Приёмы быстрого счёта

МОУ «Котикская средняя общеобразовательная школа»

 

 

 

 

 

 

 

Приёмы быстрого счёта

Область научных знаний: математика

Исследовательская работа

 

 

 

 

 

                                                  Авторы: Парахненко Кирилл,

                                                                   Дежнев Кирилл,

                                                                 Бушунов Иван

                                                                        ученики 5 класса

                                                                                      МОУ «Котикская СОШ»

                                                              Руководитель: Шилина И.Ю.,              

                                                                               учитель математики

                                                                       и информатики,

                                                                                   высшая кв. категория

 

 

 

село Котик

2014 г.

 

 

Оглавление

 

Введение……………………………………………………………………………………………..3

 

Глава 1. Общие приемы устного счета

1.1. Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий…………… 4

1.2. Использование распределительного свойства при умножении и делении…………………5

 

Глава 2. Специальные приемы устного счета

2.1. Умножение на 1,5……………………………………………………………………………….6

2.2. Умножение и деление на 4,8,…………………………………………………………………..6

2.3. Умножение и деление на 5, 25, 125…………………………………………………………....6

2.4. Умножение на 9, 99, 999,……………………………………………………………………….6

2.5. Умножение  на 11, 101, 1001,……………………………………………………………………7

2.6. Прием возведения в квадрат числа оканчивающегося на 5………………………………….7

2.7. Прием округления……………………………………………………………………………….7

2.8. Результат исследования…………………………………………………………………………8

2.9. Выводы по исследованию………………………………………………………………………8

 

Заключение……………………………………………………………………………………….....9

Список литературы………………………………………………………………………………...10

Приложение 1……………………………………………………………………………………....11

Приложение 2……………………………………………………………………………………....22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Счет, вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци

 

Введение

 

- Умеете ли Вы считать?

Конечно, каждый скажет: «Да!»

Это очень важное умение, так как вычислительные навыки являются фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. 

Но сегодня особо ценится умение не только правильно, но и быстро считать.

- Хорошо ли Вы считаете?

Об этом можно судить:

- по умению производить устные и письменные вычисления;

- по рациональной организации хода вычисления;

- по умению убеждаться в правильности полученных результатов.

А качество вычислительных умений определяется:

- знанием правил;

- знанием алгоритмов вычислений.

 

Проблема исследования: много ошибок при выполнении вычислений, сложности при устном счёте.

 

Цель работы: найти и освоить специальные приемы устного счета, не требующие уникальных способностей.

 

Гипотеза: предположим, что существуют специальные способы выполнения действий, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей, которые позволяют свести вычисления к устным. Главное – тренировка.

 

Задачи:

· найти в научной литературе специальные приёмы устного счёта;

· освоить приёмы, позволяющие выполнить действия с числами быстро (устно) и безошибочно;

· провести анкетирование в 5, 7 и 10 классах по проблеме исследования;

· создать буклет, в котором разместить информацию о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.

 

Научная новизна исследования: в нашей школе подобное исследование проводится впервые.

 

Практическая значимость:

Содержанием своей работы мы хотели бы ознакомить одноклассников с уникальными приемами быстрого счёта. Результаты данного исследования могут быть использованы учителями, родителями, учащимися.

 

Методы исследования:

·Анализ литературы по проблеме исследования.

·Практическое выполнение вычислений.

·Поиск информация в электронных источниках.

 

 

 

Трудно сказать, когда появились числа, и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления. Для счета использовали пальцы рук, ног, различные предметы.

Сначала люди научились складывать и вычитать, потом умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В  соответствующей литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником».

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые, например, Андре Ампер и Карл Гаусс (см. Приложение 1). А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом. Ранее на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счете. Иногда они устраивали между собой показательные соревнования, проводившиеся, в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, таких как Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме. На нем собираются лучшие феноменальные счётчики планеты.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие (см. Приложение 1).

Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета".

Научиться быстро считать не так уж сложно, необходимо владеть основными приемами быстрого счета.

Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все приемы можно объединить в две группы:

·         общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)

·         специальные (для конкретных чисел, частные случаи)

 

Глава 1. Общие приемы устного счета (см. Приложение 1)

 

1.1.Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

·         пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.

28=20+8 32=30+2

47=40+7 13=10+3

·         воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон)

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон)

·         выполняем сложение каждой группы

50+10+50+10

50+50+10+10 (переместительный закон)

100+10+10=120 выполняем сложение

           

1.2. Использование распределительного свойства при умножении и делении

В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Принятый у нас обычный способ умножения является наиболее удобным в младших классах.

Распределительное свойство умножения:

(а + b)· с = а · с + b · с

(а – b)· с = а · с – b · с

Примеры:

198 · 4=(200–2) ·4=200 ·4 – 2·4=800 – 8=792

91 · 8 = (90 + 1) · 8=90 ·8 + 1 · 8=720 + 8=728

69 · 27 + 31 · 27=(69 +31) · 27=100 · 27=2700

438 ·90–238·90=(438–238)·90=200 ·90=1800

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Специальные приемы устного счета

 

2.1. Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Примеры:

24 · 1,5 = 24 + 12 = 36

129 · 1,5 = 129 + 64,5 = 193,5

2.2. Умножение и деление на 4, 8, 16…

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

Пример:

213 · 4 = (213 · 2) · 2 = 426 · 2 = 852

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Пример:

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают.

Чтобы умножить число на 16 его четырежды удваивают и т.д.

При делении числа на 8 необходимо его трижды поделить на 2.

При делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить на 2.

Примеры:

 

2.3. Умножение и деление на 5, 25, 125

Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.

Пример:

24·5 = (20 + 4) · 5 = 20 · 5 + 4 · 5 = 120

Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.

Пример:

138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

56 · 5 = 58 : 2 · (5 · 2) = 29 · 10 = 290

(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)

При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.

Пример:

348 · 25 = 34800 : 4 = 8700

 Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.

Пример:

72 · 125=72 · 1000 : 8=72000 : 8=9000

 

2.4. Умножение на 9, 99,999, …

Множители 9, 99, 999 на единицу меньше круглых чисел 10, 100, 1000. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так: умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число).

Умножение числа на 99, 999 производится аналогично.

 

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

 

2.5. Умножение  на 11, 101, 1001,…

Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз это же число.

Примеры:

1) 87•11=87•10+87•1=870+87=957

2) 232•11=232•10+232•1=2320+232=2552

Это общий приём умножения на 11.

Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом: достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2).

Примеры:

1) 54х11=594, (5+4=9)

2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8).

Этот приём основан на умножении столбиком на 11:

78•11=858

 

2.6. Прием возведения в квадрат числа оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число его десятков на число десятков, увеличенное на 1, и к полученному числу приписывают 25.

Примеры:

 

           

           

 

 

2.7. Прием округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)

399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872

2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)

3) 72–15=((72–2) – 15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить)

4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.)

93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71

Существуют и другие приемы быстрого счета (см. Приложение 1).

 

2.8. Результаты исследования

Изучив литературу о специальных способах выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным, освоив их на практике, мы пришли к тому, что за короткое время можно научиться быстро считать, не допускать ошибок при выполнении вычислений, не испытывать сложности при устном счёте. Свои исследования оформили:

-           в форме буклета (как информацию о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта);

-           результаты исследований представлены на диаграмме.

Анализ диаграммы: Большинство учащихся считают быстро  и правильно плохо. Приемов рациональных вычислений в учебнике практически нет. «Зачем загружать себя навыками устного счета, если есть калькулятор», - отвечали учащиеся.

 

2.9. Выводы по исследованию:

Подводя итог исследования, можно сказать, что:

ü  существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют считать быстро и безошибочно;

ü  знание и использование таких приемов позволит существенно увеличить скорость и качество счета, добиться успехов в изучении не только математики, но и других школьных предметов;

ü  специальные приемы устного счета не требуют уникальных способностей,  и рассчитаны на ум «обычного» человека;

ü  главное –  тренировка.

 

 

 

 

 

Заключение

 

Считаем, что проведенная нами работа интересна и познавательна. Множество материала по данной теме свидетельствует о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами. Мы ближе познакомились со специальными приёмами, позволяющими выполнить действия с числами быстро (устно) и безошибочно.

Целью нашей работы стало изучение и освоение приёмов устного счета, не требующих уникальных способностей. В процессе выполнения работы: ответили на вопрос как человек научился считать, узнали историю создания целой системы повышения быстроты счета, убедились, что научиться быстро считать не так уж сложно, необходимо владеть основными приемами быстрого счета, главное - тренировка.

Так как вычислительные навыки являются фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, мы продолжаем исследование  по изучению и освоению новых специальных приемов быстрого счета.

«Счет, вычисления – основа порядка в голове», - считал Песталоцци, и подтверждением этому служит наша работа. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

 

Книги: 

Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.

Вроблевский. Как научится легко и быстро считать. - М.-1932.-132с.

Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М., Учпедгиз, 1948.

Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150с.

Мартель Ф. Приемы быстрого счёта. - Пб. −1913. −34с.

Перельман Я. И. Быстрый счёт. 30 простых приёмов устного счёта. Л.: Союзпечать, 1945.

Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.

 

Электронные источники:

http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

Общие приемы устного счета

1.      Разложение каждого слагаемого на разряды

·         673 + 243 = 673 + 200 + 40 + 3 = 916

·         864 - 243 = (864 - 200) - 40 - 3 = 621

 

2.      Использование переместительного и сочетательного свойства сложения и вычитания

·         (457 + 705) +295 = 457 + (705 + 295) =  457 + 1000 = 1457

·         (237 + 118) – 37 = (237 – 37) + 118 = 200 + 118 = 318

·         729 – (513 + 129) = (729 – 129) - 513 = 600 – 513 = 87

 

3.      Распределительное свойство умножения

(а + b)· с = а · с + b · с

(а – b)· с = а · с – b · с

Используйте при устном счете

·          (80 + 240) : 8 = 80 : 8 + 240 : 8 =10 + 30= 40

·         405 :27+135 :27=(405+135) : 27=540 :27=20

 

Специальные приемы устного счета

 

Из брошюры «Быстрый счет» (составитель Перельман)

§ 1.

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7+4*7=210+28=238

17*6=40*6+7*6=240+42=282

§ 2.

Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	33	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	39	57	76	95	114	133	152	171

 

Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176

§ 3.

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350

Умножение на двузначное число

§ 4

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:

6*28=28*6=120+48=168

§ 5.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656

(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:

45*14 =90*7=630

Умножение на 4 и на 8

§ 7.

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

§ 8.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.

Деление на 4 и на 8

§ 9.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

§ 10.

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

Умножение на 5 и на 25

§ 11.

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74X5 = 74/2*10=370

 

§ 12.

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72*25=72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют

при остатке: к частному

1 25

2 50

3 75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75

Умножение на 1¹/₂, на 1 ^1/₄, на 2¹/₂, на ³/₄

§ 13.

Чтобы устно умножить число на 1¹/₂ прибавляют к множимому его половину. Например:

34*1¹/₂ = 34 + 17=51

23*1¹/₂=23 + 11¹/₂ = 34¹/₂ (или 34,5)

§ 14.

Чтобы устно умножить число на 1¹/₄ Прибавляют к множимому его четверть. Например:

48*1¹/₄ =48 +12=60

58*1¹/₄ = 58+14 ¹/₂=72¹/₂ или 72,5

§ 15

Чтобы устно умножить число на 2¹/₂. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*2¹/₂.=36+9= 45;

39*2¹/₂.= 78 + 19'¹/₂.= 97¹/₂ (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*2¹/₂ = 90:2 = 45

§ 16.

Чтобы устно умножить число на ³/₄ (т. е. чтобы найти ³/₄ этого числа), умножают число на 1¹_/2 и делит пополам. Например:

30 * ³/₄ = (30+15)/2= 22¹/₂ (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1¹/₂, (потому что 10*1¹/₂ =15) Например:

18*15=18*1¹/₂*10=270

45*15=450+225=675

§ 18.

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1¹_/4 (потому что 100*1¹_/4⁼125). Например:

26*125 = 26*100*1¹_/4 = 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*1¹_/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

§ 19.

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на ³/₄ (потому что 100*³/₄=75). Например:

18*75= 18*100*³/₄ =1800* ³/₄ =(1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

§ 20.

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

§ 21

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

Деление на 5, на 1¹_/2,на 15

§ 22

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

§ 23

Чтобы устно разделить число на 1¹_/2 делят удвоенное число на 3. Например:

36:1¹_/2=72:3=24

53:1¹_/2=106:3=35¹/₃

§ 24.

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=30²⁴/₃₀=30⁴/₅=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Возвышение в квадрат

$ 25.

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25²; 2*3=6; 625

45²; 4*5= 20; 2025

145²; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5)² = 100х²+100х+25=100х(х+1)+25

§ 26.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5² = 72,25

14,5²⁼210,25

0,35² = 0,1225_f и т. п.

§ 27.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )² =72 ¼

(14½)² = 210 ¼ и т п.

§ 28.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)² = a² +b²+- 2ab.

Например: 41²⁼40² +1+2*40= 1601+80= 1681

69²=70²+1-2*70=4901-140=4761

36² =(35+1)²=1225+1+ 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле

(а+b) (а-b) = а² — b²

§ 29.

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=50²-2²= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69X71=(70—1)*(70+1)=4899

33X27=(30+3)*(30—3)=891

53X57=(55—2)*(55+2)=3021

84X86=(85-1)*(85+1)=7224

§ 30.

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 _¾

11 ³/₄*12 ¹/₄= (12 - ¹/₄)*(12 +¹/₄) =143 ¹⁵/₁₆

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

 

 

 

 

 

 

Картинки:

 

Умножение на 9

Умножение на 11

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                           

 

 

Умножение двухзначных чисел

 

 

   

          

 

 

 

 

 

 

 

Фотографии

 Ампер Андре   Карл Гаусс

Георгий Берман и его книга «Приёмы счета»

  Яков Перельман и его книга «Быстрый счёт»             

 

 

 

                                      

    Яков Трахтенберг и его книга «Система быстрого счета по Трахтенбергу»

Приложение 2

Стихи об устном счете

УСТНЫЙ СЧЕТ

 

Ну-ка в сторону карандаши.

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица,

Потому что считаем в уме.

 

                                              Валентин Берестов

 

УСТНЫЙ  СЧЁТ 

Всё сложить со всем – совсем  не  просто;
В устном счёте важно чувство меры:
Взять из банки ложечку варенья –
Этого никто и не заметит.

Можно прыгнуть в лужу вслед за солнцем,
Ухватившись за длиннющий дождик,
Пробежать по ней, чтоб Петька видел
Радугу, летящую за мною.

Дождь с дождём сложить –  и выйдет ливень,
Радугу и лужу – выйдет насморк,
Как змея предательски ползущий.

Можно к насморку врача прибавить:
Выйдут Охи, Ахи и таблетки.

Но к таблетке следует конфетка,
Чай с малиной, кое-что из фруктов,
Обещанье мяч купить футбольный.

Насморк  плюс таблетка, плюс конфетка,
Телевизор плюс да минус школа –
Вот и праздник славный получился!

Если ж мяч сложить со мной и  Петькой,
То в итоге явятся Стекольщик,
Бабушка, скандал и валерьянка.

Ну, а кот зайдёт на запах пряный.
Не жалей, дай и ему глоточек:
Праздника и кошкам не хватает.

Очень Редко сложишь с Очень Редко –
Выйдут Ожиданье и Скучище.

Очень Часто с Очень Часто сложишь-
Будет Непрерывное  Мельканье.

Очень Много  с Очень-очень  Много –
Выйдет Ничего Себе, дружище!

Если же из Много вычтем Мало,
Вот тогда получится – Нормально!

                                                  Семен Бурда