Урок «Информационные оптимизационные модели»_11 класс (профильный)

ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Тема: Информационные оптимизационные модели

(урок информатики в 11 классе (профильный уровень))

Цель: ввести понятие линейного программирования, критерия оптимальности, рассмотреть практическое решение оптимизационных задач с помощью ЯП Delphi.

Продолжительность урока: 90 мин.

План урока:

I.                    Организационный момент (1 мин)

II.                 Актуализация знаний

III.              Теоретическая часть

IV.              Физминутка

V.                Практическая часть

VI.              Закрепление изученного материала

VII.           Домашнее задание

VIII.        Итоги урока. Рефлексия

Ход урока

I.                   Организационный момент

Приветствие. Проверка отсутствующих.

II.                Актуализация знаний

Человеку практически ежедневно приходится сталкиваться с проблемой принятия решений для достижения тех или иных целей.   В экономике целями могут быть увеличение прибыли, снижение затрат, повышение производительности труда, рациональное использование оборудования и материалов, повышение эффективности инвестиций и многое другое.  Что же такое оптимизация? Сегодня мы с вами познакомимся с этим понятием и научимся решать задачи оптимизации.

III.             Теоретическая часть

Итак, в математике под оптимизацией понимают нахождение экстремума (максимума или минимума) целевой функции в некоторой области конечного мерного векторного пространства (слайд 2). Критериями оптимальности могут быть различные параметры в зависимости от области применения. Например, в экономике можно стремиться к максимально возможному количеству выпускаемой продукции, а можно – к ее низкой себестоимости.

Мы будем решать оптимизационные задачи исходя из данного определения с помощью ЯП Delphi.

Наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования является линейное программирование (ЛП). Характерные черты задач ЛП (слайд 3): 

1)      Показатель оптимальности представляет собой линейную функцию X = ();

2)      Ограничительные условия, накладываемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Общая форма записи модели задачи ЛП (слайд 4)

Целевая функция

при ограничениях

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = (), удовлетворяющих ограничениям задачи.

Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение (слайд 5).

В качестве примера экономического моделирования рассмотрим задачу нахождения максимального дохода от реализации продукции.

Задача (приложение 1) (слайд 6-7). Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение: Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого давайте ответим на следующие вопросы (слайд 8):

1)      Что является искомыми величинами задачи? (переменными)

2)      Какова цель решения, т.е. какой параметр будет служить критерием оптимальности и в каком направлении должно изменяться значение этого параметра для достижения оптимальных результатов (max, min)?

3)      Какие условия должны быть выполнены в отношении искомых величин? (записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений)

Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы и построить математическую модель задачи вам необходимо разделиться на 3 группы по 4-5 человек. Каждая группа готовит ответ на соответствующий вопрос. На выполнение отводиться 5 минут. (после ответов групп составляется модель)

Итак, давайте рассуждать:

1)        В задаче нужно установить сколько краски каждого вида нужно производить. Поэтому искомыми величинами, а значит и переменными задачи будут суточные объемы производства красок каждого вида, а именно (слайд 9):

- суточный объем производства краски 1-го вида,

 - суточный объем производства краски 2-го вида.

2)      Целью задачи является добиться максимального дохода от реализации продукции. Следовательно, критерий оптимальности – это суточный доход, который должен стремиться к максимуму.

Давайте попробуем составить математическую модель целевой функции. Чтобы узнать величину суточного дохода от реализации красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е.  и . Зная оптовые цены на краски, можем составить следующую модель (слайд 9):

3)      Все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные

- расходом ингредиентов;

- рыночным спросом на краску;

- неотрицательностью объемов производства (слайд 10).

Запишем эти ограничения в математической форме. Из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида и 1 т краски 2-го вида. Тогда на производство  т краски 1-го вида и  т краски 2-го вида потребуется 1+2 ингредиента А. Т.к. величина суточного запаса ингредиента А ограничена, то получим следующее ограничение:

1+26

Аналогична математическая запись ограничения по расходу ингредиента В:

2+18

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет содержательную форму (слайд 11)

И математическую форму

.

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержательную форму (слайд 12)

И математическую форму .

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид (слайд 13):

IV.             Физминутка (слайд 14)

V.                Практическая часть. Построение и исследование оптимизационной модели (приложение 2)

Рассмотрим решение данной задачи с помощью ЯП Delphi.

1.      Запустите среду Delphi Пуск / Все программы / Borland Delphi / Delphi 7.

2.      Набор параметров  и  должен удовлетворять одновременно нескольким условиям, согласно математической модели задачи. Для того, чтобы найти наборы значений параметров необходимо произвести перебор всех возможных вариантов с помощью двух вложенных циклов. С помощью оператора условного перехода нужно вывести значения набора параметров и значение целевой функции на форму.

3.      Поместите на форму две метки Label1 и Label2 для вывода значений параметров; метку Label3 для вывода значения целевой функции; кнопку Button1 для запуска процедуры.

4.      Создать событийную процедуру TForm1.Button1Click (двойным нажатием на объект Button1) (слайд 15):

var

x1, x2, x3:integer;

L: integer;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

  for x1:=1 to 100 do

  begin

  for x2:=1 to 100 do

      begin

      if (x1+2*x2<=6) and (2*x1+x2<=8) and (-x1+x2<=1) and (x2<=2)then

          begin

             L:=3*x1+2*x2;

                  Label1.Caption:=IntToStr(x1);

                  Label2.Caption:= IntToStr (x2);

                  Label3.Caption:= IntToStr (L);

           end;

       end;

   end;

end;

end.

5.      Запустить проект и щелкнуть по кнопке ВЫПОЛНИТЬ. На метки будет выведен набо параметров:

 - суточный объем производства краски 1-го вида – 3 т/сут;

 - суточный объем производства краски 2-го вида – 1 т/сут;

Значение целевой функции (доход от реализации) – 11 тыс. руб./сут.

VI.             Закрепление изученного материала (задание по группам) (приложение 3).

Задачи. Составить математическую модель задачи и найти оптимальное решение в среде Delphi 7.

1. Компания производит полки двух размеров – А и В. Маркетинговый анализ показал, что в неделю может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, а для полки типа В – 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Прибыль от продажи полок типа А составляет 300 руб., а от полок типа В – 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Ответ: математическая модель задачи

(549;1), L(x) = 165100 руб/нед.

2. Для изготовления двух видов изделий А и В на заводе используется три типа технологического оборудования. Во время изготовления единицы изделия А оборудование первого типа используется 16 часов, оборудование второго типа – 8 часов, оборудование третьего типа - 5 часов. Во время изготовления единицы изделия В оборудование разных типов используется соответственно 4, 7 и 9 часов. Во время изготовления всех изделий оборудование первого типа может быть в эксплуатации не больше 850 часов, оборудование второго типа – не больше 550 часов, а оборудование третьего типа – не больше 560 часов.

  От реализации одного изделия вида А завод получает 480 рублей, а от реализации одного изделия вида В – 800 рублей прибыли. Требуется составить оптимальный план выпуска двух видов изделий А и В для получения наибольшей прибыли.

Ответ: математическая модель задачи

(52;4), L (x) = 28160

3. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Ответ: математическая модель задачи

(24;4), L (x) = 64

VII.          Домашнее задание (слайд 16)

П.1.6.1 – 1.6.3, стр. 68 – 74

VIII. Итоги урока. Рефлексия

Дети садятся в круг и передают по кругу сердечко. Тот, у кого в руках сердечко, говорит:

- Сегодня меня порадовало…

- Сегодня меня огорчило…

Задача . Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Задача . Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Практическая работа. Построение и исследование оптимизационной модели

Цель: рассмотреть практическое решение оптимизационных задач с помощью ЯП Delphi.

1.      Запустите среду Delphi Пуск / Все программы / Borland Delphi / Delphi 7.

2.      Набор параметров  и  должен удовлетворять одновременно нескольким условиям, согласно математической модели задачи. Для того, чтобы найти наборы значений параметров необходимо произвести перебор всех возможных вариантов с помощью двух вложенных циклов. С помощью оператора условного перехода нужно вывести значения набора параметров и значение целевой функции на форму.

3.      Поместите на форму две метки Label1 и Label2 для вывода значений параметров; метку Label3 для вывода значения целевой функции; кнопку Button1 для запуска процедуры.

4.      Создать событийную процедуру TForm1.Button1Click (двойным нажатием на объект Button1) (слайд 15):

var

x1, x2, x3:integer;

L: integer;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

  for x1:=1 to 100 do

  begin

  for x2:=1 to 100 do

      begin

      if (x1+2*x2<=6) and (2*x1+x2<=8) and (-x1+x2<=1) and (x2<=2)then

          begin

             L:=3*x1+2*x2;

                  Label1.Caption:=IntToStr(x1);

                  Label2.Caption:= IntToStr (x2);

                  Label3.Caption:= IntToStr (L);

           end;

       end;

   end;

end;

end.

5.      Запустить проект и щелкнуть по кнопке ВЫПОЛНИТЬ. На метки будет выведен набо параметров:

 - суточный объем производства краски 1-го вида – 3 т/сут;

 - суточный объем производства краски 2-го вида – 1 т/сут;

Значение целевой функции (доход от реализации) – 11 тыс. руб./сут.

Задачи. Составить математическую модель задачи и найти оптимальное решение в среде Delphi 7.

1. Компания производит полки двух размеров – А и В. Маркетинговый анализ показал, что в неделю может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, а для полки типа В – 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Прибыль от продажи полок типа А составляет 300 руб., а от полок типа В – 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

2. Для изготовления двух видов изделий А и В на заводе используется три типа технологического оборудования. Во время изготовления единицы изделия А оборудование первого типа используется 16 часов, оборудование второго типа – 8 часов, оборудование третьего типа - 5 часов. Во время изготовления единицы изделия В оборудование разных типов используется соответственно 4, 7 и 9 часов. Во время изготовления всех изделий оборудование первого типа может быть в эксплуатации не больше 850 часов, оборудование второго типа – не больше 550 часов, а оборудование третьего типа – не больше 560 часов.

  От реализации одного изделия вида А завод получает 480 рублей, а от реализации одного изделия вида В – 800 рублей прибыли. Требуется составить оптимальный план выпуска двух видов изделий А и В для получения наибольшей прибыли.

3. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?