Краткое описание документа:
Презентация для урока математики на тему «Элементы математической логики». Работа подготовлена для круглого стола по дисциплине Теоретические Основы Начального Курса Математики(СОФ НИУ БелГУ).СОДЕРЖАНИЕ ПРЕЗЕНТАЦИИ. Вплоть
до начала XIX века формальная логика
практически не выходила за рамки
силлогических умозаключений. Однако,
начиная с работ Дж. Буля, можно говорить
о превращении ее в математическую
логику. Особенности математической
логики заключаются в ее математическом
аппарате, в преимущественном внимании
к умозаключениям, применяемым в самой
математике.
ВЫСКАЗЫВАНИЕ
Основным
объектом, изучаемым математической
логикой является высказывание. Высказыванием
называется повествовательное предложение,
о котором в данной ситуации можно
сказать, что оно истинно или ложно, но
не то и другое одновременно. Приведем
примеры высказываний.
Пример
1. Волга впадает в Каспийское море.
Пример
2. Два больше трех. Первое высказывание
является истинным, а второе - ложным.
Таким
образом, высказывание обладает свойством
представлять истину или ложь, поэтому
на высказывание можно смотреть как на
величину, которая может принимать только
одно из двух значений: «истина», «ложь».
В
математической логике для образования
составных высказываний используются
следующие основные грамматические
связки: «не», «и», «или», «если.., то»,
«тогда и только тогда». Построение из
данных простых высказываний нового
составного высказывания называется
логической операцией над высказываниями.
Действия над высказываниями с применением
логических операций называют алгеброй
высказываний.
В
алгебре высказываний все высказывания
рассматриваются только с точки зрения
их логического значения, а от содержания
их отвлекаются. Считается, что каждое
высказывание либо истинно, либо ложно
и что ни одно высказывание не может быть
одновременно истинным и ложным.
Высказывание
обозначаются прописными латинскими
буквами A, B, C,….подобно тому, как в
алгебре числа обозначаются буквами a,
b, c… Основные логические операции над
высказываниями называются
Отрицание
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквивалентность
Отрицанием
высказывания Х называется высказывание
Х,
которое истинно, когда Х ложно, и ложно,
когда Х истинно. Таблица истинности
для отрицания.
Конъюнкцией
двух высказываний Х и Y называется
высказывание, которое истинно только
в том случае, когда Х и Y оба истинны.
Таблица истинности
для конъюнкции.
Дизъюнкцией
двух высказываний Х и Y называется
высказывание, которое истинно, когда
хотя бы одно из них истинно. Таблица истинности
дизъюнкции.
Эквивалентностью
высказываний Х и Y называется высказывание,
которое истинно тогда и только тогда,
когда Х и Y оба истинны или ложны. Таблица истинности
для эквивалентности.
ПРЕДИКАТ
Предикат
— один из элементов логики первого и
высших порядков. Начиная с логики второго
порядка, в формулах можно ставить
кванторы по предикатам. Предикат
называют тождественно-истинным и пишут:
если
на любом наборе аргументов он принимает
значение 1.
Предикат
называют тождественно-ложным и пишут:
если
на любом наборе аргументов он принимает
значение 0.
Предикат
называют выполнимым, если хотя бы на
одном наборе аргументов он принимает
значение 1. Так
как предикаты принимают только два
значения, то к ним применимы все операции,
например: отрицание, импликация,
конъюнкция, дизъюнкция и т.д.
ПРИМЕР
ПРЕДИКАТОВ Обозначим предикатом
EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где x
и y принадлежат R (множеству вещественных
чисел). В этом случае предикат EQ будет
принимать истинное значение для всех
равных x и y. Более житейским примером
может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y,
z) для отношения «x проживает в городе y
на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y»,
где множество
M — это множество всех
людей. Предикат — это то, что
утверждается или отрицается о субъекте
суждения.
РАССУЖДЕНИЕ
Рассуждение
— сопоставление мыслей, связывание их
для соответствующих выводов, логическое
мышления.
ПРАВИЛА
ПОСТРОЕНИЯ РАССУЖДЕНИЙ
Понятие
— отображённое в мышлении единство
существенных свойств, связей и отношений
предметов или явлений.
Суждение
— форма мышления, в которой что-либо
утверждается или отрицается о предмете,
его свойствах или отношениях между
предметами. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ:
Дедукция
(лат. deductio — выведение) — метод мышления,
при котором частное положение логическим
путём выводится из общего, вывод по
правилам логики. Индукция
(лат. inductio — наведение) — процесс
логического вывода на основе перехода
от частного положения к общему.
