Инфоурок / Математика / Конспекты / «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

«Нестандартные приемы решений квадратных уравнений»

библиотека
материалов

Урок-конференция по математике для 8 класса

«Нестандартные приемы решений квадратных уравнений».

Учитель математики высшей категории

БОУ «Лицей № 102» г. Железногорск, Красноярский край

Скакунова Людмила Александровна


Пояснительная записка


Материалы урока - конференции «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений» соответствуют программным требованиям. В процессе подготовки и проведения этого урока реализуются основные виды УУД:

Познавательные:

  • ориентация в системе знаний по заявленной теме;

  • постановка учебной задачи, анализ, синтез;

  • умение работать с информацией;

  • преобразовывать информацию из одной формы в другую: составлять ответы на вопросы; доказательства своих суждений;

  • умение формулировать проблему и находить способы её решения.

Регулятивные:

  • умение определять и формулировать цель;

  • планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

  • вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

Коммуникативные:

  • умение слушать и понимать речь других;

  • оформлять свои мысли в устной форме;

  • договариваться с одноклассниками совместно с учителем о правилах поведения и общения и следовать им.


Класс разбивается на группы (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем. На уроке осуществляется представление и обсуждение каждого проекта.



Урок-конференция по теме

«Нестандартные приемы решений квадратных уравнений»

Л. А. Скакунова (Железногорск)

Подготовка к конференции

Класс (из 25 человек) разбивается на 5 групп (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем по рекомендованной литерату­ре. Через две недели каждая группа в индивидуаль­ной беседе с учителем предлагает варианты изложе­ния темы, определяет докладчика (ученика, лучше других разобравшегося в материале) и его внутренне­го оппонента. Еще через неделю готовый доклад за­слушивается внутри группы, все ее члены знакомятся с содержанием и оформлением доклада (к выступ­лению докладчик готовит компьютерную презен­тацию).

Оборудование и материалы к уроку

  • Приборы и инструменты для выполнения чертежей и рисунков, компьютер, видеопроектор.

  • Стенды с материалами по теме конференции.

Памятки для учащихся с алгоритмами различ­ных способов решения квадратных уравнений; вопросник для оппонентов; оценочный лист.

Основные этапы урока

Этап I. Организационный момент.

Этап II. Вступительное слово учителя.

Приветствие присутствующих, представление участников, сообщение о плане проведения конфе­ренции и порядке выступлений.

Этап III. Сообщения учащихся, выступления оп­понентов. Оценивание выступлений докладчиков.

Укажем перечень тем сообщений.

Общие методы решения квадратных уравнений.

1. Метод разложения на множители.

2. Методом введения новой переменной.

Специальные методы решения квадратных уравнений.

1. Использование свойства коэффициентов квад­ратного уравнения.

2. Метод «переброски» старшего коэффициента.

Графический способ решения квадратных урав­нений.

Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Способы решения квадратных уравнений в древности

После каждого сообщения заслушивается мнение оппонента. Приведем примерный план выступления оппонента (оценки доклада).

  1. Материал изложен...

так, что вызывает интерес к теме; от простого к сложному; четко и ясно (или непоследовательно, неуверенно) и т.д.

  1. В выступлении привлекались...

(Указываются средства привлечения внимания учащихся к излагаемому материалу.)

  1. Речь выступающего...

образная; математически грамотная; логически выдержан­ная и т.д.

  1. Содержание выступления...

интересное; новое для меня; может пригодиться в даль­нейшем; вызывает желание продолжить изучение вопроса, по­читать литературу по этой теме и т.д.

  1. У меня следующий вопрос к выступающему... (Формулируется вопрос.)

  2. Мои пожелания выступающему... (Высказываются пожелания.)

Далее каждый ученик класса заполняет полученный в начале урока оценочный лист и сдает его экспертной группе (в составе трех учеников старших классов).



Критерии оценивания

В выступлении докладчика оцениваются (в баллах): знание содержания темы, решение примеров, а также презентация доклада.

0 – 4 балла: тема не раскрыта, допущены фактические и вычислительные ошибки, представление доклада не вызвало интереса к затронутому в нем вопросу;

5 – 7 баллов: тема раскрыта частично, встречались недочеты в решениях примеров, представление докладов в целом понравилось;

8 – 10 баллов: тема раскрыта полностью, не было допущено фактических и вычислительных ошибок, представление доклада вызвало интерес к рассматриваемому вопросу.

Экспертная группа обрабатывает результаты – суммирует выставленные учениками баллы и находит их среднее арифметическое. Кроме того, каждый член экспертной группы заполняет оценочный лист на оппонента (с последующей обработкой результатов – нахождением среднего арифметического баллов)

Критерии оценивания

0 – 4 балла: представлен краткий комментарий, вопросы не задавались;

5 – 7 баллов: представлен подробный комментарий, вопросы не задавались;

8 – 10 баллов: представлен подробный комментарий, задавались вопросы по существу.


Все результаты заносятся в таблицу (используется компьютер).

Этап IV. Домашнее задание.

Задание состоит из подборки уравнений, предло­женных на уроке учениками, делавшими сообщения.

Этап V. Заключительное слово учителя.

После всех выступлений учитель дает оценку предварительной работе учащихся по подготовке к конференции (работе с дополнительной литературой по математике, подготовке презентаций и т.д.), а также прозвучавшим выступлениям; привлекает внимание к материалам стенда; сообщает о возмож­ности продолжить начатую работу.

Этап VI. Подведение итогов урока, выставление оценок докладчикам и лучшим оппонентам.


Содержание докладов


Тема 1. Общие методы решения квадратных уравнений

При решении квадратных уравнений часто при­меняется метод разложения на множители (с по­мощью вынесения за скобки общего множителя, фор­мул сокращенного умножения или способа группи­ровки).

Пример 1. Решите уравнение

2 + 2х – 1 = 0

Решение. Воспользуемся способом группировки.

3х² + 3х – х – 1 = 0,

3х(х + 1) – (х + 1) = 0,

(х + 1)(3х – 1) = 0,

х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0,

х = -1 х = hello_html_4c6ccc41.gif.

Ответ: -1; hello_html_m233bf45f.gif.

При решении более сложных квадратных уравнений нередко приходится использовать метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более простому случаю.

Пример 2. Решите уравнение

hello_html_4daa8fd.gif.

Решение. Пусть t = 5х + 3. Произведем замену переменной:

hello_html_72e02aec.gif

Убеждаемся, что D > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни: t1 = 1, t2 = 2.

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х.

Если t = 1, то Если t = 2, то

hello_html_7df2c6fe.gifhello_html_m4796c699.gif

Ответ: - 0,4; - 0,2

Замечание. При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

Задание на дом. Решите уравнения, используя метод разложения на множители или введение новой переменной.

х2 + 16х + 15 = 0; (3х + 2)² = 4 + 12х.

Тема 2. Специальные методы решения квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его конями.

1) х² +4х – 5 = 0, 2) х² + 6х + 5 = 0,

a = 1, b = 4, c = - 5, a = 1, b = 6, c = 5,

a + b + c = 0, a + c = b,

х1 = 1, х2 = - 5. х1 = - 1, х2 = - 5.

3) 2х² - 5х + 3 = 0, 4) 3х² + 2х – 1 = 0,

a = 2, b = - 5, c = 3, a = 3, b = 2, c = - 1,

a + b + c = 0, a + c = b,

х1 = 1, х2 = hello_html_11b5b102.gif х1 = - 1, х2 = hello_html_377ff491.gif

Вывод: при решении уравнения ах² + bх + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться следующими утверждениями:

  1. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = hello_html_6b626e55.gif

Доказательство:

1) Разделим обе части уравнения на а ≠ 0 и получим:

х² + hello_html_3de040a5.gif х + hello_html_m2c460de.gif = 0.

2hello_html_m3544cdd1.gif) По теореме Виета х1 + х2 = -hello_html_3de040a5.gif,

х1 · х2 = hello_html_m2c460de.gif;

Так как а + b + c = 0, то b = - ac.

hello_html_5b902363.gifhello_html_m3544cdd1.gifх1 + х2 = - hello_html_476b4a29.gif= 1 + hello_html_72f28aee.gif, х1 = 1,

х1 ∙ х2 = 1 ∙hello_html_72f28aee.gif ; х2 = hello_html_m2c460de.gif.

  1. Если a + с = b, то х1 = - 1, х2 = - hello_html_6b626e55.gif

Доказательство:

1hello_html_m3544cdd1.gif) По теореме Виета х1 + х2 = -hello_html_3de040a5.gif,

х1 · х2 = hello_html_m2c460de.gif;


2) Так как а +с = b, то

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifх1 + х2 = - hello_html_5e2a155f.gif= -1 –hello_html_72f28aee.gif, х1 = - 1,

х1 · х2 = -1 ∙ ( -hello_html_72f28aee.gif ); х2 = - hello_html_m2c460de.gif.

Задание (устно). Найдите корни уравнения:

а) 3х² - 8х + 5 = 0; в) 5х² - 9х – 14 = 0;

б) 2х² + 3х + 1 = 0; г) - х² - 4х – 3 = 0.


Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения hello_html_68d7004f.gif на а ≠ 0:

hello_html_cb8d00d.gif

Пусть ах = у, тогда hello_html_m472efb77.gif.

Корни у1 и у2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета. Так как hello_html_7d80cafe.gif

Пример. Решите уравнение

hello_html_27298e86.gif

По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

hello_html_m437f0743.gif

Ответ: 2,5; 3.

Замечание: Данный метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Задание на дом. Решите уравнения, используя специальные методы решения квадратных уравнений.

1907х2 + 101х - 2008 = 0; х2 + 12х + 20 = 0.

Тема 3. Графический способ решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратного уравнения состоит в построении на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть).

В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций: парабола и прямая. Возможны следующие случаи (рис. 1):

1) прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения;

2) прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения;

3) прямая и парабола не имеют общих точек, в этом случае уравнение не имеет корней.

hello_html_591203ab.gif

Рис. 1














Пример. Решим графически следующее уравнение

x2 + 1,5х - 2,5 = 0.

Перепишем уравнение в виде x2 = - 1,5х + 2,5.

Рhello_html_58eecaf2.pngассмотрим функции у = x2 и у = - 1,5х + 2,5.
Построим в одной координатной плоскости графики этих функций (рис. 2), и найдем точки пересечения : х1 = - 2,5, х2 = 1. Эти числа являются корнями исходного уравнения.













Рис. 2

Ответ: - 2,5; 1.

Задание на дом. Решите уравнения, используя графический способ.

- 2х² + 8 = 0; х² - 2х = 0.

Тема 4. Геометрический способ решения квадратного уравнения

Рассмотрим решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Дано уравнение ах² + bx + c = 0

1) Построим точки Q (-hello_html_6217676c.gif;hello_html_229343eb.gif )(центр окружности) и А (0;1).

2) Проведём окружность с радиусом QA.

3) Абсциссы точек пересечения окружности с ОХ являются корнями квадратного уравнения.

Условия количества корней (рис. 3):

1) Если R >hello_html_229343eb.gif, то окружность пересекает ОХ в двух точках M1; 0) и N(x2; 0), где хhello_html_m34745add.gif и х2 – корни уравнения.

2) Если R = hello_html_229343eb.gif, то окружность касается ОХ в точке M1;0), где х1– корень уравнения.

3) Если R <hello_html_229343eb.gif, то окружность не имеет общих точек с осью ОХ, следовательно, решений

hello_html_2edc39cc.gifнет.


Frame2Frame3







Рис. 3

Примеры. Решить квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки (рис. 4).

hello_html_m7a8d93fd.gif



hello_html_7bbccd75.gif


















Рис. 4

Задание на дом. Решите уравнения с помощью циркуля и линейки.

х² - 4х + 3 = 0; х² + 2х = 0;



Тема 5. Как решали квадратные уравнения в древности


Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а hello_html_m89a4988.gif длины равны ширине».

Пусть х – длина поля. Тогда hello_html_m89a4988.gifх – его ширина, S = hello_html_m8c7da29.gif- площадь. Получилось квадратное уравнение hello_html_m8c7da29.gif = 12. В папирусе дано правило для его решения: «Раздели 12 на hello_html_m89a4988.gif».

Итак, х² = 16. «Длина поля равна 4» - указано в папирусе.


Рассмотрим способ решения квадратного уравнения среднеазиатского ученого ал – Хорезми из трактата «Хисаб ал – джебр валь – мукабала»:

Решить квадратное уравнение х² + 10х = 39.

hello_html_m67cbad4c.gif

hello_html_m65178a54.gif

hello_html_m67cbad4c.gif

hello_html_m65178a54.gif

х²

hello_html_m65178a54.gif

hello_html_m67cbad4c.gif

hello_html_m65178a54.gif

hello_html_m67cbad4c.gif

Решение самого ал – Хорезми:

Строим квадрат х² (рис. 5). На сторонах его строим четыре равных прямоугольника с общей площадью 10х. Площадь каждого будет hello_html_m18cee0ea.gif, а измерения х и hello_html_5052f13b.gif. Теперь фигуру, имеющую форму креста, дополняем до квадрата четырьмя равными квадратами в углах фигуры. Площадь каждого такого квадрата будет равняться hello_html_m67cbad4c.gif. Площадь всех четырех квадратов составит hello_html_m67cbad4c.gif· 4 = 25. Таким образом, площадь всего составленного квадрата будет: Рис. 5


х² + 10х + 25 = 64,

(х + 5)² = 64,

х + 5 = ± 8,

х1 = 3, х2 = - 8

Ответ: - 8; 3.


Задание на дом. Составив квадратное уравнение, решите древнеиндийскую задачу о стае обезьян.

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам стала

Прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?





Литература:

Пресман А.А. Решение Квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72.


Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин – 3-е изд., испр. И доп. – М.: Педагогика – Пресс, 1997


Энциклопедия для детей Т. 11 Математика / Глав. Ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта +, 2000.

11


Краткое описание документа:

Материалы урока - конференции «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений» соответствуют программным требованиям. В процессе подготовки и проведения этого урока реализуются основные виды УУД: Познавательные:- ориентация в системе знаний по заявленной теме;- постановка учебной задачи, анализ, синтез;  - умение работать с информацией; - преобразовывать информацию из одной формы в другую: составлять ответы на вопросы; доказательства своих суждений; - умение формулировать проблему и находить способы её решения. Регулятивные:- умение определять и формулировать цель;- планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;- вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок. Коммуникативные:- умение слушать и понимать речь других; -  оформлять свои мысли в устной форме;- договариваться с одноклассниками совместно с учителем о правилах поведения и общения и следовать им.   Класс разбивается на группы (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем. На уроке  осуществляется представление и обсуждение каждого проекта.  

Общая информация

Номер материала: 58990040455

Похожие материалы