Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса «Математика в экономике»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Программа элективного курса «Математика в экономике»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Средняя общеобразовательная школа №27»







ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ»









Составители:

Епифанова И. Г, учитель математики

Кадочикова Ю. Н, учитель математики и экономики




город Дзержинск

2009

Сегодня Россия интегрируется в мировую экономическую систему, и в начале третьего тысячелетия жизнь требует изучения основных законов экономики уже в школе и как можно раньше. Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения. Экономическая образованность и экономическое мышление формируются не только при изучении курса экономики, но и на основе всего комплекса предметов, изучаемых в школе, математике здесь принадлежит особая роль. Это объясняется тем, что многие экономические проблемы поддаются анализу с помощью того математического аппарата, который изложен в курсе математике VII – XI классов. Взаимодействие математики и экономики приносит обоюдную пользу: математика получает широчайшее поле для многообразных приложений, а экономика – могучий инструмент для получения новых знаний.

Изучение математики, а также применение современных экономико-математических методов в экономике способствует повышению уровня образования будущего специалиста, служит основой для успешного овладения специальными экономическими знаниями, дает возможность расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.

Таким образом, математические методы, базирующиеся на современных достижениях в области экономической теории, математике и ИКТ технологий, обогащают экономическую науку и способствуют ее переходу на новую, более высокую ступень, на стадию точного количественного анализа. Все это доказывает необходимость преподавания в социально-экономических классах элективного курса «Математика в экономике».

Элективный курс "Математика в экономике" предназначен для учащихся 11 класса социально-экономического профиля и рассчитан на 68 часов, 2 часа в неделю. Все экономические понятия рассматриваются в нем с точки зрения математики на примерах, которые могут быть расширенны такими темами как: математическое моделирование, стохастический анализ в экономике, банковский процент, линейное программирование.

Организация учебного процесса построена так, чтобы школьники, избравшие экономическое направление, осознанно воспринимали широко используемые в экономике математические методы. Содержание курса не дублирует школьный курс экономики и является "мостом" к его осознанному изучению. Оно нацелено на выработку общих учебных умений и навыков по решению экономических задач с использованием математического аппарата, а также на формирование обобщенных способов познавательной, коммуникативной и творческой деятельности.

Программа элективного курса в сочетании с программами школьного курса «Математика» и «Экономика» способствует расширению содержания данных предметов, и тех экономических приложений, которые в нем рассматриваются.

Данный курс может быть использован как отдельный элективный курс, как факультативный курс для расширения знаний, умений и навыков. Основными формами проведения занятий элективного курса являются изложение узловых вопросов учителем (лекционный метод, семинары, собеседования, дискуссии), решение задач и контроль знаний. Усиление научного содержания данного элективного курса требует также систематического использования исследовательского метода в обучении, что способствует формированию у старшеклассников целого ряда качеств исследователя (целеустремленность, самостоятельность, дисциплинированность, ответственность, активность и др.), которые затем пригодятся в любом виде деятельности. Практическая часть предполагает использование типового школьного оборудования кабинетов математики и экономики.

Учителю курсы дают возможность дополнить экономическим содержанием программу курса математики, а также осуществить интеграцию предметов «Математика» и «Экономика».


Цель данного элективного курса:

  • сформировать у учащихся умения применять математический аппарат для решения различных экономических задач и анализа экономических процессов.

Задачи курса:

  • сформировать у школьников понимание значения экономики для общественного прогресса; понимание экономических проблем России и возможных путей их преодоления;

  • познакомить учащихся с новой терминологией, встречающейся при изучении курса: матрица, линейное программирование, дисконтирование, , помочь понять ее и правильно использовать;

  • научить учащихся применять математический аппарат при решении экономических задач;

  • школьники должны овладеть конкретными экономическими знаниями, необходимыми для изучения других школьных предметов, для применения в практической деятельности, для выбора будущей профессии и продолжения образования;

  • привить навыки работы в группах, умение выступать, вести переговоры, отстаивать свои интересы;

  • повысить интерес к математике за счет насыщения математических моделей экономическим содержанием, введения элементов линейного программирования.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны

знать:

  • экономическую теорию, ее проблемы и закономерности;

  • природу и сущность рассматриваемых экономических процессов;

  • основные категории экономики: товар, деньги, прибыль, финансы и т.д.

  • экономические тенденции, происходящие в нашей стране и во всем мире;

  • способы построения и анализа графических моделей экономических процессов;

  • способы решения задач линейного программирования;

  • способы начисления простых и сложных процентов;

  • понятия математической статистики.

уметь:

  • объяснять, на основе какого математического аппарата основано содержание конкретной экономической задачи или ситуации;

  • правильно применять основные категории, понятия, наиболее употребляемые формулы;

  • читать информацию из таблиц и графиков, анализировать полученные данные;

  • решать основные задачи на вычисление прибыли, себестоимости, рентабельности, простых и сложных процентов и др.;

  • выделять этапы построения математической модели экономического процесса;

  • моделировать экономическую ситуацию и оперировать полученными результатами, выясняя при этом суть экономического процесса.

Методы оценки знаний:

  • Тестирование;

  • Самостоятельная работа;

  • Обсуждение вступления и заключения занятия;

  • Контрольная работа.

Программа рассчитана на 68 часов, по 2 часа в неделю в 11 классе социально-экономического профиля и включает в себя 4 темы и повторение пройденного материала. Основным приоритетом данного курса является междисциплинарная интеграция, содействующая становлению социально адаптированной личности, интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для экономической деятельности и необходимых для успешной социализации учащихся и адаптации их к реальной жизни.

СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ


Тема 1. Математическое моделирование. (8 часа)

Математическое моделирование как метод познания действительности; этапы математического моделирования (формализация, преобразование модели, интерпретация полученных решений); примеры математических моделей. Балансовая модель производства, межотраслевой баланс. Примеры экономических моделей: спрос и предложение, «золотое правило накопления».

Тема 2. Стохастический анализ в экономике (22 часа)

Классификация событий. Классическое определение вероятности. Стохастическая вероятность. Геометрическая вероятность.

Элементы комбинаторики. Алгебра событий (сумма, произведение событий, противоположные события). Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Вероятность суммы и произведения событий. Формула полной вероятности события. Формула Байеса.

Дискретные и случайные величины. Законы распределения. Основные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия. Теория вероятностей и риски.

Финансовая математика.

Тема 3. Проценты и банковские расчеты (17 ч).

Проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии.

Простые проценты. Годовая процентная ставка. Формула простых процентов. Начисление простых процентов за часть года.

Сложные проценты. Формулы для расчета сложных процентов. Общий и частные случаи начисления процентов банком.

Начисление процентов при нецелом промежутке времени. Применение банком "плавающих" ставок процентов.

Понятие о дисконтировании.

Современная стоимость потока платежей.

Бессрочная рента и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Некоторые литературные и исторические сюжеты. Решение задач, связанных с начислением простых и сложных процентов, встречающихся в ряде художественных произведений, исторических документах и преданиях.

Тема 4. Линейное программирование. (16 часов)

Понятие матрицы. Действия с матрицами. Определители 2-го, 3-го порядка.

Оптимальный план задачи линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования: симплекс – метод, метод эллипсоидов, графический метод.

Графический метод как один из самых простых и наглядных методов решения задач линейного программирования.

Дополнительные геометрические сведения: декартовы координаты, прямая, полуплоскость, пересечения прямых и полуплоскостей.

Двойственные задачи линейного программирования. Построение двойственной задачи для задач линейного программирования, записанных в симметричной форме.

Повторение (5 часов)

Систематизация знаний, практикум по решению задач, тестовый контроль.


Литература.

  1. Абчук В. А. 250 занимательных задач по менеджменту и маркетингу. – М.: Вита-Пресс, 2005.

  2. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления// Математика в школе – 2003, №5 с.50-59

  3. Башарин Г.П. Начало финансовой математики. – М.: Инфра-М, 1998

  4. Вигдорчик Е. А., Нежданова Т. М. Элементарная математика в экономике и бизнесе. – М: Вита-Пресс, 2005

  5. Гуринович С. Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: пособие /. Гуринович С. Л. Минск: Новые знания, 2008г.

  6. Липсиц А.В. Экономика. Учебник для общеобразовательных школ 1, 2 кн. – М.: Вита-Пресс, 2005

  7. Математика финансов// Математика – 2009, №12

  8. Симонов А.С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей// Математика в школе – 1998, №6

  9. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты// Математика в школе – 1998, №4

  10. Симонов А.С. Экономика на уроках математики – М.: Школа-Пресс, 1999.


ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА


урока

Название темы

Кол-во часов

Тема 1. Математическое моделирование (8 часов).

1

Понятие «модель» и «моделирование». Сущность процесса моделирования. Примеры математического моделирования.

1

2

Математическое моделирование. Примеры. Построение математической модели к экономическим задачам.

1

3 – 4

Балансовая модель производства. Межотраслевой баланс. Решение задач на составление межотраслевого баланса.

2

5 – 7

Примеры экономических моделей: спрос и предложение, «золотое правило накопления»

3

8

Контрольная работа по теме «Математическое моделирование»

1

Тема 2. Стохастический анализ в экономике (22 часа)

9

Классификация событий. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

1

10 – 11

Решение задач на вычисление вероятностей

2

12

Элементы комбинаторики.

1

13

Алгебра событий (сумма, произведение событий, противоположные события)

1

14

Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Вероятность суммы и произведения событий

1

15

Формула полной вероятности события. Формула Байеса.

1

16 – 18

Решение задач по теме «Алгебра событий, условная, полная вероятность»

3

19

Дискретные и случайные величины. Законы распределения.

1

20

Основные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия

1

21 – 22

Решение на составление распределительных таблиц, математическое ожидание, дисперсия

2

23 – 24

Теория вероятностей и риски

2

25 – 29

Финансовая математика

5

30

Контрольная работа по теме «Стохастический анализ в экономике»

1

Тема 3 Проценты и банковские расчеты (17часов).

31

Простые проценты и арифметическая прогрессия.

1

32

Начисление простых процентов за часть года. Ежегодное начисление сложных процентов.

1

33 – 34

Решение задач по теме «Начисление простых и сложных процентов»

2

35

Многократное начисление процентов в течение одного года. Число е. Многократное начисление процентов и в течение нескольких лет.

1

36 – 37

Решение задач

2

38

Начисление процентов при нецелом промежутке времени.

1

39

Выбор банком годовой процентной ставки.

1

40

Понятие о дисконтировании.

1

41 – 42

Современная стоимость потока платежей.

2

43 – 44

Бессрочная рента и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2

45 – 46

Решение задач.

2

47

Контрольная работа по теме «Проценты и банковские расчеты»

1

Тема 4. Линейное программирование (16 часов).

48 – 49

Основные понятия линейного программирования. Графический способ решения задач линейного программирования.

2

50 – 52

Решение задач по теме «Графический способ решения задач линейного программирования».

3

53 – 56

Типы задач линейного программирования. Двойственные задачи линейного программирования

4

57 – 60

Транспортная задача, как важнейший тип задач линейного программирования. Методы ее решения.

4

61 – 62

Решение задач по теме «Линейное программирование»

2

63

Контрольная работа по теме «Линейное программирование»

1

64 – 66

Итоговое повторение

3

67

Итоговая контрольная работа

1

68

Решение задач по всему курсу

2

Итого

68

Учебное пособие по элективному курсу

«МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ»

Тема 1. Математическое моделирование (8 часов).

Одним из видов формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики.

Модель – материальный или идеальный объект, который строится для изучения оригинала и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала.

Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель, т.е. приближенное описание этого класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Сам процесс математического моделирования можно подразделить на четыре основных этапа:

I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются не определенными. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели.

IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели. С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации.

Хорошую модель составить не просто. Известный математик Р.Беллман сказал так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если слишком упростим ее, то она перестанет удовлетворять нашим требованиям». Таким образом, исследователь должен пройти между западнями Переупрощения и болотом Переусложнения. Для выполнения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости. Эти правила применительно к задачам математического моделирования и формулируются так: учесть главные свойства моделируемого объекта; пренебрегать его второстепенными свойствами; уметь отделить главные свойства от второстепенных.

Составление модели - это искусство, творчество. Древние говорили: «Если двое смотрят на одно и то же, это не означает, что оба видят одно и то же». И слова древних греков: «Если двое делают одно и то же, это не значит, что получится одно и то же». Эти слова в полной мере относятся к составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использованием, как правило, современной вычислительной техники.

Покажем, как построить математическую модель задачи инвестирования. Пусть перед некоторым инвестором стоит проблема принятия решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена А, В, С, D, E, F представлены в таблице

hello_html_740b6aca.jpg

Будем считать, что при принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены следующие условия:

1. Суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $100000.

2. Доля средств, вложенная в один объект, не может превышать четверти от всего объема.

3. Более половины всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы (допустим, со сроком погашения после 2012 г.).

4. Доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать 30% от суммарного объема.

Построим математическую модель этой задачи. Будем считать, что управляемые переменные – объемы средств, вложенных в активы той или иной фирмы. Обозначим их XA, XB, XC, XD, XE, XF. Тогда суммарная прибыль от размещенных активов, получаемых инвестором, может быть представлена в виде

Р = 0,055 XA + 0,06 XB + 0,08 XC + 0,075 XD + 0,055 XE + 0,07 XF.

Составим систему ограничений по условию задачи.

1. Ограничения на суммарный объем активов:

XA+XB+XC+XD+XE+XF≤100000.

2. Ограничения на размер доли каждого актива:

XA ≤ 25000,

XB ≤ 25000,

XC ≤ 25000,

XD ≤ 25000,

XE ≤ 25000,

XF ≤ 25000.

3. Ограничения, связанные с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы: XB+ XC ≥ 50000.

4. Ограничения на долю ненадежных активов: XC+ XD ≤ 30000.

5. В силу экономического содержания задачи, переменные должны удовлетворять условию неотрицательности:

XA≥ 0, XB≥ 0, XC≥ 0, XD≥ 0, XE≥ 0, XF ≥ 0.

Таким образом, математическая модель задачи инвестирования представляет собой систему ограничений в виде линейных неравенств и целевую функцию, также линейную.

Задание 1.

Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать не более 600 прогулочных и не более300 спортивных велосипедов. Качество проверяется на двух стендах А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0.3 ч на стенде А и 0.1 ч – на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется 0.4 ч на стенде А и 0.3 ч – на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать более 240 ч в месяц, а стенд В – не более 120 ч в месяц. Реализация каждого прогулочного велосипеда приносит фирме доход в 50 руб., а каждого спортивного- 90 руб.сколько прогулочных и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать фирма, чтобы её прибыль была наибольшей?

Составим математическую модель

Х- кол-во прогулочных велосипедов , выпускаемых в месяц

У- кол-во спортивных велосипедов , выпускаемых в месяц

0≤Х≤600, 0≤У≤300

занятость стенда А : 0.3Х+0.4У и это ≤ 240 ч.

Занятость стенда В : 0.1Х+ 0.3У≤120 ч

Прибыль фирмы: 50Х+90У

Получим систему неравенств:

hello_html_5d73995a.gif0.3Х+0.4У≤ 240

0.1Х+ 0.3У≤120

0≤Х≤600

0≤У≤300

изобразим на плоскости множество точек, удовлетворяющей системе

hello_html_22fca185.png

Функция S= 50Х+90У достигает своего наибольшего значения в одной из вершин многоугольника: О(0;0), А(0;300), В(300;300), С(480;240), D(600;150),E(600;0)

Вычисляем значение прибыли в каждой точке:

O: S=50*0+90*0=0

A=50*0+90*300=27 000

B: 50*300+90*300=42 000

C: 50*480+90*240=45 600

D: 50*600+90*150=43 500

E: 50*600+90*0=30 000

Наибольшее значении е прибыли равно 45 600 руб. и достигается оно при выпуске 480 прогулочных велосипедов и 240 спортивных велосипедов.

Задание 2.

Детали №1 и №2 можно изготовить на станках А и В. Производительность станков в минуту дана в таблице:

Станки/ детали

1

2

А

4

2

В

1

6

В комплект входят одна деталь № 1 и две детали №2. Нужно изготовить за смену наибольшее количество комплектов. Сменный фонд рабочего времени каждого станка 6 часов. Составить математическую модель.

Балансовые модели

Самыми известными являются модели межотраслевого баланса (МОБ). Предшественниками МОБ были: экономическая таблица Ф. Кенэ (1758) и схемы общественного воспроизводства К. Маркса (XIX в.). Русский экономист В.К.Дмитриев (1868-1963), изучая межотраслевые связи, впервые использовал для этой цели линейные уравнения и предложил технологические коэффициенты. В 1924 г. в СССР впервые был составлен межотраслевой баланс народного хозяйства. В 1926 г. появилась работа П.И. Попова и Л. Н. Литошенко «Баланс народного хозяйства СССР», с которой В.В.Леонтьев познакомился еще в рукописи.

Автором современной модели межотраслевого баланса (в англоязычных странах он имеет название «input-output analysis») является В.В. Леонтьев (1906-1999) Он окончил факультет общественных наук Санкт-Петербургского университета «по финансовому циклу», в 1925-1928 гг. жил в Берлине, в 1931 г. эмигрировал в США. Книга Леонтьева «The Structure of American Economy («структура американской экономики»)» появилась в 1941 г. Цитата из нее: «Сей скромный труд описывает попытку применить экономическую теорию общего равновесия… к эмпирическому изучению взаимозависимости между различными отраслями народного хозяйства, проявляющейся в ковариации дел, объемов производства, капиталовложений и доходов». В 1985 г. В.В. Леонтьеву была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы. Такие балансы могут составляться для страны, региона и предприятия.

Отчетный межотраслевой баланс

Отчетный межотраслевой баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенной в стране за отчетный год. Он представлен в таблице 1.1.

Отчетный межотраслевой баланс в денежном выражении

Таблица 1.1

 

Потребляющие отрасли

Итого

Конечный продукт

 

Х

1

j

...

n

C

I

G

NX

y

I квадрант

                         II квадрант

Производящие отрасли

1

x11

...

x1j

...

x1n


C1

I1

G1

NX1

y1

X1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

i

xi1

...

xij

...

xin


Ci

Ii

Gi

NXi

yi

Xi

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

n

xn1

...

xnj

...

xnn


Cn

In

Gn

NXn

yn

Xn

Итого


...


...









III квадрант

IV квадрант

W

W1

...

Wj

...

Wn


WC

WI

WG

WNX

Wy

 

R

R1

...

Rj

...

Rn


RC

RI

RG

RNX

Ry

A

A1

...

Aj

...

A


AC

AI

AG

ANX

Ay

%

%1

...

%j

...

%n


%C

%I

%G

%NX

%y

Р

P1

...

Pj

...

Pn


PC

PI

PG

PNX

Py

D

D1

...

Dj

...

Dn


DC

DI

DG

DNX

Dy

S

S1

...

Sj

...

Sn


SC

SI

SG

SNX

Sy

X

X1

...

Xj

...

Xn


 

 

 

 

 

 

Это таблица, состоящая из четырех частей (квадрантов), занумерованных от I до IV. I квадрант (левая верхняя четверть) отражает структуру производства и производственного потребления промежуточного продукта. Он представляет собой квадратную матрицу размерностью nn, где n – число отраслей, на которые разбито народное хозяйство.

В процессе изложения будем последовательно вводить необходимые понятия и обозначения. Отрасль – множество предприятий, производящих одинаковую продукцию. Каждая отрасль одновременно является производящей и потребляющей. Когда отрасли рассматриваются как производящие, будем обозначать их индексом  i , а потребляющие – j:

i - индексы производящих отраслей;

j - индексы потребляющих отраслей.

Если i = j , то это одна и та же отрасль.

Матрица I-го квадранта заполнена числами xij , где xij – объем продукции i-й отрасли, использованной для производства всей продукции j-й отрасли. Величины xij измеряются в деньгах, поэтому их можно складывать. Номера строк в I-м квадранте – это номера производящих отраслей, номера столбцов – номера потребляющих отраслей. Обратимся к отчетному межотраслевому балансу в денежном выражении.

Рассмотрим i-ю строку I-го квадранта. Величины    xi1, ... , xij, ... ,xin показывают, какой объем продукции i-й отрасли израсходован в отчетном году на производство продукции всех отраслей от 1-й до n-й. Сумма этих величин по строке  есть промежуточный продукт i-ой отрасли, израсходованный всеми отраслями.

Рассмотрим j-й столбец I квадранта. Величины x1j,..., xij, ... , xnj показывают объемы продукции всех отраслей от 1-й до n-й, использованные на производство продукции j-й отрасли. Продукция j-й отрасли собирается из продукции других отраслей, стоимость этой продукции переносится на стоимость продукции j-й отрасли. Если просуммировать по j-му столбцу все величины от x1j до xnj, получится величина , которая равна всей стоимости, перенесенной в j-ю отрасль из всех отраслей. Сумма всех элементов матрицы первого квадранта  есть весь промежуточный продукт народного хозяйства, она же равна всей перенесенной стоимости. Эта величина записана в правом нижнем углу первого квадранта.

Во II квадранте отражается структура конечного продукта. Конечным называется продукт, произведенный в отчетном году и использованный на непроизводственное потребление и накопление. Если исчисляется конечный продукт, произведенный внутри страны, то это будет валовой внутренний продукт (ВВП). В статистике ВВП исчисляется по расходам на его производство (ВВПрас) и по доходам, полученным при его производстве (ВВПдох). Т.к. всякий доход является чьим-то расходом, то очевидно, что ВВПрас=ВВПдох. Во II квадранте структуру конечного продукта представим в соответствии с формулой расчета ВВП по расходам:

ВВПрас =  С + I + G + NX ,

где С – потребление домашних хозяйств;

I – валовые частные инвестиции;

G – государственные закупки товаров и услуг;

NX – чистый экспорт, т.е. экспорт минус импорт.

В предпоследнем справа столбце II квадранта отражен конечный продукт у, который и есть ВВП. Тогда для i-й отрасли справедливо равенство:

В крайнем правом столбце записаны валовые продукты отраслей:

Xiваловой продукт i-й отрасли.

Валовой продукт отрасли (Xi) равен сумме промежуточного (xi) и конечного (yi) продуктов:

В нижней строке II квадранта записаны суммы по столбцам:

потребление всех домашних хозяйств;

валовые частные инвестиции всего народного хозяйства;

валовые государственные закупки товаров и услуг; это часть ВВП, потребляемая государством;

валовой чистый экспорт;

валовой внутренний продукт народного хозяйства;

сумма валовых продуктов отраслей.

Казалось бы,– это и есть ВВП, но это не так. В состав Xi входит промежуточный продукт, а ВВП по определению есть конечный продукт. Именно поэтому ВВП =.

Любая отрасль изготовляет свою продукцию, используя продукцию других отраслей и затрачивая на обработку собственные факторы производства (труд, землю, капитал). Поэтому стоимость продукции любой отрасли состоит из двух частей: первая – стоимость, созданная в других отраслях и перенесенная на стоимость данной; вторая – стоимость, созданная в данной отрасли в процессе обработки и добавленная к перенесенной. Факторы производства, создавшие добавленную стоимость, получают ее в виде факторных доходов. Это положение  было доказано в разд. 2.2 (теорема Кларка).

В III квадранте отражается добавленная стоимость. Структура ее дается в соответствии с формулой расчета ВВП по доходам:

ВВПдох = W + R + A + % + P + D.

где W – заработная плата наемных работников;

R – рентные платежи (за землю, оборудование, квартиры и т.д.);

A – амортизация основного капитала;

% – чистый процент (доход от облигаций, срочных вкладов в банке, сберегательных сертификатов и т.д., т.е. от любых финансовых активов);

P – прибыль корпораций;

D – доход некорпорированных предприятий.

Обозначим через Sj добавленную стоимость j-й отрасли, тогда

В крайнем правом столбце III квадранта записаны суммы по строкам:

заработная плата всех наемных работников в стране;

валовые рентные платежи;

валовая амортизация основного капитала;

валовой доход от финансовых активов;

прибыль всех корпораций;

доход всех некорпорированных предприятий;

валовая добавленная стоимость, созданная во всем народном хозяйстве.

В нижней строке III квадранта располагаются валовые объемы продукции отраслей Xj. Они равны сумме перенесенной и добавленной стоимостей:

В правом нижнем углу третьего квадранта находится сумма валовых объемов продукции отраслей, она равна сумме промежуточного продукта и добавленной стоимости.

В IV квадранте доходы связываются с расходами. Любая строка показывает, из каких источников образовался соответствующий доход. Так, в первой строке

WCзарплата наемных работников, полученная в результате потребительских расходов домашних хозяйств;

WI  – зарплата, полученная от инвестиционных расходов домохозяйств;

WG – зарплата, полученная от государственных закупок;

WNX  –зарплата, полученная от чистого экспорта;

Wу – зарплата, полученная от производства всего ВВП (конечного продукта).

Аналогично зарплате W в IV квадрант входят все остальные элементы доходов (R, A, %, P, D), а также добавленная стоимость S. Причем: нижняя строка и правый столбец в IV квадранте не используются.

Общественное производство состоит из восьми отраслей. Задана матрица коэффициентов прямых затрат.

Задание 3. По заданной конечной продукции рассчитать валовую.

Конечная продукция.

 Отрасли

1

2

3

4

5

6

7

8

Конечная продукция

1831,2

243,4

941,8

2248,2

751,1

643,2

1725,0

2540,2


Составим систему уравнений, подставив в нее значения конечной продукции:

X1=0,01X1 + 0X2 + 0,12X3 + 0,03X4 + 0,07X5 + 0,14X6 + 0,12X7 + 0,01X8 + 1831,2;

X2=0,22X1 + 0,08X2 + 0,06X3 + 0,13X4 + 0,14X5 + 0X6 + 0,18X7 + 0,03X8 + 243,4;

X3=0,03X1 + 0,09X2 + 0,14X3 + 0X4 + 0,02X5 + 0,05X6 + 0X7 + 0,04X8 + 941,8;

X4=0X1 + 0,08X2 + 0,07X3 + 0,05X4 + 0,03X5 + 0,09X6 + 0,08X7 + 0,04X8 + 2248,2;

X5=0,08X1 + 0,04X2 + X3 + 0,14X4 + 0,01X5 + 0,03X6 + 0,08X7 + 0,09X8 + 3751,1;

X6=0,03X1 + 0X2 + 0,02X3 + 0,13X4 + 0,12X5 + 0,4X6 + 0,03X7 + 0X8 + 643,2;

X7=0,19X1 + 0,3X2 + 0,15X3 + 0,09X4 + 0X5 + 0,09X6 + 0,14X7 + 0,06X8 + 1725,0;

X8=0X1 + 4X2 + 0,07X3 + 0,08X4 + 0,17X5 + 0,04X6 + 0,18X7 + X8 + 2540,2.

Решить эту систему можно на компьютере с использованием любого программного продукта, решающего системы линейных уравнений, например, EXCEL. Решение приведено в следующей таблице.

Валовые объемы продукции отраслей.

 Отрасли

1

2

3

4

5

6

7

8

Валовой

 продукт

3508,0

3374,8

2019,8

3807,8

2660,6

2938,9

5341,0

4652,4

 

Задание 4.   В таблице заданы валовые продукты отраслей.

 Отрасли

1

2

3

4

5

6

7

8

Валовой

продукт

3600

4500

1800

2300

6700

4300

5600

4670

 

Рассчитать конечные продукты отраслей. Для этого в системе уравнений все величины X1 ,..., X8 заменить на значения из приведенной выше таблицы, а численные значения конечной продукции на символы y1, ... , y8. Решение полученной системы уравнений дает значения конечных продуктов отраслей.

Конечные продукты отраслей.

 Отрасли

1

2

3

4

5

6

7

8

Конечные

продукты

1489,3

854,9

499,2

476,2

4845,7

1165,0

1637,8

1861,0



 Определить уровень и динамику изменения реальных доходов населения республики с помощью укрупненного метода с учетом национального дохода.

Расчет реальных доходов населения укрупненным методом

Таблица 1.2

Показатель

Базисный год

Расчетный год

Национальный доход, используемый на потребление и накопление, млрд. р.

505

600

Фонд потребления, млрд. р.

368


В том числе:

- личное потребление населения (87%)

- материальные затраты в учреждениях, обслуживающих население (10%)

- материальные затраты в учреждениях науки и управления (3%)



Индекс цен на товары и услуги

1,42

1,65

Реальные доходы населения, млрд. р.



Численность населения, млн. чел.

9,9

9,85

Реальные доходы в расчете на душу населения, р.



Динамика реальных доходов на душу населения (в расчетном периоде по сравнению с базисным),%




Фонд потребления в расчетном году составит 75% от национального дохода.

Решение:

Определим уровень и динамику изменения реальных доходов населения республики с помощью укрупненного метода с учетом национального дохода.

Определяем фонд потребления в расчетном году (ФПр) из условия, что он составит 75% от национального дохода.

ФПр=НДр*0,75= 600*0,75=450 (млрд. р)

Определим структуру фонда потребления. Так личное потребление населения составляет 87% от фонда потребления. Личное потребление в базисном году (ЛПб) составит:

ЛПб=ФПб*0,87=368*0,87=320,16 (млрд. р)

Личное потребление в расчетном году (ЛПр) составит:

ЛПр=ФПр*0,87=450*0,87=391,5 (млрд. р)

Материальные затраты в учреждениях, обслуживающих население и материальные затраты в учреждениях науки и управления определяются аналогично.

Определим реальные доходы населения в базисном периоде (РДб) пределим путем деления ном году () лицу. путем деления личного потребления в базисном периоде (ЛПб) на индекс цен на товары и услуги в базисном периоде (ИЦб):

РДб=ЛПб/ИЦб=320,16/1,42=225,46 (млрд. р)

В расчетном периоде реальные доходы населения составят:

РДр=ЛПр/ИЦр=391,5/1,65=237,3 (млрд. р)

Определим реальные доходы в расчете на душу населения в базисном периоде (РДДб):

РДДб=РДб/Чб=225460/9,9=22774 (р)

В расчетном периоде реальные доходы в расчете на душу населения составят:

РДДр=РДр/Чр=237300/9,85=24091 (р)

Динамика реальных доходов на душу населения в расчетном периоде по сравнению с базисным составит: 24091/22774*100%=105,78%.

Таким образом, в расчетном периоде доходы на душу населения возросли на 5,78%.

Экономика, состоящая из шести отраслей (рудодобывающей, угледобывающей, электроэнергетики, металлургии, машиностроения и производства ТНП), имела в прошедшем году следующие результаты, ден. ед. Руды было добыто 100; из нее металлурги выплавили 500 металла, который был использован в машиностроении (300) и при производстве ТНП (200). Угля добыто 150; он был поровну распределен между производством электроэнергии, выплавкой металла и потреблением домашних хозяйств. Произведенная электроэнергия в объеме 250 была использована следующим образом: по 30 на добычу руды и угля; 40 в металлургии; по 50 в машиностроении, при производстве ТНП и в быту. Вся продукция машиностроения 1000 была использована для валовых инвестиций, а все ТНП в объеме 2000 потребили домашние хозяйства. Известны также суммы начисленной амортизации и заработной платы в каждой из отраслей:

Отрасль

Амортизация

Зарплата

Рудодобывающая
Угледобывающая
Электроэнергетика
Металлургия
Машиностроение
ТНП

10
25
15
40
110
50

40
65
100
170
340
1000

Задания:

1. Составить на основе приведенных данных межотраслевой баланс.

2. Определить величину ВВП (ВНП) в данной экономике.

3. Представить структуру ВВП: а — по его использованию; б — по его образованию.

4. Вычислить долю прибыли, использованной для инвестиций.

1) Межотраслевой баланс

Отрасль и
экономические
показатели

Потребление

 СОП

 промежуточное

конечное

Руды

Угля

Электро
энергии

Металла

Машин

 ТНП

всего

 C

I

всего

Рудодобывающая
Угледобывающая
Электроэнергетика
Металлургия
Машиностроение
ТНП
Материальные
затраты
Амортизация
Зарплата
Прибыль
СОП

-
-
30
-
-
-

30
10
40
20
100

 -
-
30
-
-
-

30
25
65
30
150

-
50
-
-
-
-

50
15
100
85
250

 100
50
40
-
-
-

190
40
170
100
500

-
-
50
300
-
-

550
110
340
200
1000

 -
 -
50
200
-
-

250
50
1000
700
2000

100
100
200
500
0
0

900
250
1715
1135
4000

-
50
50
-
-
2000

2100



-
-
-
-
1000
-

1000



 

-
50
50
-
1000
2000

3100



 

100
150
250
500
1000
2000

4000



 

2) ВВП = ВНП = 3100.

3) Y = C + I = 2100 + 1000=3100

4) Прибыль = выручка – материальные затраты – амортизация –– заработная плата = 4000 – 900 – 250 – 1715 = 1135. По условию валовые инвестиции равны 1000 ден. ед., а амортизация — 250 ден. ед. Следовательно, из прибыли на инвестиции пошло 750 ден. ед. или 66 %.

Классические и неоклассические модели экономического роста.

Модель Р. Солоу. «Золотое правило накопления»

Проблемы экономического роста в том или ином виде рассматривались многими экономистами, хотя при этом следует учитывать реальный уровень развития хозяйственной системы.

К примеру, главным достижением А. Смита у нас традиционно считался вклад в развитие трудовой теории стоимости, хотя он сам, занимаясь вопросами, связанными с динамикой производства и заработной платы, просто ставил задачу определить “первоначальное состояние дел”, предшествующих присвоению земли и накоплению капитала.

Действительно, на начальных этапах цены и объем производства определялся трудом и только трудом: любой товар обменивался по цене, пропорциональной затраченному на его производство рабочему времени (пропорционально издержкам труда), поскольку другие факторы в производстве просто не участвовали. Тогда весь национальный доход состоял из оплаты труда (дохода), а средний доход отдельного работника был постоянным.

Со временем растущее население заняло все земли, поэтому она (земля) превратилась в ограниченный ресурс, появилась рента. Население продолжало расти. Совокупное производство при увеличении объемов начинает испытывать влияние закона уменьшающейся отдачи, поскольку предельный продукт труда постоянно снижается, так как растет соотношение земля / труд. Уменьшается доход от труда, вместе с ним понижается доход на душу населения, но растет рента.

Другой представитель классической школы, Т. Мальтус, полагал, что увеличение населения при неизменном объеме земли приводит к тому, что экономика производит лишь прожиточный минимум. Отсюда равновесие численности населения определяется устойчивым минимумом производства. В этом суть концепции долгосрочного застоя, долгосрочной стагнации Т. Мальтуса. Такой подход вполне применим к экономике слаборазвитых стран.

В дальнейшем развивающаяся экономика дала повод не только обратить внимание на другие факторы производства, но также учесть их взаимозаменяемость и динамику уровня технической оснащенности, т.е. влияние технического прогресса.

В развитие неоклассической теории экономического роста наиболее весомый вклад внес американский экономист Р. Солоу, получивший в 1987 г. за свои исследования Нобелевскую премию по экономике. Его модель раскрывает воздействие на рост национального производства трех факторов – масштабов сбережений, изменения численности населения и технического прогресса.

Основные положения теории (модели) Р. Солоу состоят в следующем:

Необходимое условие равновесия экономики – равенство совокупного спроса и совокупного предложения.

Совокупное предложение определяется на основе производственной функции Кобба – Дугласа. Как известно из курса микроэкономики, функция Кобба – Дугласа выражает функциональную зависимость между объемом производства и используемыми в определенной (фиксированной) пропорции (комбинации) факторами. В модели Р. Солоу рассматривается экономика с совершенной конкуренцией, производящая однородную продукцию на базе двух факторов производства – труда (L) и капитала (K):

Y =  F(K, L) и ΔY =  F(ΔK, ΔL)

Величины Y и K можно соотнести с количеством используемых единиц труда L, т.е. определить их в расчете на одного работника:

y  =  Y/L ,

где y – выпуск продукции на одного работника (производительность труда).

k  =  K/L ,

где k – капиталовооруженность (фондовооруженность) труда.

  При L =1 производственная функция примет следующий вид:

y = f(k) ,

где f (k) = F (k, 1).

Выражение y= f(k) означает, что объем продукции на одного работника определяется капиталовооруженностью труда. Указанную зависимость можно представить в графической форме (см. рис. 1).

hello_html_348b34b5.png

График наглядно иллюстрирует, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции на одного работника: y  =  f(k).

Тангенс угла наклона касательной h равен предельной производительности капитала: если k увеличивается на единицу, то y возрастает на MPK единиц:

MPK  =  f(k +1) – f(k).

С ростом капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, т.е. каждая дополнительная единица капитала позволяет производить меньше продукта, нежели предыдущая (понижающаяся предельная производи­тельность капитала).

Можно сделать практический вывод: в странах с низкой капиталовооруженностью каждая дополнительная единица капитала дает большой экономический эффект. В странах с высокой капиталовооруженностью, наоборот, каждая дополнительная единица капитала будет менее эффективна.

Совокупный спрос в модели Р. Солоу включает два элемента: потребительский и инвестиционный спрос (государственные закупки и сальдо экспорта-импорта для простоты не учитываются). Соответственно, выпуск всей продукции в расчете на одного работника можно определить следующим образом:

y  =  c + i ,

где c и i – потребление и инвестиции в расчете на одного работника.

Если учесть, что доход используется на потребление и сбережения (в соответствии со сложившейся склонностью к сбережению), то функцию потребления можно записать следующим образом:

c  =   (1– s) × y ,

где s – норма сбережения (накопления), которая 0< s <1.

Подставляя полученное выражение в равенство y =  c + i , получим:

y  =  c + i = (1 – s )×y + i .

Если мы раскроем скобки и приведем подобные, то получим следующее равенство:

i  =  s ×y .

Полученное равенство свидетельствует о том, что в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

В конечном итоге мы получаем два выражения, которые характеризуют условие равновесия спроса и предложения:

f(k) = c + i или f(k) = i/s .

Первый фактор (источник) экономического роста в модели Р.Солоу – накопление капитала. Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие – уменьшает.

hello_html_78d82221.png

Выше уже рассматривалась функция инвестиций в расчете на одного работника (т.е. капиталовооруженность труда):

i  =  s × y

Подставляя вместо y выражение производственной функции, получим уравнение инвестиций как функцию от капиталовооруженности:

i  =  s × f(k) 

Следовательно, чем выше уровень капиталовооруженности k , тем выше уровень производства f(k) и больше инвестиции i. Налицо связь между существующими запасами капитала k и накоплением нового капитала i (см. рис. 2).

Если инвестиции увеличивают капиталовооруженность труда, то выбытие (износ) приводят к ее снижению.

hello_html_a5f717a.png

Пусть ежегодно выбывает определенная доля капитала d (норма амортизации). Например, если капитал эксплуатируется 10 лет, то норма выбытия будет равна 10 % в год (d = 0,1).

Количество капитала, которое выбывает каждый год, равно ( d × k ). Выбывающая ежегодно часть капитала пропорциональна общим его запасам, что можно представить в графической форме (см. рис. 3).

Влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала можно выразить следующим образом:

Δk = i – d × k =  s × f(k) – d × k .

hello_html_4b93743.png

Величина капитала в стране возрастает (Δk >0), если валовые инвестиции превышают уровень выбытия капитала. Если валовые инвестиции равны уровню выбытия капитала, то величина применяемого в стране капитала остается стабильной, неизменной (Δk =0 и s × f(k) = d × k ).

Если рассматривать соотношения инвестиций и выбытия при различных уровнях k , то можно найти единственное значение k*, при котором инвестиции равны величине износа (точка E). Такую ситуацию Р. Солоу назвал состоянием устойчивой (равновесной) капиталовооруженности (см. рис. 4).

Считается, что независимо от первоначального объема капитала, с которым экономика начинает развиваться, в долгосрочном периоде она достигает устойчивого состояния. Если запасы капитала ниже устойчивого уровня (k1 < k*), инвестиции превышают выбытие (износ), капиталовооруженность растет вместе с производством, пока не достигнет k*. Напротив, если k2 > k*, то инвестиции меньше выбытия (износа), поэтому капиталовооруженность падает.

Ключевой фактор, определяющий уровень устойчивой капиталовооруженности, – это норма накопления (сбережения).

hello_html_m293d5859.png

Более высокая норма сбережения обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства (см. рис. 5).

Следует учесть, что высокие сбережения приводят к более быстрому росту, но ускорение длится не вечно – только до достижения нового устойчивого состояния.

Таким образом, процесс накопления как результат увеличения нормы сбережения не объясняет механизма экономического роста, а лишь обусловливает переход от одного равновесного состояния к другому.

В развитие анализа экономического роста Р. Солоу рассматривает фактор численности населения (работников). Если население растет с постоянным темпом n , то при прочих равных условиях это приведет к снижению капиталовооруженности труда.

При росте численности работников изменение запаса капитала на каждого из них составит:

Δk = i – d × k – n × k = i – k × (d + n) = s × f(k) – k × (d + n) .

Таким образом, эффекты выбытия капитала и роста населения объединяются. Следовательно, для поддержания запаса капитала на прежнем уровне необходим объем инвестиций, покрывающий не только выбытие капитала, но также обеспечивающий капиталом новых работников в том же объеме, что и старых.

hello_html_5f9b5b61.png

Составляющая k × (d + n) является критической величиной инвестиций. Она показывает такой их объем, который необходим для поддержания капитала, приходящегося на одного работника, на постоянном (неизменном) уровне.

Для того чтобы экономика находилась в устойчивом состоянии, инвестиции s × f(k) должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения k × (d + n). В этом случае капиталовооруженность k и производительность труда y останутся неизменными (см. рис. 6).

hello_html_m579a2111.png

Постоянство капиталовооруженности при росте населения означает, что капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е. n (ΔY/Y =ΔL/L =ΔK/K = n).

Рост населения – одна из причин непрерывного экономического роста (производства) в условиях устойчивого состояния экономики. Однако если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет к уменьшению запаса капитала на одного работника (см. рис. 7). Отсюда следует вывод: страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность и, следовательно, более низкие доходы.

Третий источник экономического роста в модели Р. Солоу – технический прогресс. В неоклассической теории под техническим прогрессом понимается не машинизация (замена живого труда машинами), а качественные изменения в производстве (повышение образовательного уровня работников, улучшение организации, рост масштабов производства и т.д.). По расчетам Р. Солоу, с середины ХХ века за счет технического прогресса экономический рост происходил на 80 %, в то время как за счет роста численности населения и роста инвестиций – на 20 %. Американский экономист Э. Денисон приводилась иная пропорция (68 и 32 % соответственно).

Если принять во внимание технический прогресс, то исходную производственную функцию можно записать следующим образом:

Y =  F( K, L×Δ) ,

где Δ – переменная, характеризующая эффективность труда одного работника (зависит от его здоровья, образования, квалификации); L×Δ – численность эффективных единиц труда.

В модели предполагается, что технический прогресс вызывает прирост эффективности ε с постоянным темпом g . Это форма трудосберегающего технического прогресса, а g – темп трудосберегающего технического прогресса.

Общее количество эффективных единиц труда L×Δ растет с темпом n+g. С учетом этого уравнение изменения K во времени примет теперь вид:

Δk = i – k × (d + n + g) = s × f(k) – k × (d + n + g) .

hello_html_m305ea236.png

Нетрудно увидеть, что существует только один уровень капиталовооруженности k1*, при котором капитал и выпуск, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны. Такое устойчивое состояние есть долгосрочное равновесие экономики (см. рис. 8).

Таким образом, в устойчивом состоянии при наличии технического прогресса общий объем капитала K и выпуск Y будут расти с темпом n + g. В расчете на одного работника капиталовооруженность (K/L) и выпуск (Y/L) будут расти с темпом g. Следовательно, технический прогресс – единственное условие непрерывного роста уровня жизни.

Модель Р. Солоу позволяет дать практические рекомендации по государственной политике регулирования экономического роста. Оно может осуществляться через воздействие на норму сбережения (накопления) и скорость технического прогресса.

Равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения, но оптимальной будет только та, которая обеспечивает экономический рост с максимальным уровнем потребления. Оптимальная норма накопления соответствует “золотому правилу”.

Вообще, ответ на вопрос о том, каковы условия оптимального для общества экономического роста, дали сразу несколько экономистов (Дж. Мид, Дж. Робинсон, К. фон Вайцзеккер и др.) в начале 1960-х гг., но первым опубликовал его американский экономист Эдмунд Фелпс. Ему же принадлежит и термин “золотое правило накопления капитала”, вошедший с тех пор в широкое употребление.

Э. Фелпс задался вопросом, какой величины капитал захочет иметь общество, находящееся на траектории сбалансированного роста. Если он будет достаточно большим, это гарантирует высокий уровень производства, но все большая его часть пойдет не на потребление, а на накопление – общество не сможет насладиться плодами роста. Если же объем капитала будет слишком малым, то потреблять можно будет почти все, что произведено, но произведено-то будет совсем немного. Где-то посредине между двумя крайностями, очевидно, находится оптимальная для общества точка, в которой достигается максимальный объем потребления.

Пусть k** – уровень капиталовооруженности, соответствующий норме накопления по “золотому правилу”, а c** – уровень потребления.

Вся произведенная продукция расходуется на потребление и инвестиции:

y  =  c + i => c = y –  i

1) Увеличение или уменьшение нормы сбережений:

Если экономика развивается с запасом капитала, большим, чем она могла бы иметь по “золотому правилу”, то необходимо проводить политику, направленную на снижение нормы сбережений. В свою очередь, это приведет к увеличению потребления и соответствующему снижению инвестиций и, следовательно, уменьшению устойчивого уровня запаса капитала.

Если экономика развивается с меньшей капиталовооруженностью, чем при устойчивом состоянии по “золотому правилу”, то нужно стимулировать рост нормы сбережений в обществе. Это приведет к снижению уровня потребления, росту инвестиций, что, в конечном итоге, вновь приведет к росту потребления.

  2) Стимулирование технического прогресса:

Как следует из модели Р. Солоу, более быстрый темп роста населения окажет влияние на ускорение темпов роста экономики, но выпуск на душу населения будет снижаться в устойчивом состоянии. Другой фактор – увеличение нормы сбережения – приведет к более высокому доходу на душу населения и увеличит коэффициент капиталовооруженности, но не повлияет на темпы роста в устойчивом состоянии. Поэтому технический прогресс является единственным фактором, обеспечивающим экономический рост в устойчивом состоянии, т.е. увеличение дохода на душу населения. Следовательно, государство должно стимулировать технический прогресс (бюджетное финансирование фундаментальных исследований, патентное законодательство, налоговые преференции).

Кроме Р. Солоу теорию экономического роста в рамках неоклассического направления развивал английский экономист Дж. Мид. Он использовал модифицированную версию функции Кобба – Дугласа и вывел уравнение возможности устойчивого динамического равновесия:

Y  =  αK  + βL  + r  ,

где:    Y – среднегодовой темп роста национального дохода;

K – среднегодовой темп роста капитала;

α – доля капитала в национальном доходе;

β – доля труда в национальном доходе;

r – темп технического прогресса.

Предположим, что темпы роста труда и технического прогресса постоянны, Дж. Мид сделал вывод, что устойчивый темп экономического роста будет достигнут при условии устойчивости темпов роста капитала и его равенства с темпами роста национального дохода.

Таким образом, главное, что Р. Солоу и неоклассическая школа в целом привнесли в моделирование экономического роста, – усиление роли капитала и технологических изменений. Даже при неизменности технологий в экономике наблюдается постоянное увеличение объемов инвестиций в физический капитал. В результате растет объем применяемого физического капитала на одного работника (т.е. растет капиталовооруженность труда). Чем глубже развивается этот процесс, тем в большей мере на него действует закон уменьшающейся отдачи. Предельный продукт работника отстает от объемов инвестиций, т.е. увеличение капиталовооруженности дает все меньший эффект. Примером может служить ситуация в экономике СССР в 1970-1980-е гг.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Для реализации сахара и муки частный предприниматель может взять 1000 кг товара. Кроме этого, он имеет денежных средств в количестве 92 000 ден. ед. и трудовых ресурсов 19 000 человеко-дней. Для закупки, хранения и продажи 1 кг сахара требуется 22 человеко-дня и 120 ден. ед., 1 кг муки – 18 человеко-дней и 80 ден. ед. Сколько сахара и сколько муки должен приобрести частный предприниматель, чтобы от реализации товара получить максимальную прибыль? (Весь товар должен быть реализован полностью.) Чему равна эта прибыль?

  2. Колхоз продает консервному заводу морковь по 1000 ден. ед. за 1 т. Затраты на 1 т моркови составляют 750 ден. ед. Чему равна прибыль и рентабельность колхоза? Какова зависимость между: а) рентабельностью R и прибылью П; б) рентабельностью R и затратами С?

  3. Фирма работает на рынке сотовой связи. Функция дохода имеет вид U = 35q, где q – объем продаж. Функция затрат определяется формулой С = 500+15q. Определите точку безубыточности q0.

  4. Предприятие продает свои изделия по цене 17 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление единицы товара составляют 7 ден. ед. Кроме этого, фирма платит за аренду 250 ден. ед. в год. Определите годовой выпуск продукции, необходимый для того, чтобы предприятие работало с прибылью.

  5. Опытным путем установлены функции спроса

q = hello_html_m6194355d.gif

и предложения s = p + 0,5 , где p – цена товара; q – количество товара, покупаемого в единицу времени; s – количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени. Найдите равновесную цену.

  1. Функция спроса имеет вид q = 7 – p, а функция предложения – s = p + 1, где p – цена. Определите, при какой цене p спрос q придет в соответствие с предложением s, т.е. весь произведенный товар будет реализован, и все желающие купить данный товар смогут это сделать.

Тема 2. Стохастический анализ в экономике (22 часа)

Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

Примером случайного события может служить выпадение герба в опыте с бросанием монеты, выигрыш по данному лотерейному билету, совпадение дней рождений у двух наугад выбранных людей.

События обозначают обычно буквами: А, В, С … .

Согласно выше данному определению, событие считается случайным, если его наступление в результате опыта представляет собой лишь одну из возможностей. Под это определение подходят события, которые в результате данного опыта обязательно наступают; эти события называются достоверными, а также события, которые никогда не наступят, эти события называются невозможными.

Рассмотренные возможные при бросании игральной кости события несовместны (появление одного из них исключает появление другого), единственно возможны (обязательно появиться одно число) и равновозможны (у всех чисел шансы появиться одинаковы). Такие события называются элементарными событиями (или элементарными исходами испытания).

События, которые в данном опыте могут произойти одновременно, называют совместными. Например, в опыте с броском игральной кости: А – выпало число 2, В – выпало чётное число. События А и В совместные события.

Задание 1.В приведённых ниже опытах укажите несовместные и совместные события, какое событие, какому благоприятствует:

  1. Опыт – бросок одной монеты; события: Ц – выпала цифра, Г – выпал герб.

  2. Опыт – бросок двух монет; события: А – хотя бы на одной из монет выпала цифра, В - хотя бы на одной из монет выпал герб, С – на обеих монетах выпала цифра, Х - на обеих монетах выпал герб.

  3. Опыт – два выстрела по мишени; события: А – ни одного попадания; В – два попадания; С – нет промаха.

Классическое определение вероятности:

Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число

p(A) = hello_html_m78451cea.gif.

До сих пор мы рассматривали вероятностные задачи, в которых опыты имеют конечное множество исходов. Но гораздо чаще приходится иметь дело с опытами, в которых множество исходов бесконечно. Дадим некоторое представление о таких ситуациях на простейших геометрических задачах теории вероятностей – они приводят к так называемому геометрическому определению вероятности события.

Задание 2. Пусть на отрезок длиной l бросают на удачу точку. Какова вероятность того, что эта тоска попадёт на отрезок длиной s, являющейся частью отрезка длиной (рис. 1).

hello_html_m76f93873.gifl


s

рис.1.

Наглядное представление о вероятности события наталкивают нас на такие соображения. Если s = hello_html_2679c8ff.gif, то естественно искомую вероятность положить равной hello_html_2679c8ff.gif; если s = hello_html_566302e8.gifl, то равной hello_html_566302e8.gif и т. д. В общем случае для события А – точка попала на отрезок длиной s естественно положить P(A) = hello_html_m1ec76b52.gif. Это равенство раскрывает смысл выражения «точка брошена на удачу».

В этом примере рассматриваемый опыт – бросок точки на отрезок – имел бесконечное множество исходов: точка может попасть в любую точку отрезка. Поэтому классический подход, рассмотренный в предыдущих задачах тут же неприемлем.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность, что при этом на монете выпал герб, а число выпавших на кости очков чётно?

  2. Из полного набора костей домино наугад вынута косточка и брошена игральная кость. Какова вероятность того, что на игральной кости выпало простое число очков, а на косточке домино число очков делится на три?

  3. Пусть на тот же отрезок длиной l бросают одновременно (независимо друг от друга) две точки. Какова вероятность того, что обе точки попадут на отрезок [a;b] длиной s, являющийся частью отрезка длиной l?

  4. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба они белые, что они разного цвета?

  5. Два человека договорились о встрече. Условия встречи следующие: в условленное место они приходят независимо друг от друга в произвольный момент времени между 13.00 и 14.00. Придя, каждый ожидает не более получаса и уходит не позже 14.00. Какова вероятность того, что они встретятся?

  6. На отрезок длиной l наудачу бросают две точки. Они разбивают отрезок на три меньших отрезка. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно построить треугольник?


Элементы комбинаторики.

Множество элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающихся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается Pn и равно:

Pn = n! = 1*2*3*…* n.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Размещениями из n различных элементов по m элементов (0hello_html_m7ceebba.gifmhello_html_m7ceebba.gifn) называются любые упорядоченные подмножества данного множества, состоящие из m элементов. Размещения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком (или и тем и другим). Количество всех возможных размещений из n элементов по m обозначается hello_html_d083e30.gif и равно:

hello_html_m47decac3.gif

Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом. Число всех сочетаний из n элементов по m обозначается hello_html_m4a2ce89c.gif и равно:

hello_html_m2215de20.gif

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из некоторого множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из некоторого множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то одновременный выбор объектов А и В можно осуществить nm способами.

Задание 1. Сколько возможных перестановок из чисел 1, 2 и 3?

Всего возможно P3 = 3! = 1*2*3 = 6 перестановок. Запишем их:

1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1.

Задание 2. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Её сотрудники подобрали 8 одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке?

В данном случае следует вычислить сочетания из 8 элементов по 4:

hello_html_m724c79b2.gif=hello_html_m4174155f.gifhello_html_594b1e3f.gif=hello_html_m2cebb55b.gif=hello_html_6692ed26.gif=70.

70 способов.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Сколькими различными способами правление коммерческого банка может выбрать 3 лица на 3 одинаковые должности из 8 кандидатов? (Все 8 кандидатов имеют равные шансы.)

  2. Правление коммерческого банка выбирает из 8 кандидатов 3 человека на разные должности. Отметим, что все 8 кандидатов имеют одинаковые шансы. Сколькими способами это можно сделать?

  3. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для размещения в печати информации о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 газет. Сколько существует способов дл я размещения рекламного объявления?

  4. Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей цене среди имеющихся и обладают одинаковой доходностью. Клиент собирается приобрести акции 3 компаний – по одной из каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких акций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке?

  5. Служащий банка утратил 6-значный код одного из сейфов, состоящий из различных цифр. Он помнит лишь первые две цифры. Сколько вариантов он должен перепробовать, чтобы открыть сейф?

Алгебра событий.

Рассмотрим какое-либо событие А. Как и всякому событию, ему благоприятствуют некоторые элементарные события. Рассмотрим теперь все прочие элементарные события опыта, то есть те, которые не благоприятствуют событию А. Соберем эти элементарные события вместе. Так мы получаем новое событие. Это событие называется событием, противоположным событию А.

Событием, противоположным событию А называется событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

Событие, противоположное событию А, обозначаютhello_html_79e85be0.gif. Если событие В противоположно событию А, то есть В = hello_html_79e85be0.gif, то А = hello_html_40ab8cd0.gif. Поэтому события А и hello_html_79e85be0.gif называют взаимно противоположными или дополнениями друг друга.

Пример:

Событие А: «при бросание игральной кости выпало 5 или 6 очков».

Событие hello_html_79e85be0.gif: «при бросание игральной кости выпало 1,2,3 или 4 очка».

Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому р(А) + р( hello_html_79e85be0.gif ) = 1 .

Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1.

Следовательно, р( hello_html_79e85be0.gif ) = 1- р(А) и р(А) = 1- р( hello_html_79e85be0.gif ).

Значит, для вычисления р(А) достаточно знать р( hello_html_79e85be0.gif ).

Задание 1.

Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадет разное (неодинаковое) число очков?

Обозначим описанное событие А. Тогда hello_html_79e85be0.gif :«на обеих костях выпало одинаковое число очков».

Событию hello_html_mab0dbd6.gif благоприятствуют 6 элементарных событий : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Вероятность каждого из них hello_html_69d9c1d6.gif, следовательно, р( hello_html_79e85be0.gif ) = hello_html_f5d95b5.gif

Значит, р(А) = 1- р(hello_html_79e85be0.gif )= 1- hello_html_m56c92d0a.gif = hello_html_m5c8c78e3.gif

Задания для самостоятельного решения.

  1. Из класса выбирают двух учеников. Опишите словами событие hello_html_40ab8cd0.gif, если событие В:

  • «оба выбранных ученика - мальчики»;

  • «выбранные ученики одного пола».

  1. В люстре 5 новых лампочек. Для каждого из этих событий опишите словами событие hello_html_mab0dbd6.gif , если событие А:

  • «перегорит хотя бы одна из них»;

  • «перегорит ровно две лампочки»;

  • «перегорит более3-х лапочек»;

  • «перегорит меньше четырех лампочек».

Напомним, что два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом опыте. Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти вместе в одном и том же опыте. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется от того, что произошло другое событие или нет. Если вероятность одного из событий меняется от того, что произошло другое событие либо нет, то событие называют зависимым. Единственно возможное событие – это такие события, когда в результате испытания неизбежно происходит хотя бы одно из них. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается P (A/B).

Теоремы сложения вероятностей.

РА или В = Р(А + В) = Р (А) + Р(В), если А и В - несовместные события.

РА или В = Р(А + В) = Р (А) + Р(В) – Р(АВ), если А и В – совместные события.

(т.е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления).

Следствие 1.

Сумма вероятности несовместных и единственных возможных событий равна 1.

Следствие 2.

Вероятность противоположного события равна р( hello_html_79e85be0.gif ) = 1- р(А).

Теоремы умножения вероятностей.

РА и В = Р(АВ) = Р (А)Р(В), если А и В - независимые события.

РА и В = Р(АВ) = Р (А)Р(А/В) или РА и В = Р(АВ) = Р (В)Р(В/А), если А и В – зависимые события.


Формула полной вероятности.

Пусть события образуют полную группу событий. Тогда для любого события А имеет место формула

hello_html_57b2aa9e.gif

События Н1, Н2, …, Нn называют гипотезами, а вероятности Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) – априорными вероятностями. Заметим, что должно выполняться условие hello_html_m6954fd49.gif

Формулы Байеса.

Пусть произведен опыт, в результате которого произошло событие А. Условие вероятности событий Н1, Н2, …, Нn при условии, что произошло событие А, определяется формулами

hello_html_m29378068.gif

или hello_html_m53f905c8.gif,

где hello_html_5a01e060.gif Вероятности Р(Нk/А) называют апостериорными.

Задание 1. В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найдите вероятность того, что: а) обе фирмы будут работать успешно, б) обанкротиться толь одна фирма, в) хотя бы одна фирма будет успешно функционировать.

Решение:

Пусть событие А1 – «В течение года первая фирма обанкротится», А2 – «В течение года вторая фирма обанкротится». Тогда событие как противоположное событию А1, состоит в следующем: «В течение года первая фирма не обанкротится», или hello_html_m6df13da2.gif - «В течение года первая фирма будет работать успешно»; hello_html_m57fcee85.gif - «В течение года первая фирма не обанкротится». По условию задачи:

P (A1) = 0,06; P(A2) = 0,09.

Тогда по формуле P (hello_html_m6df13da2.gif) = 1 – 0,06 = 0,94; P(hello_html_m57fcee85.gif) = 1 – 0,09 = 0,91.

а) Рассмотрим событие А – «Обе фирмы будут работать успешно». Это возможно, когда и первое, и вторая фирмы будут работать успешно, т. е. при одновременном появлении событий hello_html_m6df13da2.gif и hello_html_m57fcee85.gif, поэтому А = hello_html_m6df13da2.gifhello_html_m57fcee85.gif. Надо найти P(А) = P (hello_html_m6df13da2.gifhello_html_m57fcee85.gif).

Так как события hello_html_m6df13da2.gif и hello_html_m57fcee85.gifнезависимые события, то по формуле

P(А) = P (hello_html_m6df13da2.gifhello_html_m57fcee85.gif)= P (hello_html_m6df13da2.gif)P(hello_html_m57fcee85.gif)= 0,94·0,91=0,8554

б) Рассмотрим событие В – «обанкротится только одна фирма». Это возможно, в одном из двух случаев: В1 – «первая фирма обанкротится (событие А1), а вторая при этом будет работать успешно (событиеhello_html_m57fcee85.gif) », то есть

В1 = (А1 иhello_html_m57fcee85.gif) = А1hello_html_m57fcee85.gif;

В2 – «вторая фирма обанкротится (событие А2), а первая при этом будет работать успешно (событие hello_html_m6df13da2.gif)», то есть

В2 = (А2 и hello_html_m6df13da2.gif) = А2hello_html_m6df13da2.gif.

Тогда В = (В1 или В2) =.

Так как события В1 и В2 несовместны, то получаем

Р(В) = Р(В1 + В2)= Р(В1) +Р( В2) = Р(А1hello_html_m57fcee85.gif) + Р(А2hello_html_m6df13da2.gif) = Р(А1)Р(hello_html_m57fcee85.gif) +Р(А2)Р(hello_html_m6df13da2.gif)= 0,06·0,91+0,09·0,094=0,1392.

в) Пусть событие С – «хотя бы одна фирма будет успешно функционировать».

Вероятность Р(С) можно найти двумя способами:

  • Р(С)= Р(В)+ P(А)=0,1392+0,8554=0,9946

  • hello_html_m1bef9e23.gif- «ни одна фирма не работает успешно», hello_html_m1bef9e23.gif1А2

Р(С) = 1- Р(hello_html_m1bef9e23.gif)= 1- 0,06·0,09=0,9946.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Эксперты считают, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0,75, если будет подъем в экономике, и 0,3, если будет спад в экономике. При этом предполагается, что вероятность экономического подъема равна 0,6. найдите вероятность того , что акции в следующем году поднимутся в цене.

  2. В городе имеются три коммерческих банка. Вероятности того, что банки не обанкротятся в течение года, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,95. Найдите вероятности того, что в течение года обанкротятся:

  • ровно два банка:

  • ровно один банк;

  • все три банка;

  • ни один банк;

  • хотя бы один банк.

  1. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста равна 0,04, в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет кредит?

  2. Покупатель может приобрести акции двух компаний. Надёжность первой оценивается экспертами на уровне 90%, а второй – 80%. Чему равна вероятность того, что:

  • обе компании в течение года не станут банкротами;

  • наступит хотя бы одно банкротство;

  • хотя бы одна из компаний не станет банкротом?

  1. Две экономические операции, проводимые предпринимателем одновременно для достижения одной общей цели, имеют вероятность успеха, соответственно равные 0,8 и 0,4. Предприниматель достиг цели. Какова вероятность того, что успех был получен в результате:

  • первой операции;

  • второй операции?

  1. Фирма собирается приобрести ценный электронный прибор. Прибор может быть выпущен одним из трёх заводов, причём заранее неизвестно, каким именно. Обычно в продажу поступает 60% приборов с завода №1, 30% - с завода №2, 10% - с завода №3. Соответственно вероятность того, что прибор проработает весь гарантийный срок без поломки для различных заводов, составляет: для завода №1 – 0,9; для завода №2 – 0,8; для завода №3 – 0,6. Какова вероятность того, что купленный фирмой прибор проработает весь гарантийный срок без поломки?

  2. Из 20 изделий первого сорта 0 10 изделий второго сорта, имеющихся на складе, наугад взяли 2 изделия. Найти вероятность того, что оба изделия: первого сорта, второго сорта.

  3. Фирма по производству мебели претендует на 2 заказа от двух крупных мебельных магазинов А и В. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа от магазина А равна 0,5. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ от магазина А, то вероятность того, что магазин В сделает заказ у них, равна 0,75. Какова вероятность, что фирма получит заказ от обоих магазинов?


Дискретные и случайные величины. Законы распределения.


Случайная величина (СВ) – это такая переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное числовое значение, причем заранее не известное , какое именно. СВ обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z, …, а их значения - соответствующими строчными буквами x1, x2, x3, … . СВ бывают дискретными и непрерывными.

Дискретная СВ (ДСВ) – это величина, принимающая лишь отдельные изолированные значения, которые можно перечислить или пронумеровать. СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Закон (ряд0 распределения ДСВ (или просто распределение ДСВ) - это соотношение, устанавливающие связь между отдельными возможными значениями СВ Х - xi и соответствующими им вероятностями рi.

Х

x1 x2 x3xn

р

р1 р 2 р 3 рn

Данная таблица соответствует конечному множеству значений СВ

hello_html_6a800ffb.gif

Х

x1 x2 x3 xn

р

р1 р 2 р 3 рn

Данная таблица соответствует счетному множеству значений СВ

hello_html_m71942eab.gif

Далее будем рассматривать ДСВ, имеющие распределение, соответствующие конечному множеству значений СВ.

Пусть закон распределения ДСВ Х имеет вид рi.= Р (Х = xi), а ДСВ – qj = P(Y = yj).

Сумма независимых ДСВ Х и Y – это новая ДСВ Z = X + Y, принимающая все значения вида zk = xi+ yj с вероятностями

Рk = hello_html_1e98544a.gif , где xi+yj=zk

Разностью независимых ДМВ Х и Y называется новая ДСВ, для которой

Рk = hello_html_1e98544a.gif , где xi-yj=zk

Функцией распределения ДСВ Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством

F(x) = P(X<x) = hello_html_m7f94fde7.gif,

где P(X<x) – вероятность того, что ДСВ Х принимает значения меньше х, а неравенство xi<x означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше х.

Некоторые общие свойства функции распределения:

  • Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0; 1], т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1;

  • Функция распределения F(x) есть неубывающая функция, т.е. при x1 < x2F(x1) ≤ F(x2).

Математическое ожидание М(х) ДСВ Х – это её среднеожидаемое значение:

M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn = hello_html_m3c20f971.gif.

Свойства математического ожидания

  • M(c) = c, c – const;

  • M(X + Y) = M(X) + M(Y);

  • M(XY) = M(X)M(Y), если X и Y независимые.

Дисперсия D(X) СВ Х выражает степень рассеивания СВ около её среднеожидаемого значения: D(X) = M(XM(X))2.

Дисперсия имеет размерность квадрата СВ.

Свойства дисперсии:

  • D(c) = 0, c – const;

  • D(cX) = c2D(X);

  • D(X + Y) =D(X) + D(Y), если X и Y независимые;

Заметим, что D(X - Y) = D(X + (Y)) = D(X) + D(–Y) = D(X) + (- 1)2D(Y) = D(X) + D(Y).

Для вычисления дисперсии используют и другую формулу:

D(X) = M(X2) – (M(X))2.

Среднее квадратическое отклонение:

σ (X) = hello_html_4540dff5.gif.

Кратко рассмотрим характеристики непрерывных случайных величин.

Функция распределения СВ Х:

F(x) = P (X < x),

где P (X < x) – вероятность того, что СВ Х принимает значения меньше х.

Вероятность того, что СВ Х принимает значение из промежутка [α; β), равна: P(α ≤ x < β) = F(β) – F(α).

Плотность распределения вероятности (или просто плотность вероятности) есть функция f(x) = F`(x).

Свойства плотности распределения вероятности:

  • f(x) ≥ 0 для hello_html_12e1f07.gifxhello_html_5b360e33.gifR;

  • hello_html_64ce88ba.gif = 1;

  • Вероятность попадания случайной величины X в интервал (а, в):

P(ahello_html_25434063.gifXhello_html_25434063.gifb) = hello_html_198863a5.gif;

  • Функция распределения, выражаемая через плотность f(x):

F(x) = hello_html_3fc3ff17.gif;

Математическое ожидание:

M(X) = hello_html_56f50d12.gif, если несобственный интеграл сходиться;

Дисперсия:

D(X) = hello_html_7b86e682.gif2f(x)dx,если несобственный интеграл сходиться.

Вычисляя дисперсию можно и с помощью следующей формулы:

D(X) = hello_html_m1d59b310.giff(x)dx – (M(X))2.

Задание 1.

Для рекламы своей продукции фирма вкладывает в каждую десятую единицу продукции приз в 10 ден. ед. Пусть случайная величина X – количество выигрышей при 5 сделанных покупках.

  1. постройте ряд распределения случайной величины X;

  2. определите функцию распределения и постройте её график;

  3. найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Найдите среднюю сумму выигрыша.

  4. Найдите вероятность Р(X > 1).

Решение.

1) СВ Х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Их Вероятности найдем по формуле Бернулли:

Pn(m) = hello_html_395b459a.gifpmqn-m = hello_html_754d8eb4.gif pmqn-m,

где q - вероятность непоявления события А, т.е. q = Р(hello_html_m5e37755c.gif) = 1 – р.

рn= hello_html_395b459a.gifpmqn-m, где n = 5, m – количество призовых покупок, m = hello_html_m1c93d6aa.gif. Вероятность получить приз при одной покупке равна р = hello_html_388e8c77.gif=0,1, тогда q = 1- 0,1 = 0,9.

р0 = Р5(0) = hello_html_69c441cb.gif0,100,95 = 0,59049;

р1 = Р5(1) = hello_html_6e48a0a.gif0,110,94 = 0,32805;

р2 = Р5(2) = hello_html_m2c6edea3.gif0,120,93 = 0,0729;

р3 = Р5(3) = hello_html_m7f3d6afd.gif0,130,92 = 0,0081;

р4 = Р5(4) = hello_html_7f7df196.gif0,140,9 = 0,00045;

р5 = Р5(5) = hello_html_2c2e45c8.gif0,150,90 = 0,00001.

Проверка:

hello_html_m3442f12b.gifm = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 + 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 1, значит вероятности найдены верно. Ряд распределения СВ Х задаётся следующей таблицей.

Х

0

1

2

3

4

5

р

0,59049

0,32805

0,0729

0,0081

0,00045

0,00001

2) Функцию распределения найдём по формуле:

при х ≤ 0 очевидно, что F(x) = 0;

при 0 < x ≤ 1 F(x) = P(X < 1) = P(X = 0) = p0 = 0,59049

при 1 < x ≤ 2 F(x) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)= p0 + p1 = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854;

при 2 < x ≤ 3 F(x) = P(X < 3) = p0 + p1 + p2= 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144;

при 3 < x ≤ 4 F(x) = P(X < 4) = p0 + p1 + p2 + p3= 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 + 0,0081 = 0,99954;

при 4 < x ≤ 5 F(x) = P(X < 5) = p0 + p1 + p2 + p3 + p4= 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 + 0,0081 + 0,00045 = 0,99999;

при x > 5 F(x) = 1.

Таким образом,

0hello_html_m2152fbd4.gif, х ≤ 0;

0,59049, 0 < x ≤ 1;

0,32805, 1 < x ≤ 2;

F(x) = 0,99144, 2 < x ≤ 3;

0,99954, 3 < x ≤ 4

0,99999, 4 < x ≤ 5;

1, x > 5.

График функции распределения изображён на рисунке.

Fhello_html_56374817.gif(x)

hello_html_39b6a943.gifhello_html_f64a710.gif

0hello_html_39b6a943.gifhello_html_39b6a943.gif,91854

hello_html_39b6a943.gif

0hello_html_39b6a943.gif,59049




hello_html_m258c9189.gifhello_html_m55eb7082.gif

1 2 3 4 5 x

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

M(X) = hello_html_m6ae40543.gifmpm = 0*0,59049 + 1*0,32805 + 2*0,0729 + 3*0,0081 + 4*0,00045 + 5*0,00001 = 0,5.

Дисперсию определим по формуле

M(X2) = hello_html_m410affdd.gifhello_html_m7adf6285.gifPi = 02*0,59049 + 12*0,32805 + 22*0,0729 + 32*0,0081 + 42*0,00045 + 52*0,00001 = 0,7,

D(X) = M(X2) – (M(X))2 = 0,7 – 0,52 = 0,45.

Среднее квадратическое отклонение

σ (X) = hello_html_m5a92c97f.gifhello_html_m3132e3c.gif0,6708.

Средняя сумма выигрыша составит M(X)*10 = 0,5*10 = 5 ден.ед.

  1. P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] = 1 –(0,59049 + 0,32805) = 1 – 0,91854 = 0,08146.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Заключен договор на строительство трёх одинаковых объектов. Вероятность сдачи объекта в срок равна 0,8. Найдите ряд распределения случайной величины Х – числа объектов сданных в срок.

  2. В банк поступила 7 платежных чеков. Подозревают, что среди них 4 фальшивых. Тщательно проверке подвергают 3 случайно выбранных чека. Найдите математическое ожидание СВ Х – числа фальшивых чеков, которые могут быть выявлены в ходе проверки. Определите функцию распределения случайной величины Х и постройте её график.

  3. Даны законы распределения ДСВ Х и Y – прибыли двух филиалов фирмы:

Х

0

100

200

300

Р

0,1

0,5

0,3

0,1


Y

0

50

100

Р

0,3

0,5

0,2


Составьте закон распределения суммарной прибыли Z = X + Y. Найдите среднеожидаемое значение суммарной прибыли фирмы.


Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации

Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.

Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.

Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок:

hello_html_32f3adf9.gif       hello_html_34173549.gif

Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина hello_html_6d527b3b.png2 называется дисперсией данного нормального закона.

Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений ai с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое:

hello_html_5717b6c4.gif

Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) ai величины А от среднего арифметического: ai - a. Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:

hello_html_m4cf687ea.gif

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического. В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

hello_html_m62f84b83.gif

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического:

hello_html_m29db2b2d.gif

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

hello_html_m3398e3d.gif

Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии (A) и его ошибка (ma) рассчитывается по следующим формулам:

hello_html_m1df2ed21.gif

Показатель эксцесса (E) и его ошибка (me) рассчитывается по следующим формулам:

hello_html_5a1b2eb9.gif

Если А < 0 то это означает, что преобладают данные с большими значениями, а если А > 0, то больше данных с меньшими значениями, чем среднеарифметическое.

Если Е < 0 то данные более равномерно распределены по всей области значений, если Е > 0, то данные сконцентрированы около среднеарифметического значения.

При отношении А/ma и E/me меньше 3 анализируемая информация подчиняется закону нормального распределения.

Задания для самостоятельного решения

  1. В магазин поступают 200 изделий с первой фабрики и 300 изделий со второй. Первая фабрика дает некачественные изделия в 5% случаев, а вторая – в 4%. Найдите среднее число, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа Х качественных изделий, поступивших в магазин.

  2. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектных. Пусть СВ Х – число исправных телевизоров среди 3 выбранных. Найдите закон распределения СВ Х, М(Х), D(X).

  3. Цена на акции компании в течение года есть СВ, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 30 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 10 ден. ед. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обслуживаемого периода цена за акцию была между 10 и 50 ден. ед.

  4. Средний результат индивидуальных экономических прогнозов представляет собой общий согласованный прогноз. Пусть этот прогноз относительно величины банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 20% и средним квадратическим отклонением 10%. Из группы аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу аналитика величина банковской процентной ставки будет находиться в пределах от 17 до 23%.

  5. На рынок поступила партия говядины. Считается, что вес туши – нормально распределенная СВ с неизвестным математическим ожиданием и σ = 150 кг. Известно, что 37 % туш имеют вес не более 1000 кг. Определите ожидаемый вес случайно выбранной туши.

Тема3. Проценты и банковские расчеты (17 часов)

Арифметическая и геометрическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел hello_html_186bba14.pngN, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом hello_html_312350c9.png, т.е. hello_html_m4883fe7.png

Формула hello_html_73d0f600.png-ого члена арифметической прогрессии:

hello_html_m5b93cc8.png,

где hello_html_38455c0a.png - первый член; hello_html_312350c9.png - разность прогрессии, hello_html_m73aeaf72.png.- общий член.

При любом hello_html_22c52e5f.png имеем:

hello_html_m702cad52.png

hello_html_m6a36f718.png

Таким образом (при hello_html_22c52e5f.png),

hello_html_m5635e2ce.png или hello_html_m306074e7.png,

т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Формула для общего члена арифметической прогрессии hello_html_186bba14.pngN связывает четыре величины: hello_html_38455c0a.png, hello_html_312350c9.png, hello_html_m73aeaf72.png и hello_html_1968eb24.png. Если три из них заданы, то из этой формулы можно найти четвертую величину. Приведем соответствующие формулы нахождения hello_html_38455c0a.png, hello_html_312350c9.png и hello_html_1968eb24.png:

hello_html_7b9081c7.png; hello_html_25138f65.png; hello_html_66326be.png.

Сумма hello_html_73d0f600.png первых членов арифметической прогрессии:

hello_html_m5d6dc8be.pngили hello_html_m12280212.png.

При hello_html_2c61f3ea.png арифметическая прогрессия является монотонно возрастающей, а при hello_html_m270c06b9.png монотонно убывающей.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел hello_html_m1170a9f2.pngN, у которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число hello_html_720957fa.png, т.е.

hello_html_m2ca95ca2.png, hello_html_m50c2a5fc.pngN.

Число hello_html_m207ad9e1.png называется знаменателем геометрической прогресии, hello_html_7968b34f.png - первым членом; hello_html_6c3ffdfd.png.- общим членом.

Любой член прогрессии можно выразить через соседние, как их среднее геометрическое: hello_html_6b1ab0a2.png, где hello_html_22c52e5f.png.

Сумма hello_html_73d0f600.png первых членов геометрической прогрессии:

hello_html_m6c9ea88b.png, если hello_html_551c7c7b.png.

Для геометрической прогрессии hello_html_m246ee98.png со знаменателем hello_html_m207ad9e1.png имеют место следующие свойства монотонности:

  • прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

    а) hello_html_190ad3c9.png и hello_html_m69f2c2cc.png

    б) hello_html_48b284d9.png и hello_html_m650ccaf9.png

  • прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

    а) hello_html_190ad3c9.png и hello_html_m650ccaf9.png

    б) hello_html_48b284d9.png и hello_html_m69f2c2cc.png

  • если hello_html_m143c950.png, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами – противоположный ему знак. Знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии hello_html_m5a0dbee6.png:

hello_html_mf1c747a.png.

Задания для самостоятельного решения

  1. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии:

hello_html_m276fdd42.png=hello_html_m3051814.png,

чтобы получить сумму, равную 10877?

По условию hello_html_7ca886f9.png, hello_html_e1e6b42.png. Подставляя эти значения во вторую формулу суммы арифметической прогрессии:

hello_html_m12280212.png, т.е hello_html_b21febf.png,

после некоторых преобразований, получим уравнение:

hello_html_m708afd57.png

Корни его: hello_html_m46b4a7da.png и hello_html_683fda62.png; из них годится только первый. Следовательно, надо взять 73 члена.


  1. Найти арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырех членов ее равна 26, а произведение тех же членов равно 880.

По условию:

hello_html_9e103d7.png,

hello_html_m29cc6560.png

Первое уравнение дает: hello_html_m5bcbfc2a.png, откуда hello_html_m7dae4e0.png. Подставляя во второе уравнение, и упрощая выражения в скобках, получаем:

hello_html_3c0dd57c.png

Освобождаясь от знаменателя и перемножая числители (удобно пользоваться формулами сокращенного умножения), приходим к биквадратному уравнению:

hello_html_3d8a9016.png

Его корни: hello_html_m4789eb44.png, hello_html_73f2683d.png, hello_html_m5a37016b.png  и hello_html_2419455c.png. Из выражения hello_html_m7dae4e0.pngнаходим соответствующие значения первого члена для четырех арифметических прогрессий:

hello_html_217a7c47.png,       hello_html_m7d508c9e.png,     hello_html_3d2b823.png;         hello_html_m53b9b763.png.


  1. Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма первого и третьего членов равна 52, а квадрат второго равен 100

По условию имеем: hello_html_m525a7cd3.png

hello_html_m55579627.png

Из второго уравнения имеем: hello_html_65e50436.png По свойству геометрической прогрессии: hello_html_8a8d90b.png, следовательно, по теореме обратной теореме Виета hello_html_7968b34f.png и hello_html_m2517fd2e.png - корни уравнения:

hello_html_24c169e0.png.

Отсюда найдем: hello_html_m7fb1b0f3.png и hello_html_m15679667.png или hello_html_391ec218.png и hello_html_ab1bd9b.png.

Ответ: Числа будут : 1) 50; 10; 2 или 2) 50; -10; 2 или 3) 2; 10; 50 или 4) 2; -10; 50.


  1. Доказать, что числа

hello_html_7a4007d.png

образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и найти предел суммы ее членов.

Для доказательства того, что данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, надо проверить, будут ли равны отношения: hello_html_14756d75.png и hello_html_5a94758.png, и будут ли они меньше 1. Имеем:

1)hello_html_14756d75.png= hello_html_305dfce.png=hello_html_7c7c7f08.png=hello_html_m5d4f97c8.png;

2)hello_html_5a94758.png=hello_html_m2c8adf4e.png=hello_html_m21398a48.png=hello_html_38010786.png=hello_html_m5d4f97c8.png.

Так как hello_html_14756d75.png= hello_html_5a94758.png= hello_html_m207ad9e1.png= hello_html_m5d4f97c8.pnghello_html_m60eb2dd3.png, то данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. По формуле ее суммы находим

S =hello_html_20f481ef.gif

Простые проценты – это прообраз арифметической прогрессии.

  1. Рассмотрим задачу экономиста

1-й банк каждый месяц начисляет hello_html_m3c3300c7.gifот 100 у.е.

а1 = 100, d = 100*0,3= 30;

a37 = 100 + 36*3= 100 + 108 = 208 у.е. через три года.

2-й банк каждый год начисляет hello_html_m5e717edf.pngот суммы 100 у.е.

а1 = 100, d = 100*0,4= 4;

а4 = 100 + 3*40= 100 + 120 = 220 у.е через три года.

3-й банк. Сложные проценты начисляются увеличивая сумму каждый год в 1,3 раза (100% + 30%).

b1 = 100, q = 1,3;

bn = 100*1,33= 100*2,197= 219,7 у.е. за три года.

Вывод: Увеличить прибыль выгодно во втором банке. Но в дальнейшем ситуация может измениться.

6) Произведите расчёты, в какой банк выгоднее положить деньги предприятию на 5 лет


Простые проценты.

Начисление простых процентов за часть года.

Ежегодное начисление сложных процентов


Одним из главных инструментов в финансовых вычислениях является процент (от лат. pro centum – «на сотню»). Сегодня проценты можно встретить практически в каждой науке, например, в статистике, в химии, биологии и т. д. Но очень долгое время процент применялся только в торговых и денежных сделках для обозначения прибыли или убытка на каждые сто денежных единиц. И если в математике процент определяется как сотая часть числа, то в финансовых вычислениях под процентом мы будем подразумевать абсолютную величину дохода (прибыли) от предоставления денег в долг в любой его форме (выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет и т. д.).

Но для того чтобы найти, какой доход будет от предоставления денег в долг, нужно знать процентную ставку – отношение процентов за единицу времени к сумме долга. Причем единицей времени (временной интервал, после которого происходит начисление процентов) может быть год, полгода, квартал, месяц, день. В финансовых операциях очень часто процентная ставка устанавливается как годовая процентная ставка, т. е. начисление процентов происходит по истечении года после заключения договора. Обычно проценты при вычислениях записываются в виде десятичной дроби, например, 12 % соответствуют 0,12.

В финансовых операциях различают две схемы начисления процентов: по простой процентной ставке и сложной процентной ставке.

Рассмотрим метод начисления процентов по простой процентной ставке.

Простая процентная ставка наращения – ставка, при которой база начисления остается всегда постоянной.

Задание 1

Гражданин К., чтобы увеличить свой капитал, решил положить 1000 рублей в банк. Банк предлагает простую процентную ставку, равную 8 % годовых. Какую сумму получит клиент банка через три года?

Так как процентная ставка простая, то начисление процентов происходит только на начальную сумму, т. е. на 1000 рублей. Проценты за 1-й год составят 80рублей. За 2-й и 3-й год проценты будут также по 80 рублей – согласно определению простой процентной ставки. Следовательно, за три года проценты составят 3*80=240рублей.

Гражданин К. через три года получит сумму, равную:

1000+240=1000+1000*0.08*3=1000(1+3*0.08)=1240 рублей.


Переведем последнее выражение на математический язык, введя условные обозначения, которые в дальнейшем будем применять. Начальную сумму примем за Р, простую процентную ставку – iп %, конечную (наращенную) сумму – S, продолжительность периода начисления в годах – n. Тогда наше числовое выражение примет вид

P+P×in×n=P(1+nin)=S (*).

S=P(1+nin) (1).- формула наращения суммы по простым процентам.

Зная любые три параметра, из формулы (1) можно всегда с помощью математических преобразований найти четвертый параметр. Например, если известны срок финансовой операции, начальная и конечная сумма, то можно найти процентную ставку, которую в этом случае называют доходностью ссудной операции.

Обратим внимание на второе слагаемое в выражении (*), его обозначают через I, т. е. I=P*iп*n ,

и называют процентом или доходом от предоставления капитала в долг за весь срок операции.

Вернемся к нашей задаче и зададим следующий вопрос. Какую сумму клиент банка смог бы забрать в конце 1, 2, 3-го года?

Так как за каждый год процентный доход равен 80 рублям, то в конце первого года, второго, третьего клиент банка смог бы забрать соответственно 1080, 1160, 1240 рублей.

Можно заметить, что числовая последовательность, составленная из первоначальной суммы и наращенных сумм после первого, второго, третьего года и т. д. (1000; 1080; 1160; 1240;…) образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен первоначальной сумме а0 = Р, а разность арифметической прогрессии равна процентному доходу за год

d = P·i·п.

Отсюда можно сделать вывод: наращение суммы по простой процентной ставке происходит по правилу арифметической прогрессии.

Нужно отметить, что размерности величин, определяющие процентный платеж (I), должны быть согласованы, т. е. если срок финансовой операции измеряется в годах, то процентная ставка должна быть годовой. Если срок измеряется в месяцах, то и ставка процента должна отражать рост за новую единицу времени, а именно за месяц. На практике делают следующим образом: если объявлена годовая процентная ставка, а срок финансовой операции меньше года, то определяют, какую часть года составляет данный срок, т. е.:

n=t:k,

где t – количество дней, а K – временная база.

Тогда формула (1) принимает следующий вид:

S=P×(1+t/K×in) (2).

В финансовых операциях различают две временные базы: K = 360 дней (приближенное число дней в году, считают, что в каждом месяце 30 дней) или K = 365 или 366 дней (точное число дней в году).

Если K = 360, то получают обыкновенные, или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты. Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими ,банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как или («английская практика»).

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды – метод, иногда называемый банковским, распространен в международных ссудных операциях коммерческих банков. Применяется во Франции, Бельгии, Швейцарии. Обозначается, как («французская практика»).

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Число дней в месяце считается равным 30. Такой метод применяется, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах, принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Обозначается как («германская практика»).

При определении числа дней ссуды по календарю первый день не учитывается, а последний учитывается. Для удобства подсчета дней пользуются сквозной нумерацией всех дней в году. Если год високосный, то после 28 февраля к порядковым номерам дней в году нужно прибавлять единицу.

Если простые проценты, например, за кредит или любую другую инвестицию, выплачиваются в момент заключения договора сроком на один год, то есть предварительно, такой метод начисления процентов называют антисипативным (или предварительным). Антисипативная процентная ставка называется учетной ставкой и обозначается буквой d. На практике простые учетные ставки применяют, например, при учете (покупке) векселей.

Вексель, согласно международному вексельному законодательству, является особым видом письменного обязательства, дающего право его владельцу требовать в установленный срок, называемый сроком погашения, выплатить определенную сумму, называемую суммой погашения. Обязательное условие для любого векселя состоит в том, что текст в нем должен быть составлен так, чтобы на его основании можно было точно определить дату и сумму погашения (номинальная стоимость векселя).

Вексель может оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с учетом векселей. Суть операции заключается в следующем. Банк до наступления срока погашения векселя приобретает его у владельца по цене, которая меньше номинальной стоимости векселя.

В этом случае векселедержатель получает сумму, равную P = S – D. Такая операция называется дисконтированием по простой учетной ставке (банковским учетом). D – дисконт, который показывает величину удержанных процентов, начисленных за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму S, подлежащую уплате в конце срока.

Тогда владелец векселя получит:

P=S-Sndn=S(1-ndn) (3).

Формулу (3) используют, если срок погашения измеряется в годах. Или

P=S(1-t/K×dn) (4).

Формулу (4) используют, если срок погашения измеряется в днях. Полученные формулы часто называют банковским (коммерческим) дисконтированием. Обычно при расчетах пользуются французской практикой. Зная любые три параметра, из формул (3), (4) можно всегда с помощью математических преобразований найти четвертый параметрике есть понятие простых и сложных процентов.

Простые проценты начисляются по формуле:

hello_html_m129c86c6.png,

а сложные - по формуле:

hello_html_m31033823.png,

где hello_html_m77735dd3.png - нарощенный капитал; hello_html_m54e1e08.png - основной капитал; hello_html_5c031a7f.png - процентная ставка; hello_html_m3d1c2fb8.png - время (число лет).

 

Задание 1

Ссуда выдана с 20 марта по 12 сентября  того же года. Требуется определить срок ссуды в годах. По точному методу (365/365) с 20 марта по 12 сентября по календарю с учетом того, что 20.03 и 12.09 считаются  за один  день t  = 11(март) + 30(апрель)  + 31(май)  +  30(июнь)  + 31(июль) + 31(август) + 12(сентябрь) = 176 дней.

T = 365 (год не високосный).

n = 0,482.

По приближенному методу (360/360): t = 10(март) + 30(апрель) + 30(май) + 30(июнь) + 30(июль) + 30(август) + 12(сентябрь) = 172 дня.

Т = 360 дней.

n = 0,478.

Задание 2

Ссуда в 20 тыс. рублей. выдана на срок с 10 сентября по 15 января следующего года по годовой ставке i = 30%. Требуется рассчитать проценты I и наращенную ссуду  S.

Точный метод (365/365):

t = 126 дней; T = 365 дней; n = 0,345 года. I = Pni = 20·0,345·0,3 = 2,070 тыс. рублей.

S = P(1 + ni) = P + I =  22,070 тыс. рублей.

Приближенный метод (360/360).

t = 124; T = 360; n = 0,344; I = 20·0,344·0,3 = 2,064 тыс. рублей. S = 22,064 тыс. рублей.


Выбор банком годовой процентной ставки.

Начисление процентов при нецелом промежутке времени

Понятие о дисконтировании


Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. Очевидно, что 1 млн. рублей в начале 1992 года был значительно весомее миллиона "образца" 1993 и более поздних лет. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена. Во-первых, "сегодняшние" деньги всегда будут ценнее "завтрашних" из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого "завтра". Во-вторых, располагая денежными средствами "сегодня", экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами "сегодня" на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. Кроме того снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем "живые" деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками.

Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как будущая стоимость "сегодняшних" денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость "завтрашних" денег – например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость. Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто беря или давая деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей. В принципе, дисконтирование – это наращение "наоборот", однако для финансовых расчетов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S - P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или hello_html_45de2871.png, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:

hello_html_6040f8d.gif(1)

Можно заметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя "темп прироста". Действительно, если абсолютная сумма процента (hello_html_m75072587.png) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста первоначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов.

Кроме процентной существует учетная ставка hello_html_40555e4b.png(другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

hello_html_18de330c.gif(2), где hello_html_m3dc98744.png– сумма дисконта.

Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов hello_html_m75072587.pngи величина дисконта hello_html_m3dc98744.pngопределяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. Если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода "наценке", то во втором определяется снижение будущей стоимости, "скидка" с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает "скидка"). Неудивительно, что основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

декурсивные проценты:

hello_html_mada1f85.gif(3)

антисипативные проценты

hello_html_7bc1126d.gif(4)где n– продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов (1 + ni)– множитель наращения декурсивных процентов;hello_html_5efc8893.gif– множитель наращения антисипативных процентов.

Задание1

Ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма

Si = (1 * (1 + 0,5 * 0,3)=1,15 млн. рублей, а сумма начисленных процентов

I=1,15 – 1=0,15 млн. рублей .

Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина

Sd = (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3)=1,176 млн. рублей, а сумма процентов

D=0,176 млн. рублей.

Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при hello_html_6409d8e7.gif, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой "неестественности" и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем:

hello_html_m734df14c.gif(5)

Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4).

Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные примеры возникновения подобных ситуаций.

Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть, нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом ai=P и разностью.d=P·i

P, P + Pi ,P + 2Pi, P + 3Pi, … , P + (k-1)Pi

Наращенная сумма S есть ничто иное как последний k-й член этой прогрессии

S = ak= P + nPi,

срок ссуды n равен k-1. Поэтому, если увеличить n и одновременно пропорционально уменьшитьi, то величина каждого члена прогрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как hello_html_c36ce05.gif. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

для декурсивных процентов:

hello_html_m3b31f94f.gif(6)

для антисипативных процентов:

hello_html_32ad3183.gif(7)

В различных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличием високосных лет. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает на то, что длительность года принимается равной 360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной ситуации.

Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведенном выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использовать приближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

  1. Точные проценты с точным числом дней (365/365).

  2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

  3. Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. рублей выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45% годовых (простая процентная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличное значение точной длительности ссуды равно 244 дня (365 – 121); приближенная длительность – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

  1. 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей

  2. 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей

  3. 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей

Разница между наибольшей и наименьшей величинами (13,05 – 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисления процентов.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

hello_html_m185ba340.gif(8)

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения hello_html_m7d467072.gif называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант). Например, владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35% годовых. Выкупная цена векселя составит:

hello_html_mbda1f5a.gif

а сумма дисконта будет равна

hello_html_m68ed6724.gif

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:

hello_html_255c7e29.gif(9)

Выражениеhello_html_m2fb1ca51.gif называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты).

Следовательно текущая стоимость товаров будет равна:

hello_html_2901afd1.gif

Применив к этим условиям метод банковского учета, получим:

hello_html_m378100d8.gif

Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы Pили S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен 1+i.

P, P·(1 + i), P·(1 +i)2, P·(1 + i)3, … , P·(1 + i)n,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1(n=k-1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

hello_html_m293228fa.gif(10)

где hello_html_3f1b29ba.gif– множитель наращения декурсивных сложных процентов.

С позиций финансового менеджмента использование сложных процентов является более предпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными. Тем не менее при краткосрочных финансовых операциях по-прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторые математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистов не было под рукой калькуляторов и они были вынуждены прибегать к более простым, хотя и менее точным способам расчета. Представляется возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности операций менее 1 года (n<1)начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше уже отмечалась закономерность выбора банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вычислительные мощности современных банков и интеллектуальный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкой трудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего о собственной выгоде.

Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

hello_html_m75dfa504.gif

где hello_html_1874fc9b.gifмножитель наращения сложных антисипативных процентов.

Однако практическое применение такого способа наращения процентов весьма ограничено и он относится скорее к разряду финансовой экзотики.

Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (n>1). На большом промежутке времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления "процентов на проценты". В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Как правило, неполное количество лет выражают дробным числом через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначается буквой n, а не выражением hello_html_c36ce05.gif, как это принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

hello_html_m5c3a985.gif(12)

где a – число полных лет в составе продолжительности операции,

t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год,

K –временная база.

В этом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных вычислений по рассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января 1997 года по 30 сентября 1999 года под 28% годовых (процентная ставка). В случае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма составит:

S = 3·(1+0,28)(2+9/12) = 5,915 млн.р

Если же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точным числом дней), то получим:

S = 3·(1+0,28)2(1+272/360·0,28) =6 млн. р

Таким образом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не излишней и была вознаграждена дополнительным доходом в сумме 85 тыс. рублей.

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов. Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Следовательно сложная ставка 20% при однократном наращении и 20% (четыре раза по 5%) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, то есть они не являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставкой является значение 21,6%. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

hello_html_334ab6b4.gif(13)

Например ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит:

S = 5·(1+0,35/2)(2·2)=9,531млн.р

При однократном начислении ее величина составила бы лишь

5 * (1 + 0,35)2=9,113 млн. рублей ;

зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже

5 * (1 + (0,35 / 12)(12 * 2))=9,968 млн. рублей

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

hello_html_m5291556d.gif(14)

Выражение hello_html_2869d809.gifмножитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

hello_html_3dd9db71.gif(15)

где hello_html_m7460e422.gif– дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

при m>1 получаем

hello_html_m42a9304f.gif(16)

где f– номинальная сложная учетная ставка,

hello_html_m438dac55.gifдисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m=1получаем

hello_html_2afcc2de.gif(17)

где hello_html_62dc0ef6.gif– дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:

hello_html_357b4986.gif(18)

где j–номинальная сложная процентная ставка,

hello_html_m270e63d4.gifдисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентная ставка составляет 40%:

при m=1

P = 3/ (1+0,4)1,5=1.811млн.р

при m=2 (начисление 1 раз в полугодие)

P = 3/ (1+0,4)2·1,5=1.736млн.р

при m=12 (ежемесячное начисление)

P = 3/ (1+0,4)12·1,5=1.633млн.р

По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) промежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при hello_html_m9c32146.png= 1 этот промежуток равен 1 году, а при m= 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечнности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практически непрерывным. Такая на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для финансов и при построении сложных аналитических моделей (например при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается "дельта"), часто этот показатель называют "сила роста". Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:

hello_html_5ae7473d.gif(19)

где e– основание натурального логарифма (≈2,71828),

hello_html_19796a51.gifмножитель наращения непрерывных процентов.

Например, чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить ее на банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно?

hello_html_281686fd.gifтыс.р

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками – сила роста является универсальным показателем. Однако, наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке.

Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле:

hello_html_6a6e418d.gif(20)

где hello_html_258f7ceb.gif– дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через 2 года доход в размере 15 млн. рублей. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22% годовых?

P = 15/e0,22·2=9,66млн.р


Начисление процентов за дробное число лет


Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов:

Fn = P · (1+r)(w+f)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

Рn = Р·(1+r)w · (1+fr),

Поскольку f<1, то (1 +f·г) > (1 + г)f, следовательно наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов:

Fn=P·(l+г/m)m·k·(l+r/m)f

б) смешанная схема:

Fn = Р · (1 +r/m)m·k  (1 +f· r),

где k — количество лет;

m - количество начислений в году;

r — годовая ставка;

f — дробная часть подпериода.

Задание 1

Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов.

Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) в этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами, приведенными выше, и значениями соответствующих параметров:

w= 2; f=0,25;r=16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р-(1 + r)w+f= 120 (1 + 0,16)2.25 = 167,58 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

Fn= Р · (1 +r)w · (1 +f · r)= 120  (1 + 0,16)2 · 1,04 == 167,93 млн. руб.

б) в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами, когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k= 2; f = 0,5;m= 2;r= 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn=P · (1+r/m)m·k · (l+r/m)f= 120  (l+0,08)4.5= 169,66 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

Fn=Р · (1 + г/m) m·k · (1+f·r/m)= 120  (1 + 0.08)4  (1 + 1/2 · 0,16/2) = 169, 79 млн. руб

в) в этом случае продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов, в которой

n= 9, а r= 0,16/4 = 0,04.

Fn= 120  (1 + 0,04)9 = 170,8 млн.руб.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Современная стоимость потока платежей.

Бессрочная рента.


Несмотря на то, что общее количество формул, приведенных в трех предыдущих лекциях, уже приблизилось к сотне, можно смело утверждать, что это лишь малая часть того, что имеется в арсенале финансовых вычислений. Буквально по каждому из рассмотренных способов осталась масса незатронутых вопросов: ренты пренумерандо, переменные денежные потоки, использование простых процентов в анализе рент и так далее почти до бесконечности. Тем не менее, усвоив базовые понятия финансовых расчетов, можно заметить, что все дальнейшие рассуждения строятся по довольно универсальному алгоритму. Определяется математическая природа понятия и основные ограничения, накладываемые на него при практическом использовании. Например, сложные проценты наращиваются в геометрической прогрессии. Они применяются по большей части в расчетах по долгосрочным финансовым операциям. Затем находится решение основных задач, связанных с данным понятием – начисление и дисконтирование по сложным процентным и учетным ставкам. После этого разрабатывается методика расчета остальных параметров уравнений, описывающих данное понятие, и решается проблема нахождения эквивалентных значений отдельных параметров. При этом основным методом решения задач является преобразование или приравнивание друг к другу множителей наращения (дисконтирования) различных показателей. Поняв эти закономерности, можно отказаться от заучивания всех возможных формул и попытаться применить данную методику для решения конкретных финансовых задач, держа при этом в памяти лишь полтора-два десятка основополагающих выражений (например, формулы расчета декурсивных и антисипативных процентов и т.п.).

Используем данный алгоритм для финансового анализа денежных потоков, в частности, для расчета отдельных параметров финансовых рент. Например, предприятию через три года предстоит погасить задолженность по облигационному займу в сумме 10 млн. рублей. Для этого оно формирует погасительный фонд путем ежемесячного размещения денежных средств на банковский депозит под 15% годовых сложных процентов с начислением 1 раз в год. Чему должна быть равна величина одного взноса на депозит, чтобы к концу третьего года в погасительном фонде вместе с начисленными процентами накопилось 10 млн. рублей?

Планируемые предприятием взносы представляют собой трехлетнюю p-срочную ренту, p=12 , m=1 будущая стоимость которой должна быть равна 10 млн. рублей. Неизвестным является ее единственный параметр – член ренты R. Данное уравнение следует решить относительно R/12(так как планируются ежемесячные взносы) Обозначим r=R/12. Преобразовав базовую формулу, получим

hello_html_207da465.gif

То есть, размер ежемесячного взноса должен составить примерно 225 тыс. рублей (более точная цифра 224,908).

Размер долга по займу (10 млн. рублей) был задан как условие предыдущего примера. На самом деле, часто данный параметр также является вычисляемой величиной, т.к. наряду с основной суммой займа должник обязан выплачивать проценты по нему. Предположим, что 10 млн. рублей – это основная задолженность по облигационному займу, кроме этого необходимо ежегодно выплачивать кредиторам 10% основной суммы в виде процентов. Чему будет равна сумма ежемесячного взноса в погасительный фонд с учетом процентных выплат по займу? Так как проценты должны выплачиваться ежегодно и их годовая сумма составит 1 млн. рублей (10 млн. рублей * 10%), нам опять следует рассчитать член ренты r=R/12 по ренте сроком n=1год, p=12, m=1,i=15%. По базовой формуле (6) его величина составит:

hello_html_581ed8e9.gif

Ежемесячно в погасительный фонд будет необходимо вносить около 78 тыс. рублей (более точная цифра 78,0992) для ежегодной выплаты процентов в сумме 1 млн. рублей. Таким образом общая сумма ежемесячных взносов в погасительный фонд составит 303 тыс. рублей (225 + 78).

Условиями займа может быть предусмотрено присоединение суммы начисленных за год процентов к основному долгу и погашение в конце срока наращенной величины займа. То есть в конце срока эмитенту займа придется возвратить 13 млн. 310 тыс. рублей (10 * (1 + 0,1)3). Величину ежемесячного взноса в погасительный фонд найдем, используя все ту же базисную формулу (6):

hello_html_2a5be813.gif

То есть ежемесячно необходимо вносить на банковский депозит около 300 тыс. рублей более точно – 299,35).

Аналогичный подход может быть применен к формированию амортизационного фонда. Известно, что амортизация основных фондов – важнейшая составная часть чистого денежного потока предприятия, остающаяся в его распоряжении. В каждом рубле получаемой предприятием выручки содержится доля амортизационных отчислений. Поэтому нет ничего противоестественного в том, чтобы предприятие, "расщепляя" поступающую выручку, перечисляло на банковский депозит сумму амортизации по каждому платежу от покупателя. В этом случае накопление амортизационного фонда происходило бы значительно быстрее за счет начисления процентов. Предположим, что по основным фондам первоначальной стоимостью 50 млн. рублей предприятие начисляет амортизацию по годовой ставке 12,5% (линейный метод). Срок службы оборудования 8 лет. Ежегодно начисляется 6,25 млн. рублей амортизационных отчислений. Но если предприятие располагает возможностью размещения денежных средств хотя бы под 10% годовых, то для накопления 50 млн. рублей в течение 8 лет ему понадобится ежегодно размещать на депозите лишь по 4, 37 млн. рублей: преобразовав формулу (2) из предыдущей лекции, получим:

hello_html_31b92ce9.gif

Если же взносы на депозит производить ежемесячно (p=12), то, снова применяя формулу (6), и деля полученный результат на 12, найдем:

hello_html_m35e514e4.gif

Ежемесячный взнос на депозит должен составить около 350 тыс. рублей (более точно – 348,65). При этом ежемесячные амортизационные отчисления по линейному методу составят 520,8 тыс. рублей (6,25 / 12). Задачу можно сформулировать иначе: за сколько лет предприятие возместит первоначальную стоимость основных средств, размещая на депозите сумму амортизационных отчислений по линейному методу (520,8 тыс. рублей в месяц или 6,25 млн. рублей в год). Для решения этой задачи (нахождение срока ренты hello_html_521c0b9e.png) снова понадобится формула (6), но теперь она будет преобразована следующим образом:

hello_html_m55beb5a2.gif

Полученное дробное число лет в соответствии с правилами выполнения финансовых расчетов должно быть округлено до ближайшего целого. Однако, при p >1, округляется произведение np, в нашем случае оно составляет 71,52 (5,96 * 12). Округлив его до 71 и разделив на 12, получим n = 5.92 . При любых способах округления, полученное значение на 2 года меньше, чем срок амортизации основных фондов по линейному методу. То есть предприятие таким способом может накопить сумму для замены изношеного оборудования на 2 года быстрее.

Необходимость выплачивать проценты кредитору на остаток банковской ссуды или коммерческого кредита ставит перед предприятиями задачу разработки оптимального плана погашения долга. Дело в том, что оставляя неизменной сумму основной задолженности в течение всего срока займа, предприятие будет вынуждено выплатить максимально возможную сумму процентов по этому займу. Если же оно периодически будет направлять часть средств на погашение основного долга, то сможет сэкономить на процентах, которые начисляются на остаток задолженности. Возможны различные стратегии амортизации займов. Например, предприятие может периодически уплачивать фиксированную сумму в погашение основной задолженности. Тогда в каждом новом периоде ему понадобится меньше денег на оплату процентов, то есть общие расходы по обслуживанию долга за период (срочная уплата) будут снижаться. Погашая ежегодно 2 млн. рублей из общей суммы 3-летнего займа 6 млн. рублей, выданного под 20 процента годовых, предприятие в 1-й год выплатит 1200 тыс. рублей процентов (6000 * 0,2). Срочная уплата за этот период составит 3200 тыс. рублей (2000 + 1200). За второй год проценты составят уже 800 тыс. рублей (4000 * 0,2), срочная уплата – 2800 тыс. рублей (2000 + 800) и т.д. Сумма выплачиваемых процентов будет снижаться в арифметической прогрессии с первым членом 1200 тыс. рублей (p*i) и разностью -400 тыс. рублей (-p * i / n), n означает число членов прогрессии, в данном примере оно равно 3. Сумма этой прогрессии будет равна 2400 тыс. рублей (3 * 1200 – 2 * 3 * 400 / 2), а это значительно меньше суммы процентов, которую пришлось бы уплатить предприятию в случае единовременного погашения основного долга в конце срока ссуды – 4368тыс. рублей (6000 * (1 + 0,2)3 - 6000).

Возможен другой вариант, когда величина срочной уплаты на протяжении всего срока займа остается неизменной, но постепенно меняется ее структура – уменьшается доля, идущая на погашение процентов и увеличивается доля, направляемая в уплату по основному долгу. В этом случае сначала необходимо определить размер срочной уплаты, которая рассчитывается как величина члена ренты, текущая стоимость которой равна первоначальной сумме долга при дисконтировании по процентной ставке, установленной по займу. Преобразовав формулу приведения аннуитета (4) из предыдущей лекции, найдем значение R:

hello_html_m28e54c0b.gif

Для полного погашения задолженности по ссуде понадобится произвести 3 погасительных платежа по 2848 тыс. рублей каждый. Не вдаваясь в подробности расчета структуры срочной уплаты по каждому году, отметим, что в сумме предприятию придется заплатить по займу 8544 тыс. рублей, т.е. общая сумма процентов составит 2544 тыс. рублей (8544 – 6000), что заметно выше, чем по первому варианту.

Сопоставление различных вариантов погашения займа только по критерию общей величины выплаченных процентов, не вполне корректно – сравниваются различные денежные потоки, для которых кроме абсолютных сумм имеет значение, в каком конкретно периоде времени деньги были уплачены или получены. Рассмотрим подробнее, что из себя представляет каждый из этих потоков (таб 3.1). Вследствие действия принципа временной ценности денег сложение членов этих потоков является бессмысленной операцией – платежи, производимые с интервалом 1 год, несопоставимы. Поэтому в (таб 3.1) рассчитана дисконтированная по ставке 20% величина каждого из потоков. Так как в последней графе этой таблицы представлен аннуитет, то его расчет произведен по формуле (4) из предыдущего пар аграфа. Два остальных потока состоят из неравных членов, их дисконтирование произведено по общей формуле (3). Как видно из результатов расчетов, наибольшую отрицательную величину (-6472,2) имеет приведенная сумма платежей по первому потоку, она даже превышает сумму полученного займа. То есть, погашая долг на таких условиях, предприятие реально несет финансовые потери. Два последних варианта не ухудшают финансового положения предприятия.





Сравнение вариантов выплаты займа

Таблица 3.1.

Члены потока

Варианты погашения займа, тыс. руб.

возврат основного долга в конце срока

фиксированная выплата основного долга

фиксированная срочная уплата

1. Получение займа

+6000

+6000

+6000

2. Платеж в конце 1 года

-1200

-3200

-2848,4

3. Платеж в конце 2 года

-1440

-2800

-2848,4

4. Платеж в конце 3 года

-7728

-2400

-2848,4

5. Приведенная к моменту получения займа сумма выплат

-6472,2

-6000

-6000

Сравнивая между собой приведенные величины денежных притоков и оттоков по финансовой операции, определяют важнейший финансовый показатель чистая приведенная стоимость (NPV – от английского net present value). Наиболее общая формула определения этого показателя:

NPV = I0+ PV,

где I0– первоначальные инвестиции в проект (оттоки денег),

PV– приведенная стоимость будущих денежных потоков по проекту.

При использовании этой формулы все денежные притоки (доходы) обозначаются положительными цифрами, оттоки денежных средств (инвестиции, затраты) – отрицательными.

В нашем примере первоначально предприятие получало приток денежных средств (сумма займа 6 млн. рублей), а затем в течение 3 лет производило денежные расходы, т.е. оттоки средств. Поэтому к первоначальному моменту приводились не поступления, а затраты. Обычно при реализации инвестиционных проектов наблюдается обратная картина: сначала предприятие вкладывает средства, а затем получает периодические доходы от этих вложений. Поэтому, преобразуя (1) с учетом правил дисконтирования денежных потоков (формула (4) из предыдущей лекции), получаем:

NPV = I0+hello_html_m1a9d5430.gif (2),

Где n– общий срок финансовой операции (проекта),

Rk– элемент дисконтируемого денежного потока (член ренты) в периоде k,

k– номер периода.

Под процентной ставкой i (в данном случае ее называют ставкой сравнения) понимается годовая сложная эффективная ставка декурсивных процентов. Срок операции hello_html_521c0b9e.pngв общем случае измеряется в годах. Если же реальная операция не отвечает этим условиям, т.е. интервалы между платежами не равны году, то в качестве единицы измерения срока принимаются доли года, измеренные как правило в месяцах, деленных на 12. Например, инвестиции в сумме 500 тыс. рублей принесут в первый месяц 200 тыс. рублей дополнительного дохода, во второй 300 тыс. рублей и в третий – 700 тыс. рублей. Ставка сравнения равна 25%. Чистая приведенная стоимость данного проекта составит 1 млн. 147 тыс. руб.:

NPV = -500 + hello_html_40e349cf.gif

Довольно распространенной является ошибка, когда в подобных случаях пытаются рассчитать месячную процентную ставку делением годовой ставки на 12, а срок проекта измеряют в целых месяцах (вместо 1 / 12 года берут 1 месяц. вместо 2 / 12 – 2 и т.д.). В этом случае будет получен неправильный результат, т.к. возникнет эффект ежемесячного реинвестирования начисляемых сложных процентов. Чтобы получить эквивалентный результат, для нахождения месячной ставки необходимо предварительно пересчитать годовую эффективную ставку i в номинальную j при m = 12 по формуле

j= m * ((1+i)1/m-1). В данном случае эквивалентной является номинальная годовая ставка 22,52% ставка, разделив которую на 12 можно получить значение для помесячного дисконтирования денежного потока.

Если денежный поток состоит из одинаковых и равномерно рапределенных выплат (то есть представляет собой аннуитет), можно упростить расчет NPV, воспользовавшись формулами дисконтирования аннуитетов.

Задание 1.

Если бы в рассматриваемом проекте было предусмотрено получение в течение трех месяцев по 400 тыс. рублей дохода ежемесячно (то есть hello_html_302f77be.png), то следовало рассчитать приведенную стоимость аннуитета сроком 3 / 12 года и числом выплат hello_html_m7a0a455b.png. Применив формулу (12) из предыдущего параграфа, получим

hello_html_edd43ad.png

Кроме правильного вычисления чистой приведенной стоимости, необходимо понимать ее финансовый смысл. Положительное значение этого показателя указывает на финансовую целесообразность осуществления операции или реализации проекта. Отрицательная NPV свидетельствует об убыточности инвестирования капитала таким образом. В примере с проектом получено очень хорошее значение NPV, свидетельствующее о его инвестиционной привлекательности. Возвратившись к данным таблицы 3.1 можно видеть, что два последних варианта погашения долга дают нулевую NPV, то есть в финансовом плане само по себе пользование заемными средствами не принесет предприятию ни вреда ни пользы. Если же оно изберет первый вариант (возврат основной суммы долга по окончании его срока), то получит отрицательную NPV –472,2 тыс. рублей, следовательно такой план погашения задолженности принесет ему финансовые потери.

О достоинствах и особенностях чистой приведенной стоимости будет очень подробно говориться в последующих лекциях. Остается только заметить, что значение ее для финансового менеджмента настолько высоко, что многократно окупает затраты труда по изучению и осмыслению всех вышеприведенных формул финансовых вычислений. Вторым столь же важным финансовым показателем является внутренняя норма доходности (IRR – от английского internal rate of return). Рассмотрим еще один инвестиционный проект. Внедрение новой технологии требует единовременных затрат в сумме 1,2 млн. рублей. Затем в течение 4 лет предприятие планирует получать дополнительный денежный поток от этих инвестиций в размере: 1-й год – 280 тыс. рублей, 2-й год – 750 тыс. рублей, 3-й год – 1 млн. рублей и 4-й год – 800 тыс. рублей. Рассчитаем NPV этого проекта при ставке сравнения 30% годовых:

hello_html_1244508e.png

Реализация проекта может принести предприятию 194,4 тыс. рублей чистой приведенной стоимости при условии использования ставки сравнения 30%. А при какой процентной ставке проект будет иметь нулевую NPV, то есть, какой уровень доходности приравняет дисконтированную величину денежных притоков к сумме первоначальных инвестиций? Взглянув на формулу расчета NPV, можно сделать вывод, что увеличение ставки hello_html_m3ea54f6e.pngснижает величину каждого члена потока и общую их сумму, следовательно, чем больше будет уровень ставки, приравнивающей NPV к нулю, тем более мощным будет сам положительный денежный поток. Иными словами, мы получаем характеристику финансовой эффективности проекта, которая как бы заложена внутри него самого. Поэтому данный параметр и получил название внутренняя норма доходности (иногда используется термин внутренняя норма рентабельности, внутренняя процентная ставка и др.). Итак IRR это такая годовая процентная ставка, которая приравнивает текущую стоимость денежных притоков по проекту к величине инвестиций, т.е. делает NPV проекта равным нулю.

Из определения IRR следует, что для ее расчета можно использовать формулу определения NPV (2), решив это уравнение относительно hello_html_m3ea54f6e.png. Однако данная задача не имеет прямого алгебраического решения, поэтому найти величину IRR можно или путем подбора значения или используя какой-либо итерационный способ (например, метод Ньютона-Рафсона). Широкое распространение вычислительной техники упростило решение подобных задач, поэтому в настоящем пособии не будет рассмотрен математический аппарат расчета IRR "вручную". Наличие ПК с пакетом электронных таблиц практически снимает проблему. Подберем с помощью компьютера значение hello_html_m3ea54f6e.png, отвечающее заданным требованиям, оно составит около 37,9%. То есть данный инвестиционный проект обладает доходностью 37,9%. Сравнивая полученное значение с доходностью альтернативных проектов, можно выбрать наиболее эффективный из них.

Принятие решения о вложении капитала определяется в конечном счете величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем.
Например, приобретая сейчас облигацию, мы рассчитываем в течении всего срока займа регулярно получать доход в виде начисленных процентов, а по окончании получить основную сумму долга.
Вложение капитала выгодно только в том случае, если предполагаемые поступления превысят текущие расходы. В нашем примере инвестиционный доход равен сумме полученных процентов, т. к. затраты на покупку облигаций будут совпадать с выплатами по процентам. Однако, положительные денежные потоки (выплата процентов и основной суммы долга) и отрицательные денежные потоки (инвестирование капитала) не будут совпадать по времени возникновения и, следовательно, будут не сопоставимы.

Теория изменения стоимости денег исходит из предположения, что деньги, являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты.

Таким образом, в данном случае мы должны сравнивать затраты на приобретение облигации с суммой предстоящих доходов, приведенных к стоимости на момент инвестирования.

Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопоставимому виду называется временной оценкой денежных потоков.

Временная оценка денежных потоков основана на использовании шести функций сложного процента, или шести функций денежной единицы.

Сложный процент

Дисконтирование

Текущая стоимость аннуитета

Периодический взнос на погашение кредита.

Будущая стоимость аннуитета.

Периодический взнос в фонд накопления.

Теория и практика использования указанных функций сложного процента базируется на ряде допущений

Денежный поток — это денежные суммы, возникающие в определенной хронологической последовательности

Денежный поток, в котором все суммы различаются по величине называют обычным денежным потоком.

Денежный поток, в котором все суммы равновеликие, называют аннуитетом.

Суммы денежного потока возникают через одинаковые промежутки времени, называемые периодом.

Денежный поток может возникать в конце, в начале и середине периода.

Предварительно рассчитанные таблицы сложного процента без корректировки применимы только к денежному потоку, возникающему в конце периода.

Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйственного оборота не изымается, а присоединяется к основному капиталу.

Временная оценка денежных потоков учитывает риски, связанные с инвестированием.

Риск — это вероятность получения в будущем дохода, совпадающего с прогнозной величиной.

Уровень риска должен иметь адекватную ставку дохода на вложенный капитал.

Ставка дохода на инвестиции — это процентное соотношение между чистым доходом и вложенным капиталом


Расчет будущей стоимости основан на логике сложного процента (см.рис.), который представляет геометрическую зависимость между первоначальным вкладом, процентной ставкой и периодом накопления:

FV=S(1+i) , где: FV — величина накопления, S — первоначальный вклад, i — процентная ставка, n — число периодов начисления процентов.

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, т.е. присоединения их к инвестиционному капиталу. Техника простого процента предполагает арифметическую зависимость между суммой вклада, процентной ставкой и периодом накопления. Следовательно, простой процент начисляется только один раз в конце срока депозитного договора. Если бы приведенная выше ситуация предполагала начисление простого процента, то накопленная сумма составит: 400 (1+ 0,10 * 3) = 520 тыс.руб.

Периодичность начисления процентов оказывает влияние на величину накопления. Если вклад в сумме 1000 руб. хранить 2 года в банке, начисляющем 24% годовых, то в зависимости от части начисления процентов, накопленная сумма составит: a) ежегодное начисление процента 1000[FV]2 24% =1000 * 1,5376=1537,6

b) полугодовое начисление процента 1000[FV]4 12% =1000 * 1,5735=1573,5

c) ежеквартальное начисление процента 1000[FV]8 6% =1000 * 1,5938=1593,8

d) ежемесячное начисление процента 1000[FV]24 2% =1000 * 1,6081=1608,1.

Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. При более частом накоплении необходимо откорректировать процентную ставку и число периодов начисления процентов:

Процентная ставка =(Годовая ставка х число месяцев в периоде начисления)/12

Число периодов = Число периодов начисления за один год * Число лет накопления

Для определения периода, необходимого для удвоения первоначального вклада, используется правило 72-х. Это правило дает наиболее точные результаты, если процентная ставка находится в интервале 3—18 %.

Задания для самостоятельного решения

  1. Вы взяли ссуду в банке на следующих условиях: первоначальная сумма – 200 тыс. руб.; ставка простого процента – 170% в год; срок ссуды – 2 года.Определить, во сколько раз сумма долга к концу срока ссуды превысит первоначальную сумму долга.

  2. В невисокосном году вы взяли ссуду 3 января и должны отдать ее 13 мая того же года на условиях 25% годовых при простом проценте. Во сколько раз вырастет ваш долг при расчете методом:

1) коммерческого (обыкновенного) процента с приближенным числом дней ссуды;

2) коммерческого процента с точным числом дней ссуды;

3) точных процентов с точным числом дней ссуды?

  1. Банк выдал ссуду на сумму 1 млн. руб. клиенту А на срок 2 месяца, затем деньги, полученные от клиента А, клиенту В на срок 3 месяца, деньги, полученные от клиента В, выдал клиенту С на 5 месяцев, и, наконец, полученные от клиента С клиенту D на 2 месяца. Все ссуды были даны под 70% годовых (расчет методом простого коммерческого процента). Какую сумму вернет банку клиент D и под какую реальную процентную ставку банк осуществлял свои операции?

  2. Банк выдал ссуду в размере 10 млн. руб. на 3 года под 50% годовых на условиях простых процентов с требованием равномерного ежемесячного погашения долга в течение этого срока. Какую сумму вы должны возвращать каждый месяц?

  3. Банк обязуется выплачивать по вкладу 20% ежемесячно. Какой годовой процент вы получите по своему вкладу, если:

  1. будете забирать проценты ежемесячно и тратить их на свои нужды;

  2. будете вкладывать проценты в тот же банк на тех же условиях?

  1. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком на 3 месяца под 400% годовых; на 6 месяцев – под 500% годовых; на год – под 600% годовых. Какую из названных ниже стратегий выгоднее выбрать:

  1. купить сертификат сроком на 3 месяца (6 месяцев), получить проценты и потратить их;

  2. купить сертификат на год и получить по повышенной процентной ставке;

  3. докупать ежеквартально (каждые полгода) депозитные сертификаты на сумму, равную величине полученных процентов?

  1. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40 000 р. С обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

  2. Банк «Диалог-Оптима» осуществляет денежные переводы. Минимальная сумма перевода 50 р., максимальная – 300 р. С суммы перевода банк берет 1,5% за оказание своих услуг. На сколько в процентном отношении возьмут больше с человека, сделавшего перевод на максимальную сумму, чем с того, кто сделал перевод на 50 р.?

  3. За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25%, а за каждые из трех следующих месяцев на х %. Найдите х, если в целом за год цены выросли в восемь раз.

  4. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 000?

  5. Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

  6. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?

  7. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

  8. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через год, через два, через 6 лет?

  9. Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6% годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад, по которому начислялось 8% годовых, а остальные – на вклад с 9% годовых. В результате его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады?

  10. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50%. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

  11. 17Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежемесячно из расчета 140% годовых. Компания У выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

  12. 18Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой доход в 12% и 5%, в первое он внес на 300 000 р. больше, чем во второе, и получил в нем за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?


Тема 4. Линейное программирование (16 часов)

При постановке задачи организационного управления, прежде всего, важно

  1. Определить цель, преследуемую субъектом управления.

  2. Установить, значениями каких переменных исследуемой системы можно варьировать.

Под целью будем понимать тот конечный результат, который необходимо получить путём выбора и реализации тех или иных управляющих воздействий на исследуемую систему. В производственно-коммерческой сфере цель заключается в том, чтобы либо максимизировать прибыль, либо минимизировать расходы.

Когда цель определена, оптимальным считается такой способ действий, который в наибольшей степени способствует достижению этой цели. Однако «качество» реализации процедуры выбора зависит от того, насколько полно известны допустимые альтернативы управляющих воздействий. Требуется выявить полное множество так называемых управляемых переменных. Важным моментом при принятии управляющих решений является идентификация неуправляемых переменных, то есть субъекта управления. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений. При упрощённом описании реальных систем, на основе которого будет строиться та или иная модель, прежде всего следует идентифицировать доминирующие переменные, параметры и ограничения. Модель, будучи дальнейшим упрощением образа системы-оригинала, представляет собой наиболее существенные для описания системы соотношения в виде целевой функции и совокупности ограничений.

Наиболее важным типом моделей являются математические модели. В основе их построения лежит допущение о том, что все релевантные переменные, параметры и ограничения, а также целевая фукция количественно измеримы. Поэтому если

hello_html_3c1f760.png

представляет собой hello_html_208a5574.png управляемых переменных и условия функционирования исследуемой системы хаарктеризуются hello_html_m67f70a4c.pngограничениями, то математическая модель может быть записана в следующем виде:

Найти оптимум

hello_html_3bb9a420.png

(целевая функция) при ограничениях

hello_html_m1331abd3.png

Ограничения hello_html_5928a0e5.gif – условия неотрицательности. Нахождение оптимума осуществляется для определения наилучшего значения целевой функции (максимума прибыли или минимума затрат, например). Полученное с помощью некоторой модели конкретное оптимальное решение является наилучшим только в рамках использования только этой модели. Не следует считать, что найденный оптимум – это действительно самое лучшее решение анализируемой задачи. Оно является наилучшим из всех возможных тогда, когда выбранный критерий оптимизации можно считать полностью адекватным конечным целям организации, в которой возникла исследуемая проблемная ситуация.


Основные понятия линейного программирования


Общая постановка задачи оптимизации

В общей задаче требуется найти вектор

hello_html_m6d79764c.png

из допустимой области hello_html_m5e41cf37.png, который обращает в минимум целевую функцию q(x), т.е. такой hello_html_m4c41efbf.gif, для которого

hello_html_637f5f12.png (1)

Если hello_html_m7f912d92.pngсуществует, то он определяет слабый, глобальный (абсолютный) минимум q*(x) в допустимой hello_html_m5e41cf37.png. Слабый, т.к. удовлетворяет нестрогому неравенству. Глобальный, т.к. неравенство справедливо для любых x из области X. Минимум при hello_html_42d21b9b.png сильный, если hello_html_m617aa005.gif дляhello_html_m72d2a6b3.gif. Если поменять знаки неравенств – получим сильный и слабый максимумы. Минимум в точке hello_html_42d21b9b.pngназывается локальным (относительным), если найдётся такая окрестность O(x*) точки hello_html_m7f912d92.png, что для всех hello_html_m31db0398.gif имеет место hello_html_m617aa005.gif. Если hello_html_m518b260c.gif дифференцируема, то задача отыскания локальных минимумов сводится к нахождению стационарных точек, в которых обращаются в ноль частные производные q(x):

hello_html_1cdf204b.png (2)

(2) – необходимое, но не достаточное условие. Достаточным условием существования в стационарной точке относительного минимума является положительная определённость квадратичной формы.

Ограничения на допустимое множество

Теорема Вейерштрасса: непрерывная функция, определённая на непустом замкнутом ограниченном множестве, достигает минимума (максимума) по крайней мере в одной из точек этого множества.

Классическая задача оптимизации

Состоит в нахождении минимума целевой функцииhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m518b260c.gif, где hello_html_m3289e13c.gif – точка в пространстве hello_html_3de09c9.pngпри начальных ограничениях типа равенств

hello_html_m6229ff12.png (3)

Если (3) имеют место, то минимум q(x) называется условным минимумом. Если ограничения (3) отсутствуют, то говорят о безусловном минимуме.

Классический способ решения данной задачи состоит в том, что (3) используют для исключения из рассмотрения hello_html_m67f70a4c.pngпеременных. При этом целевая функция приводится к виду

hello_html_5d152b58.png (4)

,где через hello_html_m521f901.gif обозначены неисключаемые переменные. Задача теперь состоит в нахождении значений hello_html_m521f901.gif, которые обращают в минимум q1 и на которые не наложено ограничений (задача на безусловный экстремум).

Функция Лагранжа

Введём в рассмотрение вектор hello_html_m5f656d97.gifи исследуем свойства функции

hello_html_m21546c31.png (5)

hello_html_36d62edb.gifфункция Лагранжа, hello_html_2dba8d49.png- множители Лагранжа.

hello_html_36d62edb.gifфункция n+m переменных hello_html_m13efb00d.gif.

Рассмотрим стационарные точки функции hello_html_36d62edb.gif, которые получим, приравняв к нулю частные производные по hello_html_4bf8248b.gif и по hello_html_5dde067c.gif:

hello_html_42d2d9c8.png (6)

hello_html_m77855f39.png (7)

Если в стационарной точке (x*, y*) функция hello_html_36d62edb.gif достигает минимума, то hello_html_m7f912d92.pngобеспечивает минимум функции q(x) и при выполнении ограничений (3), т.е. даёт решение задачи.

Задача на условный минимум целевой функции q(x) при наличии ограничений типа равенств сводится к задаче на определение стационарных точек функции Лагранжа hello_html_36d62edb.gif.


Линейное программирование: формулировка задач и их графическое решение


Рассмотрим на примере задачи фирмы Reddy Mikks. Небольшая фабрик изготовляет два вида красок: для наружных (E) и внутренних (I) работ. Продукция поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6т и 8т соответственно. Расходы A и B на производство 1т соответствующих красок приведены в таблице.


Исходный продукт

Расход на тонну краски

Максимальный запас, т.

 

краска E

краска I

 

A

1

2

6

B

2

1

8


Суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1т. Спрос на I не превышает 2т. Оптовая цена за 1т краски E – 3000$, I – 2000$. Какое количество краски каждого вида фабрика должна производить, чтобы доход от реализации продуктов был максимальным?

Так как нужно определить объём производства каждого вида краски, переменными в модели являются:

x­E – суточный объём производства краски E (в тоннах);

xI – суточный объём производства краски I (в тоннах).

Обозначив доход (в тыс. $) через hello_html_m2b12c9b5.png, можно дать математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения x­E и xI, максимизирующие величину общего дохода hello_html_7b1313c0.png

Ограничения на расход исходных продуктов:

hello_html_m722f96f7.png(для A)

hello_html_74bca9ac.png(для B)

Ограничения на величину спроса на продукцию:

hello_html_m5a28bbe9.png

hello_html_m5e15c93.png

Потребуем выполнения условия неотрицательности переменных:

hello_html_md48b677.png

Получили математическую модель:

Определить суточные объёмы производства (в т.) краски I и E, при которых достигается

hello_html_m16d7f1c4.png(целевая функция)

при ограничениях

hello_html_32b8b842.png

Графическое решение задачи ЛП


Построим область допустимых решений, в которой одновременно выполняются все ограничения. Искомое пространство решений – многоугольник ABCDEF. Пространство решений содержит бесконечное число точек, являющихся допустимыми решениями, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели z=3x­E+2xI. На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях hello_html_m2b12c9b5.png, что позволяет определить наклон целевой функции и направление её увеличения. На видно, что оптимальному решению соответствует точка C, являющаяся пересечением прямых

hello_html_d256166.png

Решив систему, получим

hello_html_7a391e7a.png

Тогда получаемый доход

hello_html_65ff7452.pngтыс $.

Оптимальному решению всегда соответствует одна из допустимых угловых точек пространства решений. Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона прямой, представляющей целевую функцию (т.е. от коэффициентов целевой функции).


Алгебраический метод решения задач


Использование графического метода удобно при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем их числе необходимо применение алгебраичского аппарата.

Процесс решения задачи ЛП симплекс-методом носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определённой последовательности выполняются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.


Стандартная форма линейных оптимизационных моделей


  1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью. Исходное ограничение можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения (вычитая избыточную переменную из левой части).

Например,

hello_html_m722f96f7.png

Введём остаточную переменную s1>0, тогда

hello_html_m7002f81e.png

Правую часть равенства можно сделать неотрицательной, умножив обе части на –1.

  1. Значения всех переменных модели неотрицательны.
    Любую переменную yi, не имеющую ограничения в знаке, можно представить как разность двух неотрицательных переменных:

hello_html_1015c68d.png

При любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение, т.к. если hello_html_m16c5370b.gif, то hello_html_m3fade9ed.gif, и наоборот. Это позволяет рассматривать hello_html_m13c8d3ce.gif как остаточную переменную, а hello_html_4a1e9280.gif как избыточную.

  1. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.
    Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
    Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения переменных в обоих случаях будут одинаковы.


Симплекс-метод


Общую идею симплекс-метода проиллюстрируем на примере модели для задачи фирмы Reddy Mikks. На исходная точка алгоритма – начало координат (т. A) – начальное решение. От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке (т. B или т. F). Её выбор зависит от коэффициентов целевой функции. Т.к. коэффициент при x­E больше коэффициента при xI, а целевая функция подлежит максимизации, требуемое направление перехода соответствует увеличению x­E (т. B). Далее указанный процесс повторяется для выяснения, существует ли другая экстремальная точка, соответствующая лучшему допустимому решению.

Правила выбора экстремальной точки:

  1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей.

  2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться.

Чтобы описать рассмотренные процедуры формальными способами, необходимо определить пространство решений и угловые точки алгебраически. Требуемые соотношения устанавливаются по таблице:


Геометрическое определение (графический метод)

Алгебраическое определение (симплекс-метод)

Пространство решений

Ограничения модели стандартной формы

Угловые точки

Базисные решения задачи в стандартном виде


Представление пространства решений стандартной задачи ЛП.

Модель:

максимизировать целевую функцию

hello_html_75195fb3.png

при ограничениях

hello_html_m47fc59af.png

На – пространство решений. Каждую точку можно определить с помощью

hello_html_4eebd3bd.png

Для идентификации нужной точки воспользуемся тем, что при hello_html_de613f8.gif ограничения модели эквивалентны равенствам, которые представляются соответствующими рёбрами пространства решений.

Анализируя , заметим, что

hello_html_4eebd3bd.png

можно упорядочить, исходя из того, какое значение (нулевое или ненулевое) имеет данная переменная в экстремальной точке.


Экстр.

переменные

точка

нулевые

ненулевые

A

hello_html_11b27b99.png

hello_html_m24768ed7.png

B

hello_html_m6ceeccbb.png

hello_html_m4a357082.png

C

hello_html_40e7966.png

hello_html_37bec0ce.png

D

hello_html_6bc5bc69.png

hello_html_2a6a5123.png

E

hello_html_743b7522.png

hello_html_6b6f85cf.png

F

hello_html_m4376e0a5.png

hello_html_1f4eae74.png


Из таблицы выделим закономерности:

  1. Стандартная модель содержит четыре уравнения и шесть неизвестных, поэтому в каждой из экстремальных точек (6–4) переменные должны иметь нулевые значения.

  2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной переменной в каждой группе (нулевых и ненулевых переменных).

Если линейная модель стандартной формы содержит hello_html_m67f70a4c.pngуравнений и hello_html_m21451653.gif неизвестных, то все допустимые экстремальные точки определяются как все однозначные неотрицательные решения системы hello_html_m67f70a4c.pngуравнений, в которых m-n переменных равны нулю. Однозначные решения такой системы – базисные решения. Если они удовлетворяют требованию неотрицательности правых частей, то это – допустимое базисное решение. Переменные, равные нулю – небазисные, остальные – базисные. Каждую следующую экстремальную точку можно определить определить путём замены одной из текущих небазисных переменных текущей базисной переменной. В нашем примере при переходе из т. A в т. B необходимо увеличивать небазисную переменную от исходного нулевого значения до значения, соответствующего т. B. В т. B s2 обращается в нуль (становится небазисной). Т.о., происходит взаимообмен x­E и s2 между небазисными и базисными переменными.

Включаемая переменная – небазисная в данный момент переменная, которая будет включена в множество базисных переменных на следующей итерации. Исключаемая переменная – базисная в данный момент переменная, которая на следующей итерации подлежит исключению из множества базисных переменных.


Вычислительные процедуры симплекс-метода

Симплекс-алгоритм:

Шаг 0: Используя линейную модель стандартной формы, определяют НДБР путём приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных.

Шаг 1: Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если её нет -- текущее базисное решение оптимально, иначе переход к Шагу 2.

Шаг 2: Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна стать небазисной при введении в состав базиса новой переменной.

Шаг 3: Находится новое базисное решение, соответствующее новым составам базисных и небазисных переменных. Переход к Шагу 1.

hello_html_68ba39ac.png

Если x­E=xI=0, то

hello_html_2fdb0ed9.png

(соответствует точке A Ha ) hello_html_787494b6.png – начальное допустимое решение.


 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_64d51b84.png

hello_html_22c8b0c4.png

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_mc5b830f.png

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68a5d844.png

Решение

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_72861f5c.png

-3

-2

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

2

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

6

hello_html_mc5b830f.png

hello_html_68878c53.png

2

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

8

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68878c53.png

-1

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68a5d844.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

2


Если в задаче максимизации все небазисные переменные в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении имеют неотрицательные коэффициенты, полученное пробное решение является оптимальным. Иначе в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент. Применяя это условие к исходной таблице – переменная, включаемая в базис.

Процедура выбора подключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та (из текущего базиса), которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной точке.

Отношение, идентифицирующее исключаемую переменную, можно определить из симплекс-таблице. Для этого в столбце вводимой переменной вычёркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений. Затем вычисляются отношения постоянных из правых частей ограничений к оставшимся элементам столбца. Исключаемая переменная – та, для которой это отношение минимально.


 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_64d51b84.png

hello_html_22c8b0c4.png

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_mc5b830f.png

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68a5d844.png

Решение

Отношение

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_72861f5c.png

-3

-2

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

-

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

2

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

6

hello_html_m2a3745e0.png

hello_html_mc5b830f.png

hello_html_68878c53.png

2

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

8

hello_html_m211835b6.png

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68878c53.png

-1

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

-

hello_html_68a5d844.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

2

-


Столбец, ассоциированный с вводимой переменной – ведущий столбец; строка, соответствующая исключаемой переменной – ведущая строка; на их пересечении – ведущий элемент.

Поиск нового базисного решения осуществляется методом исключения переменных (метод Жордана-Гаусса). Этот процесс включает в себя вычислительные процедуры двух типов.

Тип 1. Формирование ведущего уравнения

Новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка/ведущий элемент

Тип 2. Формирование остальных уравнений

Новое уравнение = предыдущее уравнение – (коэффициент ведущего столбца предыдущего уравнения)*(новая ведущая строка)

Новая симплекс-таблица, полученная после проведения рассмотренных операций:


 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_64d51b84.png

hello_html_22c8b0c4.png

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_mc5b830f.png

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68a5d844.png

Решение

Отношение

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_md305903.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_4b980833.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m6675f5d9.png

-

hello_html_m4d430cee.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m1d26d6ef.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_md305903.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_54609b5.png

hello_html_64d51b84.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m796bdcc5.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m796bdcc5.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_m211835b6.png

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m1d26d6ef.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m796bdcc5.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m630053f6.png

hello_html_276341cf.png

hello_html_68a5d844.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

-

hello_html_22c8b0c4.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68b88477.png

hello_html_1ae01b09.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

-

hello_html_64d51b84.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m8fe234e.png

hello_html_68b88477.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_40d398f7.png

-

hello_html_m149d5a89.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

-

hello_html_68a5d844.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_4ac989a1.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m4a670f1a.png

-


xI – вводимая переменная (т.к. коэффициент в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении -1/2). Исключаемая переменная s1, (отношение 4/3 – минимальное). Снова проведём вычисления двух типов. Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному решению задачи, т.к. в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении ни одна из небазисных переменных не фигурирует с отрицательными коэффициентами.

В случае минимизации целевой функции в этом алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности: в качестве новой базисной переменной следует выбирать переменную, которая в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении имеет наибольший положительный коэффициент. Условия допустимости в обоих случаях одинаковы.


Искусственное начальное решение


Для получения начального базисного решения мы использовали остаточные переменные. Однако когда исходное ограничение записано в виде равенства или имеет знак, нельзя сразу же получить НДБР. Поэтому были разработаны два метода, в которых используется «штрафование» искусственных переменных.

  1. Метод больших штрафов (М-метод)

Рассмотрим линейную модель, приведённую к стандартной форме:

минимизировать

hello_html_7a7e5e0.png

при ограничениях

hello_html_7efc7122.png

В первом и втором уравнениях нет переменных, исполняющих роль остаточных. Поэтому введём в каждое из этих уравнений по одной из искусственных переменных R1 и R2: hello_html_50b1ca82.png

За использование этих переменных в составе целевой функции можно ввести штраф, приписывая им достаточно большой положительный коэфффициент hello_html_7c674300.png. Получим линейную модель:

минимизировать

hello_html_m33a21c7b.png

при ограничениях

hello_html_m73617a45.png

Теперь если

hello_html_m44d05a84.png

,то начальное допустимое решение: hello_html_7a7f6996.gif

Метод оптимизации, направленный на нахождение минимального значения hello_html_m2b12c9b5.png, приведёт к тому, что переменные R1 и R2 в оптимальном решении обратятся в нуль.

Необходимо переформулировать условие задачи, чтобы представить процесс решения в удобной табличной форме. Подставив в целевую функцию полученные из соответствующих ограничений выражения для искусственных переменных

hello_html_m2194fc6.png

получим выражение для hello_html_m2b12c9b5.png:

hello_html_49fd9358.png

Решение представлено в сводной таблице 4.1.

  1. Т.к. целевая функция минимизируется, переменные, включаемые в базис, должны иметь наибольшие положительные коэффициенты в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении. Оптимум достигается, когда все небазисные переменные имеют коэффициенты в hello_html_m2b12c9b5.png-уравнении. Оптимальному решению соответствует точка hello_html_1fba51cf.gif.

Т.к. в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные, имеющие положительное значение, то данное решение – допустимое оптимальное решение задачи в её стандартной постановке.

Таблица4.1

Итерация

 

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_3492a17.png

hello_html_76dc7201.png

hello_html_2c3d8114.png

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_59d928f9.png

Решение

Отношение

 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_2382185d.png

hello_html_m4240271c.png

hello_html_m595fd1c9.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m65c34426.png

-

 

hello_html_2c3d8114.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_72861f5c.png

 

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_640352b7.png

hello_html_m1d26d6ef.png

 

hello_html_59d928f9.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_m5ea47d93.png

 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_2ed798e.png

hello_html_m595fd1c9.png

hello_html_m5781eacd.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m180b665.png

-

 

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_40d398f7.png

 

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m35d5047e.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_6b6d6730.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_m5a2e1f90.png

 

hello_html_59d928f9.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m35d5047e.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m8fe234e.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_m5b811f15.png

 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m3d9d322a.png

hello_html_78620a8.png

hello_html_119b34fe.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_1ac52149.png

-

 

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m3d9d322a.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_40d398f7.png

 

hello_html_3492a17.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m7efe952e.png

hello_html_62580c04.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m5a2e1f90.png

-

 

hello_html_59d928f9.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

 

hello_html_m2b12c9b5.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_4e0a253a.png

hello_html_m595fd1c9.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_7dedffbc.png

-

 

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_7815a076.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_7815a076.png

-

 

hello_html_3492a17.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_m5b811f15.png

-

 

hello_html_76dc7201.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m4a670f1a.png

-

  1. Двухэтапный метод

Этап 1. Вводятся искусственные переменные, необходимые для получения стартовой точки. Записывается новая целевая функция, предусматривающая минимизацию суммы искусственных переменных при исходных ограничениях, видоизменённых за счёт искусственных переменных. Если минимальное значение новой целевой функции равно нулю (т.е. все искусственные переменные в оптимуме равны нулю), то исходная задача имеет допустимое решение и переходим к Этапу 2.

Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на Этапе 1, используется в качестве начального условия исходной задачи.

Рассмотрим на примере.

Этап 1.

Минимизация

hello_html_626a7374.png

при ограничениях

hello_html_m58039f12.png

hello_html_m50c765d.png

 

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_3492a17.png

hello_html_76dc7201.png

hello_html_2c3d8114.png

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_59d928f9.png

Решение

hello_html_m7c216edb.png

hello_html_62057ec.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m575fb269.png

hello_html_2c3d8114.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_640352b7.png

hello_html_59d928f9.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m5ea47d93.png

hello_html_m7c216edb.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m35d5047e.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_1ae01b09.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m1fcbe83.png

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m31f7f3d8.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m5d7a85ab.png

hello_html_mdc41334.png

hello_html_68b88477.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_1ae01b09.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_59d928f9.png

hello_html_m410a4bc8.png

hello_html_m8fe234e.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_1ae01b09.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_40d398f7.png

hello_html_m7c216edb.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_6d309c3b.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m3d9d322a.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_3492a17.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_m7efe952e.png

hello_html_m4fe570c7.png

hello_html_m4a670f1a.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_m5a2e1f90.png

hello_html_59d928f9.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_68878c53.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_5024df1a.png

hello_html_72861f5c.png

hello_html_72861f5c.png


Т.к. hello_html_42473c9b.png, можно переходить к Этапу 2.

Этап 2. Исходную задачу сформулируем следующим образом:

минимизировать

hello_html_7a7e5e0.png

при ограничениях

hello_html_m1931959d.png

Теперь, приравняв x3=0, получим НДБР

hello_html_m64166c5f.png

Для решения задачи необходимо подставить в целевую функцию выражения для базисных переменных x1 и x2:

hello_html_7df2379a.png

Двойственность.

Двойственная задача – вспомогательная задача ЛП, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из исходной, или прямой задачи.

Прямая задача ЛП в стандартной форме:

максимизировать (минимизировать)

hello_html_1f839592.png

при ограничениях

hello_html_6e3c42e6.png

В состав включаются избыточные и остаточные переменные.


hello_html_6d309c3b.png

hello_html_3492a17.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_60912ca2.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_51fa7403.png

 

hello_html_m342b18d1.png

hello_html_m6c61554e.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_m710dc241.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_2ac921ae.png

 

hello_html_1a3bcee1.png

hello_html_mea08ac3.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_m4fb57831.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_m603b68ab.png

hello_html_m49d3ceee.png

hello_html_m1b073ed7.png

hello_html_4be5a929.png

hello_html_m5f7eed0b.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_m1e6b1ff9.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_78cb1f08.png

hello_html_m5cc4097f.png

hello_html_5bb15188.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_1246d8cf.png

hello_html_6813e8.png

hello_html_m3c9827fa.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_m6c59eb72.png

hello_html_m75e5ed19.png

hello_html_7cc12a89.png

hello_html_m28a17231.png

hello_html_m2cf598da.png


Для формулировки двойственной задачи расположим коэффициенты прямой задачи согласно схеме:

  • каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи;

  • каждому переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи;

  • коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничения прямой задачи, становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а коэффициент, фигурирующий при той же переменной в выражении для целевой функции прямой задачи, становится постоянной правой части этого же ограничения двойственной задачи.

Информация о других условиях двойственной задачи (направление оптимизации, ограничения и знаки двойственных переменных) представлена в таблице:


Прямая задача в стандартной форме.

Двойственная задача

Целевая функция

Целевая функция

Ограничения

Переменные

Максимизация

Минимизация

hello_html_65609de8.png

Не ограничены в знаке

Минимизация

Максимизация

hello_html_m1167d31b.png

Не ограничены в знаке


Рассмотрим пример:

Прямая задача:

максимизировать

hello_html_28363524.png

при ограничениях

hello_html_m448da92f.png

Прямая задача в стандартной форме:

максимизировать

hello_html_m3140a94a.png

при ограничениях

hello_html_162b2e63.png

Двойственная задача:

минимизировать

hello_html_m6244cf95.png

при ограничениях:

hello_html_m3c5549cc.png

(означает, что y1>0). y1, y2 не ограничены в знаке.


Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей.


Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании опти­мального плана перевозок некоторого однородного груза с hello_html_17aa43f7.gifбаз hello_html_11e3fcde.gifhello_html_m601acf03.gif потребителям hello_html_12661ef8.gif.

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

О


бозначим количество груза, имеющегося на каждой из hello_html_17aa43f7.gif баз (запасы), соответственно hello_html_6ff254e1.gif,а общее количество имею­щегося в наличии груза–hello_html_m734afb91.gif:

hello_html_6bc797e.gif; (1.1)

з


аказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соот­ветственноhello_html_m50681aea.gif, а общее количество потребностей:

hello_html_m1b7ff274.gif, (1.2)

Т


огда при условии

hello_html_5625fbd9.gif(1.3)

м


ы имеем закрытую модель, а при условии

hello_html_m15bad54b.gif(1.4)

открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза hello_html_m58dd5ab8.gif, либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены hello_html_m6ee53503.gif.

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:

Пункты

Отправления

Пункты назначения

Запасы

hello_html_78f22f65.gif

hello_html_5c120d33.gif

hello_html_3ee08d1a.gif

hello_html_m6ad76fbc.gif

hello_html_mf9081cb.gif

hello_html_3707d3b2.gif

hello_html_5edef04d.gif

hello_html_m240c35f8.gif

hello_html_4e9d4c6d.gif

hello_html_5467f915.gif

hello_html_m62f554d.gif

hello_html_m364ccc0.gif

hello_html_m274e4cd8.gif

hello_html_m23feb1f8.gif

hello_html_22b65df2.gif

hello_html_m599ec35e.gif

hello_html_m6cee644f.gif

hello_html_m223e1762.gif

Потребности

hello_html_3f933349.gif

hello_html_m35781298.gif

hello_html_m578a92bf.gif

hello_html_5625fbd9.gif

или

hello_html_m15bad54b.gif

Условие hello_html_5625fbd9.gif или hello_html_m15bad54b.gif означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Перемен­ное hello_html_5d74622f.gif означает количество груза, перевозимого с базы hello_html_2fbec94b.gif потреби­телю hello_html_m3d514c28.gif: совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные hello_html_5d74622f.gif должны удовлетворять условиям:


hello_html_m25bdaa28.gifhello_html_7c9cc714.gif



(2.1)

hello_html_m3898dde0.gif(2.1.1)

Система (2.1) содержит hello_html_66f9313e.gif уравнений с hello_html_7f14f84d.gif неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (2.1) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравне­ний (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонталь­ных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы пере­возок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (2.1) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

Такая структура системы (2.1) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следо­вательно, свободные неизвестные определяются условием hello_html_m2ea34093.gif, hello_html_m35e26bde.gif.Перепишем систему (2.1) в виде

hello_html_m453294ab.gif


hello_html_59d833c9.gif(2.1)


где символы hello_html_783ef7d6.gifи hello_html_623bad00.gifозначают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

hello_html_4fe74eb5.gif

При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь hello_html_m2ea34093.gif, hello_html_m35e26bde.gif).

В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а имен­но первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные hello_html_m44babc9e.gif с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение

hello_html_m5f9b843e.gif(2.2)

или короче


hello_html_m3b1cf998.gif

где символ hello_html_m3f25b455.gif означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные hello_html_m6dd8741.gif с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

hello_html_m4272423c.gif


(2.2’)

Так как для закрытой модели транспортной задачи hello_html_5625fbd9.gif, то полученные нами уравнения (2.2) и (2.2’) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное hello_html_m2fcbf10e.gif, мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Итак, преобразование системы (2.1) свелось к замене двух урав­нений (первого горизонтального и первого вертикального) уравне­нием (2.2). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид

hello_html_m226deef9.gifhello_html_55bccc41.gif


(2.3)


В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неиз­вестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного hello_html_m2fcbf10e.gif [она входит в первое уравнение системы (2.3)]. В системе (2.3) имеется hello_html_3828cc29.gif уравнений, выделенный базис содержит hello_html_3828cc29.gif неизвест­ных, а, следовательно, и ранг системы (2.1) hello_html_787e27de.gif.

Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы hello_html_mab8c3a9.gif, т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы hello_html_1eb42965.gif потребителю hello_html_m3d514c28.gif.

Совокупность тарифов hello_html_mab8c3a9.gif также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу:

Пункты

Отправления

Пункты назначения

Запасы

hello_html_78f22f65.gif

hello_html_5c120d33.gif

hello_html_3ee08d1a.gif

hello_html_m6ad76fbc.gif


hello_html_8b3bfa9.gif


hello_html_m5e7ca2ad.gif


hello_html_m1da40586.gif

hello_html_m240c35f8.gif

hello_html_mf9081cb.gif

hello_html_3707d3b2.gif

hello_html_5edef04d.gif

hello_html_4e9d4c6d.gif


hello_html_770b0b19.gif


hello_html_m2543a741.gif


hello_html_12863fa9.gif

hello_html_m274e4cd8.gif

hello_html_5467f915.gif

hello_html_m62f554d.gif

hello_html_m364ccc0.gif

hello_html_m23feb1f8.gif


hello_html_7542a62a.gif


hello_html_a5ab13c.gif


hello_html_m4f829643.gif

hello_html_m223e1762.gif

hello_html_22b65df2.gif

hello_html_m599ec35e.gif

hello_html_m6cee644f.gif

Потребности

hello_html_3f933349.gif

hello_html_m35781298.gif

hello_html_m578a92bf.gif

hello_html_5625fbd9.gif

или

hello_html_m15bad54b.gif


Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных hello_html_5d74622f.gif:

hello_html_m1efb5f20.gif


(2.4).

Требуется в области допустимых решений системы уравнений (2.1) и (2.1.1) найти решение, минимизирующее линейную функцию (2.4).

Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем неко­торых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен hello_html_3828cc29.gif то среди всех hello_html_7f14f84d.gif неизвест­ных hello_html_5d74622f.gif выделяется hello_html_3828cc29.gif базисных неизвестных, а остальные hello_html_m79f37a5a.gif·hello_html_5a8623a0.gif

неизвестных являются свободными. В базис­ном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем hello_html_3828cc29.gif заполненных и hello_html_m79f37a5a.gif·hello_html_5a8623a0.gif пустых клеток.

Для контроля надо проверять, равна ли сумма чисел в заполнен­ных клетках каждой строки таблицы перевозок запасу груза на соответствующей базе, а в каждом столбце — потребности заказчика [этим подтверждается, что данный план является решением системы (2.1)].

Замечание 1. Не исключаются здесь и вырожденные случаи, т. е. возможность обращения в нуль одной или нескольких базисных неизвестных. Но эти нули в отличие от нулей свободных неизвест­ных вписываются в соответствующую клетку, и эта клетка считается заполненной.

Замечание 2. Под величинами hello_html_mab8c3a9.gif, очевидно, не обязательно под­разумевать только тарифы. Можно также считать их величинами, пропорциональными тарифам, например, расстояниями от баз до потребителей. Если, например, hello_html_5d74622f.gif выражены в тоннах, а hello_html_mab8c3a9.gif в километрах, то величина hello_html_3faa6296.gif, определяемая формулой (2.4), является количеством тонно-километров, составляющих объем данного плана перевозок. Очевидно, что затраты на перевозки пропорциональны количеству тонно-километров и, следовательно, будут минимальными при минимуме S. В этом случае вместо матрицы тарифов мы имеем матрицу расстояний.

Задание для самостоятельного решения.

На Вашем предприятии образовалось 150 м3 свободных остатков пиломатериалов и 1600 м2 листового стекла. Эти материальные ресурсы можно использовать в цехе товаров народного потребления, к примеру, для производства сервантов, книжных полок и зеркал (маркетологи «дают добро» на возможность сбыта этих товаров по следующим ценам: сервант – 91, книжная полка – 14.5, зеркало – 11 денежных единиц).


Нормы расхода материалов на единицу каждого вида продукции:

Ресурсы
Продукция

Пиломатериалы,
куб.м

Стекло,
кв.м

Сервант

0.25

2.0

Книжная полка

0.05

0.5

Зеркало

0.025

0.4

Себестоимость производства одного серванта составляет 80 денежных единиц, книжной полки – 12, зеркала – 8.9 д.е.

Сформируйте план производства указанных товаров, обеспечивающий получение максимальной прибыли.




Краткое описание документа:

Программа элективного курса «Математика в экономике» предназначена для учащихся 10-11 классов, социально-экономического профиля и рассчитана на 68 часов, 2 часа в неделю. Все экономические понятия рассматриваются с точки зрения математики на примерах, которые могут быть расширенны такими темами как: математическое моделирование, стохастический анализ в экономике, банковский процент, линейное программирование.Организация учебного процесса построена так, чтобы школьники, избравшие экономическое направление, осознанно воспринимали широко используемые в экономике математические методы. Содержание курса не дублирует школьный курс экономики и является «мостом» к его осознанному изучению. Оно нацелено на выработку общих учебных умений и навыков по решению экономических задач с использованием математического аппарата, а также на формирование обобщенных способов познавательной, коммуникативной и творческой деятельности.

Общая информация

Номер материала: 5323021233

Похожие материалы