Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методы решения алгебраических уравнений высших степеней
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методы решения алгебраических уравнений высших степеней

библиотека
материалов

Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.

Хабибуллина Альфия Якубовна,

учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177

города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,

кандидат педагогических наук.


Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида Pn(x)=0, где Pn(x) - многочлен степени n, т.е. Pn(x)= a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an a0hello_html_m6e01f260.gif.

Определение 2. Корень уравнения – числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.

Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.

I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением.

Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.

Замечание: вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.

Пути разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Квадратный трехчлен можно разложить на множители с помощью формулы ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где аhello_html_m590107be.gif0, х1 и х2 – корни квадратного трехчлена.

3. Использование формул сокращенного умножения :

аn – вn = (а - в)(аn-1 + Сn-2аn-2 в + Сn-3аn-3 в + …+ С1а вn-2n-1), nhello_html_46ccc088.gifN.

Выделение полного квадрата. Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.

4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).

5. Использование следствия теоремы Безу.

1)если уравнение а0хn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = 0 , a0hello_html_m590107be.gif0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х0 =hello_html_e199657.gif (где hello_html_e199657.gif - несократимая дробь, phello_html_3c4d3e36.gif qhello_html_m30c2459b.gif ), то p –делитель свободного члена an ,а q – делитель старшего коэффициента a0.

2)если х = х0 – корень уравнения Рn(х) = 0, то Рn(х) = 0 равносильно уравнению

(х – х0n-1(х)=0, где Рn-1(х) – многочлен, который можно найти при делении

Рn(х) на (х – х0) “уголком” или методом неопределенных коэффициентов.


II. Метод введения новой переменной (Подстановка)

Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем hello_html_m6fa8d146.gif. Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t1, t2, … Вернувшись в подстановку р(x)=t1, р(x)=t2 ,…, находим значения переменной х.

III Метод строгой монотонности.

Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)

Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.

IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)

Теорема Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)hello_html_1626f549.gifа, и g(x)hello_html_699f53cf.gifа, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе hello_html_7c2efe07.gif.

Следствие: Если на множестве Р hello_html_m60d05ad1.gif или hello_html_257ed196.gif, то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.

Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений

V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов

Рассмотрим уравнение a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an = 0

Теорема. Если x0 = hello_html_2873b11.gif - корень алгебраического уравнения степени n, аi – целые коэффициенты, то p – делитель свободного члена аn, а q – делитель старшего коэффициента a0 . При а0=1 x0=p (делитель свободного члена).

Следствие теоремы Безу: Если х0 – корень алгебраического уравнения, то Pn(x) делится на (x-x0) без остатка, т.е Pn(x)=(x-x0)Qn-1(x).

VI Метод неопределенных коэффициентов.

Он базируется на следующих утверждениях:

два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.

любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов

второй степени.

VII. Схема Горнера.

С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.

VIII . Метод производных.

Теорема. Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для hello_html_7ff29921.gif xhello_html_m289d78ff.gifR.

Tеорема. Если hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x) делятся на hello_html_m5bee7e97.gif, то hello_html_m1b11d87a.gif(x) делится на hello_html_50dab5e.gif.

Следствие: Если hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x) делятся на многочлен R(x) , то hello_html_m1b11d87a.gif(x) делится на hello_html_m3e3f497c.gif(x), а наибольший общий делитель многочленов hello_html_m1b11d87a.gif(x) и hello_html_2016beda.gif(x)hello_html_m53d4ecad.gifимеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена hello_html_m1b11d87a.gif(x) кратностью не менее 2.

IX. Симметрические, возвратные уравнения.

Определение. Уравнение a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an = 0 называется симметрическим, если hello_html_1a3e91d.gif

1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если hello_html_11b8405f.gif, тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на hello_html_m660b28cf.gif

hello_html_m3ca2d933.gif=0 hello_html_1c5ae8ed.gif+hello_html_m64f70f12.gif+hello_html_m2799dc25.gif+hello_html_m6e4de537.gif=0 Введем замену t=hello_html_m295d9800.gif и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.

2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда hello_html_2b8a2485.gif= -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на hello_html_66ee79f5.gif и получаем случай 1.

Определение. Возвратное уравнение 4 порядка – уравнение вида hello_html_70ae621f.gifhello_html_m6c0d0c0f.gif

hello_html_m55814e93.gifhello_html_611f2fd9.gifhello_html_m2d430f9.gifhello_html_78658c24.gifhello_html_670fdab1.gif, заметим hello_html_m45dca05f.gif, тогда

hello_html_m27570559.gif, hello_html_m451fe69c.gif. Используем подстановку hello_html_m6e495651.gif и решим уравнение hello_html_13f78af9.gif. Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется кососимметрическим, тогда подстановка hello_html_m2cbc83af.gif.

Теорема. Если hello_html_m61d71238.gif - корень симметрического уравнения (возвратного), тоhello_html_m1c560625.gif - тоже корень.

X. Однородные алгебраические уравнения.

Если Pn(x),Qm(x) – алгебраические многочлены, то уравнение вида aPn(x)+bQm(x)=0 - однородное уравнение I порядка, а aPn2(x)+bPn(x)Qm(x)+cQm2(x)=0 - однородное ур-е II порядка

Однородные алгебраические уравнения решаются делением на один из многочленов в степени, совпадающей с порядком уравнения, предварительно проверив, что многочлен отличен от нуля. При этом, происходит переход от двух данных функций к третьей.

XI. Функционально - графический метод.

Преобразуем алгебраическое уравнение Pn(x)=0 (где Pn(x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.


4


Краткое описание документа:

Вашему вниманию предлагается статья «Методы решения алгебраических уравнений высших степеней». В ней кратко изложены основные определения , связанные с алгебраическими уравнениями степени вышу двух и приведен теоретический материал по основным способам решения таких уравнений.  Некоторое внимание уделено и симметрическим, а также, возвратным уравнениям, о которых учителя,порой, забывают. Было бы полезно рвссмотреть одно из уравнений степени выше двух и прорешать его  всем спектром предлагаемых методов.  
Автор
Дата добавления 05.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1140
Номер материала 60583040522
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх