Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры в 10 классе «Производная и её применение»

Урок алгебры в 10 классе «Производная и её применение»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ А - 10, Производная и её применение ЗАЧЁТ.ppt

библиотека
материалов
Урок алгебры в 10 классе Учитель: Козак Т. И., учитель математики высшей кате...
Цель: закрепление знаний учащихся о производной и её приложении к исследовани...
«Математик должен быть поэтом в душе» В данной функции от х, Наречённой игрек...
Математический диктант Запишите определение производной с помощью математичес...
«Задачи-картинки» Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точ...
Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке В? 1) f ′ (x) =...
Назовите промежутки убывания функции у = f(x). 1) 0 < x  2. «Задачи-картинки»
Назовите промежутки, на которых производная функции у = f(x) положительна. 1)...
Назовите точки, в которых производная функции у = f(x) равна нулю. 1) 1/3 ; 1...
Назовите промежутки возрастания функции у = f(x), если график её производной...
«Верно, неверно» В точке возрастания функции её производная больше нуля. Если...
«Думай и соображай» у = f(x)		у ′ = f ′ (x) 1. у =tg х/2 		1. у ′ = 3sin(1 –...
Заполните таблицу № п/п	Функции	Производные функций 1.		 у ′ = 2.		 у ′ = 3....
Прочитайте график
«Думай и соображай» Три ученика решали задачу: «Исследуйте функцию f(x) = х4...
Решим задачу Число 144 разложили на два отрицательных множителя так, что сумм...
Самостоятельная работа Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадра...
17 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Урок алгебры в 10 классе Учитель: Козак Т. И., учитель математики высшей кате
Описание слайда:

Урок алгебры в 10 классе Учитель: Козак Т. И., учитель математики высшей категории

№ слайда 2 Цель: закрепление знаний учащихся о производной и её приложении к исследовани
Описание слайда:

Цель: закрепление знаний учащихся о производной и её приложении к исследованию свойств функций; проверить сформированность у учащихся умений устанавливать характер изменения функции по знаку производной; выделять точки, подозрительные на экстремум; установить, могут ли учащиеся применять метод дифференциального исчисления для решения задач; проверить сформированность качества знаний: глубину, оперативность мышления, прочность.

№ слайда 3 «Математик должен быть поэтом в душе» В данной функции от х, Наречённой игрек
Описание слайда:

«Математик должен быть поэтом в душе» В данной функции от х, Наречённой игреком. у = f(x) Вы фиксируете х, Отмечая индексом. xo; f(xo) Придаёте вы ему Тотчас приращение xo + ∆х Тем у функции самой Вызвав изменение. ∆y = f(xo + ∆х) – f(xo) Приращений тех теперь Взявши отношение ∆y ∆х Пробуждаете к нулю У ∆х стремление. ∆х  0 Предел такого отношения Вычисляется Он производною В науке называется.

№ слайда 4 Математический диктант Запишите определение производной с помощью математичес
Описание слайда:

Математический диктант Запишите определение производной с помощью математических символов. Ответьте на вопрос: «Когда функция дифференцируема в некоторой точке?» Запишите четыре правила дифференцирования. Чему равна производная функции у = хn? Найдите производную функции у = sin x – 2 cos x. Найдите производную функции у = 3х4 – 1/3х3 + 1/2х2 –7х +1. Что можно сказать о производной функции в точке экстремума? Найдите производную функции у = (2х – 5)3 + cos 2x. В чём заключается геометрический смысл производной? В чём заключается механический смысл производной? Запишите уравнение касательной в общем виде.

№ слайда 5 «Задачи-картинки» Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точ
Описание слайда:

«Задачи-картинки» Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке А? 1) f ′ (x) = 0. 2) f ′ (x) < 0. 3) f ′ (x) > 0.

№ слайда 6 Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке В? 1) f ′ (x) =
Описание слайда:

Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке В? 1) f ′ (x) = 0. 2) f ′ (x) < 0. 3) f ′ (x) > 0. «Задачи-картинки»

№ слайда 7 Назовите промежутки убывания функции у = f(x). 1) 0 &lt; x  2. «Задачи-картинки»
Описание слайда:

Назовите промежутки убывания функции у = f(x). 1) 0 < x <3. 2) 0 < x < 2. 3) x > 2. «Задачи-картинки»

№ слайда 8 Назовите промежутки, на которых производная функции у = f(x) положительна. 1)
Описание слайда:

Назовите промежутки, на которых производная функции у = f(x) положительна. 1) x < 0. 2) x > 0. 3) – ∞ < x < + ∞. «Задачи-картинки»

№ слайда 9 Назовите точки, в которых производная функции у = f(x) равна нулю. 1) 1/3 ; 1
Описание слайда:

