Выбранный для просмотра документ Приложение 1.pptx
Скачать материал "Урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница» (алгебра и начала анализа, 11 класс)"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница
Алгебра и начала анализа
11 класс
2 слайд
Три пути ведут к знанию:
путь размышления - это путь самый благородный,
путь подражания - это путь самый легкий,
и путь опыта - это путь самый трудный.
Конфуций
3 слайд
Вольтер о Лейбнице
Весь мир его узнал по изданным трудам,
Был даже край родной с ним вынужден считаться,
Уроки мудрости давал он мудрецам,
Он был мудрее их: умел он сомневаться.
4 слайд
Теоретические вопросы
Дайте определение первообразной.
Что такое неопределенный интеграл?
Что называется криволинейной трапецией?
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
Как вычислить площадь криволинейной трапеции?
Как называется операция нахождения первообразной?
Чье имя носит формула для вычисления площади криволинейной трапеции?
5 слайд
Г.В. фон Лейбниц И.Ньютон
6 слайд
7 слайд
8 слайд
9 слайд
10 слайд
11 слайд
12 слайд
13 слайд
14 слайд
Много из математики не остаётся в памяти,
но когда поймешь её,
тогда легко при случае вспомнить забытое.
М.В. Остроградский
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx
Исаак
Ньютон (1642-1727)
Многие считают Ньютона величайшим ученым в истории человечества. Действительно, он внес науку столько нового ,сколько внесли Евклид и Архимед, вместе взятые. Но Ньютон придумал все это один " и в считанные годы! Впрочем, сам Ньютон не считал себя одиночкой в науке. Вот его слова: "Если я видел дальше, чем другие, то потому, что стоял на плечах гигантов". Но, конечно, не только поэтому! Ньютон сам был гигантом; его фигура заметно возвышается над плечами Декарта, Кеплера и Галилея. Ведь Ньютон изобрел первую систему аксиом математической физики: это равносильно достижениям Евклида в геометрии. Он создал также математический анализ гладких функций: это сравнимо с изобретением планиметрии или алгебры. Для таких успехов мало быть гением; надо еще вовремя родиться.
Ньютон родился под Рождество 1642 года . 18летний Исаак поступил в Тринити колледж знаменитого Кембриджского университета. 1665 году он уехал из Кембриджа в деревню, спасаясь от эпидемии чумы. Осенью 1667 года Исаак Ньютон вернулся в Тринити колледж с готовой математической теорией движения любых тел во Вселенной. Через два года учитель Ньютона Исаак Барроу уступил своему питомцу кафедру математики.
Так 27летний профессор стал "королем математиков и физиков". Королевская должность оказалась тяжкой и хлопотной. Не так уж трудно сделать открытие, если ты гений. Куда труднее убедить окружающих в своей правоте " особенно если ты не силен в ораторском искусстве (так было с Ньютоном), и если в ученом мире действует закон: "Ничего на словах". "Nullis in verba" " таков был девиз английского Королевского Общества, первой академии наук в Европе. К счастью, руки Ньютона работали не хуже, чем его голова. Для проверки своих теорий астрономическими наблюдениями он изобрел первый зеркальный телескоп и сам построил его.
Превращение фонтана открытий в строгую и всеобъемлющую книгу заняло у Ньютона 20 лет. Только в 1687 году вышел из печати его главный труд: "Математические принципы философии природы". Это был первый учебник новой физики. Итак, создана новая математика (исчисление флюксий и флюент) и новая физика (исчисление сил и движений). Что делать дальше" Ньютон решил разобраться в свойствах света " самой неуловимой вещи в природе. В 1704 году вышла из печати "Оптика" Ньютона.Последние 40 лет своей долгой жизни Ньютон провел, размышляя о тех явлениях, которые не удается объяснить с помощью тяготения. Почему электрические заряды бывают двух сортов,какая сущность передает силы от тела к телу через пустоту? Ни одну из этих догадок Ньютон не сумел облечь в строгую математическую форму. А высказывать гипотезы, не подкрепленные математикой, он считал ниже своего достоинства. Лишь услышав о какой-либо новой математической задаче, непосильной его современникам, Ньютон брался за нее " и обычно решал за несколько дней или часов. Порою из такой работы вырастала новая наука. Так, задача о брахистохроне (кривой наибыстрейшего спуска) породила вариационное исчисление. Классификация кривых третьего порядка положила начало алгебраической геометрии.
Нелюдимый характер Ньютона всю жизнь мешал ему сотрудничать с другими учеными.
Кажется, лишь однажды резкий нрав Ньютона пошел на пользу ученому сообществу Англии. В 1687 году самовластный король Яков 2 попытался ущемить привилегии Кембриджского университета. Группа профессоров во главе с Ньютоном воспротивилась этому. Вскоре король лишился престола, а Ньютон был избран членом английского парламента. Там он просидел пять лет, не произнеся ни одной речи: политические споры казались ему чепухой, по сравнению с научной работой. Однако позднее Ньютон принял от умного и тактичного короля Вильяма 3 пост директора Монетного двора " и (к удивлению многих) проявил себя в этой роли инициативным и удачливым администратором, грозой фальшивомонетчиков. Одновременно Ньютон стал президентом Королевского Общества.
Смерть престарелого Ньютона заставила англичан забыть о скверном характере их прославленного соотечественника. Ньютон был похоронен в Вестминстерском аббатстве с почти королевским почестями. Надпись на его могиле гласит: "Порадуйтесь, что на Земле жило такое украшение рода человеческого!" Пожалуй, это главная часть правды об Исааке Ньютоне.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.sch57.msk.ru/
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 3.docx
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц ; 21 июня (1 июля) 1646, Лейпциг, Германия - немецкий философ, математик, юрист, дипломат.
Готфрид Вильгельм родился в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбница и Катерины Шмюк.
Когда мальчику было 8 лет, его отец умер, оставив после себя большую личную библиотеку. Свободный доступ к книгам и врождённый талант позволили молодому Лейбницу уже к 12 годам самостоятельно изучить латынь и взяться за изучение греческого языка.
В 15-летнем возрасте (1661) Готфрид сам поступил в тот же Лейпцигский университет, где когда-то работал его отец. В свою бытность студентом он познакомился с работами Кеплера, Галилея и других учёных.
Спустя 2 года переходит в Йенский университет, где изучает математику. Затем возвращается в Лейпциг изучать право, но получить докторскую степень там не удалось. Расстроенный отказом, Лейбниц отправился в Нюрнбергский университет в Альтдорфе, где успешно защищает диссертацию на соискание степени доктора права.
В этом же году он написал первое из своих многочисленных сочинений: «О комбинаторном искусстве». Опередив время на два века, 20-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет "всеобщая характеристика". Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял.
Закончив обучение, он устраивается советником курфюрста Майнцского по юридическим и торговым делам (1670). Работа требовала постоянных разъездов по всей Европе; в ходе этих путешествий он подружился с Гюйгенсом, который согласился обучать его математике.
В это время Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, - он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. .
1673: Лейбниц в Лондоне, где на заседании Королевского общества демонстрирует свой арифмометр и избирается членом Общества. От Ольденбурга, президента Общества, он получает изложение ньютоновских открытий: анализ бесконечно малых и теория бесконечных рядов. Сразу оценив мощь метода, он сам начинает его развивать. В частности, он вывел первый ряд для числа π.
1675: Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
1676: вскоре после смерти курфюрста Майнцского Лейбниц переходит на службу к герцогу Эрнесту-Августу Брауншвейг-Люнебургскому (Ганновер). Он одновременно советник, историк, библиотекарь и дипломат; этот пост он не оставил до конца жизни.
Лейбниц продолжает математические исследования, открывает «основную теорему анализа», обменивается с Ньютоном несколькими любезными письмами, в которых просил разъяснить неясные места в теории рядов. Уже в 1676 году Лейбниц в письмах излагает основы математического анализа.
1682: основал научный журнал Acta Eruditorum, сыгравший значительную роль в распространении научных знаний в Европе. Привлекает к исследованиям братьев Бернулли.
1698: умирает герцог Брауншвейгский. Его наследником стал Георг-Людвиг, будущий король Великобритании. Он оставляет Лейбница на службе, но относится к нему пренебрежительно.
1700: Лейбниц основывает Берлинскую Академию наук и становится её первым президентом. Избирается иностранным членом Французской Академии наук.
Лейбниц предложил проект научных исследований в России, связанных с её уникальным географическим положением, таких, как изучение магнитного поля Земли, отыскание пути из Арктики в Тихий океан.
1708: вспыхнул давно тлеющий нелепый приоритетный спор с Ньютоном.
1716: смерть Лейбница. За его гробом шёл только его личный секретарь.
«Он любил наблюдать, как расцветают в чужом саду растения, семена которых он предоставил сам» (Фонтенель).
Лейбниц стал первым гражданским лицом Германии, которому был воздвигнут памятник.
В честь Лейбница получили название: кратер и самая высокая горная цепь на Луне;
университет в Ганновере.
Научная деятельность
Важнейшие научные достижения Лейбница:
Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ - дифференциальное и интегральное исчисление (см. исторический очерк).
Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным.
Он обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.
Задолго до Зигмунда Фрейда привёл доказательства существования подсознания человека.
1684: Лейбниц публикует первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов», причём имя Ньютона в первой части даже не упоминается, а во второй заслуги Ньютона описаны не вполне ясно. Тогда Ньютон не обратил на это внимания. Его работы по анализу начали издаваться только с 1704 года.
В этой краткой работе Лейбница излагаются основы дифференциального исчисления, правила дифференцирования выражений.
Используя геометрическое истолкование отношения dy/dx, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба.
Попутно без каких-либо пояснений вводятся «разности разностей» (кратные дифференциалы), обозначаемые ddv. Лейбниц писал:
То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.
1686: Лейбниц даёт подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные; ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии. Впервые в печати вводит символ интеграла (и указывает, что эта операция обратна дифференцированию).
1692: введено общее понятие огибающей однопараметрического семейства кривых, выведено её уравнение.
1693: Лейбниц рассматривает вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически вводит понятие определителя. Но это открытие не вызвало тогда интереса, и линейная алгебра возникла только спустя полвека.
1695: Лейбниц вводит показательную функцию в самом общем виде: uv.
1702: совместно с Иоганном Бернулли открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решает многие вопросы интегрирования рациональных функций.
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. В первых работах он, похоже, понимал бесконечно малые как актуальные объекты, сравнимые между собой только если они одного порядка. Возможно, он надеялся установить их связь со своей концепцией монад.
В конце жизни он высказывался скорее в пользу потенциально бесконечно малых, то есть переменных величин, хотя и не пояснял, что он под этим подразумевает. В общефилософском плане он рассматривал бесконечно малые как опору непрерывности в природе.
Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
В физике Лейбниц ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии).
Изобретения
В 1673 году, после знакомства с Христианом Гюйгенсом, Лейбниц создал механический калькулятор (арифмометр), выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.
Лейбниц подсказал Дени Папену конструкцию паровой машины (цилиндр и поршень).
Среди других его изобретений можно отметить:
* устройство использования энергии ветра при отводе воды из шахт,
* чертежи подводной лодки.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Урок.docx
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 11
Тема урока: Вычисление площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница
№ урока по теме: урок № 4 в теме "Вычисление площадей с помощью интегралов".
Дата : 128.12
Тип урока: закрепление изученного.
Цель урока: знать формулы нахождения площади фигур, знать, в каких случаях они применяются, уметь находить площади фигур, ограниченных графиками различных функций.
Задачи урока:
Образовательные: совершенствовать навыки работы учащихся по данной теме;
организовать
деятельность учащихся по отработке навыков, умению применять полученные знания
при решении задач.
Развивающие: совершенствовать устную и письменную математическую
речь;
развивать мышление, внимание и память;
развивать научное мировоззрение;
активизировать мыслительную деятельность.
Воспитательные: расширять кругозор, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умению общаться, общей культуры.
Планируемый результат: научиться решать задачи данного вида.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Приемы: анализ, синтез, умозаключение, обобщение.
Оборудование: Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - 11-е изд. – М.: Просвещение, 2008; карточки с заданиями, листы для самостоятельной работы, компьютер, интерактивная доска, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.
Девиз урока: Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий, и путь опыта - это путь самый трудный.(Конфуций)
ХОД УРОКА
|
№ п/п |
Этап урока |
Методы, приемы |
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
|
1. |
Организационный момент |
Диалог учителя с классом |
Приветствует, проверяет готовность к уроку. Просит записать тему урока. (Приложение 1, слайд 1) Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий, и путь опыта - это путь самый трудный.(Конфуций) (Приложение 1, слайд 2) Так вот, давайте сегодня на уроке пойдем по пути опыта, будем активны, внимательны, ведь знания пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. |
Включаются в работу.
|
|
2. |
Актуализация знаний |
Фронтальная работа, устно; индивидуальная работа по карточкам |
Четверо учащихся работают по карточкам. Задание: вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. К-1 y = х², y=0, x=3. K-2 y= К-3 y = х³, y=0, x=2. К-4 y = х+1, x=0, x=4. (Задания на доске) 1.Найдите первообразную: f(x) = 3 f(x) = f(x) =
f(x) =
f(x) = 2. Весь мир его узнал по изданным трудам, Был даже край родной с ним вынужден считаться, Уроки мудрости давал он мудрецам, Он был мудрее их: умел он сомневаться. (Вольтер о Лейбнице) (Приложение 1, слайд 3) Исправьте ошибку:
3. Теоретические вопросы (Приложение 1, слайд 4). 1. Дайте определение первообразной. 2. Что такое неопределенный интеграл? 3. Что называется криволинейной трапецией? 4. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? 5. Как вычислить площадь криволинейной трапеции? 6. Как называется операция нахождения первообразной? 7. Чье имя носит формула для вычисления площади криволинейной трапеции? 4. Экскурс в историю: сообщения учащихся о Ньютоне и Лейбнице. (Приложение 1, слайд 5) |
Учащиеся, получившие индивидуальные задания, работают самостоятельно, остальные - устно
Предлагают варианты ответов, отвечают на поставленные вопросы
Исправляют ошибки
Отвечают на вопросы
Двое учащихся делают сообщения (Приложения 2-3) |
|
3. |
Закрепление знаний и способов действия |
Репродуктивный метод
|
1.Работа по готовым чертежам. Запишите с помощью интеграла, как можно вычислить площадь фигуры. (Приложение 1, слайды 6-10) 2. Вычисление площади: 1. 2.
3.
4.
2 5. По чертежу (Приложение 1, слайд11) 6. По чертежу (Приложение 1, слайд 12) 7. По чертежу (Приложение 1, слайд 13) |
Записывают вариант решения в тетрадь с последующим обсуждением
Решение с комментарием
|
|
4. |
Организация контроля |
Самостоятельная работа, репродуктивный метод
|
Предлагает самостоятельно решить задания с последующей взаимопроверкой. 1 вариант. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. 1. y = 2. (Дополнительное для быстро справившихся учащихся) y = 2 вариант. 1. y = 2. (Дополнительно для быстро справившихся учащихся) y = Предлагает проверить решение |
Ученики работают самостоятельно по вариантам
Проверяют, исправляют ошибки |
|
5.
|
Информация о домашнем задании |
Комментарий
|
№1001(2), №1002 (2). |
Записывают домашнее задание
|
|
6. |
Подведение итогов урока, рефлексия |
Беседа |
Предлагает дополнить предложения: 1. Я знаю, что... 2. Я могу... Много из
поймешь её, (М.В. Остроградский) (Приложение 1, слайд 14) Благодарит за урок |
Отвечают на поставленные вопросы. Определяют уровень достижений своих результатов |
Литература
1. Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - 11-е изд. – М.: Просвещение, 2008.
2. Г. И. Григорьева, Поурочные планы (по учебнику Ш. А. Алимова, Ю.М. Колягина и др.). - Ч.I / Автор-сосавитель Г.И. Григорьева. - Волгоград: Учитель, 2004.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема «Вычисление площади криволинейной трапеции» изучается после тем «Понятие определенного интеграла», «Способы вычисления определенного интеграла». При работе на занятии рассматриваются типовые случаи вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Практические задания составлены в соответствии с целью занятия. Данная методическая разработка предназначена для учителя математики, предмет «Алгебра и начала анализа» ( Ш.А. Алимов и др.) в организации учебного занятия в 11 классе по теме: «Вычисление площади криволинейной трапеции» и включает в себя апробированный сценарий занятия и презентацию.
6 660 985 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Павлова Ирина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.