Цели и задачи
семинара: обобщение
общедоступных способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение решения
сложных иррациональных уравнений, рассмотрение геометрической интерпретации
иррациональных уравнений.
Пояснительная
записка. Даже в профильном
математическом классе есть более слабые ученики, есть ученики способные, но
ленивые: не понимающие своих возможностей. Есть довольно самостоятельные
ученики, которым «тесно» в рамках школьного курса. Каждого из таких учеников
может растормошить, заинтересовать и удовлетворить семинарское занятие. Тем
более ученик готов к своему ответу.
Учитель заранее
выявляет желающих ответить по каждому вопросу семинара. И руководит их
подготовкой. Если по какому-то вопросу нет желающих, то можно ненавязчиво
предложить свою помощь, возможно, с целью исправления оценок. Данное
семинарское занятие направлено на расширение знаний учащихся, повышения уровня
математической подготовки через решение большого количества задач. Навыки
решения иррациональных уравнений необходимы любому ученику, желающему успешно
выступить на математических конкурсах, олимпиадах, хорошо подготовиться к
дальнейшему обучению в высших учебных заведениях. В ходе семинара учащиеся
показывают множество «нестандартных» методов решения иррациональных уравнений.
Данный семинар предусматривает формирование интереса к предмету, выявление и
развитие математических способностей.
Вопросы
1. Решение
иррациональных уравнений возведением в степень.
Уравнения с
квадратичной иррациональностью
2. Особенности
решения уравнений с кубической иррациональностью
3. Введение новой
переменной
4. Умножение на
сопряженную величину.
5. Переход от
иррационального уравнения к системе рациональных уравнений заменой переменных.
6. Геометрические
решения уравнений, содержащих иррациональные выражения.
7. Решение уравнений
вида f(f(x)) = x и f(g(x)) = g(h(x)), содержащих знак радикала.
Литература,
предлагаемая учащимся:
1.Пособие
«Абитуриенту ГАТУ» Математика-2.
Решение задач повышенной сложности. Уфа 1999.
Составители : Н.А. Ахметова, В.В. Водопьянов,
З.Н.Усманова, Э.Х. Халфина
2. Задачи по
математике для школ (классов) с углубленным изучением
(10 -11классы) Методические рекомендации.
Издательство БИРО. Уфа2000.
3. Журнал МвШ №7
2003г.
О решении уравнений
вида f(f(x)) = x.
М.К. Потапов, А.В. Шевкин (Москва)
4. Журнал МвШ №8
2003.
О решении уравнений вида f(g(x)) = f(h(x))
5.Журнал МвШ №9 2004
Геометрические
неравенства и уравнения
И.И. Чучаев (Саранск), В.Л.Крюкова (Рузаевка).
6. Журнал МвШ №6 2003
Геометрические
решения уравнений, содержащих иррациональные выражения.
Примерный ответ на 1вопрос.
Решение иррациональных уравнений
возведением в степень.
Уравнения с квадратичной
иррациональностью___.
Общая схема решения: уединить корень вида √f(x); возвести обе части в квадрат; если
потребуется повторить эти две процедуры. Получается рациональное уравнение,
корни которого необходимо проверить, подставив их в исходное уравнение. При
возведении в квадрат расширяется ОДЗ неизвестного и мы можем поучить посторонние
корни, которые выявляются при проверке. Если проверка затруднена, тогда можно
исследовать ОДЗ исходного уравнения. Корень полученного уравнения, не входящий
в ОДЗ, является посторонним для заданного уравнения.
Задание 1. Решить уравнение.
____ ___
√2х+4 - √7-х = 3. Уединим первый из корней и возведем обе части в квадрат.
___
х-4 = 2√7-х
. Возведем еще раз в
квадрат:
х2 -4х-12 = 0. Корни
этого квадратного уравнения -2 и 6.
После
проверки убеждаемся, что корнем исходного
уравнения является число 6.
Ответ.
6.
Задание 2. Решить уравнение.
+ 
= 4.
Ответ. 5.
Примерный ответ на 2 вопрос.
Особенности решения уравнений с кубической
иррациональностью.
Областью определения и областью значений
функции __
у = 3√х
является вся числовая ось, поэтому при решении
таких уравнений, возведя обе части в куб, мы не можем приобрести лишние корни.
Значит и не требуется проверка решения.
Задание 3. Решить уравнение.
____ ___
3√х+34 - 3√х-3
= 1. Возведя обе части в куб имеем:
___________ ___________
3√(х+34)2
(х-3) - 3√(х+34) (х-3)2 = 12.
__________ ____ ___
3√(х+34)
(х-3) * (3√х+34 - 3√х-3 ) =12. Второй множитель
равен 1. Значит:
___________
3√(х+34) (х-3)
= 12. Возведя в куб обе части получим:
х2 + 31х – 1830 = 0, х =30 и
х = -61.
Ответ. -61; 30.
Примерный ответ на 3 вопрос.
Введение новой переменной.
Решение иррациональных уравнений методом
введения новой переменной можно подразделить на три вида: 1) очевидные замены
2) замены, которые становятся очевидными,
только после преобразования уравнения
3) специальные замены.
Вводя новую переменную, надо выделить
ограничения, накладываемые на нее. Это позволяет сразу отбросить посторонние
для новой переменной корни.
Задание 4. Решить уравнение.
__________ ___________
__________
7√(5-х) ∕
(х+3) + 7√ (х+3) ∕ (5-х) = 2. Заменим
7√(5-х) ∕ (х+3) = t;
Получим уравнение: t +
1∕ t = 2, t2 +t +1 = 0, t =1.
Возвращаемся к подстановке
__________
7√(5-х) ∕ (х+3) = 1, (5-х) ∕ (х+3) = 1, х=1.
Проверку можно не делать. Ответ. 1.
_______
Задание 5. Решить уравнение. х2 +3х-18 + √х2 +3х-6 = 0. Ответ.
-5;2.
В случае, когда в уравнении присутствуют
квадратные трехчлены их необходимо разложить на множители, если же есть линейные
множители, то желательно знать их вид после перемножения.
Задание 6. Решить уравнение.
___ _______ __
5 15√х22 + 15√х14
*
- 22 15√х7 = 0.
5 (х22)1∕ 15 + (х14
(х)1∕ 2 )1∕ 15 – 22(х7)1∕ 15 = 0;
5 х22∕ 15 + х29∕ 30 –
22х7∕ 15 = 0;
Х7∕ 15 (5х + х1∕ 2 –
22) = 0. Один из корней 0, другой корень находится
еще
одной заменой. И равен 4. Ответ.0;4.
Задание 7. Решить уравнение.
_________
(х+4) (х+1) - 3√х2
+ 5х +2 = 6. Квадратный трехчлен под корнем не имеет корней,
перемножим скобки . Получим:
_________
(х2 + 5х +4) - 3√х2 +
5х +2 = 6.
_________
√х2 + 5х +2 = t, t≥0. х2 +5х +2 =t2 ; t2 -3t -4 = 0, t = 4?
x2 +5x +2 = 16. x =2, x = -7.
Ответ. -7;2.
Примерный ответ на 4 вопрос.
Решение иррациональных уравнений умножением
на сопряженные выражения.
Метод состоит в умножении обеих частей на
некоторое не обращающее в нуль выражение.
Задание 8
_________ _________
_____ ______
√2х2 + х + 2 + √х2 +
2х +3 = √х2 +5 + √2х2 + 3 ; перегруппируем уравнение:
_________ _____ _____
_________
√2х2 + х + 2 - √2х2
+3 = √х2 + 5 - √х2 +2х + 3 ; умножим уравнение
на выражение сопряженное левой части, т.е. на _________
______
√2х2
+ х +2 + √2х2 +3 .
____
_________ ________ _____
Получим: х-1 = (√х2 +5 - √х2
+2х + 3 ) ( √2х2 + х +2 - √2х2 +3 ) ;
_____ _________
Затем умножим обе части уравнения на √ х2
+5 + √х2 + 2х + 3 получим:
_____ _________
________ ______
(х-1) (√х2 +5 + √х2 +
2х + 3) = (2 – 2х) (√2х2 +х +2 + √2х2 +3 .
Перенесем правую часть налево, вынесем за
скобку множитель (х-1), получим:
_____ _________
_______ ______
(х-1) (√х2 +5 + √х2 +
2х + 3 + 2√2х2 + х + 2 + 2√2х2 + 2 ) = 0.
Откуда х = 1. А второй сомножитель всегда
больше нуля, так как в скобке стоит сумма неотрицательных величин.
Ответ. 1.
Задание 9.
______ _______
_________ _________
√3х2 – 1 + √х2 –х + 1
= √3х2 +2х + 1 + √х2 + 2х + 4 . Ответ. -1
Задание 10
_____ ______
__________
3√(8-х)2
+ 2 3√(х+27)2 = 3√(8-х) (х+27) . Т.к. числа -27 и 8
не являются корнями уравнения можно разделить обе части уравнения на (х+27)2∕
3 или на (8-х)2∕ 3.
((8-х)∕ (х+27))2∕ 3 = 3 ((8-х)
(х+27))1∕ 3 + 2 = 0 Если t = ((8-х) (х+27))1∕
3, то:
t2 -3t +2 = 0, t = 1 или t =
2. Переходя к исходной переменной
х = -19∕ 2, или х = - 208∕
9.
Задание 10. Решить уравнение.
____
6х2 + 7х√1+х = 24(1+х). Ответ.
3, -8∕ 9.
Примерный ответ на 5 вопрос.
Решение иррациональных уравнений сведением
к системе уравнений.
Этот метод применим, когда уравнение содержит
корни различных порядков.
Задание 11 Решить уравнение.
____ ___
___ ___
2 3√х+7 - √х+3 = 2. Введем две новые переменные 3√х+7 = а, √х+3 = с, с≥0
Далее мы должны получить два уравнения. Первое
уравнение получим, подставив новые переменные в исходное уравнение. Второе
уравнение получим, выразив через х а и с : х = а3
- 7, х = с2 -3 ;
⌡2а - с = 2,
Выразим с из первого уравнения и подставим во
│ а3 – 7 = с2 – 3. второе.
а3 – (2а -2)2 = 4.
Решим последнее уравнение разложением на множители:
(а -2) ( а2 -2а +4) = 0. а = 2.
Тогда с равен тоже 2.
Наконец х = 1. Проверим: является ли 1 корнем
исходного уравнения. Да.
Ответ. 1.
Примерный ответ на 7 вопрос.
Решение уравнений вида f(f(x)) = x , f(g(x)) =f( h(x)), содержащих знак радикала.
При решении следующих уравнений необходимо
знать некоторые утверждения.
(При необходимости рассмотреть их
доказательства).
1. Пусть функция f(x) строго возрастает на множестве Х и
пусть f(x0) 
Х для любого х 0 Х, тогда уравнения f(f(x)) = x и f(x) = x равносильны на множестве Х.
Задание12. Решить уравнение.
_________
3√
+х = х . Функция f(x) = строго возрастает на множестве R и
f(x0) 
R для любого х0 R.
Тогда рассмотрим решение уравнения = х. х3 – х – 24 =
0. (х-3)(х2 +3х+8) = 0
Это уравнение имеет единственное решение
х=3. Ответ. 3.
Задание 13. Решить уравнение.
х3 + 6 = 7
.
Преобразуем это уравнение
((х3 +6) ∕ 7 )3 = 7х-6;
(((х3 +6)3∕ 7) + 6 ) ∕ 7 = х. Рассмотрим f(x) = (x3+ 6)∕ 7
Эта функция строго возрастает на R . f(x)R для 
х0 R. Решение исходного уравнения равносильно решению уравнения:
(х3 + 6) ∕ 7 = х, х3 +6 =7х, (х-1)(х2 + х
– 6).
х=1; х=2; х=-3.
Ответ.
-3, 1, 2.
Рассмотрим еще один интересный способ решения
уравнений определенного вида.
Вначале введем следующее утверждение
(доказательство при необходимости можно рассмотреть).
Пусть функция f(u) имеет область существования промежуток I и пусть она строго монотонна на I.
Тогда уравнение f(g(x)) =f(h(x)) равносильно системе
⌡g(x)=h(x),
│g(x) I, h(x) I.
_______ _______
_______ _____ _____ _____
18√х2
+ х -4 + 100√х2 + х -3 + 97√х2
+ х -2 = 18√1 -3х + 100√2 – 3х + 97√3
-3х .
Область существования функции f(u) = 
+ 
+ 
есть промежуток I = 
.
Функция f(u) строго возрастает на этом промежутке.
Следовательно, решение уравнения равносильно системе: ⌡х2
+ х + х -4 = 1 – 3х,
│1 – 3х 
0. Решение первого уравнения
системы -5 и 1 . Учитывая неравенство , входящее в систему, получаем , что -5
является решением исходного уравнения. Ответ. -5.
Примерный ответ на 6
вопрос
Когда стандартный прием решения иррациональных
уравнений приводит к громоздким выкладкам, можно обратиться к геометрическим
интерпретациям уравнения.
____________
______________
Задание 14. Решить уравнение. √х2 – 5х
+ 25 + √х2
– 12х + 144 = 
С Рассмотрим ∆ ДСВ. Где угол ДСВ =450,
СД=х,
СВ = 12 . По теореме косинусов имеем
ДВ2
= х2 - 2 *12 *х *cos 450 + 144 ,
5 450 450
12 Рассмотрим ∆ АСД. Где угол АСД =450, СД=х,
х АС
= 5. Также по теореме косинусов имеем
АД2 = х2 + 25 – 2*5* cos 450
Рассмотрим ∆АСВ . Где угол АСД = 900.
А Д
В По теореме Пифагора найдем АВ =13.
Получается АД +ДВ = АВ . Тогда отыскание корня уравнения сводится к
отысканию длины стороны отрезка СД.
Рассмотрим S∆АСД = (5 * х * sin 450 ) : 2. S∆СДВ = (12 * х * sin450)
: 2.
S∆АСВ = 5* 12 : 2 =30
S∆ACD + S∆DCB = S∆ACB. (5х ) : 4 + (12х ) : 4 =
30
__ __
__ 17х √2 = 120 , х = (60√2 ) ∕ 17
Ответ. 60√2 ∕ 17 .
Пример Решить уравнение.
_____________ ___________
____________
√9(х-1)2 + (х+2)2 + √х2
+ 4(х +4)2 = √17х2 – 24х + 9 .
Пусть т.А(2;3), т.В(3х-1; х+5), т.С(2-х;
2х+5).
Вся трудность в выборе этих координат, потому
что по формуле расстояния между точками
______________ ___________
___________
АВ = √9(х-1)2 + (х +2)2
, АС = √х2 + 4(х + 1)2 , ВС = √17х2
-24х +9 .
Исходное уравнение представляет собой равенство
АВ +АС = ВС.
Значит т.А ежит между точками В и С.
Запишем уравнение прямой, проходящей через две
точки х - х1 = у - у1
х2 – х1
у2 – у1
Составим уравнение прямой проходящей через
точки В иС.
Х -3х+1 = У-х-5
3 – 4х х Точка А
(Х; У), т.е. т.А(2;3) принадлежит этой
прямой, Значит
. Решая последнее уравнение х = 
Проверкой выясним, что корнем уравнения
является х1=
Т.к. только в этом случае т. А лежит
между точками В и С: 3х1-1< 2 < 2 -x1.
