Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока алгебры в 10 классе по теме «Решение уравнений»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока алгебры в 10 классе по теме «Решение уравнений»

библиотека
материалов

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4»







ОТКРЫТЫЙ УРОК В 10 КЛАССЕ

УРОК-ОБОБЩЕНИЕ

«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»



УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

КУЛИСОВА РАМЗИЯ САКУЕВНА



















30 ЯНВАРЯ, 2013 ГОД







В результате овладения содержанием всех модулей учащиеся должны

Знать:

  • понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

  • соотношения для арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

  • формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Уметь:

  • решать   простейшие   тригонометрические   уравнения   по   числовой окружности и по формулам;

  • вычислять значения обратных тригонометрических функций,

  • решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени;

  • решать тригонометрические уравнения разложением на множители и введением новой переменной;

  • осуществлять отбор корней в тригонометрических уравнениях;

  • решать тригонометрические неравенства.

 

Тема урока:    "Решение тригонометрических уравнений"

Цели урока:

1.     Развивающая

  • Развитие устной математической речи

  • Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации

2.     Образовательная

  • Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c

  • Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.

3.     Воспитательная

  • Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников

  • Воспитание аккуратности



Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.

Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.

Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Учебник:

1).Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 7-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2011. -424с.

2). Мордкович, А. Г. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г.Мордкович B И др.]; под ред. А.Г. Мордковича. - 7-е изд., стер.- М. : Мнемозина, 2011. -343с.

Правильному применению методов можно

научиться, только применяя их на разнообразных

примерах  (Г. Цейтен)



1. Организационный момент. Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения ». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

1 этап.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.    Вспомните основные правила решения простейших тригонометрических уравнений. Запишите формулы решения.

 Выполните письменно самостоятельную работу (5 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos x = 1/2

1) sin x = -1/2

2) sin x = -/2

2) cos x = /2

3) tg x = 1

3) ctg x = -1

4) 2 cos x = 1

4) 4 sin x = 2





2 этап.

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x  Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то   4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,

3 + sin2 x = 4 sin x,  sin2 x - 4 sin x + 3 = 0,               

Пусть y = sin x, получим уравнение

y 2 - 4 y +3 = 0                у1=1; у2=3.

sin x =1            x = /2 + 2 n, n= Z,       или    sin x = 3,    решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)

Решите уравнения:

 Первое уравнение – уровень А, второе уравнение – уровень В

1 вариант

2 вариант

1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0;

1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0;

2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0;

2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0;

3 этап.

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.

(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0

или

sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2,

 

sin x = - 1

sin x = ±1/v2

 

 

Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)

Решите уравнения:

Первое уравнение – уровень А, второе уравнение – уровень В

1 вариант

2 вариант

1) sin2 x - sin x = 0,

1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,

2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,

2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.

4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0      tg x = 2/5,              x = arctg 2/5 + n, n = Z.          Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).

Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0,       tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = - /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x1 = - /4 + n, n = Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (8 минут)

Решите уравнения:

Первое уравнение – уровень А, второе уравнение – уровень В

1 вариант

2 вариант

1) sin x - cos x = 0,

1) 5sin x +6cos x = 0,

2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x,

2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2.

5 этап. ( На этом этапе задания дифференцируются по степени сложности для слабых и сильных учащихся)

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения: (для слабых учащихся)

1 вариант

2 вариант

1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0,

1) cos 2x + 3 sin x = 2,

2) sin 2x + cos 2x = 0,

2) sin 2x - cos 2x = 0,

3) cos2 x - cos 2x = sin x,

3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,

4) sin 4x - cos 2x = 0,

4) cos x cos 2x = 1,

Выполните письменно самостоятельную работу (для сильных учащихся)

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

  1. sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

  2. 29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,

  3. 2sin x cos x + – 2 cos x - v3 sin x = 0,

  4. sin 4x = 2 cos2 x – 1,

  5. sin x (sin x + cos x ) = 1,

  6. 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.

Подсказки:  

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

  2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.

  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x.

  5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

  6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Итоги урока.





II станция – однородные уравнения(слайд№8).

Решите данные уравнения.

I.4 sin² x + 5 sin x cos x + cos² x =0

II.3 sin² x + 5 sin x cos x + 2cos ² x =0

     III. sin² x  - 5 sin x cos x + 4cos² x =0

(Группа решает уравнение в черновике)

Задания для 1 группы:

  1. 1) 2 sin² x=1+cos x

  2. cos 2x+cos x = 0

Задания для 2группы:

  1. sin2 x – cos x = 0

  2. 2sin² x = 1 + cos x

Задания для 1группы:

  1. cos2 x +cos x=0

  2. sin 2x – cos x = 0


Коллективная работа с классом.

(Сильный учащийся у доски)

Давайте рассмотрим уравнение, которое имеет сложный аргумент, такие уравнения отсутствуют в школьных учебниках, но часто встречаются на экзаменах.


Итак, решить уравнение


Sin(Sin(Cosx-Sinx))=0.


Подведение итогов урока.

А.Энштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, важнее. Политика только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вывод:

  • обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами, подготовились к выполнению контрольной работы по данной теме;

  • развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

  • развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий;

  • получили интересную дополнительную информацию об алмазах.

Оценивание:

За работу у доски:

За активное участие на уроке:

Задание на дом.

Алгебра и начала анализа” ч. 2 Задачник под ред. А.Г.Мордковича. Стр.53 № 356 (а, б) 3 363 (в, г).



Краткое описание документа:

Данный урок был проведен в десятом классе при завершении курса «Тригонометрия» в десятом классе. В ходе проведенного урока были проведено повторение пройденного материала всего курса тригонометрии. В ходе урока обучающиеся повторяют: числовые окружности, значения тригонометрических функции, формулы приведения, свойства тригонометрических функции, графики тригонометрических функции. Повторили способы решения тригонометрических уравнений. Закрепили умение обучающихся решать одно уравнения разными способами.
Автор
Дата добавления 13.04.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров476
Номер материала 67837041341
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх