выберем корни, лежащие в I четверти, получаем hello_html_3b012761.gif.

Ответ: hello_html_59c34abe.gif.

Самостоятельная работа



Вариант 1

Решить уравнение hello_html_17dcb83d.gif.

Найдем ОДЗ: hello_html_2211d748.gif; hello_html_m31569c2f.gif, следовательно hello_html_2c49dec6.gif.

hello_html_m26f9bdcf.gif

hello_html_2b0847c0.gifвозведем в квадрат, оно равносильно при hello_html_2c49dec6.gif.

hello_html_70f82b01.gif

hello_html_1b8ba326.gif, следовательно, 2 корня.

hello_html_1e55787e.gif- не удовлетворяет ОДЗ

hello_html_17fbef54.gif.

Ответ: 13.



Вариант 2

Решить уравнение hello_html_mc93d0e.gif.

hello_html_14a05ca7.gif;

hello_html_20b6810a.gif

hello_html_m5da64fa3.gifили hello_html_m7da65d56.gif.

Проверка: при hello_html_m5da64fa3.gif получаем: hello_html_3c257669.gif - верно.

При hello_html_m7da65d56.gif получаем hello_html_mf42fe74.gif, не удовлетворяет, так как основание логарифма должно быть положительным.

Ответ: 0.



*** МФТИ

hello_html_6e4c3237.gif

ОДЗ:hello_html_5c36362d.gif

Используем свойства логарифмов

hello_html_m32ed7877.gif

hello_html_71704d38.gif

hello_html_m5e7bb0da.gif

hello_html_3c45b5b0.gif*

hello_html_m771faf79.gif

hello_html_541997a1.gifподставим в * hello_html_41762957.gif+0,22=0, сл.

hello_html_m36692901.gif

hello_html_61b44b55.gif

D=1+2,24=3,24=hello_html_1c0ca9a0.gif

hello_html_m67694fc4.gifили
hello_html_4bde93da.gif

Решим уравнение: hello_html_319b2785.gif

Используя формулы hello_html_78822aaf.gif получим:



hello_html_65c68ecb.gif, пусть hello_html_m4e6eeb1c.gif, то hello_html_m51518960.gif



hello_html_m4eab15ff.gif

hello_html_m3fb0b687.gif

hello_html_m4e946d95.gif

6hello_html_48228f56.gif

D=25-24=1

hello_html_m288b20f9.gif

1)hello_html_28c0f4f1.gif,

hello_html_m33c9ad27.gif

hello_html_m2a1c11bf.gif



hello_html_a366c44.gif,

hello_html_m3c29ab5e.gif

hello_html_m2a3584bb.gif

Ответ:
hello_html_m7bb859f3.gif,
hello_html_6e4b1dc3.gif



Итог урока.

Домашнее задание (дать комментарий):

hello_html_m37471a7.gif

2. hello_html_44b18e50.gif)

3.hello_html_m15e85670.gif

Краткое описание документа:

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания  учащихся по данной теме.            2. Расширить знания учащихся.           3. Учить находить  «красивое»  решение уравнений.          4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений. При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы: 1.     Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма. 2.     Решение с помощью потенцирования. 3.     Применение основного логарифмического тождества. 4.     Введение новой переменной. 5.     Использование логарифмирования. 6.     Переход к логарифму с новым основанием. На уроке разбираются задания от простого к сложному, которые включены в задания ЕГЭ по математики части В и С.Включена работа по нахождению чужих ошибок (чтобы не делать такие же). Разобраны задачи из сборника для поступающих в ВУЭы под редакцией Сканави.
Автор
Дата добавления 31.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров617
Номер материала 51669033103
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх