Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Презентации / Урок «Информационные оптимизационные модели»_11 класс (профильный)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Урок «Информационные оптимизационные модели»_11 класс (профильный)

Выбранный для просмотра документ Задачи оптимизации.ppt

библиотека
материалов
Информационные оптимизационные модели ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМ...
Оптимизация – нахождение экстремума (максимума или минимума) целевой функции...
Характерные черты задач ЛП: Показатель оптимальности представляет собой линей...
Целевая функция при ограничениях Общая форма записи модели задачи ЛП
Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = ( ), удовлетворяющих о...
Задача: 	Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй...
Задача: 	Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вид...
Решение: Что является искомыми величинами задачи? (переменными) Какова цель р...
Решение: 1) - суточный объем производства краски 1-го вида, - суточный объем...
Решение: 3) Все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные: расх...
Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сра...
Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет...
 Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:
Title Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et ma...
 Построение и исследование оптимизационной модели
П.1.6.1 – 1.6.3, стр. 68 – 74 Домашнее задание
16 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Информационные оптимизационные модели ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМ
Описание слайда:

Информационные оптимизационные модели ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ Чудная Л.Г. МБОУ СОШ №1 г. Нерюнгри

№ слайда 2 Оптимизация – нахождение экстремума (максимума или минимума) целевой функции
Описание слайда:

Оптимизация – нахождение экстремума (максимума или минимума) целевой функции в некоторой области конечного мерного векторного пространства

№ слайда 3 Характерные черты задач ЛП: Показатель оптимальности представляет собой линей
Описание слайда:

Характерные черты задач ЛП: Показатель оптимальности представляет собой линейную функцию X = ( ); Ограничительные условия, накладываемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

№ слайда 4 Целевая функция при ограничениях Общая форма записи модели задачи ЛП
Описание слайда:

Целевая функция при ограничениях Общая форма записи модели задачи ЛП

№ слайда 5 Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = ( ), удовлетворяющих о
Описание слайда:

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = ( ), удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.

№ слайда 6 Задача: 	Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй
Описание слайда:

Задача: Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т красок: Ингредиенты Расход ингредиентов, т.ингр./т.краски Запас, т.ингр./сут Краска 1-го вида Краска 2-го вида А 1 2 6 В 2 1 8

№ слайда 7 Задача: 	Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вид
Описание слайда:

Задача: Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

№ слайда 8 Решение: Что является искомыми величинами задачи? (переменными) Какова цель р
Описание слайда:

Решение: Что является искомыми величинами задачи? (переменными) Какова цель решения, т.е. какой параметр будет служить критерием оптимальности и в каком направлении должно изменяться значение этого параметра для достижения оптимальных результатов (max, min)? Какие условия должны быть выполнены в отношении искомых величин? (записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений)

№ слайда 9 Решение: 1) - суточный объем производства краски 1-го вида, - суточный объем
Описание слайда:

Решение: 1) - суточный объем производства краски 1-го вида, - суточный объем производства краски 2-го вида, 2)

№ слайда 10 Решение: 3) Все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные: расх
Описание слайда:

Решение: 3) Все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные: расходом ингредиентов; рыночным спросом на краску; неотрицательностью объемов производства.

№ слайда 11 Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сра
Описание слайда:

Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет содержательную форму И математическую форму

№ слайда 12 Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет
Описание слайда:

Решение: Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержательную форму И математическую форму

№ слайда 13  Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:
Описание слайда:

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:

№ слайда 14 Title Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et ma
Описание слайда:

Title Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas.

№ слайда 15  Построение и исследование оптимизационной модели
Описание слайда:

Построение и исследование оптимизационной модели

№ слайда 16 П.1.6.1 – 1.6.3, стр. 68 – 74 Домашнее задание
Описание слайда:

П.1.6.1 – 1.6.3, стр. 68 – 74 Домашнее задание

Выбранный для просмотра документ Информационные оптимизационные модели.docx

библиотека
материалов

ОПТИМИЗАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Тема: Информационные оптимизационные модели

(урок информатики в 11 классе (профильный уровень))

Цель: ввести понятие линейного программирования, критерия оптимальности, рассмотреть практическое решение оптимизационных задач с помощью ЯП Delphi.

Продолжительность урока: 90 мин.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин)

  2. Актуализация знаний

  3. Теоретическая часть

  4. Физминутка

  5. Практическая часть

  6. Закрепление изученного материала

  7. Домашнее задание

  8. Итоги урока. Рефлексия

Ход урока

  1. Организационный момент

Приветствие. Проверка отсутствующих.

  1. Актуализация знаний

Человеку практически ежедневно приходится сталкиваться с проблемой принятия решений для достижения тех или иных целей. В экономике целями могут быть увеличение прибыли, снижение затрат, повышение производительности труда, рациональное использование оборудования и материалов, повышение эффективности инвестиций и многое другое. Что же такое оптимизация? Сегодня мы с вами познакомимся с этим понятием и научимся решать задачи оптимизации.

  1. Теоретическая часть

Итак, в математике под оптимизацией понимают нахождение экстремума (максимума или минимума) целевой функции в некоторой области конечного мерного векторного пространства (слайд 2). Критериями оптимальности могут быть различные параметры в зависимости от области применения. Например, в экономике можно стремиться к максимально возможному количеству выпускаемой продукции, а можно – к ее низкой себестоимости.

Мы будем решать оптимизационные задачи исходя из данного определения с помощью ЯП Delphi.

Наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования является линейное программирование (ЛП). Характерные черты задач ЛП (слайд 3):

  1. Показатель оптимальности представляет собой линейную функцию X = (hello_html_m4c735163.gif);

  2. Ограничительные условия, накладываемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Общая форма записи модели задачи ЛП (слайд 4)

Целевая функция

hello_html_2c8bbf05.gif

при ограничениях

hello_html_61cf3e35.gif

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = (hello_html_77c53beb.gif), удовлетворяющих ограничениям задачи.

Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение (слайд 5).

В качестве примера экономического моделирования рассмотрим задачу нахождения максимального дохода от реализации продукции.

Задача (приложение 1) (слайд 6-7). Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Ингредиенты

Расход ингредиентов, т.ингр./т.краски

Запас, т.ингр./сут

Краска 1-го вида

Краска 2-го вида

А

1

2

6

В

2

1

8



Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение: Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого давайте ответим на следующие вопросы (слайд 8):

  1. Что является искомыми величинами задачи? (переменными)

  2. Какова цель решения, т.е. какой параметр будет служить критерием оптимальности и в каком направлении должно изменяться значение этого параметра для достижения оптимальных результатов (max, min)?

  3. Какие условия должны быть выполнены в отношении искомых величин? (записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений)

Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы и построить математическую модель задачи вам необходимо разделиться на 3 группы по 4-5 человек. Каждая группа готовит ответ на соответствующий вопрос. На выполнение отводиться 5 минут. (после ответов групп составляется модель)

Итак, давайте рассуждать:

  1. В задаче нужно установить сколько краски каждого вида нужно производить. Поэтому искомыми величинами, а значит и переменными задачи будут суточные объемы производства красок каждого вида, а именно (слайд 9):

hello_html_7c6b1b21.gif- суточный объем производства краски 1-го вида,

hello_html_m754b78a6.gif- суточный объем производства краски 2-го вида.

  1. Целью задачи является добиться максимального дохода от реализации продукции. Следовательно, критерий оптимальности – это суточный доход, который должен стремиться к максимуму.

Давайте попробуем составить математическую модель целевой функции. Чтобы узнать величину суточного дохода от реализации красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. hello_html_m7c51d720.gif и hello_html_m754b78a6.gif. Зная оптовые цены на краски, можем составить следующую модель (слайд 9):

hello_html_37908bd9.gif

  1. Все ограничения задачи делятся на три группы, обусловленные

- расходом ингредиентов;

- рыночным спросом на краску;

- неотрицательностью объемов производства (слайд 10).

Запишем эти ограничения в математической форме. Из условия известен расход ингредиента А на производство 1 т краски 1-го вида и 1 т краски 2-го вида. Тогда на производство hello_html_603dc460.gif т краски 1-го вида и hello_html_m754b78a6.gif т краски 2-го вида потребуется 1hello_html_603dc460.gif+2hello_html_m754b78a6.gif ингредиента А. Т.к. величина суточного запаса ингредиента А ограничена, то получим следующее ограничение:

1hello_html_603dc460.gif+2hello_html_m754b78a6.gifhello_html_59cc2609.gif6

Аналогична математическая запись ограничения по расходу ингредиента В:

2hello_html_603dc460.gif+1hello_html_m754b78a6.gifhello_html_59cc2609.gif8

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида по сравнению с объемом производства краски 2-го вида имеет содержательную форму (слайд 11)

hello_html_6fb46fee.gif

И математическую форму

hello_html_5d35e4fe.gif.

Ограничение по суточному объему производства краски 1-го вида имеет содержательную форму (слайд 12)

hello_html_7bdf9d6b.gif

И математическую форму hello_html_7fe4b04f.gif.

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид (слайд 13):

hello_html_m425211c5.gif

hello_html_m88f129c.gif

  1. Физминутка (слайд 14)

  2. Практическая часть. Построение и исследование оптимизационной модели (приложение 2)

Рассмотрим решение данной задачи с помощью ЯП Delphi.

  1. Запустите среду Delphi Пуск / Все программы / Borland Delphi / Delphi 7.

  2. Набор параметров hello_html_m7c51d720.gif и hello_html_m754b78a6.gif должен удовлетворять одновременно нескольким условиям, согласно математической модели задачи. Для того, чтобы найти наборы значений параметров необходимо произвести перебор всех возможных вариантов с помощью двух вложенных циклов. С помощью оператора условного перехода нужно вывести значения набора параметров и значение целевой функции на форму.

  3. Поместите на форму две метки Label1 и Label2 для вывода значений параметров; метку Label3 для вывода значения целевой функции; кнопку Button1 для запуска процедуры.hello_html_1a4cdb1e.png



  1. Создать событийную процедуру TForm1.Button1Click (двойным нажатием на объект Button1) (слайд 15):

var

x1, x2, x3:integer;

L: integer;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

for x1:=1 to 100 do

begin

for x2:=1 to 100 do

begin

if (x1+2*x2<=6) and (2*x1+x2<=8) and (-x1+x2<=1) and (x2<=2)then

begin

L:=3*x1+2*x2;

Label1.Caption:=IntToStr(x1);

Label2.Caption:= IntToStr (x2);

Label3.Caption:= IntToStr (L);

end;

end;

end;

end;

end.

  1. Запустить проект и щелкнуть по кнопке ВЫПОЛНИТЬ. На метки будет выведен набо параметров:

hello_html_m7c51d720.gif- суточный объем производства краски 1-го вида – 3 т/сут;

hello_html_m754b78a6.gif- суточный объем производства краски 2-го вида – 1 т/сут;

Значение целевой функции (доход от реализации) – 11 тыс. руб./сут.

hello_html_36fec111.png















  1. Закрепление изученного материала (задание по группам) (приложение 3).

Задачи. Составить математическую модель задачи и найти оптимальное решение в среде Delphi 7.

1. Компания производит полки двух размеров – А и В. Маркетинговый анализ показал, что в неделю может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Прибыль от продажи полок типа А составляет 300 руб., а от полок типа В – 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Ответ: математическая модель задачи hello_html_m3993a62e.gif

(549;1), L(x) = 165100 руб/нед.

2. Для изготовления двух видов изделий А и В на заводе используется три типа технологического оборудования. Во время изготовления единицы изделия А оборудование первого типа используется 16 часов, оборудование второго типа – 8 часов, оборудование третьего типа - 5 часов. Во время изготовления единицы изделия В оборудование разных типов используется соответственно 4, 7 и 9 часов. Во время изготовления всех изделий оборудование первого типа может быть в эксплуатации не больше 850 часов, оборудование второго типа – не больше 550 часов, а оборудование третьего типа – не больше 560 часов.

От реализации одного изделия вида А завод получает 480 рублей, а от реализации одного изделия вида В – 800 рублей прибыли. Требуется составить оптимальный план выпуска двух видов изделий А и В для получения наибольшей прибыли.

Ответ: математическая модель задачи hello_html_m6a727a82.gif

(52;4), L (x) = 28160

3. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Ответ: математическая модель задачи hello_html_m19d95c36.gif



(24;4), L (x) = 64

  1. Домашнее задание (слайд 16)

П.1.6.1 – 1.6.3, стр. 68 – 74

VIII. Итоги урока. Рефлексия

Дети садятся в круг и передают по кругу сердечко. Тот, у кого в руках сердечко, говорит:

- Сегодня меня порадовало…

- Сегодня меня огорчило…



Выбранный для просмотра документ Приложение 1.docx

библиотека
материалов

Задача . Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Ингредиенты

Расход ингредиентов, т.ингр./т.краски

Запас, т.ингр./сут

Краска 1-го вида

Краска 2-го вида

А

1

2

6

В

2

1

8



Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.





Задача . Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используется два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известные расходы А и В на 1 т красок:

Ингредиенты

Расход ингредиентов, т.ингр./т.краски

Запас, т.ингр./сут

Краска 1-го вида

Краска 2-го вида

А

1

2

6

В

2

1

8



Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску 2-го вида не превышает 2 т /сут. Оптовые цены 1 т красок равны: 3 т. руб. для краски 1-го вида и 2 т. руб. для краски 2-го вида. Найти какое количество краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.



Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx

библиотека
материалов

Практическая работа. Построение и исследование оптимизационной модели

Цель: рассмотреть практическое решение оптимизационных задач с помощью ЯП Delphi.

  1. Запустите среду Delphi Пуск / Все программы / Borland Delphi / Delphi 7.

  2. Набор параметров hello_html_384091e1.gif и hello_html_m20fc13b.gif должен удовлетворять одновременно нескольким условиям, согласно математической модели задачи. Для того, чтобы найти наборы значений параметров необходимо произвести перебор всех возможных вариантов с помощью двух вложенных циклов. С помощью оператора условного перехода нужно вывести значения набора параметров и значение целевой функции на форму.

  3. Поместите на форму две метки Label1 и Label2 для вывода значений параметров; метку Label3 для вывода значения целевой функции; кнопку Button1 для запуска процедуры.hello_html_1a4cdb1e.png

  4. Создать событийную процедуру TForm1.Button1Click (двойным нажатием на объект Button1) (слайд 15):

var

x1, x2, x3:integer;

L: integer;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

for x1:=1 to 100 do

begin

for x2:=1 to 100 do

begin

if (x1+2*x2<=6) and (2*x1+x2<=8) and (-x1+x2<=1) and (x2<=2)then

begin

L:=3*x1+2*x2;

Label1.Caption:=IntToStr(x1);

Label2.Caption:= IntToStr (x2);

Label3.Caption:= IntToStr (L);

end;

end;

end;

end;

end.

  1. Запустить проект и щелкнуть по кнопке ВЫПОЛНИТЬ. На метки будет выведен набо параметров:

hello_html_384091e1.gif- суточный объем производства краски 1-го вида – 3 т/сут;

hello_html_m20fc13b.gif- суточный объем производства краски 2-го вида – 1 т/сут;

Значение целевой функции (доход от реализации) – 11 тыс. руб./сут.

hello_html_36fec111.png











Выбранный для просмотра документ Приложение 3.docx

библиотека
материалов

Задачи. Составить математическую модель задачи и найти оптимальное решение в среде Delphi 7.

1. Компания производит полки двух размеров – А и В. Маркетинговый анализ показал, что в неделю может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Прибыль от продажи полок типа А составляет 300 руб., а от полок типа В – 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

2. Для изготовления двух видов изделий А и В на заводе используется три типа технологического оборудования. Во время изготовления единицы изделия А оборудование первого типа используется 16 часов, оборудование второго типа – 8 часов, оборудование третьего типа - 5 часов. Во время изготовления единицы изделия В оборудование разных типов используется соответственно 4, 7 и 9 часов. Во время изготовления всех изделий оборудование первого типа может быть в эксплуатации не больше 850 часов, оборудование второго типа – не больше 550 часов, а оборудование третьего типа – не больше 560 часов.

От реализации одного изделия вида А завод получает 480 рублей, а от реализации одного изделия вида В – 800 рублей прибыли. Требуется составить оптимальный план выпуска двух видов изделий А и В для получения наибольшей прибыли.

3. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?



Краткое описание документа:

Разработка урока для учеников 11 класса (профильный уровень) на тему «Информационные оптимизационные модели» раздела «Оптимизационное моделирование в экономике». Архив включает в себя конспект урока, презентацию, а также три приложения, содержащие материала для раздатки. Человеку практически ежедневно приходится сталкиваться с проблемой принятия решений для достижения тех или иных целей.   В экономике целями могут быть увеличение прибыли, снижение затрат, повышение производительности труда, рациональное использование оборудования и материалов, повышение эффективности инвестиций и многое другое.  Что же такое оптимизация? Сегодня мы с вами познакомимся с этим понятием и научимся решать задачи оптимизации.
Автор
Дата добавления 02.04.2014
Раздел Информатика
Подраздел Презентации
Просмотров1467
Номер материала 55316040252
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх