Методическое пособие «Алгоритмы в школьном курсе математики»

Алгоритм выполнения порядка действий

1. Если в выражении нет скобок,   и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.

3. Если  в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями надо:

1.К числителю первой дроби прибавит числитель второй дроби.

2. Знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями надо:

1.      Из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого.

2.      Знаменатель оставить тот же.

Как выделить целую часть из неправильной дроби и

как представить смешанную дробь в виде неправильной дроби.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

разделить с остатком числитель на знаменатель;

неполное частное будет целой частью;

остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Пример: Выделить целую часть из неправильной дроби

Решение: Делим 47 на 9. Неполное частное равно 5,

а остаток равен 2.                               

Значит,      

                  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример: Представить в виде неправильной дроби число

Решение:    

Сложение смешанных чисел

Чтобы сложить два смешанных числа  надо:

1.Сложить отдельно целые части.

2. Сложить отдельно дробные части.

(3.Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь , выделить целую часть.

4Добавить ее к уже имеющейся целой части)

Вычитание смешанных чисел

1.Выполнить отдельно вычитание целой и дробной части.

(2.Если при вычитании  дробная  часть уменьшаемого меньше дробной  части вычитаемого, то занять единицу у целой части уменьшаемого . представить ее в виде неправильной дроби и прибавить к дробной части уменьшаемого)

Алгоритм округления десятичных дробей

а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

 а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Сложение и вычитание десятичных дробей

    1) при необходимости уравнять количество знаков после запятой,  
добавляя нули к соответствующей дроби.    
2) Записать дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом.    
 3) Сложить (вычесть), не обращая внимания на запятую.    
 4) Поставить запятую в сумме (разности) под запятыми,. 

Умножение десятичных дробей

1) Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
2) Посчитать количество знаков после запятой в обоих множителях.
3) Отделить запятой такое же количество знаков справа налево в ответе.

Деление десятичных дробей

. Алгоритм деления на натуральное число
1) Разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую.
2) Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
3) Если целая часть меньше делителя, то в частном поставить нуль целых.
 Алгоритм деления на десятичную дробь.
1) В делителе и делимом перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
2) Выполнить деление на натуральное число.
12,096 : 2,24(2 знака) = 1209,6 : 224 = 5,4
0,0456 : 3,8(1 знак) = 0,456 : 38 = 0,012
3 : 0,75(2 знака) = 3,00 : 0,75 = 300 : 75 = 4 

Алгоритм умножения и деления на  разрядную единицу.

Вид разрядной единицы.

УМНОЖЕНИЕ.

ДЕЛЕНИЕ.

ЦЕЛАЯ

(10; 100; 1000 и т.д.)

Запятую перенести вправо на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице, т.о. число увеличится.

Запятую перенести влево на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице, т.о. число уменьшится.

ДРОБНАЯ

(0,1;  0,01;  0,001 и т.д.)

Запятую перенести влево на столько знаков, сколько знаков после запятой    у разрядной единицы,    т.о. число уменьшится.

Запятую перенести вправо на столько знаков, сколько знаков после запятой    у разрядной единицы,    т.о. число увеличится.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1)      Уравнять количество знаков после запятой .

2)      Сравнить, не обращая внимания на запятую

Например, сравним десятичные дроби:

57,3 и 57,321

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

Сравним натуральные числа: 57300 и 57321

Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь и наоборот

Алгоритм обращения десятичной дроби в проценты:

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100.

Алгоритм перевода процентов  в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо:

1.найти сумму этих чисел;

2. разделить полученную сумму на число слагаемых;

3. выписать частное в ответ.

Признаки делимости

Признаки делимости:

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Например:

100; 1000; 100000 и т.п.

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится без остатка на 5.

Например:

45; 55; 15; 10; 10000 и т.п.

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и  делится без остатка на 2.

Например:

32; 12; 224; 2098 и т. п.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Например:

15; 273; 474; 765; и т.п.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

783; 549; 1233; 27954; и т.п.

Алгоритм сокращения дробей

Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, отличный от 1.

Например:

Сократить дроби: ;             .

Нахождение Наибольшего Общего  Делителя(НОД)

1. Оба числа разложить на простые множители.

Пример:  НОД(36;24) = ?

36 2                 24 2

18 2                 12 2

  9 3                   6 2

  3 3                   3 3

  1                      1

2. Найти одинаковые множители. Выделить их в одном из чисел в «кружок»

Пример:  НОД(36;24) = ?

36 2                 24 2

18 2                 12 2

  9 3                   6 2

  3 3                   3 3

  1                      1

3. Найти произведение тех чисел, которые выделили в « кружок»

Пример:  НОД(36;24) = 2×2×3=12

Нахождение Наименьшего Общего  Кратного(НОК)

1. Разложить на простые множители.

Пример:  НОК(36;24) = ?

36 2                 24 2

18 2                 12 2

  9 3                   6 2

  3 3                   3 3

  1                      1

2. Найти одинаковые множители. У одного из чисел выделить в «кружок»

Пример:  НОК(36;24) = ?

36 2                 24 2

18 2                 12 2

  9 3                   6 2

  3 3                   3 3

  1                      1

3. Найти произведение тех чисел, которые НЕ взяли в «кружок».

Пример:  НОК(36;24) = 2×2×3×3×2=72

Приведение дробей к общему знаменателю

1.      найти общий знаменатель, который равен НОК знаменателей всех дробей;

2.      найти дополнительный множитель для каждой дроби, для этого нужно общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби;

3.      умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их дополнительный множитель;

4.      записать новые дроби.

1.       НОК(12;18)=36

2.       Дополнительный множитель

36:12=3

36:18=2

3.       Умножение

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1.      Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2.      Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1)             привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2)             отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей;

если при сложении дробных частей получилось неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части

Пример:

Найти значение суммы: 16.

Решение: Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 12, а затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части:

16;           19;           ( )+ () =(16 + 19) + () = 35 + = 36 .

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1)      привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2)      если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно – дробных частей

Пример:                         

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример:

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1.     найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2.     первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

3.  

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Примеры: 1.

3.

4.

Алгоритм снятия знака модуля

Алгоритм сравнения отрицательных чисел

1.Найти модули чисел.

2.Сравнить модули.

3.Больше то число, модуль которого меньше.

Алгоритм сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Алгоритм нахождения длины  отрезка на координатной прямой

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. 

Вычитание  чисел

Вычитание

a – b                                      - a – (- b)                               a – (- b)                                                       

                                                                                                                                    - a -b                         

a + (-b)                                  - a + b                                   a + b                                       - a + (- b)               

Сложить по правилу                         Сложить по правилу

сложения чисел                                   сложения чисел

с разными знаками                            с одинаковыми знаками

7 – 9 = 7 + (- 9) = - 2                                7 – (- 9) = 7 + 9 = 16                 

-7 – (-9) = - 7 + 9 = 2                                - 7 – 9 = - 7 + (- 9) = - 16

Алгоритм умножения чисел с разными знаками

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:

1.перемножить модули этих чисел;

2. поставить перед полученным числом знак « - ».

Например: (-1,2) * 0,3 = - (1,2 * 0,3) = - 0,36.

Алгоритм умножения отрицательных чисел

Чтобы перемножить два числа с отрицательными знаками, надо перемножить их модули.

Например: (-3,2) * (-9) =  *  =3,2 * 9 = 28,8.

Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например: - 4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.

Алгоритм деления чисел с разными знаками

При делении чисел с разными знаками, надо:

1.      разделить модуль делимого на модуль делителя;

2.       поставить перед полученным числом знак « - ».

Например: 3,6 : (-3) = - (3,6 : 3) = - 1,2.

Алгоритм сложения ( приведения ) подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые надо:

1.      Сложить их коэффициенты.

2.      Умножить на буквенную часть

Алгоритм раскрытия скобок

а) Если перед скобками стоит знак «  +  », то можно опустить скобки и этот знак    «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «  +  ».

Например:  - 2,87 + (2,87 – 7,639) = - 2,87 + 2,87 – 7,639 = 0 -7,639 = -7,639.

б). Если перед скобками стоит знак «  -  », то  надо заменить этот знак на «  +  »,

поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Например:  16 – (10 – 18 + 12) = 16 + ( - 10 + 18 – 12) =  12

Алгоритм построения графика функции.

1. Описать функцию согласно данной формуле, указав:

·         название функции;

·         название графика и его особенности ( если они есть).

2. Записать область определения функции (О.О.Ф.).

3. Составить таблицу на несколько значений (в зависимости от вида функции).

4. Построить график функции согласно табличным значениям.

Алгоритм сложения и вычитания многочленов

 Алгоритм сложения многочленов 
1. Раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»
2. Привести подобные слагаемые

 Алгоритм вычитания многочленов 

1. Раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-»

Алгоритм умножения одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен надо:

1.Умножить одночлен на каждый член многочлена.

2.Полученные произведения сложить

Алгоритм умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо6

1.Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

2.Полученные  произведения сложить.

Алгоритм вынесения общего  множителя за скобки

1.      Наибольший общий делитель коэффициентов членов многочлена и вынести за скобку.

2.     Вынести   одинаковые  переменные.

3.      Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

4.      Затем в скобках записываются оставшиеся  члены  многочлена.

Алгоритм  разложения многочлена на множители способом группировки

 
1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители. 
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его. 
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его. 

Алгоритм сокращения рациональных дробей

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно:

 1.Разложить её числитель и знаменатель на множители.

2.Сократить множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Сократить дробь

Решение:

Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
2. Найти общий знаменатель дробей.
3. Найти дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей.
4. Найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями .
5. Упростить числитель полученной дроби.

        6.Если возможно, сократить дробь

Пример:

Упростить выражение

Решение:

Алгоритм умножения рациональных дробей

1.Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби.

2.Перемножить знаменатели.

3.Первое произведение записать в числителе, второе в знаменателе.

4.Если возможно, сократить.

=

Алгоритм деления рациональных дробей

1.Умножить  числитель первой дроби на знаменатель второй дроби.

2.Умножить знаменатель первой дроби на числитель второй.

3.Первое произведение записать в числителе , а второе в знаменателе.

4.Если возможно сократить.

=

Алгоритм возведения рациональной дроби в степень

Чтобы возвести рациональную дробь  в натуральную степень n, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби:

Алгоритм внесения множителя под знак корня.

1. Представить множитель в виде выражения, содержащего арифметический квадратный  корень.

2. Применить формулу «Квадратный корень из произведения».

3. Записать результат.

Алгоритм вынесения множителя под знак корня.

1. Представить подкоренное выражение в виде такого произведения, чтобы из одного из

    множителей можно было бы извлечь квадратный корень.

2. Применить формулу «Квадратный корень из произведения».

3. Записать результат.

Алгоритм нахождения области определения функции

1. Спроектируем график на ось Ох;

2.Сделаем вывод: х___.

Алгоритм нахождения области значений функции

1.Спроектируем заданный график на ось ординат;

2.Сделаем вывод: у___.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

1.Разобьем заданный график на участки «подъема» и участки «спуска»;

2.Делаем вывод: на промежутках ___________________- возрастает; _______________________ - функция убывает.

Алгоритм для определения нулей функции:

1.Анализируем расположение графика относительно оси Ох;

2.Делаем вывод: график пересекает ось Ох в точках х₁=____, х₂=____.

Алгоритм для определения наибольшего и наименьшего значений функции:

1.Анализируя график, находим множество значений функции

2.Делаем вывод: у_наиб= ___, у_наим=___.

Алгоритм для нахождения промежутков знакопостоянства:

1.Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены над осью абсцисс:

 х____________________;(у> 0)

2. Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены под осью абсцисс:

х____________________;(у< 0)

3. Запишем ответ:

y>0, если х___________________

y<0, если х___________________.

Алгоритм построения графика квадратичной функции вида y= ах²+bх+с.

1. Описать функцию.                                                                  –b                 

2. Найти координаты вершины параболы по формулам: m=―   ,   n –найти по формуле    .

                                                                                                       2а                

3. Определить  ось симметрии по формуле: x=m.

4. Записать область определения функции (О.О.Ф.).

5. Заполнить таблицу на несколько значений.

6. Построить параболу, согласно последовательности алгоритма.     

Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

1.Приравнять квадратный трёхчлен к нулю.ax²+bx+c=0

2.Найти дискриминант.

3.Найти корни квадратного трёхчлена.

4.Подставить найденные корни в формулу: ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂₎

Алгоритм решения систем уравнений второй степени

1. Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате приходят  к уравнению с одной переменной, степень которого не выше двух;
3.Решают получившееся уравнение с одной переменной;
4.Находят соответствующие значения второй переменной.

Алгоритм решения задач с помощью прогрессий

1. Анализируем условие задачи и понимаем, что

задачу можно решить при помощи формул арифметической или

геометрической прогрессии

2. Записываем данные в условных обозначениях

3. Выбираем подходящую формулу (формулу разности,

знаменателя, n-члена, суммы).

4. При необходимости составляем уравнение,

систему уравнений, неравенство

5. Решаем задачу, выполняя соответствующие

преобразования

6. Записываем ответ

Алгоритм решения линейных уравнений (первой степени).

1. Раскрыть скобки ( если они есть в уравнении).

2. Применить «Правило переноса слагаемых».

3. Упростить каждую часть полученного уравнения.

4. Найти неизвестный множитель в полученном линейном уравнении вида ах=в.

5. Записать ответ.

Алгоритм решения уравнения вида х²=а.

1.Если а=0, то уравнение имеет два корня:  х1= -√а,

                                                          х 2= √а.

2. Если а=0, то уравнение имеет один корень: х=0.

3. Если а<0, то уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения уравнения вида ах²+вх=0 (с=0).

1. Вынести за скобки общий множитель:  х(ах+в)=0.

2. Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, значит:

    х=0 или ах+в=0.

3. Решить каждое из полученных уравнений.

4. Записать в ответе оба полученных корня.

Алгоритм решения уравнений вида ах²+с=0 (в=0).

1. Выразите из уравнения  х² по образцу:  ах²+с=0;

                                                       ах²=-с;

                                                       х²=- с/а.

2. Для решения полученного уравнения воспользоваться одним из случаев решения уравне-

    ния вида х²=а (смотри соответствующий алгоритм).

3. Записать ответ.

Алгоритм решения квадратного уравнения вида ах²+bх+с=0.

1. Найдите дискриминант по формуле: D=b²- 4ac.

2. Воспользуйтесь одним из возможных случаев решения:

                                                                                                                                                    -

·         D>0,=> уравнение имеет два корня: х1= _ b+√D

                                                                                          2а

                                                                               х2=  -b-√D

                                                                                            2а

                                                                                           -b

·         D=0,=> уравнение имеет один корень: х= ―;

                                                                              2а

·         D<0,=> уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

1. Избавиться от знаменателей дробей, а для этого:

    разложить знаменатели дробей на множители ( если это возможно);

    умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель данных дробей;

    сократить числитель и знаменатель каждой дроби на их общие множители.

2. Решить полученное целое уравнение, применив соответствующий алгоритм.

3. Исключить «посторонние» корни.

4. Записать ответ.

Алгоритм решения биквадратных уравнений (ax⁴+bx²+c=0)

1) Ввести замену переменной: пусть х² = t.

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: at² + bt + c=0.

3) Решить новое квадратное уравнение.

4) Вернуться к замене переменной.

5) Решить получившиеся квадратные уравнения.

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

7) Записать ответ.

Решение уравнений способом подстановки

1.Выделяем выражение 

2.Обозначаем это выражение одной буквой   Z.

3.Выполняем подстановку и получаем новое уравнение.

4.Приводим его к квадратному и решаем.

5.По значениям переменной Z находим  значения переменной х.

6.Делаем проверку полученных результатов и записываем ответ.

Решение уравнений способом разложения на множители

1.Привести уравнение к виду Р (х)=0.

2.Разложить  левую часть уравнения на множители.

3. Решать по правилу: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

4.Решить получившееся уравнения.

5.Записать ответ.

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки.

1. Из любого уравнения выразить какую удобно переменную.

2. Подставить значение выраженной переменной в другое уравнение.

3. Выписать полученное уравнение и решить его, найдя значение одной из переменных.

4. Подставить значение найденной переменной в другое уравнение, тем самым найти значение оставшейся неизвестной  переменной.

5. Записать ответ.

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Графический способ решения систем уравнений

1.Построить график каждого уравнения в одной системе координат

2.Найти координаты точек пересечения графиков.(Сколько точек пересечения –столько решений имеет система)

3.Выписать ответ.

 Решим эту систему графически.

Для этого в каждом уравнении выразим у через  х

у = 2х  (1)

у = - 3х + 6  (2)

 зададим  х  и  у  для каждого из уравнений

 (1)    

(2)

 построим графики функций и найдем координату точки пересечения.

Ответ:  х = 1,2;  у = 2,3

Виды неравенств.

Точка.

Скобки.

Строгое.

Пустая. 

Круглые. (   ;   ).

Нестрогое.

Заштрихованная.

Квадратные. [   ;   ].

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если нужно).
2. Неизвестные перенести в левую часть неравенства, известные в правую часть.   ( При переносе знаки перед слагаемыми  изменить на противоположные   “-“ на “+“;         “+“ на “-“; знак неравенства сохраняется).
3. В каждой части  привести подобные слагаемые, получаем неравенство вида: ax < b или   ax > b или ax £ b или ax ³ b.

4.Чтобы найти x, число (b) стоящие в правой части  разделить на коэффициент при x (a), причём, если a>o, то знак неравенства сохраняется, если a<0, то знак меняется на противоположный ( “<” на “>”;  “>” на “<”; “£” на “³”;   “³” на “£”).

5 Решение изобразить на числовой прямой и ответ записать промежутком.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

1.Решить первое неравенство, найти его решение.

2.Решить второе неравенство, найти решение  второго неравенства.

3.Найти пересечение двух множеств значений .

Пример

Решить систему неравенств

.

Решение:

Рассмотрим первое уравнение.

, .

Теперь решим второе уравнение.

, .

Теперь смотрим, пересекаются ли эти 2 промежутка (если нет — то и решений системы нет).

Таким образом, конечное множество решений (лежащее на пересечении множеств решений каждого из уравнений) — x из промежутка [-6; -3).

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

.

1. Рассмотреть функцию, заданную формулой y= ах²+bх+с и определить куда направлены ветви параболы(а>0- вверх, а<0- вниз)

2. Найти координаты точек пересечения параболы с осью Х, решив уравнение ах²+bх+с=0,

    т.е. определить нули функции.

3. Отметить нули функции на координатной плоскости, используя обозначения точек при

    решении неравенств.

4. Схематично построить параболу согласно описания (см. п.1 данного алгоритма).

5. Записать ответ в виде промежутка(ов), применяя обозначения скобок.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

1 тип.

1. Записать неравенство в виде: (x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)>0.

2. Рассмотреть функцию, заданную формулой: f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn).

3. Выписать нули функции: x1, x2,  x3, …, xn.

4. Отметить нули функции на числовой прямой, используя соответствующие обозначения

    точек.

5. Отметить интервалы на числовой прямой.

6. Проверить знаки функции на каждом полученном интервале.

7. Записать ответ в виде числового промежутка(ов), используя соответствующие обозначения

    скобок.

2 тип

1.Найти область определения функции f(x) ;

2.Найти нули функции f(x) ;

3.На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее 4.область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;

5.Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;

6.Записать ответ.

Примеры.1. Решить неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

и найдем множество значений х, при которых 

1) Найдем

2) Найдем нули функции:

3)

Если x > 1, например x = 2, то

Если  например ,то

Если, например, то

Если x < 0, например x = -1, то

Итак,  при .

Ответ:  

Алгоритм решения неравенства с двумя переменными

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными

.

n  1.Построить F(x;y)=0 и  G(x;y)=0

n  2.Взяв из каждой области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением системы

3.Объединение полученных областей- решение системы неравенств

Алгоритм решения задач с помощью уравнения

           1. Прочитать внимательно условие задачи;

2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости  между ними;

3.Выбрать неизвестное задачи;

4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;

5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;

6. Решить уравнение;

7. Сделать проверку;

8. Выписать ответ.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

1.Неизвестные величины обозначить x и y.

2.Составить  два уравнения согласно условию задачи.

3.Решить систему уравнений.

4.Истолковать полученные данные в связи с условием задачи.

Алгоритм решения задач на пропорцию:

1.      В процессе устного обсуждения выделяем 2 величины,

2.      Составляем краткую запись условия задачи в виде таблицы. Неизвестную величину обозначаем Х

3.      Устанавливаем вид зависимости( прямо или обратно пропорциональная). Уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение - стрелкой вверх.

4.       Затем составляем пропорцию и решаем её.

Алгоритм решения задач
 на совместную работу

1.Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.

2.Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

3.Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.

4.Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа

.

1.Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц

2.Искомое двузначное число 10х + у

3.Составить систему уравнений

Алгоритм решения задач на проценты

1)      Процент – это 1% - это сотая часть числа.    или   

                                                                              1% = 0,01

2)      Нахождение процентов от числа.

 Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Пример. Найти 20% от 48.

Решение:  20%=0,2

                   48 * 0,2 = 9,6                                 Ответ: 9,6.

Задача 1. Первоначально футболка стоила 30 рублей. На распродаже ее цена снизилась на 15%. Сколько рублей стала стоить футболка после скидки?

Решение:   15% = 0,15

                     30 * 0,15 = 4,5

                     30 – 4,5 = 25,5 (руб)                      Ответ: 25,5 руб.

Задача 2.  На первую смену в летний лагерь было выделено 196 путевок. На вторую смену – на 25% больше. Сколько путевок было выделено на вторую смену?

Решение:   25% = 0,25 =

                    196 + 49 = 245 (путевок)               Ответ: 245.

3)      Нахождение числа по его проценту.

 Чтобы найти число по его процентам, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Пример: Цену энциклопедии увеличили на 20%, и она стала стоить 420 рублей. Сколько рублей стоила энциклопедия до подорожания?

Решение:   100% + 20% = 120%

                      120% = 1,2

                    420 : 1,2 = 350                                   Ответ: 350.

4)      Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого нужно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Пример: Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а черешня – 150 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле черешни?

Решение:                Ответ: 20%.

5)      Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через  n лет сумма на вкладе составит   денежных единиц.

Пример: Вкладчик положил в банк 76000 рублей под 12% годовых. Какой станет сумма вклада через 2 года?

Решение: 

Ответ: 9533,44 рубля.

Алгоритм решения задач на движение по реке

При решении задач на движение по реке в задаче обычно известно значение либо  скорости  катера (лодки, теплохода), либо скорости течения реки.

Пусть v_k– скорость катера, v_p – скорость течения реки, s – расстояние.

Чтобы найти скорость по течению, надо к собственной скорости катера прибавить скорость течения, т.е скорость по течению  равна  v_k + v_p.

Чтобы найти скорость против течения, надо от собственной скорости катера отнять скорость течения, т.е. скорость против течения  равна  v_k + v_p.

Время движения по течению  .

Время движения против  течения .

 Скорость плота равна скорости течения реки

Примеры решения задач.

Задача 1: Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на вест путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение: Обозначим через км/ч  скорость  моторной лодки в стоячей воде.

Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

Составим уравнение, учитывая, что на весь путь  моторная лодка затратила  5 ч.

Решим уравнение. Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Так как общее время движения равно 5 ч, то составим уравнение, получим

Алгоритм решения задач на движение

     Пусть объекты движутся в одном направлении и  при этом известны:

1.       Расстояние S

2.       Соотношение между скоростями  V₁ и V₂.

3.       Время отставания или задержки в пути t

Тогда решение таких задач находится с помощью уравнения:

    При составлении уравнения удобно пользоваться  следующей таблицей:

Задача 1: Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, а поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

1.       Проверяем, удовлетворяет ли условие задачи данному типу задач?

2.       Составляем таблицу и заполняем её.

3.       Составляем уравнение и решаем его.