1000

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа.11 класс

Предпросмотр материала:

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений»

(учитель Клокова Т.Ю. МБОУ СКОШ №36 г. Озерск Челябинской области)

Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания  учащихся по данной теме.

           2. Расширить знания учащихся.

          3. Учить находить  «красивое»  решение уравнений.

         4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений.

 

 

План:

1.     Фронтальный опрос

2.     Методы решения логарифмических уравнений.

3.     «Учимся на чужих ошибках»

4.      Решение комбинированных уравнений.

5.      Обучающая самостоятельная работа.

6.     Задание на дом (дать комментарии к решению)

7.     Итог урока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фронтальный опрос

 

Дать определение уравнения

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значить найти его корни или доказать, что корней нет.

Что такое корень уравнения?

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Что такое область определения уравнения?

Областью  определения уравнения называется множество значений переменной уравнения f(x)=g(x), при которых одновременно имеют смысл f(x) и g(x).

Какие уравнения называются равносильными?

Уравнения,  имеющие одинаковые корни или не имеющие корней называются равносильными.

Следствия равносильности

1.     Если к обеим частям уравнения  f(x)=g(x) прибавить одну и ту же функцию у(х) определенную при всех значениях переменной из области определения данного уравнения, то уравнение f(x)+ у(х) =g(x)+у(х) равносильно данному.

2.     Если к оби части уравнения  f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.

Равносильны ли уравнения?

1.      (да)

 

2.  (нет)

 

3.  

(нет)

 

4.  

                (нет)

 

Что такое логарифм?

Логарифмом положительного числа  b по основанию  a (а>0, a) называется показатель степени Х, в которую нужно возвести  а, чтобы получить b, т. е

Какое уравнение называется логарифмическим?

Уравнение, в котором переменная находится под знаком  логарифмической функции.

          

Свойства логарифмов 

-

 

 

При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы:

1.     Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма.

2.     Решение с помощью потенцирования.

3.     Применение основного логарифмического тождества.

4.     Введение новой переменной.

5.     Использование логарифмирования.

6.     Переход к логарифму с новым основанием.

( При решении логарифмических уравнений необходима проверка все найденных корней или нахождения области определения уравнения, т.е. соблюдение равносильных переходов)

 

 

 

 

 

1.     Метод, основанный на определении логарифма .

По определению логарифма имеем:

, то есть  (свели уравнение к показательному уравнению, которое решается методом введения нового неизвестного),

.

Следовательно .

 : 2 корня, по обратной теореме Виета имеем:  ,следовательно

 - не удовлетворяет условию  .

Имеем: .

Проверка: если , тогда

 – верно.

Ответ: .

2.     Метод, использующий монотонность логарифмической функции (метод потенцирования).

 

Для каждой монотонной функции  из равенства  следует, что .

Рассмотрим уравнение вида    при   решением этого уравнения будут все те решения уравнения , для которых  (или ).

Поэтому уравнение  можно решить по алгоритму:

1)    Найти ОДЗ уравнения;

2)    Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение .

Конечно, не все уравнения будут иметь вид ,  поэтому необходимы будут преобразования, используя свойства логарифмической функции.

Так как , то   ;      ,  получаем   .

Исходное уравнение, используя свойства логарифмической функции можно представить в виде:

   данное уравнение  при  равносильно уравнению:

.

Возведем в квадрат, получим

 следовательно, уравнение имеет два корня:

, так как , то  посторонний корень.

.

Ответ: .

Замечание: переход от равенства  к равенству  называется потенцированием по основанию  при . Совершая потенцирование мы совершаем переход, не являющийся равносильным, поэтому нужна проверка.

 

3.     Применение основного логарифмического тождества

Найдем ОДЗ:

  ;      ;       , следовательно  .

Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим:

, следовательно, уравнение примет вид:

.

Используя определение логарифма, получаем:

;

.

Пусть ,  имеем:     

;

;

 следовательно, 2 корня

;       .

     или        .

Но  не входит в ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: .

4.     Применение логарифмирования.

Логарифмирование по основанию  представляет собой переход от равенства  к равенству , для этого .

Решим уравнение  .

Уравнение содержит неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, его можно решить, логарифмируя левую и правую часть по основанию 10, так как в условии уже имеется десятичный логарифм. Получаем:

, где    .

.

Введем новую переменную  и учитывая, что  получаем:

     или     .

Вернемся к замене:

         или   

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Все преобразования были тождественны, следовательно, оба корня являются решение уравнения.

Ответ: .   

5.     Введение нового неизвестного

         ОДЗ .

Пусть , тогда

.

 по обратной теореме Виета получаем:

   ;        .

   или      .

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 10; 10000.

 

6.     Переход к логарифму по новому основанию

 

Найдем ОДЗ:

  ;    , следовательно, .

Перейдем в уравнении к логарифму по основанию 3, получим:

, следовательно,

.

Введем новое неизвестное , получаем:

, что тождественно       

, следовательно, 2 корня.

;         .

Получаем:

    или      

Оба корня больше -1 и не равны нулю, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: ;  8.

Учимся на чужих ошибках.

1.     Решить уравнение

Решение: логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Ответ: .

Приведенное решение не верно. Логарифмировать данное уравнение нельзя, так как выражение . Функция в левой части уравнения принимает только положительные решения, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

2.     Решить уравнение .

Используя свойства логарифмов, имеем:

Ответ: 0; 4.

Приведенное решение не верно, так как нет проверки или оценки ОДЗ.  является посторонним корнем.

Ответ: 4.

3.     Решить уравнение

, что тождественно ;

Ответ: 5.

Решение не верно, так как нет проверки и нарушена операция потенцирования. Верный ответ .

4.     Решить уравнение

;      ;

;

.

Ответ: .

Решение не верно, так как не учтено условие , исходя из которого , следовательно корень  не входит в ОДЗ.

Ответ: . 

                       Решение комбинированных уравнений (задания повышенной сложности)

1.    

Чем осложнено это уравнение? Какие нужны знания при решении этого уравнения?

Решение:

Найдем ОДЗ:

  ;      ;      .

;

;

.

По определению модуля имеем:

Рассмотрим два случая:

Первый случай:       ;      

Решим неравенство  методом параболы. Получим .

   отсюда получаем .

Второй случай:  ;       , следовательно, .

Ответ: ; 

2.    

Найдем ОДЗ:   , следовательно, корни лежат в I четверти: .

Перейдем к основанию 10:

, следовательно,

;

, делим на , так как из ОДЗ .

.

Выберем корни, лежащие в I четверти, получаем .

Ответ: .

Самостоятельная работа

 

Вариант 1

Решить уравнение .

Найдем ОДЗ:     ;        , следовательно .

 возведем в квадрат, оно равносильно при .

, следовательно, 2 корня.

 - не удовлетворяет ОДЗ

.

Ответ: 13.

 

Вариант 2

Решить уравнение .

;

  или  .

Проверка: при  получаем:  - верно.

При  получаем , не удовлетворяет, так как основание логарифма должно быть положительным.

Ответ: 0.

 

*** МФТИ

ОДЗ:

Используем  свойства логарифмов 

  *

   подставим в *       +0,22=0, сл.

 

D=1+2,24=3,24=

 или

Решим уравнение:

Используя формулы       получим:

 

   , пусть ,  то

 

6

D=25-24=1

1),                

 

, 

Ответ:
,  

 

Итог урока.

Домашнее задание (дать комментарий):

2. )

3.

0%

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа.11 класс

    ZIP

31.03.2014

1407

19

Файл будет скачан в формате:

    ZIP

Автор материала

Клокова Татьяна Юрьевна

Клокова Татьяна Юрьевна

  • На сайте: 11 лет
  • Всего просмотров: 2234
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 2
  • 2234
    просмотров
  • 2
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Клокова Татьяна Юрьевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~150

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 451 курс по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: