Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Основы Логики
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Основы Логики

библиотека
материалов
Основы логики Понятие логики История логики Логика по Аристотелю Высказывания...
Понятие логики Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающег...
История логики Основоположником логики считают Аристотеля, жившего в 384 – 32...
Логика по Аристотелю Аристотель рассматривал 4 вида суждений: Общеутвердитель...
Высказывания и операции над ними В алгебре логики как и в обычной алгебре вво...
Дизъюнкция (лат. disjunctio – различаю), или логическое сложение; - соответст...
Основные закономерности логики Х  Х  Х	Х  1  Х	Х  0  0 Х  Х  Х	Х  1...
Таблицы истинности Сложные высказывания строятся из простых высказываний при...
Дополнение 2. Рассмотрим на приме заполнения другой таблицы истинности. Под ф...
Упражнения Рассмотрите следующие высказывания: A = {Река Днепр впадает в Черн...
Аристотель Родом Аристотель был из города Стагира на фракийском побережье пол...
Готфрид Вильгельм Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в г. Лейпциге (Са...
Джордж Буль Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца...
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Основы логики Понятие логики История логики Логика по Аристотелю Высказывания
Описание слайда:

Основы логики Понятие логики История логики Логика по Аристотелю Высказывания и операции над ними Основные закономерности логики Таблицы истинности Упражнения Выход

№ слайда 2 Понятие логики Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающег
Описание слайда:

Понятие логики Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон». Логика – наука, изучающая законы и формы мышления. В логике мышление рассматривается как инструмент познания окружающего мира. В ЭВМ информация подвергается не только арифметической, но и логической обработке. Основу работы логических схем и устройств ЭВМ составляет специальный математический аппарат – раздел математической логики, называемой алгеброй логики. Математическая логика сегодня – раздел математики, логика, развиваемая математическими методами, играющая важную роль в вопросах обоснования математических теорий и нашедшая многочисленные приложения в вопросах конструирования и применения вычислительных машин.

№ слайда 3 История логики Основоположником логики считают Аристотеля, жившего в 384 – 32
Описание слайда:

История логики Основоположником логики считают Аристотеля, жившего в 384 – 322 гг. до н.э. В своих книгах (« Категории», «Первая аналитика», « Вторая аналитика» и др.) Аристотель подверг анализу человеческое мышление и его формы: понятие, суждение, умозаключение. В определении Аристотеля логика представляет собой науку о выводе одних умозаключений их других сообразно их логической форме. В соответствии с этим логику Аристотеля называют формальной. (см. раздел «Логика по Аристотелю») В XVII в. появились первые идеи о «математизации» логики. Так французский философ и математик Рене Декарт (1596 –1650) считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований. Таким образом, он рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы. Лейбниц предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Так зарождалась математическая, или символическая, логика. В то время другие ученые заметили, что выводы согласно определенным схемам напоминают математические выкладки при нахождении систем уравнений и неравенств. Особенно на этой стороне логических выводов настаивал великий немецкий философ и математик Готфрид Вилтьгельм Лейбниц (1646 – 1716), предложивший детальную программу логических исследований методами математики. Он писал: «Никто не должен бояться, что наблюдение над знаками уведет нас от вещей6 напротив, оно приведет нас к сути вещей». Логические изыскания Лейбница, существенно опередившие эпоху, оставались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были найдены в архиве и опубликованы французским математиком Луи Кутюра. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики. Отцом математической логики по праву считаетяс замечательный английский математик XIX столетия Джордж Буль (1815 – 1864), именем которого назван раздел математической логики – булева алгебра. Знаменитые труды Д.Буля по началам математической логики – «Математическй анализ логики», «Исчисление логики» и «Исследование законов логики» - появились в конце 40-х начале 50-х гг. в них отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе. Который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования. Так и к логическому выводу и к теоретико-вероятностным рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры».аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней. В своих трудах Аристотель впервые обосновал один из важнейших разделов логики – учение о суждениях и силлогизмах. Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли Аугустус де Морган (1806 – 1871), Уильям Стенли Джевонс (1835 – 1882), Платон Сергеевич Порейкий (1846 – 1907), Чарльз Сандерс Пирс (1839 – 1914) и др.

№ слайда 4 Логика по Аристотелю Аристотель рассматривал 4 вида суждений: Общеутвердитель
Описание слайда:

Логика по Аристотелю Аристотель рассматривал 4 вида суждений: Общеутвердительные – «Все S суть P». Например, «Все рыбы – животные», «Все квадраты – прямоугольники» Общеотрицательные – «Никакое S не есть P» Например, «Никакие рыбы не являются птицами», «Никакие прямоугольники не являются квадратами». Частноутвердительные – «Некоторые S суть P». Например, «Некоторые прямоугольники – квадраты», «Некоторые люди – испанцы» Частноотрицательные – « Некоторые S не суть P» Например, «Некоторые грибы не съедобны», «Некоторые треугольники не равнобедренны». Аристотелевские силлогизмы преставляют собой схемы логическихвыводов, состоящих из трех суждений одного из четырех перечисленных выводов: два первых суждения – посылки, третье – заключение. Вот простой пример: «Все птицы – животные», «Все воробьи – птицы», следовательно, «Все воробьи – животные». Один Житель острова Крит сказал: «все критяне лжецы». Но ведь он сам критянин и, значит, лжец. Следовательно он сказал неправду. Выходит, все критяне правдивы. Но тогда и он правдив и, соответственно, сказал правду. А если он сказал правду, то получается, что все критяне все-таки лжецы.Значит, и он лжец и поэтому сказал неправду. Поэтому все критяне правдивы. И он правдив, но все критяне лжецы. Тогда и он лжец … Как же выбраться из заколдованного круга? Такие рассуждения, приводящие к явно нелепым выводам, называются софизмами. Знание логики позволяет достаточно быстро раскрыть любой софизм, показать, где неправильно мы рассуждали, где применили неправильный прием умозаключения. Этот софизм мы раскроем дальше, после изучения основных логических операций. Силлогистика по Аристотелю зачастую называется просто традиционной, формальной логикой, в отличие от современной формальной логики, возникшей в XVII в. и базирующейся на математических методах. В силлогистике говорится о том, какие приемы рассуждения позволяют делать правильные умозаключения, а какие приводят к ложным выводам и поэтому недопустимы. Приведем один шуточный пример, известный из глубокой древности, показывающий, что приемы логического мышления не столь просты, как это может показаться на первый взгляд.

№ слайда 5 Высказывания и операции над ними В алгебре логики как и в обычной алгебре вво
Описание слайда:

Высказывания и операции над ними В алгебре логики как и в обычной алгебре вводится ряд операций: Коньюкция (лат.conjuctio – связываю), или логическое умножение; - соответсвует союзу и; - обозначается символом & или ∧ Высказывание А &В истинно в том и только том случае, когда одновременно истинны высказывания А и В. Рассмотрим пример: Пусть А = {Учебник лежит на черном столе), В = {Черный стол находится в кабинете №13} А & В = {Учебник лежит на черном столе и черный стол находится в кабинете №13} Введем обозначения для значений истина – 1, ложь – 0 и составим таблицу истинности: Из таблицы видно, что если А=1 и В=1, то А & В = 1 Высказывание – это любое предложение какого-либо языка (утверждение,)содержание которого можно определить как истинное или ложное. Примеры высказываний: Город Вашингтон – столица США (истинное высказывание) Число 2 является делителемчисла 7 (ложное высказывание) 3 + 5 = 2 · 4 (истинное высказывание) 2 + 6 > 10 (ложное высказывание) II +VI > VII (ложное высказывание) Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8 (ложное высказывание) Высказывания, приведенные выше, являются простыми (элементарными). Простые высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами: А = {Квадрат – это ромб}, В = {Волга впадает в Черное море} Элементарные высказывания являются кирпичиками, из которых с помощью логических операций строятся сложные высказывания. Сложные высказывания иногда называют формулами логики высказываний. Примеры сложных высказываний: Число 6 четно или число 8 нечетно; Число 6 четно и число 8 нечетно; Таблетки от кашля «Кашлин» разрешены Минздравом РФ или капли от насморка «Мойнос» разрешены Минздравом РФ. А В А & В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

№ слайда 6 Дизъюнкция (лат. disjunctio – различаю), или логическое сложение; - соответст
Описание слайда:

Дизъюнкция (лат. disjunctio – различаю), или логическое сложение; - соответствует союзу или; - обозначается символом ∨; Высказывание А∨ В ложно в том и только том случае, когда одновременно ложны высказывания А и В. Рассмотрим пример: Пусть А = {Иванов учится на «5»), В = {Иванов учится на «5»} А ∨ В={Иванов учится на «5» или Иванов учится на «5»} Введем обозначения для значений истина – 1, ложь – 0.и составим таблицу истинности: Из таблицы видно, что если А=0 и В=0, то А ∨ В = 0 Инверсия (лат. inversio – переворачиваю), или отрицание; - соответствует союзу не; - обозначается символом ¬ или Ā; Высказывание ¬ А истинно, когда А ложно,и ложно тогда, когда А истинно. Рассмотрим пример: Пусть А = {Число 5 является делителем числа 30) Составим таблицу истинности: Из таблицы видно, что если А=1, то Ā=0, а при А=0 Ā=1 Импликация, или условное высказывание; - соответствует выражениям если …, то…; когда…, тогда…; коль скоро…, то… и т.д. - обозначается символом  или ; Пример, А={Выглянет солнце}, В={Станет тепло} АВ={Если выглянет солнце, то станет тепло} Составим таблицу истинности: Эквивалентность, или тождественность; - соответствует выражениям: тогда и тольто тогда, когда; если и только если…; - обозначается символом  или  ; Пример, А={Людоед голоден}, В={Людоед давно не ел} АВ={Людоед голоден тогда и только тогда, когда людоед давно не ел} Составим таблицу истинности: А В А ∨ В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А Ā 0 1 1 0 А В А  В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 А В А  В 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

№ слайда 7 Основные закономерности логики Х  Х  Х	Х  1  Х	Х  0  0 Х  Х  Х	Х  1
Описание слайда:

Основные закономерности логики Х  Х  Х Х  1  Х Х  0  0 Х  Х  Х Х  1  1 Х  0  Х Формулы поглощения Х  Y  X  Y Х  Y  Y  Х Х  (Y  Z)  Х  Y  Х  Z (Х  Y)  Z  Х  ( Y  Z) (Х  Y)  Z  Х  ( Y Z) Х  (Y  Z)  (Х  Y)  (Х  Z) Основные равносильности алгебры логики  (X  Y)   X   Y 1-й закон Маргана  (X  Y)   X   Y 2-й закон Маргана X   X  0 закон противостояния X   X  1 закон исключения третьего   X  X закон двойного отрицания Приоритет логических операций: , , , , 

№ слайда 8 Таблицы истинности Сложные высказывания строятся из простых высказываний при
Описание слайда:

Таблицы истинности Сложные высказывания строятся из простых высказываний при помощи логических операций (см. раздел «Высказывания и операции над ними»). Всякое логическое высказывание принимает либо истинное значение (1), либо ложное (0) в зависимости от значений простых высказываний, из которых оно построено. Для определения значений сложного логического выражения удобно строить таблицу истинности. Таблица истинности – таблица, показывающая какие значения принимает высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений, входящих в него простых высказываний Пример. Для формулы C  (A  Ā  Ē) построить таблицу истинности. Дополнение 1. Наборы входных переменных во избежание ошибок иногда рекомендуют перечислять следующим образом: Определить количество наборов входных переменных; Разделит колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю – 1. Разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0. Продолжить деление колонок значений последующих переменных на 8 16 и т..д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа. C A E Ā Ē Ā  Ē A  Ā  Ē C  (A  Ā  Ē) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1

№ слайда 9 Дополнение 2. Рассмотрим на приме заполнения другой таблицы истинности. Под ф
Описание слайда:

Дополнение 2. Рассмотрим на приме заполнения другой таблицы истинности. Под формулой (Х1  Х2)  ( Х1 Х2) подпишем столбцы возможных значений под каждой из переменных (Х1 и Х2); последовательно (по приоритету операций) выпишем столбцы значений операций. исходные значения результат Дополнение 3. Можно писать  Х1 Х2 вместо Х1  Х2;  Х1 Х2 вместо Х1 Х2 . Тогда приведенную формулу можно записать следующим образом:   Х1 Х2   Х1 Х2. (Х1  Х2)  ( Х1  Х2) 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

№ слайда 10 Упражнения Рассмотрите следующие высказывания: A = {Река Днепр впадает в Черн
Описание слайда:

Упражнения Рассмотрите следующие высказывания: A = {Река Днепр впадает в Черное море} B = {45 – простое число} C = {Вена – столица Австрии} D = {0 – натуральное число} Определите какие из истинные, а какие ложные По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим высказывания: Pk = {мишень поражена k-ым выстрелом}, где k = 1, 2, 3. Что означают следующие высказывания: а) P1  P2  P3 б) P1  P2  P3 в)  (P1  P2  P3 ) Найдите значения выражений: а) (1  1)  (1  0); е) ((1  1)  (1  1))  (0  1); б) ((1  0)  1)  1; ж) ((1  А)  (В  0))  1; в) (А  1)  (В  0); з) ((1  1)  0)  (0  1); г) (0  1)  1; и) ((0  0)  1)  (1  1); д) 1  (1  0) 1; к) ((1  0)  1)  (1  0); Даны три числа в различных системах счисления: Р = 2310, В = 238, С = 1А16. Переведите Р, В и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (Р  В)  С. Ответ дайте в десятичной системе счисления. Поразрядное отрицание восьмиразрядного двоичного числа, записанное в двоичной системе счисления, равно 217. Определить исходное число в десятичной системе счисления. Определите логическое произведение и логическую сумму всех двоичных чисел в диапазоне от 1610 до 2210, включая границы. Ответ запишите в восьмеричной системе счисления. Составьте таблицы истинности для следующих формул логики высказываний: а) А  (А  В  С) в)  (А  В)  (А  С) б) (А  В)  (А  В) г) ((С  В)  В)  (А  В)  В

№ слайда 11 Аристотель Родом Аристотель был из города Стагира на фракийском побережье пол
Описание слайда:

Аристотель Родом Аристотель был из города Стагира на фракийском побережье полуострова Халькидика. Его отец был врачом и другом македонского царя Аминта II. Аристотель рос и учился вместе с сыном Аминта — будущим царем Филиппом II Македонским, и на протяжении всей жизни ею судьба была тесно связана с македонским царским до­мом. В возрасте 18 лет Аристотель отправился в Афины к великому мыслителю Платону и провел в его школе около 20 лет. Он был самым способным из учеников Платона, глубоко усвоившим его знания и идеи, но далеко не всегда согласным со своим учителем. В 343 г. до н.э. царь Филипп приглашает Аристотеля стать наставником своего сына Александра. Когда через несколько лет Александр сам становится царем, знаменитым Александром Македонским, Аристотель возвращается в Афины и собирает вокруг себя учащуюся молодежь, которой читает курсы различных наук. В 323 г. до н.э. умер Александр Македонский и в Афинах победила антимакедонская партия. Аристотель, как друг и учитель Александра, вынужден был покинуть Афины. Год cпустя он умер на острове Евбея.

№ слайда 12 Готфрид Вильгельм Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в г. Лейпциге (Са
Описание слайда:

Готфрид Вильгельм Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в г. Лейпциге (Саксония); его отец был профессором этики, а дед — профессором права Лейпцигского университета. В 1661 г. Лейбниц становится студентом и изучает философию, юриспруденцию и математику в университетах Лейпцига, Вены и Альтдорфа. В 1666 году он защищает сразу две диссертации на звание доцента — по юриспруденции и математике. Затем Лейбниц служит при дворах немецких князей в качестве юриста, находится на диплома­тической службе. С 1676 г. и до самой смерти Лейбниц состоял советни­ком, и библиотекарем при дворе ганноверского герцога. На протяжении этих 40 лет Лейбниц вел научные исследования, публиковал научные труды, поддерживал переписку со всеми ведущими учеными эпохи. Лейбниц был универсальным ученым, внесшим существенный вклад в философию, юриспруденцию, историю, физику и математику. Он является одним, из создателей дифференциального и интегрального исчисления, комбинаторики, теории определителей. Значительна и научно-организаторская деятельность Лейбница — он был одним из основателей Прусской Академии наук в Берлине.

№ слайда 13 Джордж Буль Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца
Описание слайда:

Джордж Буль Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца. Материальное положение его родителей было тяжелым, поэтому Джордж смог окончить только начальную школу для детей бедняков; в других учебных заведениях он не учился. Этим, может быть, отчасти и объясняетется, что, не связанный традицией, он пошел в науке собственным путем. Буль самостоятельно изучил латынь, древнегреческий, немецкий и французский языки, изучил философские трактаты. С ранних лет Буль искал работу, оставляющую возможности для самообразования. После многих неудачных попыток Булю удалось открыть маленькую начальную школу, в ко­торой он преподавал сам. Школьные учебники по математике привели его в ужас своей нестрогостью и нелогичностью, Буль вынужден был обратиться к сочинениям классиков науки и самостоятельно проштудировать обширные труды Лапласа и Лагранжа. В связи с этими занятиями у него появились первые самостоятельные идеи. Результаты своих исследований Буль сообщал в письмах профессорам математики (Д.Грегори, А. де Моргану) знаменитого Кембриджского университета и вскоре получил известность как оригинально мыслящий математик. В 1849 г. в г. Корк (Ирландия) открылось новое высшее учеб­ное заведение — Куинз колледж, по рекомендации коллег-математиков Буль получил, здесь профессуру, которую сохранил до своей смерти в 1864 г. Только здесь он получил возможность не только обеспечить старость родителей, но и спокойно, без мыслей о хлебе насущном, заниматься наукой. Здесь же он женился на дочери профессора греческого языка Мери Эверест, которая много помогала Булю в работе и оставила после его смерти интересные воспоминания о своем муже; она стала матерью четырех дочерей Буля, одна из которых, Этель Лилиан Буль, в замужестве Войнич, — автор популярного в нашей стране романа "Овод".

Краткое описание документа:

Логика очень древняя наука. Ещё в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключения о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Например, уже в древности был известен закон исключения третьего. Его содержательная трактовка была такова: «Во время своих странствований Платон был в Египте ИЛИ не был Платон в Египте». В такой форме это или любое другое выражение будут правильны (тогда говорили: истинно). Ничего другого быть не может: Платон либо был, либо не был в Египте - третьего не дано.     Другой закон логики - закон непротиворечивости. Если сказать: «Во время своих странствий Платон был в Египте И не был Платон в Египте», то очевидно, любое высказывание, имеющее такую форму, всегда будет ложно. Если из теории следуют два противоречащих друг другу вывода, то такая теория безусловно неправильная (ложная) и должна быть отвергнута.     Ещё один закон, известный в древности - закон отрицания: «Если НЕ верно, что Платон НЕ был в Египте, то значит, Платон был в Египте».     Формальная логика основана на “высказываниях”. “Высказывание” - это основной элемент логики, определяемый как повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинное или ложное утверждение оно содержит. Логика – наука о законах и формах мышления Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0) Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций. Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — раздел философии, нормативная[1] наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания. Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.
Автор
Дата добавления 04.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров594
Номер материала 59491040422
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх