Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

библиотека
материалов




Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.


Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»













Разработку подготовила

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ СОШ № 31

г.Новочеркасска, Ростовской области

Шевченко Людмила Ивановна









2014 год



Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике


Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»



1.Примерное планирование учебного времени:



Содержание занятий

Цели занятий

Количество часов

Простейшие тригонометрические уравнения

Повторить общие и частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора.

1

Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

Повторение основных методов решения тригонометрических уравнений: однородных I и II степеней; вынесением общего множителя за скобки; применением формул приведения, двойного угла, понижения степени и т.д.

2

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Повторение алгоритмов отбора корней в тригонометрических уравнениях. Напомнить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

3

Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Проверка знаний и умений отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1










План-конспект урока по теме

"Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Цели:

- повторить основные формулы решения тригонометрических уравнений и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;

-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.

Ход урока

1.Организационный момент.Учитель обращает внимание учащихся на важность темы урока. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тестах ЕГЭ.

2.Актуализация знаний. Учащиеся устно заполняют третий столбец таблицы,

проверка проводится с помощью презентации на слайде.


Значения

а

Уравнение

Формулы решения уравнений

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-4.gif

sinx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-5.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-6.gif

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-7.gif

а=1

sinx= 1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-8.gif

а= -1

sinx= -1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-9.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-10.gif

cosx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-11.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-12.gif

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-13.gif

а=1

cosx= 1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-14.gif

а= -1

cosx= -1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-15.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-16.gif

tgx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-17.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-16.gif

ctgx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-18.gif

Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса; формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

1). Вычислите:

а) arcsin(-1) hello_html_m23ca3d02.gif

б) arccoshello_html_2121b89d.gifhello_html_m5e6f8da6.gif

в) arcsin 2 (не существует);

г) arctghello_html_59305994.gifhello_html_m3c4470c3.gif

д)arccoshello_html_50b2dfeb.gif(не существует);

е) arсctghello_html_m2f6dd191.gif=hello_html_33c685de.gif - arсctghello_html_59305994.gifhello_html_m16f41e4e.gif

2).Решить уравнения:

а) cosx = - 1; hello_html_22a2e382.gif;

б) sin х = hello_html_7b387f41.gif;

hello_html_m2f52c54e.gif

hello_html_33a389f8.gif

hello_html_89f5302.gif;

в) cosх = 0; hello_html_m175e0dd3.gif;

г) tgx = hello_html_1d18b46d.gif; hello_html_m2043e7d5.gif.

3.Обобщение знаний.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа.Перед вами раздаточный материал.

Выполнение заданий: Учащиеся делятся на группы и решают задания, применяя разные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1 группа:(алгебраический способ)

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2hello_html_4bbc8ba.gif.Пример 1.hello_html_m7f5982ef.gif

Решение :Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

hello_html_24a2b648.gif

hello_html_68724e4c.gif

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

hello_html_m197221a2.gif

hello_html_m5c887112.gifПолучаем

hello_html_m36530b4b.gifhello_html_m418d0d13.gif

Итак,

hello_html_2a2f6d0a.gif

hello_html_7385d71e.gif

Пример 2.

hello_html_m6d59dc87.gif

Решение.

hello_html_m9513163.gif

hello_html_45f034e9.gif

hello_html_b49a14f.gifhello_html_a4e939d.gif

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

hello_html_m776a0879.gif

hello_html_m5d4839df.gif

hello_html_4ecb091a.gif

hello_html_m635ec33c.gif

hello_html_m145fa14e.gif где hello_html_263adfc2.gifцелое число.

Пусть hello_html_5b1c2c99.gif

тогдаhello_html_505d2b0c.gif hello_html_m7341b10.gifИтак,

hello_html_m4224de1d.gif

hello_html_23d663f5.gif

2 группа: Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности.

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Пример 1.cosx + cos 2xcos 3x = 1.

Решение.

cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,

2sin x sin 2x – 2sin2 x = 0,

2sin x (sin 2x – sin x) = 0,

hello_html_14656c71.gif

hello_html_m3a96f361.gif



hello_html_60184276.gif



hello_html_m46cb787b.gif





Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида hello_html_21bd8b84.gif из корней первой серии.

hello_html_m4cbe6332.gif

Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.

hello_html_m38f95580.gifРешение.







hello_html_690d63f2.gif

hello_html_m5bea5fb1.gif



hello_html_f68e1e1.gif

hello_html_m23234845.gif

hello_html_m498b1e69.gif



hello_html_181b76d7.gifhello_html_26772cc3.gifhello_html_m37bbeea9.gifhello_html_44a43322.gif tg x · tg 2x · tg 3x = 0;



















hello_html_m401a39de.gif



Из второй серии корней числа вида hello_html_416e0a3e.gif не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида hello_html_524c7e72.gif входят в третью серию. Первая серия так же входит в третью серию корней, поэтому ответ можно записать одной формулой.



hello_html_40a535d9.gif

hello_html_m746b8f0d.gifПример 3

hello_html_700ed56c.gifРешение.



hello_html_m2fc17354.gif





Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на числовую окружность все числа

hello_html_m54de0c9d.gif

серии и исключим корни,

hello_html_m66c552d0.gif

удовлетворяющие условию





Оставшиеся решения из серии корней можно

hello_html_e15f04.gif

объединить в формулу

3 группа : Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 1. Найти корни уравнения

sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие

условию xhello_html_m79f24a27.gif [0; 2hello_html_4bbc8ba.gif].

Решение.

sin 2x = cos x | cos x |;

2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;

cos x  (2sin x - | cos x |)=0;

hello_html_m20c3ed7f.gif

Определим решения систем с помощью числовой окружности.



hello_html_85f9e44.gifhello_html_3d538e78.gif

Условию xhello_html_m79f24a27.gif [0; 2hello_html_4bbc8ba.gif] удовлетворяют числа hello_html_m76b3067d.gifhello_html_m323c6a68.gifhello_html_m2a551508.gif (для первой системы) и hello_html_m63649dcc.gif(для второй системы).

hello_html_m382d5f0f.gif



Пример 2. Найти все решения уравнения

hello_html_m7adb84eb.gifпринадлежащие отрезку hello_html_m262dd0d0.gif

Решение.

ОДЗ: cos 3x ≥ 0;

hello_html_60d773b0.gif

hello_html_4827394f.gif

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:



Отрезку hello_html_40bf14f5.gif принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно hello_html_m37de6e06.gif.

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2x = 2cos2 3x ;

sin 2x = cos 6x;

sin 2x - cos 6x=0;

hello_html_9814bc2.gif

hello_html_m2b571efe.gif

hello_html_mfc18e98.gif

Пример 3 .Решить уравнение 6sin2x+2sin22x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку http://festival.1september.ru/articles/561931/img-46.gif.

Решение.

Приведем уравнение 6sin2x+2sin22x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

6··hello_html_74c02736.gif+2(1-cos22x)-5=0,

cos22x +3cos2x = 0,

cos2x (cos2x + 3) =0,

cos2x = 0.http://festival.1september.ru/articles/561931/img-48.gif

Откуда  

Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-49.gifhttp://festival.1september.ru/articles/561931/img-50.gif

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

При к=2 получим http://festival.1september.ru/articles/561931/img-51.gif, при к=3 получим http://festival.1september.ru/articles/561931/img-52.gif.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/561931/img-53.gif.

4.Отчет групп.

Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней тригонометрических уравнений.

5.Подведение итогов.

Какими способами можно произвести отбор корней?

Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?





6.Домашнее задание.

1.Решите уравнение: hello_html_m7f7e8cc8.gif

2.Найдите сумму корней уравнения hello_html_e8cb154.gif, принадлежащих отрезку

[-π;hello_html_4a7c6de3.gif].

3.Решите уравнение: hello_html_m6211390b.gif





































Проверочная работа по теме

«Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Работа рассчитана на 45 минут



1.Найдите наименьший положительный корень уравнения соs2х-1 = 0.

2.а) Решите уравнение:hello_html_5b05f53d.gif.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_7ddb729a.gif.

3. а)Решите уравнение 5sin² x – 4 sinxcosx - cos² x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_1818d50b.gif.



3.Решите уравнение sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0, и укажите корни, принадлежащие отрезку hello_html_m32d54d94.gif.

4.Решите уравнение hello_html_m67adfe9.gif, и укажите корни принадлежащие отрезку hello_html_m32d54d94.gif.

Ответы к заданиям:

  1. π.

2.а) hello_html_104baf6e.gif.

б) hello_html_m55450a52.gif.

3. а) hello_html_3d9b5cc8.gif, hello_html_7fadc1e0.gif б) hello_html_45348369.gif, hello_html_me48c040.gif, hello_html_m644e283a.gif.



4.hello_html_1d63bf7b.gif; hello_html_m2324b963.gif.

Краткое описание документа:

.В данном материале показана разработка системы уроков , направленная на подготовку учащихся к сдачи ЕГЭ в части С-1 по теме «Выбор корней в тригонометрических уравнениях.». Система уроков была опробирована с учащимися 11 класса школы . В конце изучения данной темы проведена итоговая контрольная работа, которая показала, что учащимися тема усвоена на высоком уровне. Наибольшее предпочтение учащиеся отдают выбору корней тригонометрических уравнений на заданном отрезке с помощью единичной окружности.
Автор
Дата добавления 31.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров657
Номер материала 52181033145
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх