95332
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыТема: Производная сложной функции. Дифференциал функции.

Тема: Производная сложной функции. Дифференциал функции.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Тема: Производная сложной функции. Дифференциал функции.


Образовательная цель:

  • формирование понятий сложной функции, дифференциала функции;

  • формирование умений находить производную сложной функции, дифференциал функции;

  • отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции и дифференциала функции при решении примеров.

Воспитательная цель:

  • воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

  • формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

  • воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Развивающая цель:

  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы;

  • развивать наглядно-действенное творческое воображение;

  • развивать познавательный интерес.

Тип урока:

комбинированный

Вид урока:

смешанный

Межпредметные связи:

Физика, геометрия, спец. дисциплины

Оснащение урока:

Раздаточный материал, презентация к уроку


Структура занятия:


Организационный момент


Опрос, проверка домашнего задания


Изучение нового материала


Закрепление материала


Задание на дом


Подведение итогов




Ход урока:


I. Организационный момент: учет отсутствующих, постановка темы и цели урока, план работы на уроке.


“… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

Н.И. Лобачевский

Мы с вами уже говорили, производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. В частности вы будете использовать производную так же в ходе изучения дисциплины «Основы алгоритмизации и программирования» при составлении программ для работы с графикой. Продолжаем систематизировать и углублять ранее полученные знания и сегодня мы поговорим о сложной функции и ее производной. Кроме этого разберем практические применения дифференциала функции.

II. Опрос, проверка домашнего задания:

1) Проверка домашнего задания:

а) визуальная проверка наличия выполненной домашней работы;

б) ответы на возникшие вопросы в ходе выполнения домашней работы;

в) по окончанию урока выборочная проверка домашних работ на оценку в журнал.

2) Фронтальный опрос:

  1. Что называется производной функции в точке?

  2. Что такое дифференцирование?

  3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

  4. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

  5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

3) Устная работа (слайды)

Пример 1 Найти производную функции hello_html_m201f7120.gif.

Решение: hello_html_m141b3c65.gif.

Пример 2 Найти производную функции hello_html_m6ba75e8f.gif.

Решение: hello_html_m3196434a.gif.

Пример 3 Найти производную функции hello_html_45ef5b6a.gif.

Решение: hello_html_m616a5561.gif.


III. Изучение нового материала

1. Производная сложной функции (слайды)

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

  • Как называются такого рода функции?

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) ) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

yhello_html_7956927f.gifhello_html_m5f57bcc0.gif = f(u), где u = g(x).


Внешняя функция Внутренняя(промежуточная)

функция

При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

  • Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x0.

При этом

hello_html_m3750468f.gif

или

hello_html_m5efdb723.gif,

  • А теперь разберем это на примерах (слайды).

Вывод:

  1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

  2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

  3. Функцию читаем в обратном направлении порядку действий;

  4. Производную находим по ходу чтения функции.

- Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

- используют при дифференцировании дополненную таблицу производных (учебник И.И. Валуцэ, стр. 215)


2. Дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (*) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (**) следует равенство hello_html_m685f8628.gif.

Теперь производную можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

hello_html_m2947ab50.jpg

Пример1. Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x2-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х2-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2. Найти дифференциал функции

hello_html_3a714b54.jpg

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

hello_html_1bf43229.jpg

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

hello_html_m7a109585.jpg

Ответ: 0,5

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

1) Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

Пример 3. Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х3-2х+1)'•∆х=(3х2-2)•∆х.

hello_html_m43d33847.jpg

Ответ: 0,01

2) Для вычислений приближенных значений функций используется формула

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. (4)

Пример 4. Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х, т. е.

hello_html_47d3a0df.jpg

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

hello_html_3bbad584.jpg

Ответ: 0,810


IV. Закрепление материала

Работа у доски и в тетради

№ 7.19- 7.31 – производная сложной функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 213)

№ 7.110, 7.112, 7.115 – дифференциал функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

№ 7.120 (1), 7.123 (1), 7.124 (1), 7.125 (1) приближенные вычисления с помощью дифференциала (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

V. Задание на дом

Конспект, § 34 (учебник И.И. Валуцэ, стр. 211) №7.43, 7.49,7.50, 7.61, 7.74

§44 ( учебник И.И. Валуцэ, стр. 240) № 7.120 (2,3), 7.123 (3,4), 7.124 (2), 7.125 (2)

Подведение итогов: рефлексия; выставление оценок за урок






Краткое описание документа:
План-конспект урока по теме «Производная сложной функции. Дифференциал функции» раздела «Дифференциальное исчисление»  дисциплины Математика, 2 курс, техникум. Цель занятия рассмотреть понятие сложной функции, овладеть техникой дифференцирования сложной функции, применяя основные формулы и правила дифференцирования, использования дифференциала функции при приближенных вычислениях. Материал может быть полезен как учителю так и учащемуся. Для более успешного усвоения и наглядности по плану урока можно составить электронную презентацию.
Общая информация

Номер материала: 63711040804

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.