Построения ограниченными средствами

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Региональный конкурс
  юношеских исследовательских работ
  им. В. И. Вернадского
  
  Исследовательская работа
  «Построения ограниченными средствами»
  
  
  

• 

  2 слайд

  Объект исследования
  Раздел геометрии, изучающий
  построения одним циркулем.
  
  

• 

  3 слайд

  Предмет исследования
  1.Возникновение и развитие
  раздела геометрии, изучающего
  построение одним циркулем.
  2.Возможности применения этого
  метода.
  
  

• 

  4 слайд

  Цели исследования
  1.Расширить представление о роли построений одним циркулем.
  2.Показать возможные применения этого метода в математике.
  3.Более глубоко изучить возможные методы построения различных многоугольников, в том числе нестандартных.
  4.В целом рассмотреть роль теоремы Мора-Маскерони в геометрии.
  
  

• 

  5 слайд

  Задачи исследования
  1.Проанализировать литературу, посвященную геометрии циркуля.
  2.Выяснить, какие ученые начали изучать построение различных фигур одним циркулем.
  3.Показать, какие задачи решаются одним циркулем, в том числе с ограничениями.
  4.Более подробно рассмотреть построение одним циркулем различных многоугольников.
  
  

• 

  6 слайд

  Методы исследования
  1.Анализ различной литературы.
  2.Анализ периодических источников.
  3.Решение различных
  нестандартных задач.
  
  

• 

  7 слайд

  Актуальность работы
  Раздел школьной геометрии не изучает построение одним циркулем, поэтому эти знания могут пригодиться в дальнейшей математической деятельности. Они также нужны для того, чтобы школьники учились самостоятельному решению задач, близких к творческим, развивали и проверяли свои способности к этой деятельности.
  
  

• 

  8 слайд

  Предполагаемые результаты
  исследования
  1.Собрание исторических фактов о
  возникновении и развитии геометрии циркуля, многообразие применения этого метода.
  
  2.Подбор задач, наглядно отображающих применение метода построений одним циркулем в планиметрии и нахождение их решений.
  
  
  

• 

  9 слайд

  Предполагаемые результаты
  исследования
  3.Создание каталога графических иллюстраций.
  4.Нахождение путей применимости метода построений одним циркулем.
  5.Выделение типов задач на построение одним циркулем.
  

• 

  10 слайд

  Теорема Мора-Маскерони
  Всякая задача, решаемая циркулем и линейкой, может быть решена и одним циркулем. Внимательным размышлением Маскерони получил список всех аксиомных задач, употребляемых при построениях циркулем и линейкой;
  1. Найти точки пересечения двух прямых.
  2. То же для прямой и окружности.
  3. То же для двух окружностей.
  4. Даны три точки А, В и С, Провести из центра А окружность радиуса ВС.
  
  
  
  Лоренцо
  Маскерони
  

• 

  11 слайд

  Типы задач решаемые одним циркулем
  1.Без ограничений.
  2.С ограничениями.
  3.Деление окружности на равные части .
  4.Построение отрезков и окружностей обладающих определенными свойствами.
  
  
  
  
  Карл Гаусс
  

• 

  12 слайд

  Без ограничений
  1. Удвоение отрезка.
  2. Построение отрезка АС, который в n-раз длиннее АВ и содержит точку С.
  3. Построение точки симметричной данной относительно прямой.
  4. Определение принадлежности точки прямой.
  5. Определение вероятности пересечения прямой и плоскости и нахождение точек пересечения.
  
  
  

• 

  13 слайд

  6. Дана прямая АВ и окружность О с заданным центром, не лежащим на АВ, Определить, пересекается ли О с АВ, и найти точки пересечения.
  7. Пропорциональное деление. Даны два отрезка АВ и DЕ. На АВ находится точка С. Найти на DЕ такую точку F, чтобы
  AC : AB = DF : DE.
  8. Деление отрезка пополам.
  9. Из точки вне прямой опустить перпендикуляр на прямую.
  
  

• 

  14 слайд

  Без ограничений
  Удвоение отрезка
  Симметрия
  Перпендикуляр
  

• 

  15 слайд

  Пропорциональное деление отрезка
  Даны два отрезка АВ и DЕ. На АВ находится точка С. Найти на DЕ такую точку F, чтобы
  AC : AB = DF : DE.
  
  

• 

  16 слайд

  Решение этих задач классическим способом довольно-таки просто, поэтому их можно усложнить, введя некоторые ограничения. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой. Это равноправные инструменты, но циркуль является более точным инструментом, чем линейка.
  Но с помощью циркуля нельзя проводить прямые, поэтому прямая считается построенной, если построены две ее точки.
  Самый большой интерес у геометров вызывали задачи в которых рамки дозволенного не расширялись, а сужались.
  В литературе рассмотрено много задач на построение одним циркулем с ограничениями раствора.
  
  Леонардо-да-Винчи
  

• 

  17 слайд

  Однако каждому известно, что практически данным конкретным циркулем можно описывать окружности, радиусы которых не больше некоторого отрезка Rmax и не меньше отрезка Rmin Отрезок Rmax равен максимальному, а Rmax — минимальному раствору ножек данного циркуля. Будем говорить, что в данном случае растворы ножек циркуля ограничены снизу
  отрезком Rmin и ограничены сверху отрезком Rmax .
  Следующие задачи показывают, каким образом работать с ограничениями как сверху, так и снизу.
  
  
  Архимед
  

• 

  18 слайд

  Задача1
  Задача2
  Построить прямую, перпендикулярную данному отрезку и проходящую через один из его концов, если AB/2< R < АВ.
  R – некоторая величина, АВ – некоторый отрезок.
  Постройте центр начерченной окружности, если диаметр этой окружности меньше r.
  
  Якоб Штейнер
  С ограничениями
  

• 

  19 слайд

  Задача 1
  Окр (А; R) Окр (В; R) = С.
  Построим Окр (С; R=АС)
  Построим Н, диаметрально противополож
  ную В
  АН – искомый перпендикуляр
  
  

• 

  20 слайд

  Задача 2
  Возьмем на окружности точку А и построим Окр (А; r) Окр 1 = В и D. Построим С, диаметрально противоположную В.Окр (С; СD) Окр (A; CD) = E . Окр (E; CD). Окр (A; d) = M. Окр (B; BM). Окр(A; BM) = O. О – центр данной окружности.
  
  

• 

  21 слайд

  Деление окружности на равные части
  Из всего множества возможных построений одним циркулем наиболее интересным является построение правильных многоугольников.
  Понятно, что легко построить правильный шестиугольник и треугольник, квадрат (применив задачу о делении дуги окружности пополам). А вот как быть с правильным пятиугольником?
  
  

• 

  22 слайд

  Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий. Золотым сечением называют такое деление отрезка на две части, когда большая часть относится к меньшей, как весь отрезок – к большей своей части.
  Евклид
  

• 

  23 слайд

  Построение золотого сечения
  

• 

  24 слайд

   Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок
  CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC.
  

• 

  25 слайд

  Правильный пятиугольник
  Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
  Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.
  
  

• 

  26 слайд

  Правильные многоугольники
  Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полигамами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой.
  

• 

  27 слайд

  Правильные многоугольники
  

• 

  28 слайд

  Звездчатые многоугольники
  Звёздчатый многоугольник — многоугольник, вершины, которого расположены, как у некоторого правильного многоугольника и стороны которого пересекаются между собой. Существует множество правильных звёздчатых многоугольников (или просто звезд), среди них пентаграмма, две септограммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего другого попарного пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника.
  

• 

  29 слайд

  Пентаграмма
  Септаграммы
  Октограмма
  Декаграмма
  Додекаграмма
  

• 

  30 слайд

  Звездчатые многоугольники
  

• 

  31 слайд

  Построение правильного
  17-ти угольника
  Еще один нестандартный многоугольник – семнадцатиугольник был впервые построен великим ученым Карлом Фридрихом Гауссом. Двадцатичетырехлетний Гаусс выпустил в свет фундаментальный труд "Арифметические исследования", последний раздел которого составляла теперь уже широко разработанная теория деления круга. «Всякому начинающему геометру известно, - писал Гаусс, - что можно геометрически (то есть циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно треугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник и те, которые получаются из каждого из них путем последовательного удвоения сторон.»
  

• 

  32 слайд

  Нестандартный многоугольник
  
  
  Карл Гаусс
  

• 

  33 слайд

  Основные результаты
  исследования
  1.Собраны исторические факты о возникновении и развитии геометрии циркуля, многообразие применения этого метода.
  2.Подобраны задачи, наглядно отображающие применение метода построений одним циркулем в планиметрии и приведены их решения.
  3.Создан каталог графических иллюстраций
  4.Показаны пути применимости метода построений одним циркулем.
  5.Выделены типы задач на построение одним циркулем.
  
  
  

• 

  34 слайд

  Калинина Ксения
  Юрьевна
  Старцева Татьяна Александровна
  

• 

  35 слайд

  Спасибо
  за внимание!