Инфоурок / Математика / Конспекты / Сценарий урока по теме: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Сценарий урока по теме: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Открытый урок.ppt

библиотека
материалов
Пусть функции определены на некотором множестве Х. Тогда последовательность н...
x y
x y
Пусть функциональная последовательность		 определена на некотором множестве Е...
Последовательность 	 , сходящаяся в каждой точке 		, называется сходящейся на...
Пусть последовательность	 сходится на множестве Е, т.е. сходится в каждой то...
x y
x y – 3- – 1- 1
Рассмотрим последовательности с их предельными функциями:
Равномерная сходимость: (1) (2)
Для того чтобы последовательность функций 	 , определенных на множестве Е, сх...
Критерий Коши равномерной сходимости последовательности Для того чтобы послед...
Алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходим...
Т.к. на промежутке 	 - единственная точка максимума, то в ней достигается суп...
+ - 5.Следовательно, 0 Т.к. на промежутке 	 - единственная точка максимума, т...
19 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Пусть функции определены на некотором множестве Х. Тогда последовательность н
Описание слайда:

Пусть функции определены на некотором множестве Х. Тогда последовательность называется функциональной, а множество Х – областью определения функциональной последовательности.

№ слайда 3 x y
Описание слайда:

x y

№ слайда 4 x y
Описание слайда:

x y

№ слайда 5 Пусть функциональная последовательность		 определена на некотором множестве Е
Описание слайда:

Пусть функциональная последовательность определена на некотором множестве Е и пусть Если числовая последовательность сходится, то последовательность сходится в точке , т.е. Понятно, что а зависит от выбора точки и может быть поставлено в соответствие этой точке:

№ слайда 6 Последовательность 	 , сходящаяся в каждой точке 		, называется сходящейся на
Описание слайда:

Последовательность , сходящаяся в каждой точке , называется сходящейся на множестве Е. Область сходимости - множество всех точек, на которых сходится последовательность .

№ слайда 7 Пусть последовательность	 сходится на множестве Е, т.е. сходится в каждой то
Описание слайда:

Пусть последовательность сходится на множестве Е, т.е. сходится в каждой точке этого множества. Тогда, как отмечалось выше, каждой точке х ϵ Е можно поставить в соответствие значение предела числовой последовательности значений функций в данной точке. В этом случае на множестве Е будет определена функция , значение которой в любой точке равно пределу последовательности . Функцию называют предельной функцией последовательности на множестве Е и пишут: или

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 x y
Описание слайда:

x y

№ слайда 10 x y – 3- – 1- 1
Описание слайда:

x y – 3- – 1- 1

№ слайда 11 Рассмотрим последовательности с их предельными функциями:
Описание слайда:

Рассмотрим последовательности с их предельными функциями:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 Равномерная сходимость: (1) (2)
Описание слайда:

Равномерная сходимость: (1) (2)

№ слайда 15 Для того чтобы последовательность функций 	 , определенных на множестве Е, сх
Описание слайда:

Для того чтобы последовательность функций , определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этом множестве к функции , необходимо и достаточно, чтобы

№ слайда 16 Критерий Коши равномерной сходимости последовательности Для того чтобы послед
Описание слайда:

Критерий Коши равномерной сходимости последовательности Для того чтобы последовательность функций сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

№ слайда 17 Алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходим
Описание слайда:

Алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходимость 1.Найти предельную функцию 2.Ввести в рассмотрение функцию 3. Исследовать функцию на Е и найти наибольшее значение на Е (если наибольшего значения нет, то находим ). 4.Найти 5. Полученное значение сравнить с нулем и сделать вывод о сходимости функциональной последовательности.

№ слайда 18 Т.к. на промежутке 	 - единственная точка максимума, то в ней достигается суп
Описание слайда:

Т.к. на промежутке - единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R. + - 5. Следовательно, 0

№ слайда 19 + - 5.Следовательно, 0 Т.к. на промежутке 	 - единственная точка максимума, т
Описание слайда:

+ - 5.Следовательно, 0 Т.к. на промежутке - единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R.

Выбранный для просмотра документ Урок.docx

библиотека
материалов





Сценарий урока по теме:

«Функциональная последовательность. Равномерная сходимость

функциональной последовательности»

в курсе дисциплины «Математический анализ» у студентов высших учебных заведений

Автор: Лучинский Михаил Михайлович, учитель математики муниципального автономного общеобразовательного учреждения лицея № 4 (ТМОЛ)

г. Таганрог, Ростовская область































Цели урока:

образовательные: – отработка умений систематизировать, обобщать знания о последовательностях, закрепить и усовершенствовать накопленные знания;

воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога;

развивающие: - развитие зрительной памяти, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Тип урока: ознакомление с новым материалом, постановка новой учебной задачи.

Вид урока: комбинированный.

Оборудование:

-экран, мультимедийный проектор, компьютер;

-презентация;

-задания для самостоятельной работы.



Ход урока.

  1. Организационный момент, объявление целей урока ( 2 мин.)

Добрый день, ребята!

Сегодня на уроке мы познакомимся с новой темой «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», а так же обобщим знания о последовательностях, закрепим и усовершенствуем накопленные знания.

  1. Актуализация знаний студентов, постановка учебной задачи (25 мин.)

Слайд 2.

Аналогично числовым последовательностям, функциональные последовательности задаются формулой n-го члена, аналитическое выражение которого зависит от натурального аргумента п и непрерывного аргумента x, пробегающего некоторое множество. Рассмотрим примеры функциональных последовательностей.

Слайд 3.

На данном слайде представлена функциональная последовательность, заданная формулой n-го члена и своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,3 и 5 членов данной последовательности.

Слайд 4.

hello_html_2dc2faf4.png

На слайде, как и в предыдущем случае, мы видим функциональную последовательность, заданную формулой n-го члена со своей областью определения. На чертеже представлены графики 1,4 и 7 членов данной последовательности.

Теперь попытаемся ввести понятие о сходимости функциональной последовательности.

Пусть нам дана функциональная последовательность hello_html_77c011d5.gif с областью определения Е и точка hello_html_m4bc47043.gif Если мы рассмотрим данную последовательность в этой точке, то получим hello_html_2ebcf35.gif, а как называется полученный объект? (ответ- числовая последовательность). Ранее, когда мы говорили о числовой последовательности, какие важные понятия, связанные с ней, мы изучили? (ответ- понятие предела и понятие сходимости числовой последовательности) . Так давайте же разберемся, когда функциональная последовательность сходится? У кого какие предложения? ( предполагаемый ответ- функциональна последовательность hello_html_77c011d5.gif называется сходящейся в точке hello_html_m24b11c5a.gif, если соответствующая числовая последовательность значений функции hello_html_2ebcf35.gif сходится в данной точке).

Давайте посмотрим, действительно ли высказанное предположение верно?

Да, это так- слайд 5…..в конце слайда- к этому мы вернемся чуть позже.

А как же теперь определить сходимость функциональной последовательности на множестве? (ответ- если сходится в каждой точке множества)- слайд 6.

Теперь…слайд 7.

Как видно из данного определения, исследование функциональной последовательности на сходимость приводит к решению двух задач:

  1. Необходимо выяснить область сходимости последовательности;

  2. Найти предельную функцию, для которой область сходимости функциональной последовательности является областью определения.

  1. Совершенствование практических навыков (30 мин.)

А сейчас мы решим задачу на нахождение области сходимости функциональной последовательности и ее предельной функции: слайд 8.

При х>0 данная последовательность будет знакоположительной, а при х<0- знакопеременной, поэтому рассмотрим следующие случаи:

hello_html_m16fc5763.gif

Ребята, что собой представляет функция, стоящая в числителе, при hello_html_49b9fadb.gif? (ответ- бесконечно убывающая геометрическая геометрическая прогрессия), а в знаменателе?

Теперь рассмотрим примеры на нахождение предельной функции:

Слайд 9:

hello_html_me7aa566.png

Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 10 членов данной последовательности. Найдем предел…..

Кто мне подскажет, как находится данный предел? (ответ- произведение бесконечно малой на ограниченную, в пределе 0). Вы видите, что красным цветом выделен график предельной функции.

Слайд 10: Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 3 членов данной последовательности. Найдем предел…..

Как вычисляется данный предел? (ответ- заменяем на эквивалентную, в пределе 0). Как и в прошлом примере, красным цветом обозначен график предельной функции.

Рассмотрим последовательности с их предельными функциями- слайд 11.

Слайд 12:

hello_html_m1394aeb2.png

Посмотрите пожалуйста на данный слайд. На нем мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n-го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n. Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. Точки последовательных кривых с возрастанием n бесконечно приближаются к оси х, но в целом ни одна кривая не примыкает к этой оси.

Теперь рассмотрим вторую последовательность: слайд 13. Так же, как и на предыдущем слайде, мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n-го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n. Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. В данном случае кривые сразу на всем своем протяжении примыкают к оси х.

Чем отличается наблюдаемая вами картина в первом случае от второго случая? (ответ- во втором случае происходит прилипание графика к своей предельной функции, нежели в случае 1).

А сейчас давайте посмотрим, чем отличается обычная сходимость функциональной последовательности к своей предельной функции от равномерной? Есть ли у вас предложения? (ответ- номер не зависит от х).

Слайд 14.

Ребята, сейчас мы рассмотрим очень важный критерий- критерий равномерной сходимости последовательности функций, с помощью него мы будем исследовать все функциональные последовательности и выяснять, сходится ли функциональная последовательность к своей предельной функции или нет.

Слайд 15.

hello_html_360e535.png

Как и для числовых последовательностей, для функциональных так же существует критерий Коши сходимости последовательности: слайд 16. Мы им пользоваться не будем, поэтому я вам сообщаю его только для справки.

Мы уже сегодня много говорили с вами о функциональных последовательностях, об их сходимостях. Давайте же теперь запишем алгоритм, с помощью которого вы будете исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:

Слайд 17.

hello_html_2c4e742b.png

Вернемся теперь к ранее рассмотренным двум функциональным последовательностям и исследуем их на равномерную сходимость:

Слайд 18.

hello_html_m33440bb6.png

Слайд 19.

hello_html_m7a65db16.png

  1. Закрепление изученного материала (25 мин.)

Ребята, чтобы закрепить знания, которые вы получили сегодня на уроке, предлагаю вам выполнить самостоятельную работу в парах, она заключается в следующем: сейчас вы сядете за компьютеры, у каждой пары на экране есть по 2 видеофайла. Откройте их и посмотрите на движение графика функциональной последовательности, затем выдвиньте гипотезу о виде сходимости: равномерная либо неравномерная, запишите свои гипотезы на листик и сдайте мне. А теперь возьмите еще по листику и проведите аналитические рассуждения, и выясните, подтвердилась ваша гипотеза или нет. Работа на скорость. Работу пары, которая выполнит первой, мы обсудим.

  1. Подведение итогов урока (5 мин.)

Ребята, сегодня на уроке вы познакомились с новой темой: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», закрепили полученные ранее знания о последовательностях. Вы научились определять сходимость функциональной последовательности как в точке, так и на всем множестве, рассмотрели критерий равномерной сходимости функциональной последовательности и выполнили с помощью него самостоятельную работу. Надеюсь, что вам понравилась сегодняшняя лекция и в дальнейшем на практике вы с легкостью примените полученные знания. Спасибо за урок, до свидания!























Краткое описание документа:

В данной работе представлена разработка урока по дисциплине «Математический анализ» для студентов высших учебных заведений. Студентам, зачастую, очень не легко дается тема «Последовательность. Функциональная последовательность. Сходимость последовательности», именно поэтому к конспекту занятия прилагается презентация, которая поможет студентам увидеть в движении «функциональную сходимость». В работе разобрано достаточное количество примеров сходимостей последовательностей, как равномерных, так и неравномерных, чтобы студенты увидели отличие.

Общая информация

Номер материала: 63108040724

Похожие материалы