Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка «Симметирия в природе»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка «Симметирия в природе»

библиотека
материалов

Муниципальная бюджетная образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 7



Симметрия в природе

C:\Users\admin\Desktop\конкурсы\Поповы конкурс\140620123250.jpg


Выполнила

учитель математики

Чернова Наталья Владимировна











г. Богородск

2013 г.

Содержание


Введение

Глава 1. Понятие симметрии

1.1. Значение симметрии

1.2. Типы симметрии

1.3. Виды симметрии

Глава 2. Симметрия в природе

2.1. Симметрия в живой природе

2.2. Симметрия в неживой природе

2.3. Симметрия в геологии

Заключение

Литература


Введение


Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863—1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений".

«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мери и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм»,-
академик А. В. Шубников (1887—1970).

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии. «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности»,— писал Вернадский.

Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха — геометрически симметричными в виде правильных многогранников. И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной, принцип симметрии и через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических явлений.

Итак, в современном понимании симметрия — это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.

«Принцип симметрии в XX веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов».





































Глава 1. Понятие симметрии


    1. Значение симметрии

Идея симметрии часто служила ученым путеводной нитью при рассмотрении проблем мироздания. Симметрия внешней формы кристалла является следствием ее внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов, так называемой кристаллической решетки.

Согласно современной точке зрения, наиболее фундаментальные законы природы носят характер запретов. Они определяют, что может, а что не может происходить в природе.

Всеобщность симметрии не только в том, что она обнаруживается в разнообразных объектах и явлениях. Всеобщим является сам принцип симметрии, без которого по сути дела нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы, будь то проблема жизни или проблема контактов с внеземными цивилизациями.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.

Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.


1.2.Типы симметрии

Известны всего два основных типа симметрии – вращательная и поступательная. Кроме того, встречается модификация из совмещения этих двух основных типов симметрии – вращательно-поступательная симметрия.

Вращательная симметрия. Любой организм обладает вращательной симметрией. Для вращательной симметрии существенным характерным элементом являются антимеры. Важно знать, при повороте на какой градус контуры тела совпадут с исходным положением. Минимальный градус совпадения контура имеет шар, вращающийся около центра симметрии. Максимальный градус поворота 360 , когда при повороте на эту величину контуры тела совпадут.

Поступательная симметрия. Для поступательной симметрии характерным элементом являются метамеры (meta – один за другим; mer – часть). В этом случае части тела расположены не зеркально друг против друга, а последовательно друг за другом вдоль главной оси тела.

Вращательно-поступательная симметрия. Этот тип симметрии имеет ограниченное распространение в животном мире. Эта симметрия характерна тем, что при повороте на определённый угол часть тела немного проступает вперед и её размеры каждый следующий логарифмически увеличивает на определённую величину. Таким образом, происходит совмещение актов вращения и поступательного движения. Примером могут служить спиральные камерные раковины фораминифер, а также спиральные камерные раковины некоторых головоногих моллюсков (современный наутилус или ископаемые раковины аммонитов).

Тип симметрии непременно входит в характеристику животных наряду с другими морфоэкологическими и физиологическими признаками, благодаря которым мы отличаем одни группы животных от других.

1.3.Виды симметрии

В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.

Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

Зеркальная симметрия. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющие естественную форму многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Что же касается формы граней ,числа граней и ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов. Среди элементов симметрии различаются оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде пространственной решётки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие частицы - молекулы, атомы, ионы и их группы. Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определённым плоскостям. Это явление называется спайностью и свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны т. е. не одинаковы по разным направлениям.

Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов ( молекул).





































Глава 2. Симметрия в природе


2.1.Симметрия в живой природе



Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Внешняя симметрия может выступить в качестве основания классификации организмов (сферическая, радиальная, осевая и т.д.) Микроорганизмы, живущие в условиях слабого воздействия гравитации, имеют ярко выраженную симметрию формы.

Тела, которые совершенно одинаковы, или, точнее, которые при взаимном наложении совмещаются друг с другом во всех своих деталях назуваются симметричными (рисунок, а) Однако в теории симметрии помимо такого совместимого равенства выделяют еще два вида равенства — зеркальное и совместимо-зеркальное. При зеркальном равенстве левый лепесток рисунка 1, б можно точно совместить с правым лепестком, лишь отразив его предварительно в зеркале. Если же два тела можно совместить друг с другом как до, так и после отражения в зеркале, это совместимо-зеркальное равенство. Лепестки на рисунке 1, в равны друг другу и совместимо и зеркально.

Но наличия одних равных частей в фигуре еще недостаточно, чтобы признать фигуру симметричной: на рисунке 1, г лепестки венчика цветка расположены хаотично, незакономерно и фигура несимметрична, внизу (д) лепестки расположены однообразно, закономерно и венчик симметричен. Такое закономерное, однообразное расположение равных частей фигуры относительно друг друга и называют симметрией.

А теперь каждую из этих симметрии рассмотрим по порядку. Аксиальная симметрия (рис. 2). При повороте этих фигур на 360о равные части фигур совпадут друг с другом соответственно 4, 4, 6 раз. Двусторонняя, или билатеральная, симметрия (рис. 3). Через середины фигур — рака, бабочки, листа растения — проходит плоскость симметрии, делящая каждую из фигур на две зеркальные половины.

Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх — вниз, вперед — назад, тогда как их движения направо — налево совершенно одинаковы. Нарушение билатеральной симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения в круговое. Поэтому не случайно активно подвижные животные двусторонне симметричны. Но такой вид симметрии встречается и у неподвижных организмов и их органов. Она возникает в этом случае вследствие неодинаковости условий, в которых находятся прикрепленная и свободная стороны. По-видимому, так объясняется билатеральность некоторых листьев, цветков и лучей коралловых полипов.

Радиальная симметрия: (рис.4) а—цветок растения; б — гидромедуза клиция; в — схема четырех плоскостей симметрии, проходящих через фигуры а и б. Они имеют одну ось симметрии четвертого порядка и четыре пересекающиеся плоскости отражения.

Совершенные нульмерно-симметричные примитивные организмы — радиолярии рис. 5) а — шарообразная, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б — кубическая, характеризующаяся симметрией куба, исчерпываемой 3 осями четвертого порядка + 4 осями третьего порядка + + 6 осями второго порядка + + 9 плоскостями + + центром симметрии; в — додекаэдрическая, характеризующаяся симметрией правильных многогранников — додекаэдра и икосаэдра, исчерпываемой 6 осями пятого порядка + 10 осями третьего порядка +15 осями второго порядка + + 15 плоскостями + + центром симметрии.

Одномерная симметрия присуща телам, во-первых, вытянутым в одном каком-либо особенном направлении, во-вторых, вытянутым в этом направлении благодаря монотонному повторению — «размножению» одной и той же части. Из биологических объектов такую симметрию имеют наиболее важные для обмена веществ полимерные цепные молекулы белков, нуклеиновых кислот, целлюлозы, крахмала; вирусы табачной мозаики, побеги традесканции, отрезки тела полихет и многих других животных (рис. 6). Наконец заметим, что симметрия молекулы ДНК, вируса табачной мозаики обусловлена переносом + поворотом. Поэтому их симметрия и содержит винтовую ось соответствующего вида (рис.14). Симметрия же побега традесканции обусловлена переносом + отражением, т. е. она ограничивается лишь одной плоскостью скользящего отражения. Двумерной симметрией обладают тела, во-первых, вытянутые в двух взаимно перпендикулярных направлениях, во-вторых, вытянутые в этих направлениях благодаря «размножению» одной и той же части.

Из биологических объектов такую симметрию имеют плоские орнаменты граней кристаллов ферментов, чешуи рыб, клеток в биологических срезах, мозаичного взаиморасположения листьев, «электронных картин» поперечного среза мышечной фибриллы, однородных сообществ организмов, складчатых слоев полипептидных цепей (рис. 15).

В заключении: и двумерная симметрия и трехмерная характеризуются теми же элементами симметрии, что и нульмерная и одномерная.

Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия (рис. 9). Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией (рис.1). Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.


Соты - настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек (рис. 7, 8). 

Это самая плотная упаковка, позволяющая наивыгоднейшим образом разместить в ячейке личинку и при максимально возможном объеме наиболее экономно использовать строительный материал-воск.

Листья на стебле расположены не по прямой, а окружают ветку по спирали. Сумма всех предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага А+В=С, В+С=Д и т.д.(рис.9 )


Расположение семянок в головке подсолнуха или листьев в побегах вьющихся растений соответствует логарифмической спирали.


Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных

Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК. Подлинным царством природных винтов является мир «живых молекул» - молекул, играющих принципиально важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся, прежде всего, молекулы белков. В человеческом теле насчитывают до 10 типов белков. Все части тела, включая кости, кровь, мышцы, сухожилия, волосы, содержат белки. Молекула белка представляет собой цепочку, составленную из отдельных блоков, и закрученную по правой спирали. Её называют альфа-спиралью. За открытие альфа-спирали американский учёный Лайнус Полинг получил Нобелевскую премию, самую высшую награду в научном мире. Молекулы волокон сухожилий представляют собой тройные альфа-спирали. Скрученные многократно друг с другом альфа-спирали образуют молекулярные винты, которые обнаруживаются в волосах, рогах, копытах.

Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты – ДНК, являющейся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структуру двойной правой спирали, открытой американскими учёными Уотсоном и Криком. За её открытие они были удостоены Нобелевской премии. Двойная спираль молекулы ДНК есть главный природный винт.


2.2. Симметрия в неживой природе

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

А что такое кристалл? «Твердое тело, имеющие естественную форму многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Что же касается формы граней, числа граней и ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов. Среди элементов симметрии различаются оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде пространственной решётки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие частицы - молекулы, атомы, ионы и их группы. Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определённым плоскостям. Это явление называется спайностью и свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны, т. е. не одинаковы по разным направлениям.

Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).


2.3. Симметрия в геологии

Когда минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит — в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит — в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811—1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла.

Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может — в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совпадают с теоретическими соображениями. Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем, Браве вывел 14 решеток. Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленно построить из них кристаллы, мы, вероятно, увидим, как можно провести в них плоскости и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из элементарных ячеек образуем новые грани. Возьмем куб, поставим его на угол и обрежем (все так же мысленно) все углы, тогда у него образуются совершенно новые треугольные грани. А из квадратных граней возникнут восьмиугольники: тем самым появятся новые мотивы симметрии.

Анализ элементов симметрии в каждой из осевых систем кристаллических решеток приводит к возникновению 32 классов симметрии. Все многообразие минералов в природе подразделяется на основе 32 классов симметрии. Вооруженные этими знаниями, задумаемся о классификации пяти тел Платона. То, что куб, с его тремя равными осями и тремя прямыми углами, относится к кубической осевой системе (сингонии), не нуждается в доказательстве. В рамках более детального подразделения он принадлежит пентагон - тетраэдрическому классу симметрии. Не стану здесь приводить названий других классов из-за их сложности. Однако стоит обратить внимание на термин «тетраэдрический», так как тетраэдр — одно из платоновых тел.

Тетраэдр можно образовать из куба. Остальные платоновы тела также относятся к кубической системе. Древние греки, надо думать, ужасно расстроились бы, знай они, что такой прозаический минерал, как серный колчедан, имеет ту же симметрию, что и их «совершенные» тела.

Можно обнаружить широкое распространение проявлений симметрии в строении геологических тел самых различных размеров и происхождения, входящих в состав земной коры. Среди этих проявлений симметрии значительную часть составляют разнообразные симметричные структуры, образование которых связано с разрядкой механических напряжений, возникающих в геологических телах по разным причинам (тектонические движения, сокращение объема при охлаждении или дегидратации и т. д.). Обращение к симметрии этих структур, к закономерной повторяемости их элементов (структурных форм) позволяет подойти к рассмотрению механизмов образования таких структур с принципиально новых позиций.

До сих пор говорилось лишь об элементах симметрии и их сочетаниях, т. е. об общих закономерностях повторяемости фигур и их частей. В кристаллографии, как известно, этим дело не ограничивается, а, исходя из тех же законов симметрии, выводятся формы кристаллических фигур.

Рис. 1. Примеры симметричного распределения геологических структурных форм. б — "лестничные" жилы; д — ступенчатый сброс; е — наклонные складки; ж — прямые складки.

Вспомним, что простыми гранными формами называются совокупности граней, связанных друг с другом элементами симметрии. По-видимому, в некоторых случаях целесообразно воспользоваться этими понятиями геометрической кристаллографии и применить их для характеристики геологических объектов.

В качестве примера рассмотрим простейшие формы блоков пород, изображенные. Так, например, купола, конусовидные вулканы, кольцевые дайки, штоки и некоторые другие структуры (рис. 11) обладают вертикальной осью симметрии бесконечного (полная их симметрия — симметрия конуса L P — т). Из других осей симметрии в геология чаще всего встречаются оси второго порядка. Вспомнив кристаллографические модели простых форм и их комбинаций, мы без труда найдем здесь пинакоиды, различные призмы и кубы. Конусообразную форму вулкана можно уподобить п-гональной пирамиде, а горные хребты — комбинациям диэдров.

Нам могут возразить, что приведенные здесь и далее примеры являются сугубо идеализированными. Однако вспомним, что и кристаллографические модели являются обобщенными идеализациями реальных форм. Идеализация с помощью статистических данных широко используется кристаллографами. Очевидно, аналогичные приемы могут быть рекомендованы и для геометризации геологических объектов.

Возникает вопрос: почему геометрические закономерности в распределении структурных форм сравнительно редко отмечались до сих пор в геологической литературе.

По-видимому, имеется ряд причин, затрудняющих их выявление. Выше уже говорилось о необходимости обобщать и статистически идеализировать такие явления. Неоднородность строения геологических тел и их масштабы затрудняют подобные исследования. Следует иметь в виду также и то, что зачастую мы имеем дело со случайными срезами, неблагоприятными для выявления закономерностей симметрии. Кроме того, сами закономерности симметрии могут быть. достаточно сложными (например, в случае наличия плоскостей скользящего отражения или винтовых осей) и не бросаются в глаза при случайном взгляде на случайный срез структуры. Наконец, играют роль и некоторая сложность понятийного аппарата симметрии и недостаточная устремленность геологов пользоваться им.

Вместе с тем еще и еще раз следует подчеркнуть, что симметрия геологических образований подчиняется в общем тем же законам симметрии, которые хорошо известны в геометрии и кристаллографии. Анализ сетчатых систем трещин с особой убедительностью иллюстрирует сказанное. Во всех разобранных выше примерах не встречалось ни одного элемента симметрии и ни одной их совокупности, которые не были бы известны кристаллографам (оси бесконечного порядка, невозможные для кристаллических полиэдров, широко используются при характеристике оптических индикатрис). Пространственные группы Е. С. Федорова, сетки и решетки О. Браве, симметрия лент, бордюров и стержней — все это широко реализуется в геологических структурах.

Подводя некоторый итог, следует особо подчеркнуть всеобъемлющее значение строго математических законов симметрии пронизывающих все естествознание, а тем самым охватывающих и все без исключения объекты геолого-минералогических наук. Исключительную роль в этом отношении играет вытекающий из принципа П. Кюри закон формирования природных тел в поле земного тяготения: «Все что растет или движется по вертикали приобретает симметрию Ln nP — пт, все, что растет или движется по горизонтали, получает симметрию Р — т (или — —1)».

Невольно напрашивается идея о широком использовании этого закона для выявления процессов формирования геологических объектов.

Кроме отмеченного выше существенного теоретического значения широкое распространение проявлений симметрии в геологических структурах имеет важное практическое значение. Понимание законов симметрии, проявляющихся в той или иной конкретной геологической структуре, может оказать весьма существенную помощь в деятельности геологов по поискам месторождений полезных ископаемых и отдельных рудных тел в пределах известных рудных полей.

Реальные примеры проявления в геологических структурах (в том числе и в структурах рудных полей) симметрии таких типов достаточно многочисленны и многократно описаны в геологической литературе.

Разумеется, используя представление о симметрии размещения рудных тел и месторождений, при поисках необходимо учитывать существование различных факторов, ограничивающих или затрудняющих применение этих представлений. Прежде всего необходимо помнить, что в частных случаях число рудных тел в симметричной серии может быть любым. Поэтому наличие одного или нескольких рудных тел не гарантирует наличия других рудных тел, связанных с известными телами законами симметрии. Далее, следует иметь в. виду, что достаточно строгие проявления симметрии в размещении структурных форм и рудных тел возможны лишь в достаточно однородной (в том масштабе, в котором ведется исследование) среде. Различного рода неоднородности среды, в которой размещены рудные тела, могут обусловливать в различной степени существенные отклонения от строгой симметрии.

Однако практически достаточно знать глубины выклинивания известных рудных тел, чтобы определить места возможного нахождения «слепых» рудных тел, принадлежащих этим симметричным сериям. Очевидно, что поиск рудных тел таким методом будет в этих случаях во много раз эффективнее, чем поиск путем разбуривания рудного поля по сетке, не увязанной с симметрией его структура. Учтя такую возможность, мы сможем в этом случае выявить все рудные тела с минимальной затратой сил и средств.

Выявление симметрии размещения и внутреннего строения тектонических структур и других геологических образований, контролирующих размещение полезных ископаемых, помимо теоретического интереса, имеет и огромное прикладное значение и поэтому должно считаться одной из первоочередных задач геологической науки на современном этапе ее развития.




































Заключение


Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Например, исследование симметрии Земли как планеты в цепом позволяет систематически и с соответствующей детальностью проанализировать динамику формирования фигуры Земли, т. е. рассмотреть качественную и количественную роль различных силовых полей, воздействие которых определяет эту фигуру.

Применение законов и методики симметрии к исследованию тектонических и других геологических структур может помочь выявлению и систематизации закономерностей размещения этих структур. Оно облегчит также понимание физической природы выявленных закономерностей и механизма формирования структур, т. е., в конечном счете, теоретическое истолкование структурного материала.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Ю.А. Урманцев вообще полагал, что «на основе биологических законов сохранения, разнообразных инвариантов, симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, ее вершины, тупики, предсказать неизвестные сейчас законы, теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств… организмов».

При всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, устанавливая связь между самыми разными объектами, как это верно заметил известный ученый Дж. Ньюмен: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...".













































Список использованной литературы

  1. Вернадский В.И.. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения. М., 1965.

  2. Пидоу Дэн. Геометрия и искусство М.: Мир, 1979г.

  3. Современный словарь иностранных слов. М.: Русский язык,1993г.

  4. Словарь иностранных слов - М.: АСТ, 2007

  5. Советский энциклопедический словарь М.: Советская энциклопедия, 1980г.

  6. Трофимов В. Введение в геометрическом многообразии с симметриями М.: МГУ 1989г.

  7. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии М.: Мысль, 1974г.

  8. Шафрановский И.И. Симметрия в геологии Л.: Недра, 1975г.

  9. Шубников А.В. Симметрия. М., 1940.

  10. http://www.ronl.ru

  11. http://www.worldnatures.ru/simmetrijavzhivoi.php



























Приложение 1

1430-1.jpg

Рис. 1. Пары лепестков: а — совместимо равные; б — зеркально равные; в — и совместимо и зеркально равные. Фигуры из пяти лепестков: г — расположенных относительно друг друга хаотично; д — закономерно. Верхняя фигура асимметричная, нижняя — симметричная.

1430-2.jpg

Рис. 2. Аксиальная симметрия: а — медуза аурелия инсулинда; б — детская вертушка; в — молекула химического соединения.

1430-3.jpg

Рис. 3. Двусторонняя, или билатеральная, симметрия.



1430-5.jpg

Рис. 4. Радиальная симметрия: а—цветок растения; б — гидромедуза клиция; в — схема четырех плоскостей симметрии, проходящих через фигуры а и б.



1430-4.jpg

Рис. 5. Совершенные нульмерно-симметричные примитивные организмы — радиолярии: а — шарообразная, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б — кубическая, характеризующаяся симметрией куба, исчерпываемой 3 осями четвертого порядка + 4 осями третьего порядка + + 6 осями второго порядка + + 9 плоскостями + + центром симметрии; в — додекаэдрическая, характеризующаяся симметрией правильных многогранников — додекаэдра и икосаэдра, исчерпываемой 6 осями пятого порядка + 10 осями третьего порядка +15 осями второго порядка + + 15 плоскостями + + центром симметрии.

1430-8.jpg

Рис. 6

1430-9.jpg

Рис. 7. Трехмерная симметрия. Небольшой кристалл белка вируса некроза табака в электронном микроскопе (увеличение в 73 тыс. раз).



hello_html_m4b4146a2.pngРис. 8.

hello_html_1782c42.pngРис. 9.

















http://articles.excelion.ru/pict/nauka/2/4267_0.jpg



Рис. 10. Примеры симметричного распределения геологических структурных форм. б — "лестничные" жилы; д — ступенчатый сброс; е — наклонные складки; ж — прямые складки.



http://articles.excelion.ru/pict/nauka/2/4267_1.jpg

Рис. 11. Простые геологические структуры: а) куполообразная; б) сундучная.



Рис. 12. Схемы гравитационно-ннерционного растяжения Земли вдоль оси Солнце — Земля (а), распределения приливообразующих сил на сферической недеформируемой Земле (б) и перемещении материальных точек поверхности Земли под действием приливообразующих сил (в).http://articles.excelion.ru/pict/nauka/2/4267_2.jpg

Рис. 13. Поле солнечной радиации в окрестностях Земли — симметрия цилиндра (а) и распределение солнечной радиации, поглощаемой поверхностью Земли, — симметрия конуса (б).http://articles.excelion.ru/pict/nauka/2/4267_3.jpg



1430-7.jpg

Рис. 14. Одномерная симметрия: а — модель молекулы ДНК; б — модель вируса табачной мозаики; в — побег традесканции; г — полихета; наверху — бордюр.



1430-8.jpg

Рис. 15. Двумерная симметрия (плоские орнаменты): а — чешуя рыб; б — складчатый слой полипептидных цепей; в — египетский орнамент.



1430-10.jpg

Рис. 16. Диссимметрические объекты: а — цветки анютиных глазок; б — раковины моллюска; в — кристаллы кварца; г — модель асимметрической молекулы.



1430-11.jpg

Рис. 17. Изомерия венчиков цветков растений.



C:\Users\admin\Desktop\конкурсы\Поповы конкурс\140620123247.jpg



Рис. 18 Близнецы



















Приложение 2

Типы симметрии у животных:

1-центральная

2-осевая

3-радиальная

4-билатеральная

hello_html_c17f8dc.jpg

hello_html_1da76121.jpg

hello_html_109c9701.jpg

hello_html_26769585.jpg

5-двулучевая

6-поступательная (метамерия)

7-поступательно-вращательная

hello_html_3ead5f94.jpg

hello_html_31e53259.jpg

hello_html_104fdfe0.jpg

























Приложение 3.

Высказывания великих о симметрии


«Все формы похожи, и ни одна не одинакова с другой;

И так весь хор их указывает

На тайный закон»

И.В. Гете


«Благоговейте, сударь!

Здесь все полно тайн и загадок,

а вот эту улицу следовало бы назвать проулком дьявола».

Э.Т.А. Гофман


«...быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным»

Платон

























Приложение 4.

Глоссарий


  1. «Словарь иностранных слов»: «Симметрия - [греч. symmetria] - полное зеркальное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; соразмерность».

  2. «Краткий Оксфордский словарь»: «Симметрия - красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

  3. «Словарь С.И. Ожегова»: «Симметрия - соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра».

  4. В.И. Вернадский. «Химическое строение биосферы Земли и ее окружения»: «В науках о природе симметрия есть выражение геометрически пространственных правильностей, эмпирически наблюдаемых в природных телах и явлениях. Она, следовательно, проявляется, очевидно, не только в пространстве, но и на плоскости и на линии. Эти правильности более глубоки, чем физические и химические явления, в которых они нам проявляются и которых они охватывают. Законы симметрии - это геометрические законы природных тел, т.е. физико-химических пространств, в том числе кристаллических. Симметрия является субстратом, охватывает свойства всех физических полей, с которыми имеют дело физик и химик». [1]

5. Но наиболее полным и обобщающим все вышеперечисленные определения мне кажется мнение Ю.А. Урманцева: «Симметрией называется всякая фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или нескольких последовательно произведенных отражений в плоскостях. Другими словами про симметричную фигуру можно сказать: «Eadem mutate resurgo» - «Измененная, я воскресаю той же самой» - надпись под очаровавшей Якоба Бернулли (1654-1705) логарифмической спиралью».

6. В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д.

7. Во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...» И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

8. Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Давайте также заглянем в Энциклопедический словарь. Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

9. В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично. Можно увидеть, что это кажущаяся простота уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

10. Ось симметрии. Ось симметрии - это ось вращения. В этом случае у животных, как правило, отсутствует центр симметрии. Тогда вращение может происходить только вокруг оси. При этом ось чаще всего имеет разнокачественные полюса. Например, у кишечнополостных, гидры или актинии, на одном полюсе расположен рот, на другом - подошва, которой эти неподвижные животные прикреплены к субстрату. Ось симметрии может совпадать морфологически с переднезадней осью тела.

11.Плоскость симметрии. Плоскость симметрии - это плоскость, проходящая через ось симметрии, совпадающая с ней и рассекающая тело на две зеркальные половины. Эти половины, расположенные друг против друга, называют антимерами (anti – против; mer – часть). Например, у гидры плоскость симметрии должна пройти через ротовое отверстие и через подошву. Антимеры противоположных половин должны иметь равное число щупалец, расположенных вокруг рта гидры. У гидры можно провести несколько плоскостей симметрии, число которых будет кратно числу щупалец. У актиний с очень большим числом щупалец можно провести много плоскостей симметрии. У медузы с четырьмя щупальцами на колоколе число плоскостей симметрии будет ограничено числом, кратным четырём. У гребневиков только две плоскости симметрии - глоточная и щупальцевая. (Наконец, у двустороннесимметричных организмов только одна плоскость и только две зеркальные антимеры – соответственно правая и левая стороны животного.

12.Метамерия – одна из форм поступательной симметрии. Она особенно ярко выражена у кольчатых червей, длинное тело которых состоит из большого числа почти одинаковых сегментов. Этот случай сегментации называют гомономной . У членистоногих животных число сегментов может быть относительно небольшим, но каждый сегмент несколько отличается от соседних или формой, или придатками ( грудные сегменты с ногами или крыльями, брюшные сегменты). Такую сегментацию называют гетерономной.

13. «Равенство и однообразие расположения частей фигуры выявляют посредством операций симметрии. Операциями симметрии называют повороты, переносы, отражения и их комбинации. Под поворотами понимают обычные повороты вокруг оси на 360°, в результате которых равные части симметричной фигуры обмениваются местами, а фигура в целом раз совмещается с собой. Ось, вокруг которой происходит поворот, называется простой осью симметрии (п). Это название не случайное, так как в теории симметрии различают еще и сложные оси различного рода. Число совмещений фигуры с самой собой при одном полном обороте вокруг оси (п) называется порядком оси.

14. Под отражениями понимают любые зеркальные отражения — в точке, линии, плоскости. Воображаемая плоскость, которая делит фигуры на две зеркальные половины, называется плоскостью симметрии. Каждая из изображенных на рисунке 3 фигур — рак, бабочка, лист растения — обладает лишь одной плоскостью симметрии, делящей ее на две зеркально равные части. Поэтому данный вид симметрии в биологии называется двусторонней или билатеральной.

15. Переносы — это перемещения вдоль прямой АВ на расстояние а. Такая операция применима лишь для объектов, вытянутых в одном особенном направлении АВ. Наименьший путь а, который должен быть пройден рядом фигур, прежде чем произойдет самосовмещение, называется элементарным переносом. Операции переноса также соответствует особый элемент симметрии — ось переносов (а): прямая АВ или любая прямая, параллельная АВ. Ось переносов (о) присуща только бесконечным фигурам, тем, которые бесконечно вытянуты лишь в одном особенном направлении (типа «стержней»), в двух особенных направлениях (типа «слоев»), в трех особенных направлениях (типа «кристаллов»). При этом считается, что телам, не вытянутым бесконечно ни в одном особенном направлении, присуща нульмерная симметрия; телам, вытянутым в одном особенном направлении, — одномерная симметрия, в двух — двумерная симметрия, в трех — трехмерная симметрия.

16. Нульмерная симметрия, как уже говорилось, присуща телам, бесконечно вытянутым ни в одном особенном направлении. Очевидно, такова симметрия отдельной буквы А, отдельного атома углерода (С), листа растения, моллюска, человека, молекулы углекислого газа (СО2), воды (Н2О), Земли, Солнечной системы. Сюда же относятся некоторые исключительно симметричные примитивные организмы. Теоретически возможно бесчисленное множество видов нульмерной симметрии. Однако практически в живой природе наиболее распространенными оказываются уже известные нам симметрии вида и п * m и особенно частный случай последнего вида: 1 * m = m.





Краткое описание документа:

Данный материал может быть полезен учителям математики в ходе изучения темы «Симметрия», а так же для расширения кругозора обучающихся , имеющих склонность к занятиям математикой. Может быть использован как один из докладов для научной конференции обучающихся. Для разработки схожей тематики может выступать как материал для использования в исследовании. Приведены на фото конкретные примеры симметрии в природе, что делает материал более живым и интересным. Наибольший интерес вызывает у младших школьников и ребят среднего звена.
Автор
Дата добавления 19.02.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1691
Номер материала 5563021956
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх