1493107
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 4720 руб.

268 курсов повышения квалификации от 1120 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Проект «Инфоурок» совместно с Министерством финансов РФ приглашает учителей и всех желающих к участию в Марафоне финансовой грамотности Все участники получат бесплатные документы Принять участие
Инфоурок Математика КонспектыМетоды решения алгебраических уравнений высших степеней

Методы решения алгебраических уравнений высших степеней

библиотека
материалов

Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.

Хабибуллина Альфия Якубовна,

учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177

города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,

кандидат педагогических наук.


Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида Pn(x)=0, где Pn(x) - многочлен степени n, т.е. Pn(x)= a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an a0hello_html_m6e01f260.gif.

Определение 2. Корень уравнения – числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.

Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.

I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением.

Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.

Замечание: вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.

Пути разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Квадратный трехчлен можно разложить на множители с помощью формулы ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где аhello_html_m590107be.gif0, х1 и х2 – корни квадратного трехчлена.

3. Использование формул сокращенного умножения :

аn – вn = (а - в)(аn-1 + Сn-2аn-2 в + Сn-3аn-3 в + …+ С1а вn-2n-1), nhello_html_46ccc088.gifN.

Выделение полного квадрата. Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.

4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).

5. Использование следствия теоремы Безу.

1)если уравнение а0хn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = 0 , a0hello_html_m590107be.gif0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х0 =hello_html_e199657.gif (где hello_html_e199657.gif - несократимая дробь, phello_html_3c4d3e36.gif qhello_html_m30c2459b.gif ), то p –делитель свободного члена an ,а q – делитель старшего коэффициента a0.

2)если х = х0 – корень уравнения Рn(х) = 0, то Рn(х) = 0 равносильно уравнению

(х – х0n-1(х)=0, где Рn-1(х) – многочлен, который можно найти при делении

Рn(х) на (х – х0) “уголком” или методом неопределенных коэффициентов.


II. Метод введения новой переменной (Подстановка)

Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем hello_html_m6fa8d146.gif. Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t1, t2, … Вернувшись в подстановку р(x)=t1, р(x)=t2 ,…, находим значения переменной х.

III Метод строгой монотонности.

Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)

Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.

IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)

Теорема Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)hello_html_1626f549.gifа, и g(x)hello_html_699f53cf.gifа, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе hello_html_7c2efe07.gif.

Следствие: Если на множестве Р hello_html_m60d05ad1.gif или hello_html_257ed196.gif, то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.

Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений

V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов

Рассмотрим уравнение a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an = 0

Теорема. Если x0 = hello_html_2873b11.gif - корень алгебраического уравнения степени n, аi – целые коэффициенты, то p – делитель свободного члена аn, а q – делитель старшего коэффициента a0 . При а0=1 x0=p (делитель свободного члена).

Следствие теоремы Безу: Если х0 – корень алгебраического уравнения, то Pn(x) делится на (x-x0) без остатка, т.е Pn(x)=(x-x0)Qn-1(x).

VI Метод неопределенных коэффициентов.

Он базируется на следующих утверждениях:

два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.

любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов

второй степени.

VII. Схема Горнера.

С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.

VIII . Метод производных.

Теорема. Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для hello_html_7ff29921.gif xhello_html_m289d78ff.gifR.

Tеорема. Если hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x) делятся на hello_html_m5bee7e97.gif, то hello_html_m1b11d87a.gif(x) делится на hello_html_50dab5e.gif.

Следствие: Если hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x) делятся на многочлен R(x) , то hello_html_m1b11d87a.gif(x) делится на hello_html_m3e3f497c.gif(x), а наибольший общий делитель многочленов hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x)hello_html_m53d4ecad.gifимеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена hello_html_m1b11d87a.gif(x) кратностью не менее 2.

IX. Симметрические, возвратные уравнения.

Определение. Уравнение a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an = 0 называется симметрическим, если hello_html_1a3e91d.gif

1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если hello_html_11b8405f.gif, тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на hello_html_m660b28cf.gif

hello_html_m3ca2d933.gif=0 hello_html_1c5ae8ed.gif+hello_html_m64f70f12.gif+hello_html_m2799dc25.gif+hello_html_m6e4de537.gif=0 Введем замену t=hello_html_m295d9800.gif и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.

2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда hello_html_2b8a2485.gif= -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на hello_html_66ee79f5.gif и получаем случай 1.

Определение. Возвратное уравнение 4 порядка – уравнение вида hello_html_70ae621f.gifhello_html_m6c0d0c0f.gif

hello_html_m55814e93.gifhello_html_611f2fd9.gifhello_html_m2d430f9.gifhello_html_78658c24.gifhello_html_670fdab1.gif, заметим hello_html_m45dca05f.gif, тогда

hello_html_m27570559.gif, hello_html_m451fe69c.gif. Используем подстановку hello_html_m6e495651.gif и решим уравнение hello_html_13f78af9.gif. Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется кососимметрическим, тогда подстановка hello_html_m2cbc83af.gif.

Теорема. Если hello_html_m61d71238.gif - корень симметрического уравнения (возвратного), тоhello_html_m1c560625.gif - тоже корень.

X. Однородные алгебраические уравнения.

Если Pn(x),Qm(x) – алгебраические многочлены, то уравнение вида aPn(x)+bQm(x)=0 - однородное уравнение I порядка, а aPn2(x)+bPn(x)Qm(x)+cQm2(x)=0 - однородное ур-е II порядка

Однородные алгебраические уравнения решаются делением на один из многочленов в степени, совпадающей с порядком уравнения, предварительно проверив, что многочлен отличен от нуля. При этом, происходит переход от двух данных функций к третьей.

XI. Функционально - графический метод.

Преобразуем алгебраическое уравнение Pn(x)=0 (где Pn(x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.


4


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Вашему вниманию предлагается статья «Методы решения алгебраических уравнений высших степеней». В ней кратко изложены основные определения , связанные с алгебраическими уравнениями степени вышу двух и приведен теоретический материал по основным способам решения таких уравнений.  Некоторое внимание уделено и симметрическим, а также, возвратным уравнениям, о которых учителя,порой, забывают. Было бы полезно рвссмотреть одно из уравнений степени выше двух и прорешать его  всем спектром предлагаемых методов.  
Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку


Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.