1643154
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
До повышения цен на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации осталось:
0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд
Успейте подать заявку на курсы по минимальной цене!
Лабиринт
ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыПрограма математичного гуртка для учнів 10,11 класів

Програма математичного гуртка для учнів 10,11 класів

Лабиринт
библиотека
материалов




Міністерство освіти і науки України

Луганський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти



Кафедра природничо-наукових дисциплін і методики їх викладання

Програма математичного гуртка

для учнів 10,11 класів



Творчий проект

Музикантової О. К. слухача курсів

підвищення кваліфікації

вчителів математики вчителя ЗШ№1 м. Краснодона



Краснодон

2012

Зміст

занять

Теми занять

Кількість годин

Примітки

 

 

Тема 1. Діофантові рівняння

2

Презентація №1 

Тема 2. Тригонометричні функції

11

 

1

Числове коло. Функції Y = sinX,

Y = cosX, Y = tgX, Y = ctgX, та їх графіки.

 

Презентація №2 

2

Кускові тригонометричні фунції

 

 

3

Рішення тригонометричних рівнянь


Презентація №3

4,5

Функціонально - графічний метод рішення тригонометричних рівнянь

 

 

6,7

Метод тригонометричних підстановок.

 

 

8,9

Рішення ірраціональних тригонометричних рівнянь.

 

 

10,11

Метод розкладання на множники.

 

 


Тема 3. Рішення більш складних ірраціогальни рівнянь.

7

 

1,2

Метод підстновки. Застосування властивості монотонності фунції при

 

 


Розв'язання ірраціональних рівнянь.

 

 

3,4

Графічний метод рішення ірраціональних рівнянь.

 

 

5,6,7

Рішення рівнянь та систем з параметрами.

 

Презентація №4


Тема 4. Математичні розваги.

4

Презентація №5 


Пояснювальна записка

Людство вступає в час постійних змін. Здатність сприймати зміни і творити їх – це найважливіша характеристика способу життя людини в ХХI столітті. Викладання математики має на меті досягти такого рівня розвитку, а також знань, умінь і навичок, який потрібний для їх підготовки для практичної діяльності в умовах сучасного виробництва , для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів ( фізики, інформатики, хімії, біології) і продовження освіти у вищих навчальних закладах. Загальному піднесенню математичної підготовки має допомогти правильна організація позакласної роботи. Роботу математичного гуртка необхідно організовувати відповідно до здібностей дитини,її здатності до навчання і таланту. Математичний гурток допомагає розширенню кругозору учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології. Мета цієї програми – познайомити учнів з основними прийомами і методами міркувань, які відповідають математичному стилю мислення, розкрити зміст деяких спеціальних видів задач, направлених на розвиток логічного , математичного та нестандартного мислення школярів, допомогти оволодіти навичками пошуку міркувань, які ведуть до математичного відкриття, а також розвивати позитивні риси особистості: кмітливість, зосередженість, активне сприйняття знань , наполегливість в доланні труднощів.

Якщо термін «Задача» розуміти ширше (зокрема, включити в число задач і вправи на обчислення, і вправи на доведення тверджень на інше), то можна стверджувати, що вивчення математики здійснюється в процесі розв’язування задач. І так, як в розв’язуванні кожної задачі, є зернина відкриття, то в ньому повинне мати місце здогадка, інтуїція, аргументоване міркування, яке відповідає здоровому глузду.

Для розв’язування таких задач, крім знань із відповідних розділів шкільної математики, знадобляться спостережливість, вміння порівнювати, проводити аналогії, узагальнювати і систематизувати набуті знання, робити висновки і їх обґрунтовувати.

Програма розрахована на 24 години (з листопада по травень по 4 години на місяць). До кожної з тем підібрані такі задачі, які відповідають рівню їх навченості. Задачі різної складності, які розв’язуються на заняттях, дають можливість здійснювати індивідуальний підхід в навчанні, забезпечити активну участь в пошуку розв’язування їх учнів з різним рівнем навченості.

Також треба стимулювати найбільш здібних і обдарованих учнів складати свої задачі на задану тему, що сприятиме удосконаленню їх знань і вмінь.






















Тема 1. Діофантові рівняння. Практична частина.


Розв’язування рівнянь у цілих числах є однією з найстародавніших математичних задач. Уж на початку другого століття до нашої ери вавилоняни вміли їх розв’язувати. Найбільшого розвитку ця галузь математики досягла в Стародавній Греції. Основним джерелом для нас є «Арифметика» Діофанта (III ст. до н. е.).

Діофантові рівняння користуються популярністю і сьогодні. Майже на кожній олімпіаді з математики зустрічаються рівняння такого виду. Пропонують ці рівняння і на вступних екзаменах у вищі навчальні заклади. Діофантовими рівняннями називаються алгебраїчні або система алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами з двома або більшою кількістю невідомих, для яких знаходять цілі (або раціональні розв’язки, причому число невідомих повинно бути більшим від числа рівнянь).

1.1 Розв’язати рівняння в натуральних числах.

7х + 3у = 23.

Алгоритм.

  1. Виразим одну змінну через іншу:

hello_html_m4d37023e.gif=hello_html_m472ef70b.gif

2.Виділим з дробу цілу і дробову частини:

hello_html_134aa859.gif

  1. Відібрати необхідні числа згідно з умовами

hello_html_318c7a57.gif = 2, hello_html_m4d37023e.gif = 3.

  1. Виконаємо перевірку.

7hello_html_9fdedf2.gif 2+3hello_html_9fdedf2.gif3 =23

Відповідь: (2;3).

1.2 На станцію привезли 420 тон вугілля у вагонах по 15 тон, 20 тон і 25 тон. Скільки і яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

Розв’язання :

Нехай було Х вагонів по 15 тон; У вагонів по 20 тон.

Тоді було (27-Х-У) вагонів по 25 тон.

Складаємо рівняння:

15Х + 20У + 25(27-Х-У) = 420

15Х + 20У + 675 – 25Х-25У = 420

-10Х- 5У = -255

У = 51-2Х

Так як вагонів було всього 27, отже Х = 25, У = 1, Z = 27-25-1 = 1

Відповідь: 25 вагонів по 15 тон, 1 вагон по 20 тон, 1 вагон по 25 тон.

1.3 Розв’язати рівняння в цілих коренях:

7(X + Z + YXZ) = 10 (1 + YZ)

Запишемо пропорцію зібравши зліва змінні:

hello_html_m42ae7a3f.gif= hello_html_m585bf223.gif

Далі запишемо ліву і праву частини ланцюговими дробами:

hello_html_m585bf223.gif = 1 + hello_html_2a8040cc.gif = 1 + hello_html_m33009e8d.gif

hello_html_m42ae7a3f.gif =hello_html_m6a7e941b.gif=x+hello_html_611394e5.gif;

hello_html_2159213e.gif=1+hello_html_m53b3baa7.gif

Отже, х=1,у=2,z=3.

1.4 Великий оркестр демонстрував своє мистецтво на площі. Спочатку музиканти вишикувались у квадрат, а потім перешикувались у прямокутник, причому кількість шеренг збільшилась на 5. Скільки музикантів в оркестри.

Розвязання:

Нехай було hello_html_318c7a57.gif шерег по hello_html_318c7a57.gif музикантів, тоді (hello_html_318c7a57.gif + 5) шеренг після перебудови по У музикантів.

Кількість музикантів не змінилася.

hello_html_318c7a57.gif 2 = (hello_html_318c7a57.gif + 5)У, тоді hello_html_4fdb7e2.gif

hello_html_m6cf5b925.gif

hello_html_318c7a57.gif =20

20hello_html_9fdedf2.gif 20 = 400 музикантів.

Відповідь:400





























Тема II. Тригонометричні функції. Практична частина.


    1. hello_html_m44625440.pngЯким числам відповідають точки А, F, Е, К, В, L, С, Р, Д, S, якщо відомо, що Е – середина дуги АВ, L – середина дуги ВС, дуги АF,FK, КВ – рівні.

Відповідь: hello_html_m617d9fd4.gif; hello_html_6d237202.gif; hello_html_m201e832c.gif; hello_html_91887b3.gif; hello_html_79948b9a.gif hello_html_m1b6ca8b1.gif; hello_html_m3fecd4a.gif.

hello_html_m44625440.png1.2. Яким числам відповідають точки А,N, K, M, D, L, C, F, B,якщо відомо, що К – середина дуги АД, F – середина дуги СВ, а дуги АN, NM, MD, DL – рівні.

Відповідь: hello_html_m2019397d.gif; hello_html_69ab8c.gif; hello_html_2bc09a11.gif; hello_html_1b859310.gif hello_html_47711975.gif; hello_html_m25ed9666.gif

hello_html_m5692df9.png1.3. Знайти точки, які відповідають числам 1;2;3; - 5.

Так,як hello_html_40a1515f.gif, а hello_html_5c8e4f97.gif, тому точка 1 розташовується на дузі АВ ближче к В, точки 2 та 3 – на дузі ВС, перша – ближче к В, друга – ближче к С. Щоб знайти -5, треба рухатись з А у від’ємному напрямі, тобто за годинною стрілкою. Якщо дійдемо в цьому напрямі до В (hello_html_m136fe200.gifтобто hello_html_m1bd4eddb.gif.

Тому -5 знаходиться праворуч точки В.

hello_html_56ab4942.png1.4 Для складання аналітичних записів (подвійних нерівностей) для дуг числового кола, розглянемо для приклада відкриту дугу МР, де М – середина першої чверті числового кола, а Р – середина її другої чверті. Нерівність, що являє собою аналітичну модель дуги, ми складемо у два етапи.

На першому етапі складемо ядро аналітичної записі, для заданої дуги МР отримаємо hello_html_5123cb4c.gif

На другому етапі складемо загальний запис:

hello_html_32465fe7.gif

Для дуги РМ треба врахувати, що А (О) лежить в середині дуги, а тому к початку дуги необхідно рухатись у від’ємному напрямі. Отже, ядро аналітичного запису дуги РМ має вигляд:

hello_html_87dbcb6.gif , а загальний запис буде мати вигляд

hello_html_m3f2cd1ee.gif.

Рішення цих вправ дозволяє будувати надійний фундамент для успішного засвоєння вивчає мого матеріалу.


2.1 Після повторення властивостей функцій Y = sin X, Y = cos X, Y= tg X, Y = ctg X по можливості, треба розглянути рішення так званих кускових функцій - функцій, які задані різними формулами на різних проміжках.

Збудувати графік функції

hello_html_14afc92e.pnghello_html_m5087b109.gif

2.2 Розв’язати рівняння.

hello_html_m675a3079.gif

hello_html_m119ab664.pngПобудуємо графік hello_html_m1a679366.gif. Розглянемо функцію hello_html_m381d6df7.gif. Якщо hello_html_2ab47546.gif, то hello_html_4c9132d2.gif, тоді hello_html_6ed87063.gif. Якщо hello_html_11dacbaf.gif, то hello_html_3d440413.gif, тоді hello_html_1dffcf06.gif

Отже, hello_html_6516889e.gif

hello_html_m7bdd93f2.pngГрафік цієї функції має такий вигляд.

hello_html_3a58cabd.pngА зараз зобразимо обидва графіка в одній системі координат.

Обидва графіка перетинаються у двох точках, які симетричні відносно прямій hello_html_6dd5e875.gif. Зрозуміло, що абсциса точки перетину належить інтервалу hello_html_m414d43a.gif,тоді hello_html_50f4ece2.gif, тоді hello_html_7a67798e.gif.

Відповідь: hello_html_m3661a75e.gif; hello_html_m638f9bc3.gif.


2.3 Побудувати графіки:

hello_html_34f5df01.png1) hello_html_m2eb8da73.gif

hello_html_m1a3acd6a.png2) hello_html_ab0c42c.gif

hello_html_73eb173a.png3) hello_html_m7a5c99fa.gif

2.4 Розв’язати рівняння

hello_html_4ddd05b8.gif

Розв’язання:

Нехай hello_html_m50c31f3c.gif; hello_html_m706741bc.gif.

Будуємо ескізи графіків в одній системі координат.

hello_html_57d5f5c8.png hello_html_m1c5ea40d.gif;

Відповідь: розв’язків немає.

2.5 Розв’язати рівняння.

hello_html_m168e8ff3.gif

Розв’язання:

hello_html_4781566.png hello_html_m6cfe4190.gif hello_html_m3167b3dd.gif; hello_html_mad29583.gif

Розв’язок лише один, від’ємний.

Перевіримо:

hello_html_1b411649.gif; hello_html_m3d325549.gif; hello_html_m5875182b.gif.

Корінь знаходиться в проміжку hello_html_1314c5fb.gif, але точно знайти його неможливо. Існують способи наближеного обчислення коренів рівнянь, але ми не розглядаємо їх.

2.6 Розв'язати рівняння

hello_html_6d17fb46.gif

Розв’язання. Ескізи графіків hello_html_3157ccdb.gif та hello_html_4fb2bb17.gif в одній системі координат показують, що ці функції дотикаються при hello_html_74720bd0.gif.

Але те, що ми бачимо на графіках, треба довести аналітичним методом.

Нехай hello_html_m5ae743b1.gif, hello_html_m3266751.gif.

Нехай hello_html_35a5914c.gif, тоді hello_html_46fe02b4.gif і hello_html_m4df7dc4.gif.

Кутовий коефіцієнт дотичної до двох кривих у точці (1;1) той самий, тобто hello_html_61469cee.gif; тобто, дотична спільна, інших точок перетину немає.

Відповідь: 1.

У шкільній програмі багато часу приділено рішенню тригонометричних рівнянь, але зовнішнє тестування показало, що треба учнів знайомити з нестандартними способами, які допоможуть учням успішно засвоїти матеріал та підготуватися до вступних іспитів в вузи.

Метод тригонометричних підстановок застосовують у тих випадках, коли, зокрема, область визначення змінної │x│≤ 1, тоді застосовують підстановку

х = hello_html_m1df71c12.gif; t hello_html_54a4056f.gif [- hello_html_m615e21be.gif; hello_html_m615e21be.gif], або x = hello_html_m7c49b437.gif, t hello_html_54a4056f.gif [ 0; π].

3.1. Скільки коренів на відрізку [0;1] має рівняння:

8х (2х2 – 1) (8х4 – 8х2 + 1 ) = 1

Розв’язання:

Якщо х hello_html_54a4056f.gif [ 0; 1], то існує (і тільки одне) число t із відрізка [ 0; hello_html_m615e21be.gif] таке, що х=hello_html_m7c49b437.gif. Підставимо х=hello_html_m7c49b437.gif в вихідне рівняння, одержимо рівняння 8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m7dc6e27a.gif)(8hello_html_m2fd78d37.gif - 8hello_html_m12ce0c02.gif +1)=1(*). Виконаємо в ньому тотожні перетворення:

8hello_html_m2fd78d37.gif - 8hello_html_m12ce0c02.gif +1 = 8hello_html_m12ce0c02.gif(hello_html_m12ce0c02.gif -1) + 1 =

=8hello_html_m12ce0c02.gif(- hello_html_mf3c18ce.gif) + 1 = - 8hello_html_4fff39f3.gif + 1 =

= -2hello_html_m53097d21.gif + 1 = -2hello_html_m53097d21.gif + hello_html_m53097d21.gif + hello_html_1a8c131.gif =

= hello_html_1a8c131.gif - hello_html_m53097d21.gif = hello_html_m2dd7de1b.gif.

8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m7dc6e27a.gif) = 8hello_html_47fe0c5c.gif(2hello_html_m12ce0c02.gif - hello_html_mf3c18ce.gif - hello_html_m12ce0c02.gif) =

= 8hello_html_47fe0c5c.gif (hello_html_m12ce0c02.gif - hello_html_mf3c18ce.gif) = 8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif.

8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif = 1 (**).

Так як hello_html_m1df71c12.gif = 0 не задовольняє рівняння (**), помножено останнє рівняння на hello_html_m1df71c12.gif ≠ 0, одержимо

8hello_html_47fe0c5c.gif hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m1df71c12.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

4hello_html_m5921682c.gif hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m7d1a3eb6.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

2hello_html_m2dd7de1b.gif hello_html_m2f4b750.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

hello_html_4ff96a4a.gif = hello_html_m1df71c12.gif;

hello_html_4ff96a4a.gif - hello_html_1d48fbbb.gif;

2sin hello_html_m4037c80e.gif cos hello_html_m49a4d121.gif = 0.

sin hello_html_m3badbe59.gif = 0; hello_html_m3badbe59.gif = πn; t = hello_html_m359bc5a1.gif; n hello_html_54a4056f.gif Z

cos hello_html_m49a4d121.gif = 0; hello_html_m49a4d121.gif = hello_html_m615e21be.gif + πk; t = hello_html_6c03d04b.gif + hello_html_m46b305b5.gif, k hello_html_54a4056f.gif Z.

Врахуємо, що t hello_html_54a4056f.gif [ 0; hello_html_m615e21be.gif], одержимо n = hello_html_m3b0dd11f.gif; hello_html_6c03d04b.gif;hello_html_m40fe6050.gif.

Відповідь: 3 кореня.


3.2.Розвязати рівняння:

hello_html_m6863a854.gif = 4hello_html_490461b6.gif

Рoзв’язання

Область визначення рівняння |x|hello_html_4db82a94.gifПідстановка

х=hello_html_1566e1f2.gif Одержимо рівняння hello_html_m60e08e2f.gif =

=4 hello_html_48e92359.gif hello_html_m7c49b437.gif.sin t│= cos 3t. Так як t hello_html_54a4056f.gif [0;π], то sin t≥0, тоді рівняння має вигляд sin t = cos3 t.

cos3t – sin t = 0;

cos3t – cos( hello_html_m615e21be.gif - t) = 0

-2 sin ( 2t - hello_html_m7b1b341f.gif )sin (t + hello_html_m7b1b341f.gif ) = 0.

sin(2t - hello_html_35d90ba8.gif ) = 0 2t - hello_html_m7b1b341f.gif = πn; t = hello_html_mf20a5fe.gif + hello_html_5744e910.gif, n hello_html_54a4056f.gif Z


sin (t + hello_html_m7b1b341f.gif ) = 0 t + hello_html_m3c10f78b.gifπk; t=-hello_html_57cbd8c4.gifZ

t=hello_html_m3d87de7.gif Z

тоді

t= hello_html_1a9d0c4c.gif+ hello_html_63bb1e36.gif

Із одержаних серій розв’язків візьмемо лише ті, де thello_html_6af1c94d.gif

t=hello_html_6d70f6ab.gif

Тоді х=hello_html_m71b3acda.gif

Можна перейти до числових значень х:


hello_html_ma6321b5.gif

hello_html_m6389738b.gif

= - hello_html_4a269bb0.gif .

Coshello_html_1a9d0c4c.gif= - coshello_html_m21da43e4.gif

Відповідь: х = cos hello_html_436a8aab.gif

х = hello_html_2f3ccf8e.gif ; х = -hello_html_m5ec1f877.gif.

4.1 Доведіть, що ас + вdhello_html_m32e688f5.gif якщо a2 +b2 =c2 +d2 =1.

Розв’язання . Покладемо: а=hello_html_2074b3f4.gif.

Тоді ac + bd =coshello_html_6fd7bfe6.gif + sinhello_html_m642dc2f7.gif

4.2.Розв’язати рівняння

hello_html_7623bf3.gif= 2х2 _

Розв’язання

Область визначення рівняння хhello_html_54a4056f.gif[-1;1].

Підстановка х=cos t;thello_html_6af1c94d.gif

hello_html_1cf76166.gif=2cos2-1+2costhello_html_3077136c.gif2t;

hello_html_m1cda1898.gif = 2hello_html_d0177b7.gif+2hello_html_m1051dbd8.gif;

hello_html_ma8cb59f.gif |hello_html_m54b40254.gif = hello_html_m206dc625.gif+ 2hello_html_7d89a1a3.gif thello_html_6af1c94d.gif

hello_html_463cb902.gif = hello_html_115e5276.gif

hello_html_53970152.gif = hello_html_m5921682c.gif + hello_html_m7d1a3eb6.gif,

hello_html_m1fd05904.gif = hello_html_22ae1914.gif

hello_html_7dd135a3.gif=hello_html_m67d900aa.gif

hello_html_7b67599c.gif = 0;

2hello_html_m24097b0e.gif + hello_html_mf20a5fe.gif )hello_html_m172b472.gif=0 ;

hello_html_29d6997c.gif ) = 0; hello_html_m3b368101.gif + hello_html_mf20a5fe.gif = hello_html_m683b575e.gif Z

t = - hello_html_m3661a75e.gif + hello_html_m59292526.gif , nhello_html_54a4056f.gif Z ;

hello_html_m2ab939a9.gif) = 0; t = hello_html_m33c94bbd.gif + hello_html_m75963fa.gif

Відберемо ті значення t, що задовольняють умові thello_html_6af1c94d.gif

Одержимо t= hello_html_m169d3650.gifТоді x = hello_html_m4732f7a0.gif.

Відповідь: x= hello_html_m1166754.gif.

4.3 Розвязати рівняння

hello_html_m2c16e0b4.gif + 7hello_html_m48253329.gif = 5.

Нехай u = hello_html_m71ecefa.gif , тоді hello_html_mdde8092.gif hello_html_m31864c7d.gif

hello_html_6c6b7e69.gif

hello_html_m4552481f.gif

12u2- 2u-2=0

6u2-u-1=0

u1=hello_html_m14c71398.gif u2=-hello_html_m3db4c05a.gif

Отже , ми маємо

hello_html_5b46fbe.gif +hello_html_c0d4536.gif

отже х = 2 arctan hello_html_m23ff0d59.gif

Або tan hello_html_571212e3.gif звідки hello_html_m22688af.gif a 2arctan hello_html_3f4d7fbc.gif hello_html_69a8db38.gif

Відповідь: 2arctan hello_html_m4893ee17.gif

-2arctanhello_html_777f084e.gif +2hello_html_m1db96469.gif, n hello_html_d52a17a.gif

5.1 Розв`яжіть рівняння.

hello_html_m9b72eac.gif

Розв’язання. Хай hello_html_4ff2b19d.gif , тоді hello_html_403a4fba.gif

Хай hello_html_m5c9449ad.gif, тоді hello_html_1a7448f3.gif;

hello_html_655e1907.gif.

Отже, hello_html_m50372b55.gif, виходить, рівняння hello_html_2abe7414.gif зводиться к системі рівнянь hello_html_m672c0ddb.gif або к системі рівнянь hello_html_61cb4c98.gif.

Розв’яжемо перше рівняння:

hello_html_3d5a9fe6.gif

hello_html_194dc33a.gif

hello_html_456b2987.gif

hello_html_m53da3a43.gif

hello_html_m30f4e49e.gif

Розв’яжемо друге рівняння:

hello_html_m5e7828be.gif

hello_html_m705e6e1f.gif hello_html_340d4b5a.gif

hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif

Серія hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif вхожа в серію hello_html_m5c68ec3a.gifотже, hello_html_m6a45f55c.gif hello_html_340d4b5a.gif – рішення системи, а також і рівняння.

Відповідь hello_html_3faf4758.gif hello_html_340d4b5a.gif.

5.2 Розв’яжіть рівняння.

hello_html_m41e0aa60.gif

Розв’язання

hello_html_9149031.gif

Хай hello_html_6a004d24.gif, тоді hello_html_ma6030eb.gif, та рівняння буде мати такий вигляд.

hello_html_4cef5523.gif

hello_html_m6fb7b967.gif, де hello_html_m115b0598.gif

Так як hello_html_m60d0374b.gif, а hello_html_5b03ebc.gif, то перейдемо до системи рівнянь

hello_html_m157bb6ae.gif,

Звідки знаходимо hello_html_m4cadc45.gif, тобто hello_html_m58852756.gif.

Розв’язавши цю систему, маємо відповідь: hello_html_74720bd0.gif; hello_html_72fdc3d.gif

5.3 Розв’язати рівняння

hello_html_m43263332.gif

hello_html_m4f5a2f84.gif

hello_html_6658701.gif

hello_html_7a5d1eb5.gif на hello_html_m563e42c6.gif має серію коренів hello_html_m674b42e6.gif, а цьому відрізки належать три значення: hello_html_31a74a2f.gif.

Крім цього у відповідь треба включити корені рівняння hello_html_5d91eaa8.gifтобто значення 4 и hello_html_m6784ba53.gif.


6.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m63585c20.gif

Рішенням нерівності hello_html_m541fbaa2.gif.

Рішенням рівняння hello_html_2668a294.gif hello_html_m32b9088d.gif.

Якщо hello_html_612fe2ca.gif, то hello_html_m57e9363b.gif, та даному вирізу належить тільки значення hello_html_58e1c1d2.gif.

Якщо hello_html_206e33b3.gif, то hello_html_m56524093.gif, або hello_html_7f7247bf.gif; відрізку hello_html_m3e5f0eb1.gif належить тільки hello_html_358e64d2.gif.

За останніми значеннями параметру hello_html_1d7928b3.gif корені тригонометричного рівняння лежать поза hello_html_m3e5f0eb1.gif.

6.2 Розв’язати рівняння

hello_html_30d5c43e.gif

hello_html_735139c0.gif hello_html_m3cef0b8b.gif

hello_html_3cae9206.gif

hello_html_mc49a8a0.gif, hello_html_m585011f6.gif.

Крім hello_html_m7b1b341f.gif, усі тригонометричного рівняння задовольняють цим умовам.

7.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m38c18d64.gif

Рішення.

Знизимо степінь у лівій частині 4 рази:

hello_html_m7f4751a.gif

hello_html_m887b5aa.gif

hello_html_m78ba4397.gif

hello_html_m5d4d8645.gif

hello_html_m1443b635.gif

hello_html_59efb939.gif

hello_html_m31357c06.gif

hello_html_48a963bc.gif; hello_html_258720a9.gif; hello_html_m21aa4d15.gif

Відповідь: hello_html_47028c05.gif.

7.2 Розв’язати рівняння.

hello_html_384b0c6a.gif.

Рішення.

hello_html_79930591.gif

hello_html_m31ef0e07.gif,

hello_html_m4243cc7b.gif

hello_html_m664a2ec8.gif

Отже, hello_html_696a4fdf.gif, або hello_html_m49c0219e.gif

hello_html_m21aa4d15.gif hello_html_m9399c76.gif

Відповідь: hello_html_m160c578d.gif; hello_html_6e3fb082.gif.

8.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m2dbae849.gif

Якщо hello_html_35b100d8.gif тоді

hello_html_4214994a.gif

Хай hello_html_5ad781a2.gif, а hello_html_5d72f92d.gif, тоді

hello_html_m314e9db8.gif

Отже hello_html_m7cd44d04.gif

hello_html_m7e292819.gif

hello_html_321e6361.gif hello_html_44215e37.gif

hello_html_13b858ec.gif hello_html_m72b7ad2e.gif

hello_html_5d3e8b68.gif hello_html_44371bff.gif

Відповідь: hello_html_46a3be25.gif hello_html_m4398c4f.gif; де hello_html_m19157fbf.gif.




Тема 3. Рішення більш складних ірраціональних рівнянь та нерівностей. Практична частина.


1.1 Розв’яжіть рівняння.

hello_html_m48a0f7e9.gif

Нехай hello_html_m67842fe0.gif, hello_html_625a0b77.gif, тоді

hello_html_m41fda17e.gif;

hello_html_29ac157b.gif;

hello_html_596c4a43.gif;

hello_html_m418563a3.gif, звідки

hello_html_m39539f56.gif; hello_html_m1b6d2b7.gif, так як hello_html_625a0b77.gif

hello_html_23456758.gif не є коренем рівняння.

Отже, hello_html_m28a59aa7.gif

hello_html_m4f7e8f1f.gif

hello_html_4bf3fa87.gif

hello_html_m58ca37e8.gif; hello_html_754bda72.gif.

В цьому випадку після піднесення до квадрату, не можуть з’явитися сторонні корені, так як, підкорінне рівно додатному числу.

Відповідь:hello_html_423511d6.gif; hello_html_16dfa406.gif.

1.2 Розв'язати рівняння.

hello_html_2fbaea59.gif

Розв’язання. Нехай hello_html_6e26bc15.gif, тоді hello_html_7035bafe.gif

hello_html_692f5241.gif

hello_html_m2b2e364a.gif

hello_html_a1a903f.gif

hello_html_51ed6300.gif

hello_html_m2c956217.gif hello_html_m1eb223fd.gif.

Залишається вирішити сукупність двох рівнянь:

hello_html_m19032d5.gif; hello_html_m5cb9ba41.gif.

Перше рівняння має корні hello_html_cae0016.gif друге рівняння коренів не має.

Відповідь: hello_html_7797a96.gif.


2.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_7905222d.gif

Розв’язання:

hello_html_m71f1f322.gif область визначення

hello_html_204a3c51.gif зростаюча функція, hello_html_6b1ec4e4.gif спадна. Якого виду монотонність функції hello_html_m7c0c2b97.gif нічого н можна сказати без додаткового дослідження її за допомогою похідної.

hello_html_e0d7c35.gifзростаюча функція. Перетворимо ліву частину так:

hello_html_m325713d8.gif .

Ця функція – спадна. У рівнянні функції різної монотонності, тому корінь може бути лише один. Перевіримо hello_html_5c6e2151.gif.

hello_html_m454c6e10.gif; hello_html_m44f295c0.gif. Відповідь: hello_html_5c6e2151.gif.

2.2 Розв’язати рівняння

hello_html_m3d12c233.gif.

Розв’язання:

Область визначення рівняння hello_html_m1aa4828d.gif. Функція hello_html_2379cbd4.gif і hello_html_34a3bf01.gifспадні, тоді сума двох спадних функцій також спадна функція. Функція hello_html_1d06025b.gifзростаюча, тому корінь рівняння лише один. Підбором hello_html_74720bd0.gif робимо перевірку hello_html_m79920d57.gif; hello_html_3b9d09bb.gif.

Відповідь: 1.


2.3 Розв’язати рівняння.

hello_html_m1b05d7d6.gif

Розв’язання:

Область визначення рівняння hello_html_m12816fa4.gif. Функції hello_html_41566e45.gif; hello_html_349d2895.gifзростаючи, їх сума – функція зростаюча. Функція hello_html_703a0ee3.gif спадна. Корінь рівняння може бути лише один. Підбором hello_html_74720bd0.gif, робимо перевірку.

hello_html_m6f11338.gif; hello_html_m1db860f.gif.

Відповідь: hello_html_74720bd0.gif


3.1 Розв’язати рівняння

hello_html_32897547.gif.

Розв’язання:

Графіки функцій hello_html_41566e45.gif та hello_html_7f2c51e1.gif перетинаються у двох точках (1;1) і (4;2). Отже, рівняння має два кореня: hello_html_m77d61438.gif

hello_html_m5b870f16.pngВідповідь: 1; 4.


3.2 Побудуйте кускову функцію hello_html_4dac13be.gif

hello_html_m5b155c4e.gif, та розв’яжіть рівняння якщо hello_html_mf46b5fc.gif

hello_html_34ef5ed1.pngРозв’язання:

Графіки функцій hello_html_51c9c2f0.gif, та hello_html_25fe2338.gif, якщо hello_html_m5075fcdb.gif мають спільну точку (1; 1). Отже, рівняння має один корінь: hello_html_74720bd0.gif.


4.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m6f64f5ba.gif.

Розв’язання:

hello_html_3ac9d5f5.gifhello_html_m434b5dea.gif область визначення рівняння.

Нехай hello_html_m781646a.gif; hello_html_77b0b9d9.gif.

hello_html_m4b0ebbeb.pngБудуємо ескізи графіків hello_html_24e6c04.gif та hello_html_m6b4743bb.gif.

hello_html_24e6c04.gif =hello_html_m65189392.gif

hello_html_777f6a6b.gif;

hello_html_195a9713.gif.

Графіки дотикаються при hello_html_74720bd0.gif.

Других спільних точок у графіків немає, хоч це слід обґрунтувати аналітично.

Робимо перевірку.

hello_html_74720bd0.gif; hello_html_79f73922.gif; 2 = 2.

Відповідь: hello_html_74720bd0.gif.

4.2 Розв'язати рівняння.

hello_html_m42896dc5.gif

Розвязання:

hello_html_m739888fe.gifhello_html_m1f112472.gifhello_html_m1fffa8ca.gif область визначення рівняння.

hello_html_m2714783d.gif; hello_html_m28e3732e.gif

Будуємо ескізи графіків hello_html_24e6c04.gif та hello_html_m6b4743bb.gif в одній системі координат.

hello_html_626a4175.pnghello_html_m14d7b45d.gif;


hello_html_64ca543a.gif; hello_html_m517d6fba.gif

hello_html_2cd6d0e0.gif лише при умові hello_html_9b30136.gif.

hello_html_m44f663ed.gif при hello_html_1ef2f814.gif

hello_html_m61453207.gif при hello_html_3ea37586.gif

Відповідь: розв’язків немає.


5.1 Розв’язати рівняння.

hello_html_m72ae98cb.gif

Розв’язання:

Маємо hello_html_m43802251.gif.

Якщо hello_html_m6deeeb4a.gif, то hello_html_3dc1d596.gif1

Якщо hello_html_5178506c.gifто hello_html_1ce2628a.gif задовольняє умові hello_html_168fd84e.gif, отже є коренем рівняння;

Якщо аhello_html_4b237fde.gif, то hello_html_318c7a57.gif1=1 не задовольняє умові

hello_html_3da405fe.gif, тобто стороннім коренем.

Відповідь: якщо hello_html_679e75d7.gif, то hello_html_318c7a57.gif1=1, hello_html_m654ad75f.gif

якщо hello_html_m3ce45250.gif, то hello_html_3a29f8e7.gif.

5.2. При яких значеннях параметрах hello_html_1e98a3ac.gif, рівняння (hello_html_5f134677.gif)(hello_html_12e47f9b.gif має один корінь?

Розвязання:

Маємо: hello_html_22194b0f.gif hello_html_25860e7d.gif. Єдиний корінь, по перше, у випадку, коли hello_html_222acd09.gif та, по-друге, коли з двох значень (hello_html_22194b0f.gif hello_html_25860e7d.gif) один є стороннім коренем, а саме hello_html_25860e7d.gif. Це можливо, коли hello_html_m27783fcd.gif не належить області визначення рівняння:

hello_html_m28f6172c.gif тобто при hello_html_35db6200.gif

Відповідь: hello_html_4cfa0713.gif або hello_html_1bbac661.gif

6.1. Розв’язати рівняння.

hello_html_23cb3f7.gif

Нехай: hello_html_m711ddd23.gif=hello_html_7db85660.gif Маємо:

hello_html_7eff17d5.gif;

hello_html_1236919c.gif0

hello_html_m2a08a50d.gif=hello_html_m769dea49.gif;

hello_html_50c0ad76.gif;

hello_html_m6d60d175.gif;

Тоді hello_html_749f8d21.gif; hello_html_6c5f62f8.gif

hello_html_m47c1ab3b.gif hello_html_m6ae906c7.gif

Відповідь: hello_html_546b20d.gif: hello_html_6c5f62f8.gif

6.2. Розв’язати рівняння

hello_html_32be8530.gif

Розвязання:

hello_html_17fbc738.gif

Область визначення рівняння. Піднесемо обидві частини рівняння в області визначення до квадрата

hello_html_m5938ecc9.gif

Це рівняння квадратне відносно числа 7.

Нехай hello_html_2a60be36.gif

Тоді hello_html_e4e936a.gif

hello_html_437698d9.gif

hello_html_48a00239.gif

hello_html_68b088a9.gif

hello_html_m7c4f6.gif.

hello_html_m222355bf.gif; hello_html_m35bffac8.gif;

hello_html_5c6e2151.gif не задовольняє області визначення рівняння.

Відповідь: hello_html_676caa71.gif; hello_html_6e473ac7.gif


7.1 Розв’язати рівняння

hello_html_m64d1e1c9.gif+hello_html_3cd49a05.gif=hello_html_3aafed97.gif

При аhello_html_m61ff14b7.gif ліва частина рівняння не визначена, а при аhello_html_12eb4585.gif0 визначена.

  1. При аhello_html_m61ff14b7.gif немає коренів.

  2. аhello_html_12eb4585.gif0 після зведення у квадрат

2hello_html_5c2559fd.gif=1-2х-2а

Знову зведемо у квадрат та спростимо:

2+4(а-1)х+4а2-4а+1=0

hello_html_544eaf51.gif=4(1-а)2-4(4а2-4а+1)=4(2а-3а2)

Якщо Д=0 а1=0 а2=hello_html_5d842de7.gif

Дhello_html_m61ff14b7.gif аhello_html_mf380f4d.gif

Якщо аhello_html_mf380f4d.gif, то рівняння немає коренів.

Якщо 0hello_html_5a36950d.gif корені рівні

hello_html_318c7a57.gif1,2=hello_html_7724104.gif

Перевірка.

Відповідь: якщо hello_html_4cfa0713.gif; hello_html_75db1398.gif, то коренів немає; якщо hello_html_m6c633a48.gif, то hello_html_2559d7ff.gif



Тема IV. Математичне тестування





























Література

  1. Бевз В.Г. Історія математики. - Харків:Видавнича група «Основа», 2006.- 176 с.-

(Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 2 (38)).

2. Бевз Г. П. Методи навчання математики. – Харків:Видавнича група « Основа», 2003. – 96 с. – (Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 4).

3. Винниченко Е., Горошко Ю. Розв’язування задач із параметрами за допомогою « GRAN – 1» // Математика в школі. - 2006. - №4. – С. 25-28.

4. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М.: Просвещение, 1990. – 352 с.

5. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров: АСА, 1994. – 272 с.

6. Губа Л. А. Нетрадиційні уроки математики . – Харків : Видавнича група « Основа», 2005. – 96 с.

7. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения. – М.: Народное образование, 2001. – 128 с.

8. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. – 2004.- № 2.- С. 2 – 5.

9. Евсюк С. Л. Математика . Решение задач повышенной сложности .- Минск: Мисанта, 2003. - 224 с.

10. Епишева О. Б.,Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. – М.: Просвещение, 1990.- 127 с.

11. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 – 11 классов/ Ивлев Б. М., Абрамов А, М,, Дудницын Ю. П. и др.. – М.: Просвещение, 195. – 48 с.

12. Звавич Л. И., Рязановский А. Р., Поташник А. М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10 – 11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики :Выпуск 1. – М.: Новая школа, 1996. – 38 с.

13. Інтерактивні технології на уроках математики / Упорядн. І.С. Маркова. – Вид. група «Основа»,2007. – 128 с. – ( Б-ка журналу «Математика в школах України»; Вип. 3(5) (15 шт. по 7,5 грн.).

14. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник/ автори – укладачі: О.Пометун, Л. Пироженко. – К.: А,П,Н,,2002. – 136 с.

15. Концепція математичної освіти 12 – річної школи. // Математика в школі. - №2. – С. 12 – 17.

16. Кушнір І. Шедеври шкільній математики. – К.: Астарта, 1995. – 575 с.

17.Марко М. Е. Дидактичні ігри на уроках математики. – Ужгород: Авторський навчально-виховний комплекс, 2003. – 141 с.

18. Математика після уроків. Тиждень математики / Упоряд. І. С. Маркова. – Харків: Видавнича група «Основа» , 2005. – 176 с. – (Серія « Бібліотека журналу « Математика в школах України»;вип.. 3 ( 27)).

19. Осинська В. М. Нестандартні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь ( на допомогу учням 9 – 11 класів). – Луганськ: Знання, 2006. – 104 с.

20. Шмаков С. А.Игры учащихся – феномен культуры. – М.: Новая школа, 1994. – 240 с.

21. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математики. – М.: Просвещение, 1995. – 222 с.

41


Лабиринт
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Людство вступає в час постійних змін. Здатність сприймати зміни і творити їх – це найважливіша характеристика способу життя людини в ХХI столітті. Викладання математики має на меті досягти такого рівня розвитку, а також знань, умінь і навичок, який потрібний для їх підготовки для практичної діяльності в умовах сучасного  виробництва , для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів ( фізики, інформатики, хімії, біології)  і продовження освіти у вищих навчальних закладах. Загальному піднесенню математичної підготовки має допомогти правильна організація позакласної роботи. Роботу математичного гуртка необхідно організовувати відповідно до здібностей дитини,її здатності до навчання і таланту. Математичний гурток допомагає розширенню кругозору учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології. Мета цієї програми – познайомити учнів з основними прийомами і методами міркувань, які відповідають математичному стилю мислення, розкрити зміст деяких спеціальних видів задач, направлених на розвиток логічного , математичного та нестандартного мислення школярів, допомогти оволодіти навичками пошуку міркувань, які ведуть до математичного відкриття, а також розвивати позитивні риси особистості: кмітливість, зосередженість, активне сприйняття знань , наполегливість в доланні труднощів. Якщо термін «Задача»  розуміти ширше (зокрема, включити в число задач і вправи на обчислення, і вправи на доведення тверджень на інше), то можна стверджувати, що вивчення математики здійснюється в процесі розв’язування задач. І так, як в розв’язуванні кожної задачі, є зернина відкриття, то в ньому повинне мати місце здогадка, інтуїція, аргументоване міркування, яке відповідає здоровому глузду. Для розв’язування таких задач, крім знань із відповідних розділів шкільної математики, знадобляться спостережливість, вміння порівнювати, проводити аналогії, узагальнювати і систематизувати набуті знання, робити висновки і їх обґрунтовувати. Програма розрахована на 24 години (з листопада по травень по 4 години на місяць). До кожної з тем підібрані такі задачі, які відповідають рівню їх навченості. Задачі різної складності, які розв’язуються на заняттях, дають можливість здійснювати індивідуальний підхід в навчанні, забезпечити активну участь в пошуку розв’язування їх учнів з різним рівнем навченості. Також треба стимулювати найбільш здібних і обдарованих учнів складати свої задачі на задану тему, що сприятиме удосконаленню їх знань і вмінь. 
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель математики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель экономики
Подробнее о курсе
Курс профессиональной переподготовки
Теория и методика обучения информатике в начальной школе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель информатики в начальной школе
Подробнее о курсе
Цена от 6.720 руб. 500 часов
Квалификация: Учитель математики и информатики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Преподаватель инженерной графики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель по черчению
Подробнее о курсе
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.