Инфоурок Математика КонспектыРазработка семинарского занятия

Разработка занятия «Лесные фантазии»

Файл будет скачан в формате:

  • pdf
5210
5
16.02.2024

Материал разработан автором:

Разработок в маркетплейсе: 2
Покупателей: 11

Об авторе

Место работы: МБОУ Н-Кокуйская ООШ
Я, Банщикова Ульяна Николаевна, в 2000 году закончила Педагогический колледж г.Балея по специальности- учитель начальных классов. В 2011 году поступила в Забайкальский Государственный университет имени Чернышевского на естественно-научный факультет, специальность - учитель географии. Тема самообразования: активизация познавательной деятельности учащихся на уроках биологии посредством устного народного творчества и поэзии.
Подробнее об авторе

Настоящая методическая разработка опубликована пользователем Банщикова Ульяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником

Данная методическая разработка подойдет для учителей биологии,экологии. Игра-путешествие. Дети знакомятся с разными видами природного материала, пробудить интерес детей к изготовлению поделок из природного материала

Краткое описание методической разработки

Данная методическая разработка подойдет для учителей биологии,экологии. Игра-путешествие. Дети знакомятся с разными видами природного материала, пробудить интерес детей к изготовлению поделок из природного материала

Разработка семинарского занятия

Скачать материал

 

 

Цели и задачи семинара:  обобщение общедоступных способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение решения сложных иррациональных уравнений, рассмотрение геометрической интерпретации иррациональных уравнений.       

 

Пояснительная записка. Даже в профильном математическом классе есть  более слабые ученики, есть ученики способные, но ленивые: не понимающие своих возможностей. Есть довольно самостоятельные ученики, которым «тесно» в рамках школьного курса. Каждого из таких учеников может растормошить, заинтересовать  и удовлетворить семинарское занятие. Тем более  ученик готов к своему ответу.

Учитель заранее выявляет желающих ответить по каждому вопросу семинара. И руководит их подготовкой. Если по какому-то вопросу нет желающих, то можно ненавязчиво предложить свою помощь, возможно,  с целью исправления оценок. Данное семинарское занятие направлено на расширение знаний учащихся, повышения уровня математической подготовки через решение большого количества задач. Навыки решения иррациональных уравнений необходимы любому ученику, желающему успешно выступить на математических конкурсах, олимпиадах, хорошо подготовиться к дальнейшему обучению в  высших учебных заведениях. В ходе семинара учащиеся показывают множество «нестандартных» методов решения иррациональных уравнений. Данный семинар предусматривает формирование интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей.

Вопросы

1. Решение иррациональных уравнений возведением в степень.

Уравнения с квадратичной иррациональностью

2. Особенности решения уравнений с кубической иррациональностью

3. Введение новой переменной

4. Умножение на сопряженную величину.

5. Переход от иррационального уравнения к системе рациональных уравнений заменой переменных.

6. Геометрические  решения уравнений, содержащих иррациональные выражения.

7. Решение уравнений вида  f(f(x)) = x   и    f(g(x)) = g(h(x)),  содержащих знак радикала.

 

 Литература, предлагаемая  учащимся:

1.Пособие «Абитуриенту ГАТУ» Математика-2.

Решение задач повышенной сложности.  Уфа 1999.

Составители : Н.А. Ахметова, В.В. Водопьянов, З.Н.Усманова, Э.Х. Халфина

2. Задачи по математике для школ (классов) с углубленным изучением

(10 -11классы)    Методические рекомендации.   Издательство БИРО.  Уфа2000.

3. Журнал    МвШ №7  2003г.

О решении уравнений вида f(f(x)) = x.

М.К. Потапов, А.В. Шевкин (Москва)

4. Журнал МвШ №8 2003.

 О решении уравнений вида  f(g(x)) = f(h(x))

5.Журнал МвШ №9 2004

Геометрические неравенства и уравнения

  И.И. Чучаев (Саранск),  В.Л.Крюкова (Рузаевка).

6. Журнал МвШ №6 2003

Геометрические решения уравнений, содержащих иррациональные выражения.

 

 

 

 

Примерный ответ на 1вопрос.

Решение иррациональных уравнений возведением в степень.

Уравнения с квадратичной иррациональностью___.

Общая схема решения: уединить корень вида √f(x); возвести обе части в квадрат; если потребуется повторить эти две процедуры. Получается рациональное уравнение, корни которого необходимо проверить, подставив их в исходное уравнение. При возведении в квадрат расширяется ОДЗ неизвестного и мы можем поучить посторонние корни, которые выявляются при проверке.  Если проверка затруднена, тогда можно исследовать ОДЗ исходного уравнения. Корень полученного уравнения, не входящий в ОДЗ, является посторонним для заданного уравнения.

Задание 1.   Решить уравнение.

  ____         ___

√2х+4   -  √7-х   = 3.     Уединим первый из корней и возведем обе части в квадрат.

                ___                     

 х-4 =  2√7-х  .              Возведем еще раз в квадрат:                                                 

 

х2 -4х-12 = 0.                Корни этого квадратного уравнения  -2 и 6. 

                                      После проверки убеждаемся, что корнем исходного

                                      уравнения является число 6.

                                      Ответ. 6.

Задание 2.  Решить уравнение.

  +    = 4. 

                                                      Ответ. 5.

Примерный ответ на 2 вопрос.

Особенности решения уравнений с кубической иррациональностью.

Областью определения и областью значений функции           __

                                                                                              у = 3√х   

является вся числовая ось, поэтому при решении таких уравнений, возведя обе части в куб, мы не можем приобрести лишние корни. Значит и не требуется проверка решения.

Задание 3.  Решить уравнение.

   ____          ___

3√х+34  -  3√х-3  = 1.         Возведя обе части в куб имеем:

   ___________         ___________

3√(х+34)2 (х-3)   -  3√(х+34) (х-3)2  = 12.

   __________          ____         ___

3√(х+34) (х-3)  * (3√х+34  -  3√х-3 )  =12.   Второй множитель равен 1.  Значит:

   ___________

3√(х+34) (х-3)  =  12.                Возведя в куб обе части получим: 

х2 + 31х – 1830  = 0,    х =30  и  х = -61.

                                                    Ответ. -61; 30.

            

Примерный ответ на 3 вопрос.

Введение новой переменной.

Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной можно подразделить на три вида: 1) очевидные замены

2) замены, которые становятся очевидными, только после преобразования уравнения

3) специальные замены.

Вводя новую переменную, надо выделить ограничения, накладываемые на нее. Это позволяет сразу отбросить посторонние для новой переменной корни.

Задание 4.   Решить уравнение.

    __________           ___________                               __________

7√(5-х) ∕ (х+3)  +   7√ (х+3) ∕ (5-х)   = 2.   Заменим  7√(5-х) ∕ (х+3)  = t;

Получим уравнение:  t + 1∕ t  = 2,    t2 +t +1 = 0,  t =1.

Возвращаемся к подстановке

                                                         __________         

                                                      7√(5-х) ∕ (х+3)  = 1,   (5-х) ∕ (х+3) = 1, х=1.

Проверку можно не делать. Ответ. 1.

                                                                                            

                                                                                              _______

Задание 5. Решить уравнение.                 х2 +3х-18 + √х2 +3х-6  = 0.  Ответ. -5;2.

 

В случае, когда  в уравнении присутствуют квадратные трехчлены их необходимо разложить на множители, если же есть линейные множители, то желательно знать их вид после перемножения.

Задание 6.   Решить уравнение.

        ___         _______                __

5 15√х22  + 15√х14  *   - 22 15√х7  = 0.

 

5 (х22)1∕ 15 + (х14 (х)1∕ 2 )1∕ 15 – 22(х7)1∕ 15 = 0;

 

5 х22∕ 15 + х29∕ 30 – 22х7∕ 15  = 0;

 

Х7∕ 15 (5х + х1∕ 2 – 22)  = 0.                Один из корней 0, другой корень находится еще                                                            

                                                          одной заменой. И равен 4.    Ответ.0;4.

 

Задание 7.   Решить уравнение.

                          _________                                          

+4) (х+1) - 3√х2  + 5х +2  = 6.  Квадратный трехчлен под корнем не имеет корней, перемножим скобки . Получим:

                              _________

   (х2 + 5х +4) - 3√х2 + 5х +2  = 6.

  _________

√х2 + 5х +2  = tt≥0.       х2 +5х +2 =t2t2  -3t -4 = 0,   t = 4?

  x2 +5x  +2   = 16.              x =2,    x = -7.

                                                              Ответ. -7;2.

 

Примерный ответ на 4 вопрос.

Решение иррациональных уравнений умножением на сопряженные выражения.

Метод состоит в умножении обеих частей на некоторое не обращающее в нуль выражение.

 

Задание 8

  _________         _________        _____        ______

√2х2 + х + 2  + √х2  + 2х +3  =  √х2 +5  +  √2х2 + 3  ;  перегруппируем уравнение:

   _________        _____          _____       _________

√2х2 + х + 2  -  √2х2 +3   =  √х2 + 5  - √х2 +2х + 3 ;  умножим уравнение на       выражение  сопряженное левой части, т.е. на                                                      _________        ______

                                                                                     √2х2 + х +2   +  √2х2 +3  .

                                  ____         _________       ________        _____

Получим:   х-1 =  (√х2 +5   -  √х2 +2х + 3 ) ( √2х2 + х +2  -  √2х2 +3 ) ;                                          

                                                                         _____         _________  

 Затем умножим обе части уравнения на  √ х2 +5   +  √х2 + 2х + 3     получим:

            _____       _________                         ________        ______

(х-1) (√х2 +5  +  √х2 + 2х + 3)  =  (2 – 2х) (√2х2 +х +2  +  √2х2 +3 .

Перенесем правую часть налево, вынесем за скобку множитель (х-1), получим:

            _____       _________          _______               ______    

(х-1) (√х2 +5  +  √х2 + 2х + 3  +  2√2х2 + х + 2  +  2√2х2 + 2 )  = 0.

Откуда х = 1.  А второй сомножитель всегда больше нуля, так как в скобке стоит сумма  неотрицательных величин.                                      Ответ. 1.

 

Задание 9.

  ______       _______          _________         _________

√3х2 – 1  + √х2 –х + 1   =  √3х2 +2х + 1  +  √х2 + 2х + 4 .         Ответ. -1

 

 

 

 

Задание 10

   _____            ______           __________

3√(8-х)2  +  2 3√(х+27)2  =  3√(8-х) (х+27) .    Т.к. числа -27 и 8 не являются  корнями уравнения можно разделить обе части уравнения на  (х+27)2∕ 3  или на (8-х)2∕ 3.

 

((8-х)∕ (х+27))2∕ 3  = 3 ((8-х) (х+27))1∕ 3 + 2 = 0    Если t = ((8-х) (х+27))1∕ 3,  то:

 

t2 -3t +2 = 0,    t = 1   или   t = 2.    Переходя к исходной переменной

  х = -19∕ 2, или х = - 208∕ 9.                                               

 

Задание 10.  Решить уравнение.

               ____

2 + 7х√1+х  =  24(1+х).   Ответ. 3, -8∕ 9.

 

Примерный ответ на 5 вопрос.

Решение иррациональных уравнений сведением к системе уравнений.

Этот метод применим, когда уравнение содержит корни различных порядков.

 

Задание 11  Решить уравнение.

      ____      ___                                                                      ___             ___

2 3√х+7  -  √х+3  = 2.   Введем две новые переменные  3√х+7  = а,  √х+3  = с, с≥0

Далее мы должны получить два уравнения. Первое уравнение получим, подставив новые переменные в исходное уравнение. Второе уравнение  получим, выразив через  х   а  и  с :    х = а3 - 7,   х = с2 -3 ;    

⌡2а - с = 2,                          Выразим   с  из первого уравнения и подставим во

│ а3 – 7 = с2 – 3.                  второе.

 

а3 – (2а -2)2 = 4.   Решим последнее уравнение разложением на множители:

(а -2) ( а2 -2а +4) = 0.   а = 2.  Тогда с равен тоже 2.

Наконец х = 1.  Проверим: является ли 1 корнем исходного уравнения. Да.

                                                                                                               Ответ. 1.

 

 

Примерный ответ на 7 вопрос.

Решение уравнений вида   f(f(x)) = x ,   f(g(x)) =f( h(x)), содержащих знак радикала.

При решении следующих уравнений необходимо знать некоторые утверждения.

(При необходимости рассмотреть их доказательства).

1.   Пусть функция f(x) строго возрастает на множестве Х и пусть f(x0) Х для любого  х 0  Х,  тогда уравнения   f(f(x)) =  x  и    f(x) = x  равносильны на множестве Х.

 

Задание12.   Решить уравнение.

    _________

3 +х = х .     Функция f(x) =   строго возрастает на множестве R  и

                                    f(x0)  R  для любого  х0 R.

Тогда рассмотрим решение уравнения    = х.    х3 – х – 24 = 0.   (х-3)(х2 +3х+8) = 0

 Это уравнение имеет  единственное решение х=3.                         Ответ. 3.

Задание 13.  Решить уравнение.

х3 + 6 = 7.           Преобразуем это уравнение

 

((х3 +6) ∕ 7 )3 = 7х-6;             (((х3 +6)3∕ 7) + 6 ) ∕ 7 = х.          Рассмотрим f(x) = (x3+ 6)∕ 7

Эта функция строго возрастает на  Rf(x)R  для х0 R.  Решение исходного уравнения равносильно решению уравнения:

                                                                            (х3 + 6) ∕ 7  = х,   х3 +6 =7х,   (х-1)(х2 + х – 6).

                                                                            х=1;  х=2;  х=-3.

                                                                                                      Ответ. -3,  1, 2.

 

Рассмотрим еще один интересный способ решения уравнений  определенного вида.

Вначале введем следующее утверждение (доказательство при необходимости можно  рассмотреть).

Пусть функция f(u) имеет область существования промежуток I  и пусть она строго монотонна на I.

Тогда уравнение f(g(x)) =f(h(x)) равносильно системе       ⌡g(x)=h(x),

                                                                                                     │g(x) I,   h(x) I.

     _______             _______          _______            _____           _____         _____        

18√х2 + х -4   +  100√х2 + х -3  + 97√х2 + х -2  =  18√1 -3х  +  100√2 – 3х  + 97√3 -3х   .

 

Область существования функции f(u) = + +  есть промежуток  I =  .

Функция f(u) строго возрастает на этом промежутке.  Следовательно, решение уравнения равносильно системе:  ⌡х2 + х + х -4 = 1 – 3х,

                    │1 – 3х 0.               Решение первого уравнения системы -5 и 1 . Учитывая неравенство , входящее в систему, получаем , что  -5 является решением исходного уравнения.  Ответ. -5.

 

 

                                                                                                                                                                                                         Примерный ответ на 6 вопрос

Когда стандартный прием решения иррациональных уравнений приводит к громоздким выкладкам, можно обратиться к геометрическим интерпретациям уравнения.

                                                                 ____________          ______________          

Задание 14.  Решить уравнение.     √х2 – 5х  + 25  + √х2 – 12х + 144  = 

                                                              

                 С                                           Рассмотрим ∆ ДСВ. Где угол ДСВ =450, СД=х,

                                                               СВ = 12 .  По теореме косинусов имеем

                                                                ДВ2 = х2  - 2 *12 *х  *cos 450 + 144 ,               

            5    450      450     12                   Рассмотрим ∆ АСД. Где угол АСД =450, СД=х,

                       х                                       АС = 5.   Также по теореме косинусов имеем

                                                                 АД2 = х2 + 25 – 2*5* cos 450 

                                                                 Рассмотрим ∆АСВ . Где угол АСД = 900.

 

А                          Д                                   В         По теореме Пифагора найдем АВ =13.

                                                               Получается  АД +ДВ = АВ .  Тогда  отыскание корня уравнения  сводится к отысканию длины стороны отрезка СД.

Рассмотрим   S∆АСД = (5 * х * sin 450 ) : 2.     S∆СДВ = (12 * х * sin450) : 2.

                       S∆АСВ =  5* 12 : 2 =30                        

                       SACD + SDCB = SACB.                 (5х ) : 4  +  (12х ) : 4  = 30

                                                                                           __                                   __

                                                                             __  17х √2   =  120 ,       х =  (60√2 ) ∕ 17                               

                                                          Ответ. 60√2 ∕ 17 .                  

              

   Пример   Решить уравнение.

  _____________        ___________       ____________

√9(х-1)2 + (х+2)2  +  √х2 + 4(х +4)2  =  √17х2 – 24х + 9 .

 

Пусть т.А(2;3),  т.В(3х-1; х+5),  т.С(2-х; 2х+5). 

Вся трудность в выборе этих координат, потому что по формуле расстояния между точками

           ______________                       ___________                   ___________   

АВ = √9(х-1)2 + (х +2)2  ,         АС = √х2 + 4(х + 1)2  ,    ВС = √17х2 -24х +9  .

 Исходное уравнение представляет собой  равенство АВ +АС = ВС. 

Значит т.А ежит между точками В и С.

Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки   х - х1      у -  у1

                                                                                                      х2 – х1          у2 – у1

Составим уравнение прямой проходящей через точки В иС.

 

 

 

 

Х -3х+1  =  У-х-5

3 – 4х              х                Точка А (Х; У), т.е. т.А(2;3) принадлежит этой прямой,                                                                            Значит      .   Решая последнее уравнение      х = 

                                                                                                                                                   

 Проверкой выясним, что корнем уравнения является х1=                                   

Т.к.  только в этом случае т. А лежит между точками В и С:   3х1-1< 2 < 2 -x1.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработка семинарского занятия"
Смотреть ещё 6 054 курса

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Цели и задачи семинара:  обобщение общедоступных способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение решения сложных иррациональных уравнений, рассмотрение геометрической интерпретации иррациональных уравнений.          Пояснительная записка. Даже в профильном математическом классе есть  более слабые ученики, есть ученики способные, но ленивые: не понимающие своих возможностей. Есть довольно самостоятельные ученики, которым «тесно» в рамках школьного курса. Каждого из таких учеников может растормошить, заинтересовать  и удовлетворить семинарское занятие. Тем более  ученик готов к своему ответу. Учитель заранее выявляет желающих ответить по каждому вопросу семинара. И руководит их подготовкой. Если по какому-то вопросу нет желающих, то можно ненавязчиво предложить свою помощь, возможно,  с целью исправления оценок. Данное семинарское занятие направлено на расширение знаний учащихся, повышения уровня математической подготовки через решение большого количества задач. Навыки решения иррациональных уравнений необходимы любому ученику, желающему успешно выступить на математических конкурсах, олимпиадах, хорошо подготовиться к дальнейшему обучению в  высших учебных заведениях. В ходе семинара учащиеся показывают множество «нестандартных» методов решения иррациональных уравнений. Данный семинар предусматривает формирование интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей. Вопросы 1. Решение иррациональных уравнений возведением в степень. Уравнения с квадратичной иррациональностью 2. Особенности решения уравнений с кубической иррациональностью 3. Введение новой переменной 4. Умножение на сопряженную величину. 5. Переход от иррационального уравнения к системе рациональных уравнений заменой переменных. 6. Геометрические  решения уравнений, содержащих иррациональные выражения. 7. Решение уравнений вида  f(f(x)) = x   и    f(g(x)) = g(h(x)),  содержащих знак радикала.  

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 365 062 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
    • 14.04.2014 1341
    • DOCX 123 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Хамидулина Загида Загретдиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 10 лет
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1258
    • Всего материалов: 1

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 354 065 материалов из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Ресторанный бизнес: практические основы

5 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Успешный педагог: навыки самозанятости, предпринимательства и финансовой грамотности

6 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 54 человека из 20 регионов
  • Этот курс уже прошли 75 человек

Мини-курс

Основы ресторанного сервиса и кулинарного искусства

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
Смотреть ещё 6 054 курса