Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері

библиотека
материалов

М.Тынышпаев атындағы ҚазККА Ақмола колледжі

Математика пәні оқытушысы

Шакирова Эльмира Айдакашевна



Функционалдық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері



Функционалдық теңдеулерді шешу математикалық анализдің негізгі түсініктерін ғана үйренуді талап етеді, сондықтан олар барлық математикалық класс оқушыларының және математика факультетінің студенттерінің қызығушылығын танытады.

Функционалдық теңдеулерді шешудің әдістерін қарастырмақ бұрын функционалды теңдеу ұғымынан бастайық.

Функционалды теңдеу деп белгісіз функцияның композиция операциясымен байланысқан функциясын атайды. Функционалдық теңдеуге келесі мысалды қарастыруға болады:

hello_html_m394595fa.gif

және

hello_html_67d0a773.gif

Мұндағы hello_html_m2f927cf6.gif- белгісіз функция, х және у –тәуелсіз айнымалылар.

Екі теңдеуде де белгісіз бір айнымалы функциясы болып табылады, бірақ екінші теңдеуде екі белгісіз айнымалылар бар, олардың бірі бос айнымалы(мысалы,у).

Екінші теңдеуге қарағанда бірінші теңдеу бос айнымалысыз теңдеу болып саналады.

hello_html_8df3c6d.gif D облысындағы функционалдық теңдеу шешімі деп аталады, егер ол осы облыстағы барлық тәуелсіз айнымалыларды қанағаттандыратын болса.

Мысалы,

hello_html_m25d8fc7f.gif (1)

теңдеу шешімі

hello_html_332d4e44.gif, мұндағы - кез-келген тұрақты сан.

Төмендегі теңдеу шешімі

hello_html_m4fdedaed.gif (2)

hello_html_43cee8b6.gif с1 *3х + с2 *2х, мұндағы с1 және с2 –кез-келген тұрақты сан.

Және, соңында төмендегі теңдеу шешімі

hello_html_m487a3769.gif

Мұнда хhello_html_m5fbe53f4.gif болғанда hello_html_24664411.gif, мұндағы Ф- кез-келген функция.

Бұл мысалдардан функционалдық теңдеулерін шешу деңгейлері әр түрлі екендігін көреміз.Сонымен, бірінші мысалда теңдеу шешімі кез-келген тұрақтыға байланысты, ал екінші мысалда- с1 және с2 тұрақтылар және үшінші мысалда кез-келген Ф функциясына байланысты екендігі көрініп тұр.

Егер функионалдық теңдеуді шешімі кез-келген тұрақтылардан немесе кез-келген функциялардан тұрса, онда осы тұрақтылар мен функцияларға әр түрлі мәндерді бере отырып, теңдеудің әр түрлі шешімдерін аламыз, олар жеке шешімдер деп аталады. Жеке шешімді алу үшін әдетте қосымша шарттар беріледі.

Мысалы, егер (1) теңдеуінің шешімі hello_html_5e5f22a2.gif қосымша шартты hello_html_3ec610a4.gif=4 қанағаттандырса, онда шешімде x=2 деп алып, алатынымыз 4 =hello_html_48233ad3.gif. Осыдан =2 және сәйкесінше қосымша шарты hello_html_3ec610a4.gif=4 кезінде (1) теңдеуінің жеке шешімі болып hello_html_3eb72d68.gif функциясы табылады.

Ұқсас түрде құрамында екі еркін тұрақтысы бар (2) теңдеуінің шешімі қосымша шарттыры hello_html_m71776cdd.gif және hello_html_64a11eed.gif кезінде келесідей жеке шешімге айналады

hello_html_5f623f4d.gif

Бұдан кейін, ережеге сай, ізделіп отырған функция бір айнымалының функциясы болып табылатын теңдеуді қарастырамыз. Алайда, көрсетілгендей, бұндай теңдеудің құрамында еркін айнымалы болуы мүмкін немесе жоқ болуы да мүмкін.

Осындай екі класқа жататын теңдеулерді шешу әдістерінің айтарлықтай айырмашылықтары бар және сондықтан олар жеке -жеке зерттеледі.

Функционалдық теңдеудің шешімін іздеу функция класына байланысты екендігін айта кетейік. Осылайша, үзіліссіз функция (сонымен қатар дифференциалданатын функция класында) класында (1) теңдеуінің шешімі hello_html_5e5f22a2.gif функциясы болады, мұндағы ­ – үзілісті функция класындағы тұрақты, оның шешімі болып келесі функция табылады

hello_html_43cee8b6.gif hello_html_m69652d79.gif

Ең қарапайым жағдайларда функционалды теңдеуді шешу үшін бір қатар қиын емес математикалық операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теңдеуді шешу үшін

3hello_html_mf39bb4d.gif­- hello_html_3ff05cc8.gif

Осылайша келесі теңдеуді жазуға болады

hello_html_33c4d900.gif hello_html_265e7613.gif

бұл теңдеуде hello_html_m6dfbc20b.gif деп алып hello_html_m66ac0ead.gifге қатысты квадраттық теңдеуді аламыз

hello_html_d2b669b.gif

Бұл теңдеудің екі шешімі болғандықтан hello_html_m648806a1.gif(4)= 4 онда функционалдық теңдеудің де екі шешімі болады

hello_html_343f7.gif және hello_html_74822cd2.gif

Алайда, функционалдық теңдеуді шешудің қарапайымдылығы сирек кездеседі.

Көптеген жағдайда сыртқы формасы бойынша да функционалдық теңдеу шешімін табу үшін өте күрделі әдістерді қолданылуды талап етеді. Одан басқа, басқа математикалық теорияларға қарағанда функционалдық теңдеулер теориясында шешімді табудың жалпы әдістері өте аз. Бұндай жағдай функционалдық теңдеулердің алуан түрлілігімен және оларды зерттеу кезіндегі туындайтын қиындықтармен түсіндіріледі.

Функционалдық теңдеулер классикалық математикалық сарапатаманың туындауымен қатар пайда болды.

XVIII ғасырдың ортасында күш параллелограммасының мәселесі Даламберді hello_html_m1a7ee115.gif функционалдық теңдеуін шешуге алып келді.

Бұл теңдеуді Коши ХІХ ғасырдың басында шешкен еді. Ол келесідей теңдеуді қарауға енгізді:

hello_html_5f8e1b9f.gif

hello_html_mb7f96d4.gif

hello_html_m575d532a.gif

hello_html_m2fbb287a.gif

Олар математиканың әр түрлі бөлімдерінде қолданылады, жеке жағдайларда, элементарлық функцияларды анықтаудың негізіне қойылуы мүмкін. Оларды Коши теңдеулері деп атау қабылданды.

Бұндай Коши (және оларға туыстас) теңдеулерін шешу үшін қазіргі кезде соның атымен аталып жүрген әдіс ұсынылды.

Коши функционалдық теңдеуі Н.И.Лобачевскиймен оның геометриясында қолданылды, ал hello_html_65e4670d.gif формуласы параллелдік бұрыш үшін келесідей теңдеуді шешу арқылы Лобачевский тапты.

hello_html_m3bcae903.gif

Бірқатар маңызды функционалдық теңдеулер норвегиялық математик Абельмен зерттелген еді, ол оларды дифференциалдық теңдеулерге алмастырды.

Әсіресе, функционалдық теңдеулер теориясында айырмашылықты теңдеулер ерекше орынға ие. Қолданбалы математиканың көптеген есептерін шешуге байланысты олардың ролі ерекше.





hello_html_968a3c2.gif

Пайдаланылған әдебиеттер:

  1. Л.М.Лихтарников «Элементарное введение в функциональные уравнения» Лань, 1997ж.

  2. Н.Темірғалиев «Математикалық анализ» І-ІІ бөлімдері,Алматы «Ана тілі»,1991ж.

Краткое описание документа:

Функционалдық теңдеулерді шешу  математикалық анализдің негізгі түсініктерін ғана үйренуді талап етеді, сондықтан олар барлық математикалық класс оқушыларының және математика факультетінің студенттерінін қызығушылығын  танытады.  Функционалдық теңдеулерді шешудің әдістерін қарастырмақ бұрын функционалды теңдеу ұғымынан бастайық.  Функционалды теңдеу деп белгісіз функцияның композиция операциясымен байланысқан функциясын атайды.  Функционалдық теңдеуге келесі  мысалды қарастыруға болады.Ең қарапайым жағдайларда функционалды теңдеуді шешу үшін  бір қатар қиын емес математикалық операцияларды орындау жеткілікті. Мысалы, келесі теңдеуді шешу үшін                      
Автор
Дата добавления 04.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров590
Номер материала 59103040414
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх