Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница» (алгебра и начала анализа, 11 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница» (алгебра и начала анализа, 11 класс)

Выбранный для просмотра документ Приложение 1.pptx

библиотека
материалов
Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница Алгебр...
Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь...
Вольтер о Лейбнице Весь мир его узнал по изданным трудам, Был даже край родн...
Теоретические вопросы Дайте определение первообразной. Что такое неопределен...
 Г.В. фон Лейбниц И.Ньютон
Много из математики не остаётся в памяти, но когда поймешь её, тогда легко пр...
14 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница Алгебр
Описание слайда:

Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница Алгебра и начала анализа 11 класс Математика

№ слайда 2 Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь
Описание слайда:

Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий, и путь опыта - это путь самый трудный. Конфуций Математика

№ слайда 3 Вольтер о Лейбнице Весь мир его узнал по изданным трудам, Был даже край родн
Описание слайда:

Вольтер о Лейбнице Весь мир его узнал по изданным трудам, Был даже край родной с ним вынужден считаться, Уроки мудрости давал он мудрецам, Он был мудрее их: умел он сомневаться.

№ слайда 4 Теоретические вопросы Дайте определение первообразной. Что такое неопределен
Описание слайда:

Теоретические вопросы Дайте определение первообразной. Что такое неопределенный интеграл? Что называется криволинейной трапецией? В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Как называется операция нахождения первообразной? Чье имя носит формула для вычисления площади криволинейной трапеции?

№ слайда 5  Г.В. фон Лейбниц И.Ньютон
Описание слайда:

Г.В. фон Лейбниц И.Ньютон

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 Много из математики не остаётся в памяти, но когда поймешь её, тогда легко пр
Описание слайда:

Много из математики не остаётся в памяти, но когда поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое. М.В. Остроградский

Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx

библиотека
материалов

C:\Users\User\Desktop\Ньютон.jpgИсаак Ньютон (1642-1727)



Многие считают Ньютона величайшим ученым в истории человечества. Действительно, он внес науку столько нового ,сколько внесли Евклид и Архимед, вместе взятые. Но Ньютон придумал все это один " и в считанные годы! Впрочем, сам Ньютон не считал себя одиночкой в науке. Вот его слова: "Если я видел дальше, чем другие, то потому, что стоял на плечах гигантов". Но, конечно, не только поэтому! Ньютон сам был гигантом; его фигура заметно возвышается над плечами Декарта, Кеплера и Галилея. Ведь Ньютон изобрел первую систему аксиом математической физики: это равносильно достижениям Евклида в геометрии. Он создал также математический анализ гладких функций: это сравнимо с изобретением планиметрии или алгебры. Для таких успехов мало быть гением; надо еще вовремя родиться.

Ньютон родился под Рождество 1642 года . 18летний Исаак поступил в Тринити колледж знаменитого Кембриджского университета. 1665 году он уехал из Кембриджа в деревню, спасаясь от эпидемии чумы. Осенью 1667 года Исаак Ньютон вернулся в Тринити колледж с готовой математической теорией движения любых тел во Вселенной. Через два года учитель Ньютона Исаак Барроу уступил своему питомцу кафедру математики.

Так 27летний профессор стал "королем математиков и физиков". Королевская должность оказалась тяжкой и хлопотной. Не так уж трудно сделать открытие, если ты гений. Куда труднее убедить окружающих в своей правоте " особенно если ты не силен в ораторском искусстве (так было с Ньютоном), и если в ученом мире действует закон: "Ничего на словах". "Nullis in verba" " таков был девиз английского Королевского Общества, первой академии наук в Европе. К счастью, руки Ньютона работали не хуже, чем его голова. Для проверки своих теорий астрономическими наблюдениями он изобрел первый зеркальный телескоп и сам построил его.

Превращение фонтана открытий в строгую и всеобъемлющую книгу заняло у Ньютона 20 лет. Только в 1687 году вышел из печати его главный труд: "Математические принципы философии природы". Это был первый учебник новой физики. Итак, создана новая математика (исчисление флюксий и флюент) и новая физика (исчисление сил и движений). Что делать дальше" Ньютон решил разобраться в свойствах света " самой неуловимой вещи в природе. В 1704 году вышла из печати "Оптика" Ньютона.Последние 40 лет своей долгой жизни Ньютон провел, размышляя о тех явлениях, которые не удается объяснить с помощью тяготения. Почему электрические заряды бывают двух сортов,какая сущность передает силы от тела к телу через пустоту? Ни одну из этих догадок Ньютон не сумел облечь в строгую математическую форму. А высказывать гипотезы, не подкрепленные математикой, он считал ниже своего достоинства. Лишь услышав о какой-либо новой математической задаче, непосильной его современникам, Ньютон брался за нее " и обычно решал за несколько дней или часов. Порою из такой работы вырастала новая наука. Так, задача о брахистохроне (кривой наибыстрейшего спуска) породила вариационное исчисление. Классификация кривых третьего порядка положила начало алгебраической геометрии.

Нелюдимый характер Ньютона всю жизнь мешал ему сотрудничать с другими учеными.



Кажется, лишь однажды резкий нрав Ньютона пошел на пользу ученому сообществу Англии. В 1687 году самовластный король Яков 2 попытался ущемить привилегии Кембриджского университета. Группа профессоров во главе с Ньютоном воспротивилась этому. Вскоре король лишился престола, а Ньютон был избран членом английского парламента. Там он просидел пять лет, не произнеся ни одной речи: политические споры казались ему чепухой, по сравнению с научной работой. Однако позднее Ньютон принял от умного и тактичного короля Вильяма 3 пост директора Монетного двора " и (к удивлению многих) проявил себя в этой роли инициативным и удачливым администратором, грозой фальшивомонетчиков. Одновременно Ньютон стал президентом Королевского Общества.

Смерть престарелого Ньютона заставила англичан забыть о скверном характере их прославленного соотечественника. Ньютон был похоронен в Вестминстерском аббатстве с почти королевским почестями. Надпись на его могиле гласит: "Порадуйтесь, что на Земле жило такое украшение рода человеческого!" Пожалуй, это главная часть правды об Исааке Ньютоне.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.sch57.msk.ru/

Выбранный для просмотра документ Приложение 3.docx

библиотека
материалов


C:\Users\User\Desktop\Лейбниц.jpeg


Готфрид Вильгельм фон Лейбниц ; 21 июня (1 июля) 1646, Лейпциг, Германия - немецкий философ, математик, юрист, дипломат.

Готфрид Вильгельм родился в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбница и Катерины Шмюк.

Когда мальчику было 8 лет, его отец умер, оставив после себя большую личную библиотеку. Свободный доступ к книгам и врождённый талант позволили молодому Лейбницу уже к 12 годам самостоятельно изучить латынь и взяться за изучение греческого языка.

В 15-летнем возрасте (1661) Готфрид сам поступил в тот же Лейпцигский университет, где когда-то работал его отец. В свою бытность студентом он познакомился с работами Кеплера, Галилея и других учёных.

Спустя 2 года переходит в Йенский университет, где изучает математику. Затем возвращается в Лейпциг изучать право, но получить докторскую степень там не удалось. Расстроенный отказом, Лейбниц отправился в Нюрнбергский университет в Альтдорфе, где успешно защищает диссертацию на соискание степени доктора права.

В этом же году он написал первое из своих многочисленных сочинений: «О комбинаторном искусстве». Опередив время на два века, 20-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет "всеобщая характеристика". Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял.

Закончив обучение, он устраивается советником курфюрста Майнцского по юридическим и торговым делам (1670). Работа требовала постоянных разъездов по всей Европе; в ходе этих путешествий он подружился с Гюйгенсом, который согласился обучать его математике.

В это время Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, - он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. .

1673: Лейбниц в Лондоне, где на заседании Королевского общества демонстрирует свой арифмометр и избирается членом Общества. От Ольденбурга, президента Общества, он получает изложение ньютоновских открытий: анализ бесконечно малых и теория бесконечных рядов. Сразу оценив мощь метода, он сам начинает его развивать. В частности, он вывел первый ряд для числа π.

1675: Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.

1676: вскоре после смерти курфюрста Майнцского Лейбниц переходит на службу к герцогу Эрнесту-Августу Брауншвейг-Люнебургскому (Ганновер). Он одновременно советник, историк, библиотекарь и дипломат; этот пост он не оставил до конца жизни.

Лейбниц продолжает математические исследования, открывает «основную теорему анализа», обменивается с Ньютоном несколькими любезными письмами, в которых просил разъяснить неясные места в теории рядов. Уже в 1676 году Лейбниц в письмах излагает основы математического анализа.

1682: основал научный журнал Acta Eruditorum, сыгравший значительную роль в распространении научных знаний в Европе. Привлекает к исследованиям братьев Бернулли.

1698: умирает герцог Брауншвейгский. Его наследником стал Георг-Людвиг, будущий король Великобритании. Он оставляет Лейбница на службе, но относится к нему пренебрежительно.

1700: Лейбниц основывает Берлинскую Академию наук и становится её первым президентом. Избирается иностранным членом Французской Академии наук.

Лейбниц предложил проект научных исследований в России, связанных с её уникальным географическим положением, таких, как изучение магнитного поля Земли, отыскание пути из Арктики в Тихий океан.

1708: вспыхнул давно тлеющий нелепый приоритетный спор с Ньютоном.

1716: смерть Лейбница. За его гробом шёл только его личный секретарь.

«Он любил наблюдать, как расцветают в чужом саду растения, семена которых он предоставил сам» (Фонтенель).

Лейбниц стал первым гражданским лицом Германии, которому был воздвигнут памятник.

В честь Лейбница получили название: кратер и самая высокая горная цепь на Луне;

университет в Ганновере.

Научная деятельность

Важнейшие научные достижения Лейбница:

Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ - дифференциальное и интегральное исчисление (см. исторический очерк).

Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным.

Он обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.

Задолго до Зигмунда Фрейда привёл доказательства существования подсознания человека.

1684: Лейбниц публикует первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов», причём имя Ньютона в первой части даже не упоминается, а во второй заслуги Ньютона описаны не вполне ясно. Тогда Ньютон не обратил на это внимания. Его работы по анализу начали издаваться только с 1704 года.

В этой краткой работе Лейбница излагаются основы дифференциального исчисления, правила дифференцирования выражений.

Используя геометрическое истолкование отношения dy/dx, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба.

Попутно без каких-либо пояснений вводятся «разности разностей» (кратные дифференциалы), обозначаемые ddv. Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

1686: Лейбниц даёт подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные; ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии. Впервые в печати вводит символ интеграла (и указывает, что эта операция обратна дифференцированию).

1692: введено общее понятие огибающей однопараметрического семейства кривых, выведено её уравнение.

1693: Лейбниц рассматривает вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически вводит понятие определителя. Но это открытие не вызвало тогда интереса, и линейная алгебра возникла только спустя полвека.

1695: Лейбниц вводит показательную функцию в самом общем виде: uv.

1702: совместно с Иоганном Бернулли открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решает многие вопросы интегрирования рациональных функций.

В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. В первых работах он, похоже, понимал бесконечно малые как актуальные объекты, сравнимые между собой только если они одного порядка. Возможно, он надеялся установить их связь со своей концепцией монад.

В конце жизни он высказывался скорее в пользу потенциально бесконечно малых, то есть переменных величин, хотя и не пояснял, что он под этим подразумевает. В общефилософском плане он рассматривал бесконечно малые как опору непрерывности в природе.

Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.

В физике Лейбниц ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии).

Изобретения

В 1673 году, после знакомства с Христианом Гюйгенсом, Лейбниц создал механический калькулятор (арифмометр), выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.

Лейбниц подсказал Дени Папену конструкцию паровой машины (цилиндр и поршень).

Среди других его изобретений можно отметить:

* устройство использования энергии ветра при отводе воды из шахт,

* чертежи подводной лодки.


Выбранный для просмотра документ Урок.docx

библиотека
материалов

hello_html_4ce4c74d.gifТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Тема урока: Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница

урока по теме: урок № 4 в теме "Вычисление площадей с помощью интегралов".

Дата : 128.12

Тип урока: закрепление изученного.

Цель урока: знать формулы нахождения площади фигур, знать, в каких случаях они применяются, уметь находить площади фигур, ограниченных графиками различных функций.

Задачи урока:

Образовательные: совершенствовать навыки работы учащихся по данной теме;

организовать деятельность учащихся по отработке навыков, умению применять полученные знания при решении задач.
Развивающие: совершенствовать устную и письменную математическую речь;

развивать мышление, внимание и память;

развивать научное мировоззрение;

активизировать мыслительную деятельность.

Воспитательные: расширять кругозор, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умению общаться, общей культуры.

Планируемый результат: научиться решать задачи данного вида.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Приемы: анализ, синтез, умозаключение, обобщение.

Оборудование: Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - 11-е изд. – М.: Просвещение, 2008; карточки с заданиями, листы для самостоятельной работы, компьютер, интерактивная доска, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.

Девиз урока: Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий, и путь опыта - это путь самый трудный.(Конфуций)

ХОД УРОКА


п/п

Этап урока

Методы, приемы

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Организационный момент

Диалог учителя с классом

Приветствует, проверяет готовность к уроку. Просит записать тему урока. (Приложение 1, слайд 1)

Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий, и путь опыта - это путь самый трудный.(Конфуций) (Приложение 1, слайд 2)

Так вот, давайте сегодня на уроке пойдем по пути опыта, будем активны, внимательны, ведь знания пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Включаются в работу.



2.

Актуализация знаний

Фронтальная работа,

устно;

индивидуальная работа по карточкам

Четверо учащихся работают по карточкам.

Задание: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

К-1

y = х², y=0, x=3.

K-2

y=hello_html_m5cca13d6.gif, y=0, x=0.

К-3

y = х³, y=0, x=2.

К-4

y = х+1, x=0, x=4.

(Задания на доске)

1.Найдите первообразную:

f(x) = 3hello_html_m547f2405.gif

f(x) = hello_html_6d3e6497.gif x>0;

f(x) =hello_html_m65da79a3.gif;


f(x) =hello_html_16b7eb9e.gif;


f(x) =hello_html_m42a7dc48.gif.

2. Весь мир его узнал по изданным трудам,

Был даже край родной с ним вынужден считаться,

Уроки мудрости давал он мудрецам,

Он был мудрее их: умел он сомневаться.

(Вольтер о Лейбнице) (Приложение 1, слайд 3)

Исправьте ошибку:

hello_html_79118773.gifdx = 5hello_html_710b5339.gif+C;

hello_html_m3883ecf.gifdx =hello_html_6eb5f3ad.gif+C;

hello_html_4609fa62.gif) dx =hello_html_m2f8cd26b.gif +C;

hello_html_m1b850b3a.gif) dx = hello_html_23b0cb38.gif+C;

hello_html_m71976565.gif=-2hello_html_6c878ca2.gif+C.

3. Теоретические вопросы (Приложение 1, слайд 4).

  1. Дайте определение первообразной.

  2. Что такое неопределенный интеграл?

  3. Что называется криволинейной трапецией?

  4. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

  5. Как вычислить площадь криволинейной трапеции?

  6. Как называется операция нахождения первообразной?

  7. Чье имя носит формула для вычисления площади криволинейной трапеции?

4. Экскурс в историю: сообщения учащихся о Ньютоне и Лейбнице. (Приложение 1, слайд 5)

Учащиеся, получившие индивидуальные задания, работают самостоятельно, остальные - устно










Предлагают варианты ответов, отвечают на поставленные вопросы


















Исправляют ошибки







Отвечают на вопросы















Двое учащихся делают сообщения

(Приложения 2-3)

3.

Закрепление знаний и способов действия

Репродуктивный метод


1.Работа по готовым чертежам.

Запишите с помощью интеграла, как можно вычислить площадь фигуры.

(Приложение 1, слайды 6-10)

2. Вычисление площади:

  1. hello_html_m5e63a4d.gifdx;

  2. hello_html_m67fb0b10.gifdx;

  3. hello_html_m4c3b8af4.gif- x) dx;

  4. 2hello_html_67feb72c.gif dx;

  5. По чертежу (Приложение 1, слайд11)

  6. По чертежу (Приложение 1, слайд 12)

  7. По чертежу (Приложение 1, слайд 13)

Записывают вариант решения в тетрадь с последующим обсуждением


Решение с комментарием











4.

Организация контроля

Самостоятельная работа, репродуктивный метод














Предлагает самостоятельно решить задания с последующей взаимопроверкой.

1 вариант.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. y =hello_html_m7185206b.gif; x = 1; x = 2.

  2. (Дополнительное для быстро справившихся учащихся)

y =hello_html_m5a39810d.gif; x =1; y =2.

2 вариант.

1. y = hello_html_m74ca1451.gifx =1; x = 2.

2. (Дополнительно для быстро справившихся учащихся)

y =hello_html_m5a39810d.gif; x =1; y =2.

Предлагает проверить решение


Ученики работают самостоятельно по вариантам












Проверяют, исправляют ошибки

5.


Информация о домашнем задании

Комментарий


1001(2), №1002 (2).

Записывают домашнее задание


6.

Подведение итогов урока, рефлексия

Беседа

Предлагает дополнить предложения:

  1. Я знаю, что...

  2. Я могу...

Много из поймешь её,
тогда легко при случае вспомнить забытое. математики не остаётся в памяти, но когда

(М.В. Остроградский)

(Приложение 1, слайд 14)

Благодарит за урок

Отвечают на поставленные вопросы. Определяют уровень достижений своих результатов



Литература

  1. Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - 11-е изд. – М.: Просвещение, 2008.

  2. Г. И. Григорьева, Поурочные планы (по учебнику Ш. А. Алимова, Ю.М. Колягина и др.). - Ч.I / Автор-сосавитель Г.И. Григорьева. - Волгоград: Учитель, 2004.

Краткое описание документа:

Тема «Вычисление площади криволинейной трапеции» изучается после тем «Понятие определенного интеграла», «Способы вычисления определенного интеграла». При работе на занятии рассматриваются типовые случаи вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Практические задания составлены в соответствии с целью занятия. Данная методическая разработка предназначена для учителя математики, предмет «Алгебра и начала анализа» ( Ш.А. Алимов и др.) в организации учебного занятия в 11 классе по теме: «Вычисление площади криволинейной трапеции» и включает в себя апробированный сценарий занятия и презентацию.
Автор
Дата добавления 18.02.2013
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2829
Номер материала 5512021846
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх