-
Курсы
-
Другое
Урок Применение производной.doc
Урок Применение производной.pptx
Тема урока: Примеры применения производной к исследованию функции.
Цели урока: 1) Закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной;
2) Способствовать выработке навыка построения графика функции исследованием с помощью производной.
Задачи урока:
Учебная: Повторить:
1) Признаки возрастания и убывания функции;
2) Определение критических точек, точек экстремума;
3) Признаки максимума и минимума
4) Теорему о монотонности функции.
Развивающая: Учить осуществлять исследовательскую деятельность.
Воспитательная: Формировать навыки умственного труда.
Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся.
Методы обучения: Частично – поисковый , работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка.
Формы организации урока: Индивидуальная, фронтальная.
Оборудование и источники информации: Учебник, рисунки, презентация.
План урока.
1. Информационный ввод (1 мин.).
2. Актуализация ЗУН (5 мин.).
3. Работа с учебником (7 мин.).
4. Устная работа (5 мин.).
5. Психофизиологическая пауза (1 мин.).
6. Исследовательская работа (14 мин.)
7. Закрепление материала (5мин.)
8. Подведение итога (2 мин.).
Ход урока.
1. Информационный ввод.
Учитель сообщает тему урока, цель и ставит задачи.
2. Актуализация ЗУН.
Повторение:
1) Признаки возрастания и убывания функции:
Если 
в каждой точке интервала 
, то функция f возрастает на .
Если 
в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
2) Определение критических точек:
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами.
3) Признаки максимума и минимума:
Если
функция f непрерывна в точке х0 ,
а 
на интервале (а;х0) и на интервале (х0;в), то
х0 является точкой максимума функции f.
Если
функция f непрерывна в точке х0 ,
а 
на интервале (а;х0) и на интервале (х0;в), то
х0 является точкой минимума функции f.
4)
Если производная функции 
на некотором
промежутке I, то функция на этом промежутке
монотонно возрастает (монотонно убывает).
Задание: Даны графики производной. Назовите точки экстремума.
y
y
1). 2).
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -2 0 2 х
y
y
3) 4)
-2 0 2 x 0 1 x
 |
y
5)
-5 0 1 3 х
Ответы:
1) х=-3, х=1 – точки максимума; х=-1, х=3 – точки минимума.
2) х=2 – точка максимума, х=-2 точка минимума.
3) х=2 – точка максимума.
4) точек экстремума нет.
5) х=1 – точка максимума, х=-5, х=3 – точки минимума.
3. Работа с учебником.
Автор А. Н. Колмогоров, стр. 153, пример 1, рис. 111.
Значит, при построении графика функции с помощью производной полезно придерживаться такого плана: (Учащиеся записывают в тетрадь).
1) Найти область определения функции.
2) Выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической.
3) Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
4) Найти критические точки функции.
5) Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.
6) Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой.
Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать.
Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оy, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения и так далее.
4. Устная работа.
Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания и точки максимума и минимума.
1.
|
х |
(-7;1) |
1 |
(1;6) |
6 |
(6;7) |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
10 |
|
-3 |
|
2.
|
х |
(-3;0) |
0 |
(0;4) |
4 |
(4;8) |
8 |
(8;+ |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
f(x) |
|
-3 |
|
-5 |
|
6 |
|
3.
y
1
-1 0 1 x
5. Психофизиологическая пауза.
Упражнения для коррекции осанки и упражнения гимнастики для глаз.
6. Исследовательская работа.
Исследовать функцию и построить ее график: 
Решение.
;
2) Функция ни четная, ни нечетная, не периодическая;
3) Нули функции: 
Пересечение с OY: (0;0).
Возьмем две дополнительные точки: 
4) 
5) Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:
(-
;-1), (-1;0), (0;2),
(2;+).
|
х |
(- |
-1 |
(-1;0) |
0 |
(0;2) |
2 |
(2;+ |
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x)
|
|
- |
|
0 |
|
- |
|
|
|
убывает |
min |
возрастает |
max |
убывает |
min |
возрастает |
y
1
-1
-1,4 0 1 2 3 x
-1
-2
№ 297
г). Исследуйте и постройте график функции: 
1) D(f)=R;
2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая;
3) 
4) 
5)
|
х |
(- |
0 |
(0;2) |
2 |
(2;+ |
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
+ |
|
f(x)
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
убывает |
min |
возрастает |
max |
убывает |
 |
y
0 2 3 х
7. Закрепление.
Прочитайте график функции:
1) 2)
y
y
0 1 2 х -1 0 1 х
3) y
0 х
№ 299 (а;б). Докажите, что функция f возрастает на множестве R.
а) 
Производная функции положительна на всей области определения, значит, сама функция возрастает на множестве R.
8. Подведение итога.
Учитель подводит итог и выставляет оценки за урок.
1) Д/З: №298(г); №299(в).
2) Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
а ) D(y)=(-
;-2)
б) Функция
нечетная, так как 
График симметричен относительно начала координат.
в) Если х=0, то y=0.
Дополнительные точки: 
г) 
Производная функции отрицательна на всей области определения, следовательно, функция убывает на всей области определения и экстремумов не имеет.
 |
y
-2 -1 0 1 2 3 х
№299 в) 
Докажите,
что функция f возрастает на множестве R.
Решение.
№298 г) 
Найдите
промежутки возрастания и убывания функции.
Решение.
Использована литература.
4. «Математика» №3/ 2005. Библиотечка «Первого сентября».
ТЕМА УРОКА:
"Примеры применения производной
к исследованию функции"
1) Закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной.
2) Способствовать выработке навыка построения графика функции исследованием с помощью
производной.
Цели урока
Учебная: Повторить:
1) Признаки возрастания и убывания функции;
2) Определение критических точек, точек экстремума;
3) Признаки максимума и минимума;
4) Теорему о монотонности функции.
Развивающая: Учить осуществлять исследовательскую
деятельность.
Воспитательная: Формировать навыки умственного
труда.
Задачи урока
Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся.
Методы обучения:Частично-поисковый, работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка.
Формы организации урока: Индивидуальная, фронтальная.
Оборудование: Учебник, рисунки, презентация.
1. Информационный ввод (1 мин.).
2. Актуализация ЗУН (5 мин.).
3. Работа с учебником (7 мин.).
4. Устная работа (5 мин.).
5. Психофизиологическая пауза (1 мин.).
6. Исследовательская работа (14 мин.).
7. Закрепление материала (5 мин.).
8. Подведение итога (2 мин.).
План урока
Повторение.
1) Признаки возрастания и убывания функции:
Если в каждой точке интервала , то функция f возрастает на .
Если в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
2) Определение критических точек:
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами.
3) Признаки максимума и минимума:
Если функция f непрерывна в точке ,а на интервале (а; ) и на интервале ( ;в), то является точкой максимума функции f.
Если функция f непрерывна в точке , а на интервале (а; ) и на интервале ( ;в), то является точкой минимума функции f.
4) Если производная функции на некотором промежутке I, то функция на этом промежутке монотонно возрастает (монотонно убывает).
Дан график производной. Назовите точки экстремума.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
х=-3, х=1 – точки максимума;
х=-1, х=3 – точки минимума.
y
Дан график производной.
Назовите точки экстремума.
х=2 – точка максимума
х=-2 – точка минимума
-2 0 2 х
y
Дан график производной. Назовите точки экстремума.
-2 0 2 х
y
х=2 – точка максимума
Дан график производной. Назовите точки экстремума.
0 1 х
y
точек экстремума нет
Дан график производной. Назовите точки экстремума.
-5 0 1 3 х
y
х=1 – точка максимума
х=-5, х=3 – точки минимума
План исследования функции
1) Найти область определения функции.
2) Выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической.
3) Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
4) Найти критические точки функции.
5) Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.
6) Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой.
Назовите по следующим данным промежутки возрастания и убывания; точки максимума и минимума функции.
Назовите по следующим данным промежутки возрастания и убывания; точки максимума и минимума функции.
Назовите по следующим данным промежутки возрастания и убывания; точки максимума и минимума функции.
-1 0 1 х
y
f(x)
при
f(x)
при
Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
2) Функция ни четная, ни нечетная, не периодическая;
3) Нули функции:
Исследовать функцию и построить ее график:
Пересечение с OY: (0;0).
Возьмем две дополнительные точки:
4)
5) Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:(- ;-1), (-1;0), (0;2), (2;+ ).
Исследовать функцию и построить ее график:
Исследовать функцию и построить ее график:
-1,4
-1
0 1 2 3 х
1
y
Исследуйте и постройте график функции:
1) D(f)=R;
2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая;
3)
4)
0 2 3 х
y
Прочитайте график функции:
0 1 2 х
y
Прочитайте график функции:
y
-1 0 1 х
Прочитайте график функции:
0 х
y
спасибо за внимание
Данный урок составлен для учащихся 10 класса общеобразовательных школ. Утверждения, используемые на уроке, содержат логический квантор. К уроку прилагается подробная презентация на 26 слайдов На этапе актуализации знаний учащимся предлагается вспомнить Признаки возрастания и убывания функции, а также признаки максимума и минимума и процесс определения критических точек. Дальше ученики работают с учебником. На этом этапе дается план построения графика функции с помощью производной. После этого учащиеся выполняют устную, а затем исследовательскую работу.
В каталоге 6 648 курсов по разным направлениям