Назовите точки, в которых производная функции у = f(x) равна нулю. 1) 1/3 ; 1. 2) 0; 1/2; 1. 3) 0; 1/3; 1. «Задачи-картинки»

№ слайда 10 Назовите промежутки возрастания функции у = f(x), если график её производной
Описание слайда:

Назовите промежутки возрастания функции у = f(x), если график её производной имеет вид. (– ∞; – 3]; [1; + ∞). 2) [– 3; 1]. 3) [– 5; – 1]; [2; + ∞). «Задачи-картинки»

№ слайда 11 «Верно, неверно» В точке возрастания функции её производная больше нуля. Если
Описание слайда:

«Верно, неверно» В точке возрастания функции её производная больше нуля. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке она имеет экстремум. хо – точка максимума функции у = f(x), если для всех х из окрестности точки хо выполняется неравенство f (x) ≤ f (xo). Если функция имеет производную на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке. В точках экстремума касательные необязательно параллельны оси абсцисс. Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «–», то это – точка минимума. Если при переходе через критическую точку производная не меняет свой знак, то эта точка не является точкой экстремума. Если угловой коэффициент касательной к графику функции в точке хо равен 0,5, то f ′ (xо) = 0,5. Для функции у = 1/х точка х = 0 является критической. Касательная к графику непрерывной функции существует в любой точке.

№ слайда 12 «Думай и соображай» у = f(x)		у ′ = f ′ (x) 1. у =tg х/2 		1. у ′ = 3sin(1 –
Описание слайда:

«Думай и соображай» у = f(x) у ′ = f ′ (x) 1. у =tg х/2 1. у ′ = 3sin(1 – 3x) 2. 2. у ′ = sin 2x 3. у = sin 2 x 3. у ′ = 1/2sin 2x 4. y = – 1/4cos 2x 4. 5. y = cos(1 – 3x) 5.

№ слайда 13 Заполните таблицу № п/п	Функции	Производные функций 1.		 у ′ = 2.		 у ′ = 3.
Описание слайда:

Заполните таблицу № п/п Функции Производные функций 1. у ′ = 2. у ′ = 3. у = 4. у = у ′ = 24х – 3

№ слайда 14 Прочитайте график
Описание слайда:

Прочитайте график

№ слайда 15 «Думай и соображай» Три ученика решали задачу: «Исследуйте функцию f(x) = х4
Описание слайда:

«Думай и соображай» Три ученика решали задачу: «Исследуйте функцию f(x) = х4 – 2х2 – 3 и постройте её график». Каждый из них выполнил исследование функции, и результаты занёс в таблицу. Вот что получилось: Но график каждым был построен по-разному. х (- ∞; -1) -1 (- 1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; + ∞) f(x) – 0 + 0 – 0 + f ′ (x) – 4 – 3 – 4 min max min

№ слайда 16 Решим задачу Число 144 разложили на два отрицательных множителя так, что сумм
Описание слайда:

Решим задачу Число 144 разложили на два отрицательных множителя так, что сумма их оказалась наибольшей из возможных. Найдите эти множители.

№ слайда 17 Самостоятельная работа Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадра
Описание слайда:

Самостоятельная работа Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадратом, даёт наименьшую сумму. Исследуйте функцию и постройте её график. Найдите значение функции f(x) = х5/5 – 4/3х3 в точках экстремума. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) =х4 – 8х2. Найдите критические точки функции f(x) = х3 + 3/х. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = х3 – х в точке хо = 2. На отрезке [– 4; 3] постройте график непрерывной функции f(x), пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что f(0) = 2. х -1 (- 4; - 2) - 2 (- 2; 1) 1 (1; 2) 3 f(x) – – 0 + 0 – – f ′ (x) 5 – 3 4 0

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Производная и её применение.doc

библиотека
материалов

Урок алгебры в 10 классе «Производная и её применение»

Цель:

  • закрепление знаний учащихся о производной и её приложении к исследованию свойств функций;

  • проверить сформированность у учащихся умений устанавливать характер изменения функции по знаку производной; выделять точки, подозрительные на экстремум;

  • установить, могут ли учащиеся применять метод дифференциального исчисления для решения задач;

  • проверить сформированность качества знаний: глубину, оперативность мышления, прочность.

Тип урока: обобщающий урок.

Форма проведения: урок-зачёт.

Оформление: компьютер, проектор, презентация

Ход урока:

I. Организационный момент

Вступительное слово учителя:

а) сообщение целей (слайд 2);

б) часто можно услышать, что математики и физики – это лирики. Софья Ковалевская говорила: «Математик должен быть поэтом в душе». Послушайте слова из учительского фольклора, дающие алгоритм нахождения производной (слайд 3):

В данной функции от х,

Наречённой игреком.




у = f(x)

Вы фиксируете х,

Отмечая индексом.



xo; f(xo)

Придаёте вы ему

Тотчас приращение



xo + ∆х

Тем у функции самой

Вызвав изменение.



y = f(xo + ∆х) – f(xo)

Приращений тех теперь

Взявши отношение


y

х

Пробуждаете к нулю

У ∆х стремление.



х 0

Предел такого отношения

Вычисляется




Он производною

В науке называется.


y ′ =hello_html_3eeacd90.gif


II. Математический диктант

За каждый правильный ответ – 1 балл. За этот вид работы учащиеся имеют возможность получить до 14 баллов. Работу выполняют на отдельных листочках. Вопросы на слайде 4.

  1. Запишите определение производной с помощью математических символов.

  2. Ответьте на вопрос: «Когда функция дифференцируема в некоторой точке?»

  3. Запишите четыре правила дифференцирования.

  4. Чему равна производная функции у = х n?

  5. Найдите производную функции у = sin x – 2 cos x.

  6. Найдите производную функции у = 3х4 – х3 + х2 – 7х + 1.

  7. Что можно сказать о производной функции в точке экстремума?

  8. Найдите производную функции у = (2х – 5)3 + cos 2x.

  9. В чём заключается геометрический смысл производной?

  10. В чём заключается механический смысл производной?

  11. Запишите уравнение касательной в общем виде.

III. Сведения из истории

Материал можно взять из предметной газеты, № 2за 2000 год, стр. 19.

IV. Теоретический конкурс

Учащиеся рассказывают о различных случаях применения производной. Например, раскрывают такие вопросы:

  1. Написание уравнения касательной.

  2. Нахождение критических точек.

  3. Нахождение промежутков возрастания и убывания.

  4. Нахождение точек экстремума.

  5. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

  6. При решении задач на оптимум.

  7. При исследовании свойств функции и построении графиков.

Учащиеся имеют возможность за каждый раскрытый вопрос получить до 2 баллов. За дополнение, исправление – 1 балл.

V. Конкурс «Задачи-картинки»

Задания и ответы к ним приготовлены на слайдах 5 – 10 презентации. Учащиеся записывают номер того ответа, который считают правильным. Работают на отдельных листочках. За этот вид работы имеют возможность получить 6 баллов.

1hello_html_666dea65.gif. у

Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке А?

1) f (x) = 0. 2) f (x) < 0. 3) f (x) > 0.

А у = f(x)



0 х



2hello_html_871e508.gif. у = f(x) у

Какое значение принимает производная функции у = f(x) в точке В?

1) f (x) = 0. 2) f (x) < 0. 3) f (x) > 0.



В



0 х


3hello_html_m7ef60a0c.gif. у

у = f(x)

Назовите промежутки убывания функции у = f(x).

1) 0 < x <3. 2) 0 < x < 2. 3) x > 2.


1


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 х

hello_html_4b3a64ff.gif

Назовите промежутки, на которых производная функции у = f(x) положительна.

1) x < 0. 2) x > 0. 3) – ∞ < x < + ∞.

у

4. у = f(x)


0 х




5hello_html_2a45719e.gif. у

Назовите точки, в которых производная функции у = f(x) равна нулю.

1) ; 1. 2) 0; 1. 3) 0;1.

у = f(x)


0 1 х

у у = f(x)

6hello_html_503064bd.gif.

Назовите промежутки возрастания функции у = f(x) , если график её производной имеет вид.

1) (– ∞; – 3]; [1; + ∞). 2) [– 3; 1].

3) [– 5; – 1]; [2; + ∞).


1


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 х




VI. Конкурс «Верно, неверно»

Задание выполняется письменно на отдельном листочке. Если учащиеся согласны с утверждением, то ставят знак «+», а если не согласны, то ставят знак «–». Учащиеся имеют возможность заработать до 11 баллов. (слайд 11)

  1. В точке возрастания функции её производная больше нуля.

  2. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке она имеет экстремум.

  3. хо – точка максимума функции у = f(x), если для всех х из окрестности точки хо выполняется неравенство f (x) ≤ f (xo).

  4. Если функция имеет производную на некотором промежутке, то она непрерывна на этом промежутке.

  5. В точках экстремума касательные необязательно параллельны оси абсцисс.

  6. Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «–», то это – точка минимума.

  7. Если при переходе через критическую точку производная не меняет свой знак, то эта точка не является точкой экстремума.

  8. Если угловой коэффициент касательной к графику функции в точке хо равен 0,5, то f ′ (xо) = 0,5.

  9. Для функции у = точка х = 0 является критической.

  10. Касательная к графику непрерывной функции существует в любой точке.

VII. Промежуточный итог

Оцениваются следующие виды работы:

  1. Математический диктант – 14 баллов.

  2. Теоретический конкурс – 2 балла.

  3. Конкурс «Задачи-картинки» – 6 баллов.

  4. Конкурс «Верно, неверно» – 11 баллов.

Учащиеся имели возможность набрать 31 балл и выше. При выставлении оценок используется следующая шкала: 31 балл и выше – оценка «5»;

24 – 30 баллов – оценка «4»;

16 – 23 балла – оценка «3»;

меньше 16 баллов – оценка «2».

VIII. «Думай и соображай»

1. Найдите соответствие между функцией и её производной.

Это задание учащиеся выполняют письменно в тетрадях, затем – взаимопроверка и обсуждение. (слайд 12)


у = f(x)


у ′ = f ′ (x)

1. у =tg


1. у ′ = 3sin(1 – 3x)

2. у = hello_html_6fabaae3.gif


2. у ′ = sin 2x

3. у = sin 2x


3. у ′ = sin 2x

4. y = – cos 2x


4. у ′ = hello_html_3e252946.gif

5. y = cos(1 – 3x)


5. у ′ = hello_html_m6f6a2dca.gif


Ответ: 1 4; 2 5; 3 2; 4 3; 5 1.


2. Заполните таблицу (слайд 13):


п/п

Функции

Производные функций

1.

у = х6 + hello_html_mcafa5d7.gif - 24х + 46

у ′ =

2.

у = hello_html_19e9b9bb.gif

у ′ =

3.

у =

у ′ = – hello_html_4e524be5.gif

4.

у =

у ′ = 24х – 3

Это задание учащиеся выполняют письменно в тетрадях, затем – самопроверка и обсуждение.







IX. Прочитайте график (слайд 14)

Учащиеся проводят по общей схеме исследование функции, заданной графиком. Это задание выполняется устно.

hello_html_35892462.gifу

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 х

-2

-3

Х. «Думай и соображай» (слайд 15)

Три ученика решали задачу: «Исследуйте функцию f(x) = х4 – 2х2 – 3 и постройте её график». Каждый из них выполнил исследование функции, и результаты занёс в таблицу. Вот что получилось:


х

(- ∞; -1)

-1

(- 1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ∞)

f(x)

0

+

0

0

+

f ′ (x)

hello_html_m2f2965cf.gif

4

hello_html_12d0fbd3.gif

3

hello_html_m2f2965cf.gif

4

hello_html_22645c51.gif


min


max


min



Но график каждым был построен по-разному.

hello_html_m76b47413.gifhello_html_adb5b74.gifhello_html_44681e4a.gifу у у




о х 0 х 0 х



а) б) в)


  1. Почему у учащихся получились различные графики для одной и той же функции?

  2. Какой из представленных графиков является правильно построенным? Ответ объясните.


XI. Решение задачи

Задачу ученики решают в тетрадях, один ученик с подробными комментариями у доски. Условие задачи на слайде 16.

Число 144 разложили на два отрицательных множителя так, что сумма их оказалась наибольшей из возможных. Найдите эти множители.



XII. Самостоятельная работа (слайд 17)

Задания дифференцированные. Оценивается каждый учащийся.

  1. Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадратом, даёт наименьшую сумму.

  2. Исследуйте функцию у = hello_html_m1c55eae1.gif и постройте её график.

  3. Найдите значение функции f(x) = hello_html_m40bcd38d.gif в точках экстремума.

  4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) =х4 – 8х2.

  5. Найдите критические точки функции f(x) = х3 + .

  6. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = х3 – х в точке хо = 2.

  7. На отрезке [– 4; 3] постройте график непрерывной функции f(x), пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что f(0) = 2.

х

-1

(- 4; - 2)

- 2

(- 2; 1)

1

(1; 2)

3

f(x)

0

+

0

f ′ (x)

5

hello_html_m2f2965cf.gif

3

hello_html_12d0fbd3.gif

4

hello_html_m2f2965cf.gif

0


XIII. Итог урока

а) Объявляются оценки.

б) Оценки за самостоятельную работу объявляются на следующем уроке.


Краткое описание документа:

Архив содержит конспект урока и презентацию. По тематическому плану – это последний урок по теме «Производная и её применение». По типу это урок-зачёт.  Устное слово учителя сопровождалось мультимедийной презентацией на всех этапах урока. В процессе урока используются различные формы обучения: индивидуальную; коллективную. Обратная связь осуществлялась через самопроверку и взаимопроверку. Все задания, предлагаемые на уроке, помогли увидеть качество усвоения учащимися  материала. Оценивается ученик на каждом этапе работы, по итогам выставляется две оценки. Описание оценки – в конспекте урока.

Общая информация

Номер материала: 67672041318

Похожие материалы